In dieser kleinen Serie schaue ich mir das so ziemlich simpelste physikalische Phänomen an, das es gibt: Ein Teilchen (z.B. ein Elektron) fliegt von A nach B. Oder, genauer gesagt, es wird zu einer Zeit am Ort A beobachtet und zu einer späteren Zeit am Ort B (jeweils durch irgendeinen Detektor, über dessen Funktion ich mir keine weiteren Gedanken mache – erstens bin ich Theoretiker und zweitens würde das die Sache nur unnötig komplizieren).

Im ersten Teil habe ich die Sichtweise der klassischen Physik und die der Relativitätstheorie erklärt – das Teilchen hat jeweils eine wohldefinierte Bahn und wenn wir wissen, dass es zwischen A und B kräftefrei ist, dann können wir genau ausrechnen, wo es in der Zwischenzeit war. Zusätzlich habe ich noch zwei andere Sichtweisen der Dinge ins Spiel gebracht, nämlich das Prinzip der kleinsten Wirkung und das der maximalen Eigenzeit.

Das Prinzip der kleinsten Wirkung wird uns nachher im nächsten Teil (jaja, der Artikel ist wie üblich länger als erwartet) in erweiterter Form wieder begegnen, aber erst einmal schauen wir uns an, wie sich das Verhalten des Teilchens beschreiben lässt, wenn wir die Sichtweise der Quantenmechanik in ihrer üblichen Form verwenden.

 Wahrscheinlichkeiten

Während wir in der klassischen Physik wissen, was unser Teilchen zwischen den beiden Beobachtungen bei A und B gemacht hat, können wir in der Quantenmechanik (kurz QM) für die meisten Ereignisse nur Wahrscheinlichkeiten angeben. Ein Teilchen, das wir nicht beobachten, hat eine Wahrscheinlichkeit, an diesem oder jenem Ort zu sein. Erst wenn wir seinen Ort – beispielsweise mit unserem Detektor – messen, dann wissen wir sicher, wo es jetzt gerade ist.

Wenn wir also um 12:00:00Uhr das Teilchen im Detektor A gemessen haben, dann wissen wir sicher, dass es zu diesem Zeitpunkt nirgendwo anders gewesen sein kann. (Auch in der Quantenmechanik kann ein Teilchen nicht an zwei Orten gleichzeitig gefunden werden, wenn man es tatsächlich beobachtet. Was es tut, wenn man es nicht beobachtet, ist eine andere Sache…) Wir können das so veranschaulichen

raumzeitqm1

Die Linie zeigt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit dafür an, dass das Elektron irgendwo ist; da es im Detektor A ist, ist die Wahrscheinlichkeit außerhalb des Detektors gleich Null. Innerhalb des Detektors, der ja nicht unendlich klein sein kann,ist es irgendwo, deshalb habe ich dort der Einfachheit halber die Wahrscheinlichkeit überall gleich groß gemacht. (Und wenn man mathematisch pingelig sein will, dann muss man hier von einer Wahrcheinlichkeitsdichte sprechen, damit das Integral darüber gleich 1 ist und man muss – bei einem unendlich genau messenden Detektor – jetzt hier eine delta-Distribution benutzen und lauter so Zeug, aber für “mathematisch pingelig” war ich noch nie bekannt…)

Die Darstellung ist vielleicht etwas gewöhnungsbedürftig, weil die senkrechte Achse eine Doppelfunktion hat: Sie gibt die Zeit an, zu der die Aufenthaltswahrscheinlichkeit angeguckt wird und in der blauen Kurve gibt sie die Wahrscheinlichkeit an.

Mathematisch ist es etwas einfacher, wenn man annimmt, dass der Detektor keine ganz festen Wände hat, sondern dass die Wahrscheinlichkeit, das Elektron irgendwo zu finden, genau am Ort des Detektors am größten ist und dann nach Außen abfällt. Das sieht dann etwa so aus:

raumzeitqm2

 

Das ändert nicht wirklich viel, macht aber die Darstellung etwas einheitlicher.

Diese Aufenthaltswahrscheinlichkeit ändert sich jetzt mit der Zeit. Sie “zerläuft” nämlich, wird also immer breiter. Das kann man etwa so veranschaulichen:

raumzeitqm3

Ich war hier beim zeichnen etwas schlampig, weil die Fläche unter der Kurve immer die gleiche sein müsste, denn die Fläche entspricht der Gesamtwahrscheinlichkeit, das Teilchen zu finden – dann hätte man aber nix mehr erkannt.

