Mathematisch kann man so ein Paket als Summe aus lauter einzelnen Wellen schreiben (genauer gesagt, als Integral) – man muss Wellen mit unterschiedlichen Wellenlängen addieren, um so ein Paket herauszubekommen. (Relativ kurz habe ich das auch hier schon mal erklärt.) Wenn ihr euch das Wellenpaket genau anseht, seht ihr, dass es nicht ganz einfach ist, die Wellenlänge genau zu messen – wenn ihr den Abstand zwischen zwei Wellenbergen messt, stellt ihr fest, dass der nicht immer gleich ist, was daran liegt, dass wir unsere Welle zu den Rändern hin ja immer weiter abflachen. Das Wellenpaket hat also keine eindeutige Wellenlänge (und auch keine eindeutige Frequenz), sondern unterschiedliche Wellenlängen tragen zum Paket bei.
Wenn wir jetzt den Übergang zur Quanten-Beschreibung machen, müssen wir entsprechend die einzelnen Quantenzustände von oben genau so überlagern. Das Ergebnis für unser Wellenpaket sieht dann etwa so aus:
Ein solches Wellenpaket hat wie gesagt keine genau definierte Wellenlänge und Frequenz, wenn aber hinreichend viele Wellenberge im Paket enthalten sind, dann tragen nur Wellen bei, deren Wellenlänge in etwa der “Grundwellenlänge” entspricht. So ein paket hat also zumindest näherungsweise eine Wellenlänge und eine Frequenz, allerdings mit einer gewissen Unschärfe.
Entsprechend ist auch die Energie des Pakets unscharf – sie ist etwa hν, aber eben mit einer gewissen Unsicherheit. (Das muss ja auch so sein, denn Zustände mit genau definierter Energie sind wie gesagt ja stationär, ein solcher Zustand könnte nicht als Wellenpaket von Ort zu Ort laufen.)
Wenn ihr euch als Photon also etwas vorstellen wollt, das an einem Ort ausgesandt wird und dann an einem anderen Ort ankommt, dann ist so ein Wellenpaket eine gute Anschauung dafür. Allerdings erkauft ihr euch die Paketnatur damit, dass die Energie nicht mehr ganz genau festgelegt ist, sie ist nicht exakt hν, sondern eben nur näherungsweise. Ein Photon, das mit genau der Energie hν von einem Ort zum andern läuft, lässt sich nicht realisieren.
Auch beim Wellenpaket können wir dasselbe Spiel mit höheren Anregungen spielen – wir können also lauter zwei-Photonen-Zustände überlagern und bekommen dann ein Wellenpaket, das die Ausbreitung von zwei Photonen beschreibt.
6. Kohärente Zustände
Alle Zustände, die wir bisher angeguckt haben, hatten eine besondere Eigenschaft: Die Wahrscheinlichkeit war für positive und negative Amplituden jeweils gleich, das Bild war immer symmetrisch um die horizontale Null-Linie. Das bedeutet, dass das elektrische Feld im Mittel immer gleich Null ist. (Vornehm ausgedrückt: Der Erwartungswert des Feldes verschwindet.) Ist es denn überhaupt möglich, eine Quantenversion unserer klassischen Welle zu bekommen, bei der das Feld (bzw. sein Mittelwert) zwischen positiven und negativen Werten oszilliert?
Ja, das geht. Solche Zustände nennt man kohärente Zustände, und man kann sie konstruieren. Laserlicht beispielsweise ist in einem solchen kohärenten Zustand. Mit kohärenten Zuständen ist es tatsächlich möglich, ein oszillierendes elektrisches Feld zu haben, so wie in unserem klassischen Bild ganz oben.
Um so einen Zustand zu bekommen, braucht man wieder einmal eine Überlagerung. Jetzt müssen wir allerdings Zustände mit unterschiedlicher Anzahl von Photonen in geeigneter Weise überlagern. Wir brauchen also so eine Überlagerung (hier war zuerst ein falsches Bild, danke an Alex für den Hinweis):
Dabei geht die Summe weiter zu immer höheren Zuständen, die aber immer weniger beitragen. Wie groß die Beiträge der einzelnen Zustände sind, hängt davon ab, wie groß ihr die Amplitude haben wollt (ich habe das hier vorsichtshalber nicht ausgerechnet, dabei wird dann auch wichtig, dass man als Vorfaktoren Wahrscheinlichkeitsamplituden hat, die auch negative Werte annehmen können.)
Da die einzelnen Zustände unterschiedlich große Energien haben, ist damit die Energie des kohärenten Zustands nicht genau definiert – wenn ihr die Energie messt, dann zerstört ihr den Zustand. Das kann man experimentell tatsächlich umsetzen und ganz vorsichtig die Zahl der Photonen in einem kohärenten Zustand messen; je mehr Informationen man über die Photonenzahl bekommt, desto stärker wird der kohärente Zustand gestört. Weil das nicht nur cool, sondern auch knifflig ist, gab’s 2012 dafür den Nobelpreis.
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