Wir können – weil’s so schick ist – auch diese Funktion in unser dreidimensionales Diagramm eintragen:
Diesen Zustand können wir entsprechend schreiben als |2 k1⟩. Auch das können wir wieder auf das elektrische Feld von geeignet polarisierten Photonen übertragen. Zwei Photonen können wir uns demnach so veranschaulichen:
Hier haben wir jetzt drei Maxima für die Wahrscheinlichkeit: Eins bei Null und jeweils eins im positiven und negativen Bereich.
Anregungen mit mehr als zwei Teilchen (|3 k1⟩, |4 k1⟩ usw.) zeige ich euch jetzt nicht – das Schema ist immer dasselbe: Sucht einfach die passende Wellenfunktion des harmonischen Oszillators und baut sie in das Diagramm ein.
Viel interessanter ist eine andere Frage: Wie funktioniert eigentlich Laser-Licht? Wenn – wie oben erläutert – der Erwartungswert des elektrischen Feldes für eine beliebige Anzahl von Photonen immer verschwindet, wie kann man dann kohärentes Laserlicht erzeugen? Laserlicht hat eine genau definierte Ausrichtung des elektrischen Feldes, also einen (ziemlich genau) bestimmten Feldwert – für Laserlicht ist diese Darstellung
By SuperManu – Self, based on Image:Onde electromagnetique.png, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2107870
eigentlich eine sehr gute Beschreibung. Da Laserlicht aber ja aus Photonen besteht, muss der Zustand unseres Quantenfelds zu dieser Zeichnung passen – eine unscharfe Überlagerung wie bei unserem Photonenbild ist nicht möglich.
Übertragen auf unsere Schreibweise mit φ heißt das, dass im Laserlicht φ(k1) einen bestimmten Wert annimmt und eben keine Verteilung hat, die bei positiven und negativen Werten denselben Wert hat.
Wie soll das gehen?
Falls ihr selbst knobeln wollt, schaut euch noch mal den Text über den harmonischen Oszillator an, da haben wir etwas ganz ähnliches gesehen.
Als Spoiler Space hier ein Bild von Roy Glauber, der sich über dieses Problem Anfang der 60er Jahre Gedanken gemacht hat und für die Lösung (naja, ein bisschen mehr hat er schon noch getan) einen Nobelpreis bekommen hat – Ihr habt jetzt also die einmalige Gelegenheit, beim Bloglesen mal eben schnell eine nobelpreiswürdige Entdeckung zu machen.
Falls ihr es noch nicht herausbekommen habt, hier das entscheidende Bild:
Beim harmonischen Oszillator hatten die Zustände mit definierter Energie ebenfalls eine symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung (die Wellenfunktionen waren zum Teil asymmetrisch, aber für die Wahrscheinlichkeit werden die ja quadriert), und zwar im Ort. Um ein an einem Ort lokalisiertes Wellenpaket zu bekommen, haben wir verschiedene Energiezustände überlagert.
Dasselbe müssen wir jetzt hier auch tun, ihr braucht nur die Übersetzungstabelle von der Quantenmechanik zur QFT zu verwenden: Um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zu bekommen, die bei einem bestimmten Wert von φ(k1) zentriert ist, müssen wir unterschiedliche Zustände überlagern. Hier in der QFT sind das jetzt Zustände mit unterschiedlich vielen Teilchen. Wir müssen also einen Zustand bauen, der eine Überlagerung von Zuständen mit unterschiedlich vielen Teilchen mit Impuls k1 ist:
(Wenn ihr den Nobelpreis wollt, müsst ihr natürlich – unter anderem – auch die Werte für die a’s ausrechnen – ist allerdings auch nicht schrecklich schwer.
So etwa sieht dieser Zustand in der 3D-Darstellung aus:
(Anders als bei den anderen Bildern war ich hier etwas schlampig mit der Normierung – die Höhe des Wellenpakets habe ich nicht exakt nachgerechnet, sondern nur geschätzt.)
Was bedeutet das? Es bedeutet anschaulich, dass der Zustand eines Laserstrahls (man nennt das einen kohärenten Zustand) eine Überlagerung aus unterschiedlichen Zuständen mit unterschiedlicher Teilchenzahl ist. Mit anderen Worten: Die Zahl der Photonen in einem Laserstrahl (und damit auch seine Energie) ist nicht wohldefiniert, sondern wir haben eine quantenmechanische Überlagerung. Wenn ihr also zählt, wie viele Photonen in eurem Laserstrahl sind, dann macht ihr dabei den Laserzustand leider kaputt. Wenn ich es richtig sehe, ist so etwas experimentell in dieser Arbeit gemacht worden.
Wie wir gesehen haben, können wir also für unseren Wert k1 beliebige Überlagerungen der Wellenfunktionen des harmonischen Oszillators zusammenbauen, so wie den kohärenten Zustand. Bisher haben wir aber immer nur eine einzige Wellenzahl k1 betrachtet. Auch das ist natürlich nicht unbedingt notwendig. Man könnte also zum Beispiel auch solche Zustände hier bekommen:
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