Wie schnell die Wahrscheinlichkeitsverteilung zerläuft, hängt (unter anderem, dazu später mehr) davon ab, wie genau wir das Teilchen vorher festgenagelt haben. (Das ist ein Beispiel für die berühmte Unschärferelation: Wenn man den Ort des Teilchens sehr genau kennt, dann weiß man nicht sehr viel über seine Geschwindigkeit, es kann also bereits nach kurzer Zeit sehr weit weg vom Ursprungsort gefunden werden.) Man kann das, wenn man will, auch berechnen, dafür gibt es die Schrödinger-Gleichung, so ziemlich die wichtigste Gleichung in der Quantenmechanik. Wenn ihr auf den Artikelserien-Link klickt, dann findet ihr dort eine sehr lange ausführliche Erklärung der Gleichung, die brauchen wir heute aber nicht. Für unsere Zwecke reicht es völlig zu wissen, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung zerläuft.

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Kommentare (27)

  1. #1 volker
    Waakirchen
    21. Dezember 2013

    @Martin
    Danke, endlich wieder QM. Das war ein kleines Weihnachtsgeschenk. Dir auch möglichst ruhendeTage, wo auch immer sich Deine hoffentlich nicht zunehmende Masse befinden mag.

  2. #2 MartinB
    21. Dezember 2013

    @volker
    Da ich jetzt Ferien habe, stehen die Chancen gut, dass auch der nächste teil (mehr QM!) bald geschrieben wird.

    Und meine Masse ist zum Glück seit 15 Jahren ziemlich konstant, insofern mache ich mir keine Sorgen, auch wenn an den Feiertagen wieder geschlemmt wird.

  3. #3 felix
    Neubiberg
    22. Dezember 2013

    Ist m in h/2m denn die Ruhemasse? Wenn nicht dann könnte man schnelle Teilchen ja besser messen …

  4. #4 MartinB
    22. Dezember 2013

    @felix
    Das ist hier nicht-relativistische QM, deswegen gibt es den Unterschied zwischen Ruhemasse und “effektiver” Masse nicht. Das m kommt ja durch die Annahme P=mv ins Spiel, die gilt relativistisch nicht, dort kann man das v nicht ganz so einfach extrahieren.

  5. #5 felix
    Neubiberg
    22. Dezember 2013

    Danke, logisch.

    “Das ist hier nicht-relativistische QM”
    Vielleicht verstehe ich den Satz falsch, aber heisst das es gibt auch eine relativistische QM? Ich dachte die beiden waeren noch nicht vereint/vereinbar.

  6. #6 Matthias Maye
    22. Dezember 2013

    @felix
    es gibt relativistische QM-Gleichungen wie z.B. die Dirac-Gleichung für fermionen oder die Glein-Gordon-Gl. für spinlose Teilchen. Relativistisch heißt hier sie sind Lorenzinvariant; im Klartext: sie genügen den Forderungen der speziellen Relativitätstheorie (im Gegensatz zur Schrödinger/Pauli-Gl.). Das ändert aber nichts daran, dass es keine QM-Beschreibung der Gravitation gibt.

  7. #7 Matthias Maye
    22. Dezember 2013

    Oh und ich möchte noch anmerken wie sehr ich diesen Blog liebe, nachdem ich ihn neu entdeckt habe. In der letzten Zeit hatte ich nur mit Biophysik zu tun, die Artikel wecken gerade wieder mein Interesse für Teilchenphysik´:)

  8. #8 MartinB
    22. Dezember 2013

    @felix
    Nicht vereinbar sind die QM und die Allgemeine Relativitätstheorie – genauer gesagt: Niemand weiß, wie man die Raumzeitkrümmung quantenmechanisch behandeln soll. Die QM und die spezielle RT sind prima miteinander zu vereinbaren, die von Matthias genannten Gleichungen tun das. Allerdings kann man das volkommen konsistent nur im Rahmen der sogenannten Quantenfeldtheorie tun (das liegt letztlich daran, dass man bei hohen Energien dank E=mc² neue Teilchen erzeugen kann) – dazu gibt es rechts bei Artikelserien eine Endlos-Serie (die seit über einem Jahr auf Eis liegt, aber wer weiß…)

    Soweit ich es sehe, dürfte die heisenbergsche Unschärfe auch in der relativistischen QM noch gelten, aber da ist dann eben nicht mehr p=mv.

