Wenn das Wellenpaket sehr breit ist (die Feldanregung ist über einen breiten Bereich verschmiert), dann ist die zugehörige Fourier-Transformierte schmal und es tragen nur Werte in der Nähe von k=0 bei. Ist das Wellenpaket dagegen sehr schmal, dann ist die Fouriertransformierte breiter, es tragen größere Werte von k bei, bei denen Werte φ(k) aber ja entsprechend unwahrscheinlicher sind. Auch das passt zur Unschärferelation: Ein eng lokalisiertes Wellenpaket hat eine hohe Impulsunschärfe und damit auch Beiträge von Wellen mit hoher Energie, die als “Vakuumfluktuationen” unwahrscheinlicher sein sollten. Ein räumlich eng begrenztes und damit hochenergetisches Wellenpaket trägt also weniger zum Vakuumzustand bei als ein weiter ausgedehntes.
Hier die Formeln in ihrer vollen Schönheit (Hatfield Gleichung (10.28)):
Ψ0 ist dabei die Wellenfunktion (das Wellenfunktional, um genau zu sein) für das Vakuum – genauer gesagt ist Ψ0(φ) die Wahrscheinlichkeitsamplitude für die Feldkonfiguration φ . In der ersten Zeile stehen Normierungsfaktor und Gaußkurve voneinander getrennt; um zur zweiten zu kommen wurde wohl das Integral im Exponenten in ein unendliches Produkt zerlegt (im Buch steht das kommentarlos, ist aber die einzige Erklärung, die in meinen Augen Sinn ergibt, auch wenn das mathematisch ein bisschen komisch ist, weil das dk unter den Tisch fällt – darf man das?). Dass das Argument k einmal mit positivem und einmal mit negativem Vorzeichen auftaucht, sorgt dafür, dass der Exponent eine reelle Zahl ist (die Fourier-Transformierte einer ungeraden Funktion ist ja rein imaginär).
Letztlich sieht man aber an der letzten Zeile das entscheidende Ergebnis: Die Wellenfunktion ist ein Produkt aus lauter harmonischen-Oszillator-Grundzustands-Wellenfunktionen, in die man statt des Ortsargument x die Fourierkomponente φ(k) einsetzt. (Gaußkurven der Form exp(-x2/α) Die Rechnung, die dahin führt, ist ziemlich länglich und ich habe sie nicht in allen Details nachvollzogen – mir ging es ja mehr ums Ergebnis. Im Buch von Srednicki,
in dem man die Formel auch (kommentarlos) findet, wird die Herleitung übrigens dem Leser als Übungsaufgabe 8.8 überlassen – so etwas hätte mich als Studi maßlos frustriert. (Wie ich ja überhaupt Bücher mit Übungsaufgaben ohne angegebene Lösungen total daneben finde.)
Und damit können wir jetzt auch halbwegs anschaulich verstehen, wie der Vakuumzustand aussieht: Im Vakuumzustand haben wir sozusagen eine doppelte Überlagerung: Zu jeder Wellenlänge haben wir eine quantenmechanische Überlagerung aller zugehörigen Amplituden φ(k) mit einer Wahrscheinlichkeitsamplitudenverteilung, die um Null zentriert ist, die aber auch Werte ungleich Null zulässt. Je größer die Energie der Welle, desto enger ist die Verteilung, desto unwahrscheinlicher sind also große Beiträge dieser Welle. All diese Überlagerungszustände werden dann zum gesamten Vakuumzustand zusammengefügt. (Mathematisch werden die einzelnen “Wellenfunktionen” für jede Wellenlänge miteinander multipliziert.)
Betrachten wir umgekehrt das Feld an einem Ort, dann haben wir auch dort für den Feldwert eine Wahrscheinlichkeitsamplitude für Werte ungleich Null.1 Felder an benachbarten Raumpunkten sind aber korreliert – das haben wir letztes Mal beim Zwei-Punkt-Universum gesehen, aber es wird jetzt auch deutlich dadurch, dass ja die Wellen mit niedriger Energie, die besonders stark zum Vakuumzustand beitragen, eine große Wellenlänge haben und entsprechend an benachbarten Raumzeitpunkten nahezu denselben Wert besitzen.
1Ganz streng genommen sogar eine unendlich breite, wenn man wirklich einen einzelnen Punkt betrachtet – das ist aber letztlich unphysikalisch, weil man real immer über einen kleinen Raumbereich mittelt.
Das Vakuum ist also ein komplizierter, aber faszinierender Zustand, und mit ein bisschen Mühe kann man aber durchaus ein bisschen Intuition gewinnen, wie er funktioniert. (Falls euch das beim ersten Lesen nicht gleich gelingt, lasst euch nicht frustrieren – ich habe insgesamt etwa zwei Monate lang immer wieder drüber nachgedacht (und bin manchmal sogar nachts deswegen aufgewacht, weil irgendwelche Prozessoren im Hinterkopf pausenlos mit der QFT beschäftigt waren), bis ich diesen Teil der Serie so schreiben konnte. Ich hoffe, ich habe es so aufbereitet, dass ihr es etwas leichter habt.)
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