In der Allgemeinen Relativitätstheorie (kurz ART) sind Raum und Zeit ja nicht einfach statische Dinge, sondern dynamisch – der Raum kann sich krümmen, längen (beispielsweise bei der Expansion des Alls), stauchen, es können sich Wellen darin ausbreiten und so weiter. Oft wird die Raumkrümmung mit einem Gummituch veranschaulicht (auch wenn das sehr problematisch ist, siehe hier und hier).
Aus dem Alltag wissen wir, dass Materialien wie Gummi sich in gewisser Weise ähnlich verhalten: Auch Gummi kann man längen, stauchen, krümmen, verbiegen, es können sich Wellen darin ausbreiten usw. Kurz gesagt, Gummi ist elastisch. (Warum Gummi elastisch ist, habe ich hier erklärt.) Gelegentlich wird aus dieser Analogie gefolgert, dass auch die Raumzeit elastisch ist, und man findet sogar einen Wert für den sogenannten Elastizitätsmodul, der gigantisch hoch ist. (Ich verlinke die für mich eher dubios aussehenden Seiten dazu nicht…)
Was ist Elastizität?
Bevor man fragt, ob ein Objekt (die Raumzeit) die Eigenschaft X (elastisch sein) hat, sollte man vielleicht erst mal klären, was genau man damit eigentlich meint. Umgangssprachlich bezeichnen wir ja Materialien wie Gummi (die sich stark dehnen lassen) als elastisch, aber auch Stahl oder Titan sind elastisch – deswegen hat beispielsweise euer Auto auch Federn aus Stahl (oder Titan, wenn ihr gewohnheitsmäßig mit nem Formel-I-Boliden Brötchen holen fahrt).
In der Materialwissenschaft ist Elastizität eine Eigenschaft von Materialien, die sich verformen: Wenn ich eine Kraft auf ein Objekt ausübe, dann verformt es sich (beispielsweise könnt ihr an einem Gummiband ziehen oder eine Büroklammer verbiegen). Geht die Verformung wieder zurück, wenn ich die Kraft wegnehme, dann nennt man die Verformung elastisch; bleibt die Verformung, heißt sie plastisch. Ein Gummiband ist elastisch, die Büroklammer ist plastisch, weil sie sich nicht von selbst zurückbiegt. (Außer ihr habt eine spezielle Formgedächtnis-Büroklammer…)
Viele Materialien folgen bei elastischer Belastung dem hookeschen Gesetz: Wenn ihr doppelt so stark zieht, verformen sie sich doppelt so stark. Nehmen wir als Beispiel einen ein Meter langen Metalldraht mit einem Querschnitt von einem Quadratmillimeter. Um den Draht um einen Millimeter (also 0,1%) in die Länge zu ziehen, braucht ihr eine Kraft von etwa 200 Newton, ihr könnt also beispielsweise eine Masse von 20kg dranhängen. Um ihn 2 Millimeter zu längen, braucht ihr 400 Newton usw. (Da seid ihr allerdings im Bereich der Grenze, wo der Draht sich plastisch verformt, je nachdem, was für einen Stahl ihr für den Draht genommen habt.)
Damit man sinnvoll rechnen kann, egal wie lang der Draht ist und egal welchen Querschnitt er hat, redet man in der Materialwissenschaft lieber von Spannungen und Dehnungen statt von Verlängerung und Kraft. Die Spannung ist die Kraft geteilt durch die Fläche des Drahtes – das ist sinnvoll, denn wenn der Draht einen doppelt so großen Querschntt hat, braucht ihr die doppelte Kraft. Die Dehnung ist die Änderung der Länge geteilt durch die Ausgangslänge. Das ist auch sinnvoll, denn wenn sich unser 1-Meter-Draht um 0,1% dehnt, dann dehnt sich auch jedes Teilstück des Drahtes um 0,1%.
Das hookesche Gesetz sagt also: Doppelte Spannung gibt doppelte Dehnung, Spannung und Dehnung sind proportional. Die Größe der Proportionalität ist der sogenannte Elastizitätsmodul, meist E abgekürzt (im Englischen nimmt man meist Y, das ist auch viel klüger, weil E schon für Energie und elektrisches Feld benutzt wird…). In Formeln kann man also sagen:
Spannung = Dehnung mal Elastizitätsmodul.
Vorsichtshalber weise ich nochmal darauf hin, dass das Hookesche Gesetz nicht immer gilt – Gummi beispielsweise folgt dem Gesetz nur für kleine Dehnungen, danach könnt ihr mit einer kleinen Erhöhung der Spannung eine starke Erhöhung der Dehnung bekommen; ein Grund, warum das Aufpusten eines Ballons am Anfang besonders schwierig ist. Bei sehr kleinen Dehnungen gilt es allerdings in allen Materialien.