  9. #9 Niels
    22. Dezember 2013

    @MartinB

    Soweit ich es sehe, dürfte die heisenbergsche Unschärfe auch in der relativistischen QM noch gelten

    Na klar?
    Bei der Herleitung der verallgemeinerten Unschärferelation (Robertson-Schrödinger-Relation) spielt das schließlich keine Rolle.
    https://en.wikipedia.org/wiki/Uncertainty_principle#Robertson.E2.80.93Schr.C3.B6dinger_uncertainty_relations

    Die einzusetzenden Operatoren sind dann natürlich unterschiedlich, weil auch in den jeweiligen kanonischen Vertauschungsrelationen andere Operatoren stehen.

  10. #10 MartinB
    23. Dezember 2013

    @Niels
    Dass das prinzipiell so ist, war mir schon klar – aber eine detaillierte Diskussion für die Orts-Impuls-Unschärfe habe ich in der relativistischen QM/QFT meiner Erinnerung nach nie gesehen (vermutlich, weil man da fast immer mit ebenen Wellen operiert – vielleicht steht was im Buch von Klauber, der hat nen Abschnitt über Wellenpakete in der QFT).

  11. #11 MisterKnister
    27. Dezember 2013

    Relativistische QM ist QFT ! Holy Grail

  12. #12 MartinB
    28. Dezember 2013

    @MisterKnister
    Ja, das ist so. Es gibt natürlich Zwischenstufen, z.B. die Diracgleichung in der ursprünglichen Interpretation von Dirac, aber die sind letztlich alle probematisch (Lösungen mit negativer Energie etc.)

  13. #13 Niels
    1. Januar 2014

    @MartinB
    Eine detaillierte Diskussion für die Orts-Impuls-Unschärfe wird doch wahrscheinlich vor allem deswegen nicht gemacht, weil hier konzeptionell überhaupt nicht Neues dazu kommt, oder?
    (Jedenfalls soweit ich das sehe. Ich lerne bei der QFT zwar langsam dazu, aber du kennst dich da mit Sicherheit ganz erheblich besser aus.)

  14. #14 MartinB
    1. Januar 2014

    @Niels
    Das stimmt schon, aber ich finde es trotzdem didaktisch unklug, dass fast alle QFT-Bücher immer nur ebene-Wellen-Zustände behandeln (Ausnahme das von Klauber). Auch wenn das prinzipiell genau analog zur normalen QM geht, wäre das in meinen Augen schon ein paar Worte wert.

  15. #15 Niels
    3. Januar 2014

    @MartinB
    Klar sollte man das erwähnen. Es ist schon erstaunlich, dass manche Dinge nicht einmal eines Nebensatzes würdig sind, über die man sich aber wochenlang den Kopf zerbrechen kann.

    QFT-Bücher kommen mir übrigens generell alle didaktisch ziemlich schwach vor. Dummerweise sind die deutschen Texte besonder schwach.
    Bei der ART hatte ich diese Probleme nicht. Liegt aber vielleicht daran, dass man dort schon ein paar Jahrzehnte mehr hatte. Oder da war ich noch jünger und aufnahmefähiger. 😉

    Bisher habe ich nur eine rühmliche Ausnahme gefunden, nämlich “Quantum Field Theory in a Nutshell” von Zee. Aber sonst sieht es ziemlich finster aus.
    Gibts eigentlich so etwas wie den MTW für die QFT?

  16. #16 MartinB
    3. Januar 2014

    @Niels
    Ja, der Zee ist auch mein (Zweit-)Lieblingsbuch, war ja auch in weiten teilen die Grundlage für meine QFT-Serie (ob ich mal irgendwann dazu komme, an der weiterzuschreiben???) zusammen mit dem von Klauber (das kann ich echt empfehlen, auf der klauberschen Internetseite kann man auch die ersten Kapitel probelesen).

    Aber so ein richtig genial gutes Buch wie den MTW gibt es meines Wissens nicht.

