Da die Dichte gleich der Masse pro Volumen ist, schauen wir erst mal, was aus der Masse wird, wenn man von einem Bezugssystem in ein anderes wechselt. Genauer gesagt, schauen wir nicht auf die Masse, sondern auf die Energie. Warum? Weil nach Einsteins berühmter Gleichung E=mc² Masse und Energie zusammenhängen. Da ich die Gleichung vor noch nicht so langer Zeit sehr detailliert erklärt habe (guckt ihr hier, hier und hier), mache ich das heute nicht nochmal.
Schaut man sich die Energie eines Objekts an (und Masse ist ja äquivalent zur Energie), dann ist die gleich der Ruhemasse des Objekts plus seiner kinetischen Energie. In unterschiedlichen Bezugssystemen hat sie entsprechend einen unterschiedlichen Wert; der Wert ist am kleinsten, wenn wir relativ zum Objekt in Ruhe sind. Das zeigt schon, dass wir nicht einfach den Energiegehalt in unserer Gleichung stehen haben können – denn wenn wir wissen, dass ein Objekt einen Energiegehalt von 1MJ hat, dann können wir daraus nicht ausrechnen, welchen Energiegehalt es in einem anderen Bezugssystem hat, dazu müssen wir auch noch etwas über die Geschwindigkeit des Objekts wissen.
Etwas anderes wäre es, wenn nur die Ruhemasse eines Objekts in das Gravitationsfeld einginge (denn die ist immer dieselbe) – das würde aber zu Problemen führen. Wir könnten uns beispielsweise einen perfekt verspiegelten Behälter vorstellen, in dem ein Elektron und ein Positron stecken. Da beide eine Ruhemasse haben, erzeugen sie auch ein Schwerefeld. Wenn Elektron und Positron sich gegenseitig vernichten, erzeugen sie zwei Photonen. (Damit die im Behälter bleiben, habe ich die Wände verspiegelt.) Da die Photonen keine Ruhemasse haben, würden sie kein Schwerefeld erzeugen. Separieren die beiden wieder in ein Elektron und ein Positron, ist das Schwerefeld wieder da. (Mit etwas Geschick könnte man damit ein Perpetuum Mobile bauen, indem man eine Masse immer passend relativ zum Behälter bewegt.) Wir könnten also Schwerefelder an- und ausknipsen (und nebenbei noch die Energieerhaltung verletzen) – das geht in unserem Universum nicht.
Um den Energiegehalt eines Objekts zu beschreiben, brauchen wir also eine Größe, in die auch die Geschwindigkeit eingeht, den die Energie nimmt ja mit der Geschwindigkeit zu. Eine solche Größe gibt es, nämlich den sogenannten Viererimpuls. Das ist eine Größe mit 4 Komponenten (so wie unser Geschwindigkeitsvektor oben 2 Komponenten hatte). Die nullte Komponente (ja, man fängt da immer bei Null an zu zählen) ist gerade die Energie des Objekts, die anderen drei sind der (relativistische) Impuls, der ja drei Komponenten für die drei Raumrichtungen hat. (In der klassischen Physik ist der Impuls definiert als Masse mal Geschwindigkeit; nimmt man die Ruhemasse, dann kommt in der SRT noch ein Faktor hinzu, das erkläre ich im zweiten Teil der oben zitierten Artikel über die Gleichung E=mc², und dieser Artikel wird eh schon wieder endlos (liest überhaupt noch wer mit? (Irgendwann schreibe ich mal nen Artikel, wo ab der 4. Seite nur noch lorem ipsum kommt…).))
Nebenbemerkung: Dass eben nicht nur die Energiedichte am Ende eingehen muss, sondern auch der Impuls, kann man noch anders begründen: Stellt euch vor, ein kleines Teilchen fliegt mit sehr hoher Geschwindigkeit an euch vorbei. Dann ist sein Energiegehalt sehr hoch, wenn es nur schnell genug ist, müsste es also zu einem Schwarzen Loch werden, weil es eine so hohe (relativistische) Masse hat. Logischerweise kann es aber nicht davon abhängen, wie ich mich zu einem Objekt bewege, ob das Objekt ein Schwarzes Loch ist. Das Problem wird dadurch gelöst, dass eben noch andere Terme in die Einstein-Gleichung eingehen, die der hohen Energiedichte gewissermaßen entgegenwirken.