Elastische Materialien speichern auch Energie – das hat jede schon mal gemerkt, der ein Gummiband schmerzhaft auf die Finger geschnipst hat. Solange das Hookesche Gesetz gilt, ist die Energie gleich dem Produkt aus Spannung und Dehnung geteilt durch 2. (Für andere Materialien müsst ihr die Spannungs-Dehnungs-Kurve aufintegrieren, aber das lassen wir mal heute…)
Dehnungen in der ART
Laut ART ist es ja so, dass sich die Raumzeit verzerrt, wenn Energien vorhanden sind (klickt rechts bei der tag-Wolke oder den Artikelserien für eine Menge Infos zur ART, so viele links kann ich hier gar nicht setzen….).
Die entscheidende Gleichung der ART ist die sogenannte Einsteinsche Feldgleichung oder kurz Einstein-Gleichung. (Ein bisschen ausführlicher habe ich die auch hier erklärt.) Die Einsteingleichung sagt, wie die Krümmung der Raumzeit mit der vorhandenen Materie und Energie zusammenhängt. Sie sieht (nicht erschrecken) in Formeln so aus:
G = 8π G T/c4
Das G auf der linken Seite ist eine Größe, die die Verzerrung der Raumzeit beschreibt. Rechts steht auch ein G, aber nicht fettgedruckt, das ist die Gravitationskonstante (ja, es ist blöd, dass man denselben Buchstaben zweimal hat), dann haben wir c für die Lichtgeschwindigkeit und einen Vorfaktor von 8 π. Außerdem steht da noch T, ein Objekt mit dem schönen Namen “Energie-Impuls-Tensor“. Der enthält unter anderem die Energiedichte, sagt also, wie viel Energie am gerade betrachteten Raumpunkt steckt (nach E=mc^2 enthält er deshalb auch die Massendichte – Massen verzerren also die Raumzeit), er enthält aber auch Informationen über die Bewegung von Materie und er enthält – und darauf kommt es hier an – die Spannung.
Ja, hier ist tatsächlich die mechanische Spannung gemeint. Wenn ihr ein Gummiband in die Länge zieht, dann steht es unter Zugspannung, und das beeinflusst tatsächlich die Raumzeitkrümmung. Bei Gummibändern ist der Effekt natürlich unmessbar winzig, aber bei Neutronensternen zum Beispiel sorgt der Druck im Neutronenstern dafür, dass die Krümmung der Raumzeit stärker ist, als sie es sonst wäre. (Und genau das ist übrigens der Grund, warum es schließlich schwarze Löcher geben muss: Wenn ihr immer mehr Materie anhäuft, dann steigt der Druck im Stern, aber das erhöht die Krümmung der Raumzeit stärker, deshalb steigt der Druck noch weiter, weil die Materie noch stärker ins Zentrum gezogen wird, aber dadurch wird die Raumzeitkrümmung noch stärker, was wieder die Materie noch stärker anzieht, weshalb der Druck noch weiter steigt….. Irgendwann ist deshalb zwangsläufig der Punkt erreicht, wo der Stern kollabieren muss. – Aber ich schweife mal wieder ab.)
Also: Die Spannung in Materie beeinflusst die Krümmung der Raumzeit. Warum? Das ist nicht ganz leicht zu sehen, ich versuche mal, euch eine Idee zu geben; wer die Details nicht wissen will, kann den Rest des Absatzes überspringen, da stecken ein paar Konzepte drin, die ich hier nicht erklärt habe: Spannung ist Kraft pro Fläche. Wenn ein Stück Gummi unter Spannung steht, dann wirken auf seine beiden Endflächen jeweils Kräfte. Nach dem 2. Newtonschen Gesetz ist Kraft gleich Masse mal Beschleunigung ist und Beschleunigung wiederum die Änderung der Geschwindigkeit. Masse mal Geschwindigkeit nennt man auch Impuls, wenn eine Kraft vorliegt, ändert sich also der Impuls. Man kann sich deshalb vorstellen, dass aus dem gedehnte Stück Gummi Impuls hinausfließt durch die beiden Seiten, an denen gezogen wird. (Weil der Impuls jeweils entgegengesetztes Vorzeichen hat, ändert sich der Impuls im Gummistück nicht – es sei denn, jemand schneidet das Gummi durch…) Impuls wiederum hängt nach der speziellen RT mit der Energie zusammen, wenn Energie die Raumzeit krümmt, muss Impuls (also die Bewegung von Energie) das auch tun und dann auch der Impulsstrom, also die Spannung. [Ende des zugegebenermaßen etwas knappen und vermutlich kryptischen Absatzes.]
Die “Elastizität” der Raumzeit
Wir haben also eine Krümmung der Raumzeit, wenn Materie vorhanden ist, und die Krümmung wird stärker, wenn eine Spannung vorliegt. Betrachten wir nur den Raum: Wenn sich der Raum krümmt, bedeutet das, dass sich der Abstand zweier Punkte ändert, er kann beispielsweise größer werden. Wenn er vorher einen Meter betrug, ist er vielleicht einen Millimeter größer geworden. Erinnert euch das an etwas? Richtig: Genau das war unser Beispiel von vorhin mit dem Stahldraht. Man kann also sagen, dass der Raum sich gedehnt hat. Wir haben jetzt also eine Gleichung, wo links eine Dehnung steht (die Änderung des Abstands zweier raumpunkte) und rechts eine Spannung (die Spannung in unserem Material), und solange die Verzerrung der Raumzeit klein genug ist, sind die beiden proportional.