  17. #17 MisterX
    10. Januar 2014

    Es gibt üprigens auch das Buch Quantum Field Theory Demystified, soll eine ziemlich gute Einführung sein mit vielen durchgerechneten Beispielen.

  18. #18 MisterX
    10. Januar 2014

    Gleiche Bücher gibts auch für ART, QM und String Theorie

  19. #19 MartinB
    11. Januar 2014

    @MisterX
    Danke für den Tipp, das sieht interessant aus, auch das zur Stringtheorie; sollte ich mir vielleich tmal besorgen, dann verstehe ich vielleicht endlich, was Stringtheorie eigentlich ist…

  20. #20 David
    Hannover
    4. Mai 2014

    Hallo Martin,
    Der Artikel finde ich sehr interessant. Dennoch wollte ich Dir zwei Sachen mitteilen:
    1) Der Link:
    Ein Teilchen fliegt von A nach B… Teil 1: klassische Physik und Relativitätstheorie und der Link:
    Ein Teilchen fliegt von A nach B… Teil 2: Quantenmechanik
    führen zu derselben Webseite. Könntest du die Verlinkung richtig zuordnen? Ich freue mich drauf, den ersten Artikel zu lesen.

    2) Bezüglich des Abstandes in der Abb. https://scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/files/2013/12/raumzeitqm4.png
    wurde die Lichtgeschwindigkeit angenommen (um die Entfernung A-B zu überbrücken) oder gilt das auch wenn der Detektor A auf der Erde und Detektor B bei dem Andromedanebel sind?

    Danke nochmal!
    Schönen Sonntag noch

  21. #21 MartinB
    4. Mai 2014

    1) Hier der richtige Link
    https://scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2013/12/08/ein-teilchen-fliegt-von-a-nach-b-teil-1-klassische-physik-und-relativitaetstheorie/

    2) Nein, das funktioniert immer so, wenn man ein anfänglich lokalisiertes teilchen hat. Mit einem Photon wäre es ein bisschen problematisch, weil man Photonen nicht so leicht lokalisieren kann.

  22. #22 David
    Hannover
    5. Mai 2014

    Danke.
    Dennoch solltest du den Link auch in dieser Webseite richtig verlinken:
    https://scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/artikelserien/
    Da sonst kommt man nicht rein.
    Gruß!

  23. #23 Johann Prell
    3. Oktober 2017

    Wie ist zu erklären, daß es sich bei dem am Ort B gemessenen Elektron um das Elektron handelt, das später am Ort A gemessen wurde, wenn dafür nur eine bestimmte Wahrscheinlichkeit besteht. Im voraus Danke für eine entsprechende Antwort.

    Viele Grüße

  24. #24 Johann Prell
    Kirchdorf
    3. Oktober 2017

    Korrektur: Statt “später” früher.

  25. #25 MartinB
    4. Oktober 2017

    @Johann
    Wenn das Teilchen gemessen wurde, dann wurde es gemessen. (Wobei wir natürlich annehmen, dass keine anderen Elektronen Ärger machen.) Das ist eben gerade die Essenz der QM: Vorhersagen kann man im Allgemeinen nur Wahrscheinlichkeiten, aber wie immer bei Wahrscheinlichkeiten: Wenn’s passiert ist, ist es passiert. Ist im Alltag nicht anders: Die Wahrscheinlichkeit, ne 6 zu würfeln, ist 1/6, aber wenn ich die 6 gewürfelt habe, dann ist es so.

  26. #26 Johann Prell
    4. Oktober 2017

    Danke für diese schnelle Antwort. Das habe ich schon verstanden. Mir geht es jedoch eher um die Beantwortung folgender Frage: Woher weiß ich, daß das später bei B gemessene Elektron das vorher bei A gemessene Elektron ist.

  27. #27 MartinB
    4. Oktober 2017

    @Johann
    Das musst du durch den Versuchsaufbau sicherstellen, also z.B. nach Außen hinreichend gut abschirmen, damit keine anderen Elektronen dir in die Suppe spucken.
    Bei einer einzelnen Messung kannst du es nie zu 100% sicher wissen, weil eine beliebig geringe Wahrscheinlichkeit für ein Störelektron immer existiert (das könnte ja per Tunneleffekt durch deine Abschirmung kommen).