Hier habe ich jetzt wieder beim Wert k1 die Ein-Teilchen-Wellenfunktion eingebaut wie oben, aber bei den benachbarten k-Werten habe ich eine Überlagerung von solchen Ein-Teilchen-Wellenfunktionen und dem Grundzustand, so dass der Übergang einigermaßen glatt ist.
Insgesamt können wir bei jedem k-Wert Beiträge von allen möglichen Wellenfunktionen zu unterschiedlicher Teilchenzahl bekommen. In Formeln sieht das ziemlich gruselig aus:
Man überlagert also für jeden k-Wert alle möglichen Teilchenzahlen mit bestimmten Amplituden (aber am Ende alles sauber normieren, damit die Gesamtwahrscheinlichkeit Eins ergibt.).
Man kann es auch – etwas korrekter und kürzer – als Integral schreiben:
Der Zustand eines Quantenfeldes ist also immer noch eine doppelte Überlagerung: Es werden Wellenfunktionen zu jedem k-Wert überlagert, wobei jede dieser Wellenfunktionen ihrerseits eine Überlagerung von einfachen Zuständen ist. (Entweder – wie hier – Zustände mit definierter Teilchenzahl, oder aber, was auch geht, Zustände mit unterschiedlichem Wert von φ(k).)
Anschaulicher finde ich es allerdings, sich einfach die 3D-Bildchen zu nehmen und sich vorzustellen, wie das Ergebnis des ganzen aussieht, so wie ich es hier für ein paar Beispiele gezeigt habe.
Und diese komplizierte mehrfache Überlagerung von allen denkbaren Teilchenzuständen zu allen möglichen k-Werten kann jetzt jeden beliebigen Zustand unseres Quantenfelds beschreiben.
Zum Abschluss allerdings noch ein Wort der Warnung: In genau dieser Form gilt das hier nur für Teilchen, die keine Ladung tragen. Quantenfelder von Teilchen mit einer Ladung (sei es eine elektrische oder auch eine “schwache” Ladung wie bei einem Neutrino) können nicht in einem Überlagerungszustand mit unterschiedlicher Teilchenzahl existieren – das wäre auch problematisch wegen der Ladungserhaltung. Hier müssen Überlagerungen immer so sein, dass die Zahl der Teilchen festgelegt ist.
Expertenhinweis: Das impliziert auch, dass man niemals die Phase eines geladenen Teilchens messen kann – das ist die globale Eichsymmetrie, wenn ich mich nicht irre.
Zusätzlich habe ich hier alles – wie immer – für ein Teilchen ohne Spin erklärt. Einiges lässt sich, wie wir gesehen haben, auf Photonen übertragen, aber mit Photonen oder Elektronen, die ja auch einen Spin tragen, kommen hier noch ein paar Komplikationen hinzu. Am allgemeinen Prinzip des Zustands als komplizierter Überlagerung allerdings ändert sich nichts mehr. Insofern ist der Titel dieses Textes nur geringfügig übertrieben.
Auch hier gibt es übrigens wieder eine didaktische Katastrophe zu vermelden: Die meisten QFT-Bücher beschränken sich vollständig auf einfache Zustände der Art |1k⟩, |2k⟩, |3k⟩. Überlagerungszustände und ähnliches werden nahezu nie erwähnt, weil man mit ihnen nicht rechnen kann. Das macht es auch so schwer, eine Intuition zu bekommen, wie Quantenfelder funktionieren. (Rühmliche Ausnahme ist auch hier Bob Klauber.)
Und ja, ich geb’s zu: Die letzten Teile dieser Serie waren schon ziemlich heftig, und ob das “für alle” im Titel berechtigt ist, darf vermutlich bezweifelt werden. Anders als bei den anderen Teilen gab es hier allerdings auch keinerlei Hilfestellung durch irgendwelche Lehrbücher (von den Rechnungen bei Hatfield abgesehen), und ich habe versucht, euch auch ein bisschen teilhaben zu lassen, wie ich selbst mir mein Verständnis zusammengereimt habe. Trotzdem seid ihr natürlich – wie immer – eingeladen, in den Kommentaren zu nörgeln, wo etwas unklar oder sonst wie schlecht verständlich ist.
Kommentare (88)