Also: Der Viererimpuls, die die Energie und den Impuls eines Teilchens beinhaltet, ist die Größe, die einerseits die Energie enthält und andererseits so aufgebaut ist, dass sie sich vernünftig zwischen zwei Bezugssystemen transformiert. Also könnte doch der Viererimpuls auf der rechten Seite unserer Gleichung stehen, oder?
Leider nicht. Denn jetzt kommt die Dichte ins Spiel. Betrachtet einen Haufen Teilchen, die alle relativ zueinander in Ruhe sind. Jedes der Teilchen hat eine Masse, alle zusammen sorgen für eine bestimmte Dichte. Wenn ihr euch jetzt relativ zum Teilchenhaufen bewegt, dann nimmt bei jedem Teilchen die Energie zu – das erfassen wir korrekt über den Viererimpuls. Es passiert aber noch etwas: Laut der SRT gibt es ja die berühmte Lorentz-Kontraktion – bewegte Objekte erscheinen verkürzt. Wenn ihr euch relativ zu dem Teilchenhaufen bewegt, sieht er verkürzt aus. Und wenn die gleiche Anzahl Teilchen in einer Richtung verkürzt ist, dann steigt logischerweise die Dichte (gemeint ist die Energiedichte, um die geht es ja) an.
Die Dichte eines Teilchenhaufens nimmt also gleich aus zwei Gründen zu: zum einen wegen der kinetischen Energie, zum anderen wegen der Längenkontraktion. Um das in eine Form zu bringen, die sich von einem Bezugssystem ins andere sinnvoll übertragen lässt, müssen wir wieder das gleiche Spiel spielen wie eben. (Ich kürze das Argument etwas ab, um es ganz sauber zu machen, müsste ich auch noch die Vierergeschwindigkeit erklären, aber das tue ich vielleicht ein andermal.)
Wir müssen also wieder überlegen, wie sich eine Größe finden lässt, die die (Energie-)dichte als eine Koponente enthält und die sich vernünftig von einem Bezugssystem in ein anderes umrechnen lässt, ohne dass man irgendwas über das Ruhesystem der beteiligten Masse oder so etwas wissen muss. Wieder muss die Energiedichte sich korrekt umrechnen lassen, ebenso auch die anderen Größen (die man als “Impulsdichte” bezeichnen kann). Und tatsächlich funktioniert die Logik praktisch genauso wie vorher. (Falls euch das zu schwammig ist, hinterlasst nen Kommentar, dann schreibe ich dazu vielleicht demnächst noch mehr.)
Das Gebilde, das herauskommt,enthält jetzt die Geschwindigkeit der Materie gleich zweimal, einmal, weil wir von der Energie zum Impuls gewechselt sind, und noch ein zweites mal, damit auch für die Dichte am Ende alles funktioniert. Am Ende kommt dann dieses Gebilde hier heraus (“momentum” ist englisch für Impuls)
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Und genau dieses Ding ist der berühmt-berüchtigte Energie-Impuls-Tensor.
Warum man einige seiner Komponenten als Druck oder Spannung interpretieren kann, erkläre ich jetzt erst mal nicht, das wäre einen eigenen Text wert. Hier ging es mir nur darum, zu erklären, warum man in einer Theorie, die mit der SRT vereinbar sein soll, nicht einfach eine Masse als Ursprung der Schwerkraft stehen haben kann.
PS: Aus Gründen, die ich im Moment nicht näher erläutere, bin ich für Kommentare, in denen ihr sagt, wo es beim Lesen gehakt hat, diesmal besonders dankbar.
PPS: Im Energie-Impuls-Tensor steht der “Impulsstrom” (momentum flux). Falls ihr in der Schule das ausgesprochene Unglück hattet, Physik nach dem “Karlsruher Modell” zu lernen, habt ihr auch eine Größe namens “Impulsstrom” kennengelernt. Die hat allerdings den Nachteil, dass sie unphysikalisch ist: Wie Impuls von wo nach wo strömen, hängt in diesem Modell nämlich vom Bezugssystem ab; ihr könnt zwei identische Objekte mit ner Feder verbinden und ständig strömt Impuls von einem zum anderen. Kurz gesagt: Das Karlsruher Modell taugt nichts. Nachtrag: Die Situation ist anscheinend verworrener, als ich dachte, siehe die Kommentare unten. Ich halte den KPK nach wie vor für verfehlt, aber das Argument mit dem Impulsstrom ist nicht ganz so simpel, wie ich es dargestellt habe
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