Genauer gesagt ist es das Vektorpotential (bzw. die betrachtete transversale Komponente) die die Klein-Gordon-Gleichung erfüllt.
Da aber das elektrische Feld die zeitliche Ableitung des Vektorpotentials ist und da die zeitliche Variation hier ja sinusförmig ist, kann man das, was man für’s Vektorpotential aus der Klein-Gordon-Gleichung ableitet, relativ einfach auf das elektrische Feld übertragen.
Eine elektromagnetische Welle veranschaulicht man sich ja gern so:
By SuperManu – Self, based on Image:Onde electromagnetique.png, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2107870
Man könnte jetzt denken, dass ein einzelnes Photon eine Anregung des Photonenfeldes ist, die ich auch in dieser Weise darstellen kann, aber so ist es nicht. Das Photon ist eine Überlagerung solcher Wellen bei der Feldvektoren, die sowohl nach oben als auch nach unten zeigen, gleichermaßen beitragen. Messe ich das elektrische Feld eines einzelnen Photons, dann kann ich natürlich einen bestimmten Wert des Feldes messen, der von Null verschieden ist, aber gemittelt über sehr viele Photonen ist der Erwartungswert für das Feld Null.
Grafisch kann man das vielleicht etwa so darstellen:
Hier habe ich das elektrische Feld als Überlagerung dargestellt, mit Feldwerten, die in beide Richtungen zeigen. Die Farbe zeigt die Wahrscheinlichkeit (Quadrat der Wahrscheinlichkeitsamplitude) an – bei Null ist sie schwach, ebenso bei großen Werten der Feldamplitude. Bei einem mittleren Wert der Feldamplitude habe ich jeweils ein Maximum der Wahrscheinlichkeit im positiven und negativen Bereich (Pfeile nach oben oder unten), das genau dem Maximum bzw. Minimum der Wellenfunktion entspricht. (Kleiner Warnhinweis: Das Bild ist nur qualitativ korrekt, ich habe die Farbe nicht exakt mit der Wahrscheinlichkeit berechnet, sondern so eingestellt, dass man das Prinzip gut erkennt.)
An dieser Darstellung erkennt man, dass ein einzelnes Photon überraschenderweise keinen definierten Wert des elektrischen Feldes hat.
Wie kann das sein? Wenn ich zum Beispiel Licht auf eine Linse aus Glas einstrahle, dann werden doch die Atome des Glases durch das elektrische Feld zum Schwingen angeregt. Woher weiß denn nun das einzelne Atom, ob es nach oben oder unten schwingen soll, wenn ein einzelnes Photon vorbeikommt?
Weiß es gar nicht – muss es auch nicht. Das einzelne Photon kommt an und ist in einem Überlagerungszustand aus unterschiedlichen Werten für φ(k1). Zeigt der elektrische Feldvektor in die eine Richtung, wird das Atom in einer Weise angeregt, zeigt er in die andere Richtung, wird das Atom in die andere Richtung angeregt. Es bildet sich ein verschränkter Zustand aus Photon und Atom. Das Atom sendet dann seinerseits eine “elektromagnetische Welle” aus, verändert also das Photonen-Quantenfeld. Die Verschränkung bleibt jetzt erhalten – aber in jedem Fall interferiert das eingestrahlte Photon mit dem Quantenfeld so, dass das Photon abgelenkt wird, und zwar in beiden Fällen in dieselbe Richtung.
Achtung! Dieses Argument hier im Warnbereich habe ich in keinem Buch gefunden, sondern mir selbst zusammengebastelt. Wie üblich übernehme ich keine Garantie, dass ihr nicht durch die Physikprüfung fallt, wenn ihr das jemandem erzählt, auch wenn ich ziemlich sicher bin, dass es korrekt ist (sonst könnte man einzelne Photonen nicht definiert mit Linsen ablenken).
Der Erwartungswert für das Feld φ (wir betrachten jetzt wieder unser einfaches Quantenfeld, keine Photonen mehr) ist zwar gleich Null, aber den Wert Null selbst werden wir in keinem Experiment jemals messen, denn hier hat die Funktion für die Wahrscheinlichkeitsamplitude ja einen Nulldurchgang. Das ist aber nicht immer so, wenn man Teilchenanregungen des Feldes betrachtet. Haben wir zwei Teilchen mit Impuls k1, dann müssen wir entsprechend die zweite angeregte Wellenfunktion des harmonischen Oszillators verwenden:
Basierend auf einem Bild von AllenMcC. – File:HarmOsziFunktionen.jpg, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=11623546
Hier ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, φ(k1)=0 zu messen, nicht mehr gleich Null. Generell ist es so, dass bei einer ungeraden Teilchenzahl φ(k1) niemals gleich Null ist (die Wahrscheinlichkeitsamplitude verschwindet bei φ(k1)=0), bei einer geraden Teilchenzahl kann man jedoch einen Wert von Null messen, Anschaulich kann man sich das vermutlich so vorstellen, dass bei einer geraden Teilchenzahl die einzelnen Teilchen passend destruktiv miteinander interferieren können, bei einer ungeraden Teilchenzahl geht das aber nicht. (Wieder ein Argument, das in keinem Buch steht, aber für mich vernünftig aussieht.)
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