Also ist auch hier die Spannung proportional zur Dehnung, also kann ich genau wie oben einen Elastizitätsmodul (kurz E-Modul) definieren, der diese Proportionalität beinhaltet. Weil man extrem große Spannungen braucht, um die Raumzeit nennenswert zu beeinflussen, ist der E-Modul, den man so berechnet, sehr groß (G/c4 ist eine sehr kleine Zahl). Je nachdem, wie man die Rechnung genau macht, bekommt an also phantastisch große Werte für den Elastizitätsmodul der Raumzeit heraus und kann das dann als beeindruckendes Wissenschaftsfakt in die Welt twittern.
Das ist soweit nett, hat aber einen Haken. Es ist, wie man in der Physik-Fachsprache sagt, Blödsinn. Und zwar absoluter Blödsinn. Und das liegt schlicht und einfach darin, dass wir Äpfel mit Birnen vergleichen, wenn wir die Einstein-Gleichung in dieser Weise verenden. Schauen wir nochmal zurück auf das hookesche Gesetz für Materialien. Es sagt: Die Spannung im Material ist proportional zur Dehnung im Material. Merkt ihr was? Unsere Gleichung, die wir aus der ART bekommen, sagt etwas anderes, sie sagt: Die Spannung in einem Material ist proportional zur Dehnung des Raums. Der Raum selbst steht ja nicht unter Spannung, sondern das Material darin. Dieses Material dehnt sich elastisch (und zwar deutlich stärker als der Raum), diese Dehnung führt zu einer Spannung und diese Spannung wiederum beeinflusst die Dehnung des Raums. Es ist also nicht der Raum, der unter Spannung steht.
Wer aus der ART in dieser Weise einen E-Modul ausrechnet, macht also den beliebten Fehler, den ihr vermutlich alle aus dem Physik-Unterricht kennt: Ein Formelzeichen wird schlicht falsch interpretiert. Nicht alle Spannungen und alle Dehnungen sind gleich, das hookesche Gesetz gilt innerhalb eines Materials, es ergibt keinen Sinn, die Spannung in einem Objekt (Draht oder Gummi) mit der Dehnung in einem anderen (Raumzeit) in Beziehung zu setzen und das Ergebnis E-Modul zu nennen.
Elastische Wellen
In elastischen Medien können sich aber auch Wellen ausbreiten – Stahl leitet beispielsweise Schall, ein Gummituch kann auf- und abschwingen.Dabei ändert sich die Dehnung an jedem Punkt mit der Zeit, die Atome rücken mal enger zusammen, mal sind sie weiter auseinander. Zusätzlich ist in solchen Medien ist die Schallgeschwindigkeit um so größer, je größer der Elastizitätsmodul ist. Gravitationswellen sind ebenfalls Wellen, bei denen sich die Dehnung von Ort zu Ort ändert. Sie breiten sich bekanntlich mit Lichtgeschwindigkeit aus, also folgt, dass der zugehörige Elastizitätsmodul sehr groß ist.
Auch so könnte man für eine “Elastizität” der Raumzeit argumentieren – schaut man aber genauer hin, dann ist auch das ziemlich problematisch. Für eine elastische Welle in einem Medium braucht man nicht nur eine Spannung, die als rücktreibende Kraft wirkt, sondern noch mehr, nämlich die Trägheit des Materials. Wenn ihr das Gummituch zum Schwingen bringt, dann zieht der Elastizitätsmodul das Tuch wieder zurück, aber die Trägheit des Tuchs (also die Masse der Moleküle, aus denen das Gummi besteht) sorgt dafür, dass das nicht sofort passiert, und daraus ergibt sich die Welle. Die Schallgeschwindigkeit in einem elastischen Medium berechnet sich als Wurzel aus dem Quotienten von E-Modul und Dichte.
Wäre eine Gravitationswelle analog, könnte man also eine “Dichte” der Raumzeit definieren. Die hätte allerdings (wegen der extrem hohen Werte des E-Modules, die man mit den oben erwähnten Rechnungen bekommt) gigantisch hohe Werte, die etwa (wenn ich mich nicht verrechnet habe) 10 Billionen mal größer ist als die Dichte von Wasser. Das ergibt wenig Sinn. (Und nein, bitte kommt jetzt nicht auf die Idee, die Nullpunktsenergie des Vakuums aus der Quantenfeldtheorie ins Spiel zu bringen, die ist ja auch keine Energie des Raums und passt von den Zahlenwerten her auch nicht dazu…)
Noch etwas anderes kommt hinzu: In einem Gummituch habe ich – wie oben erklärt – elastische Energie gespeichert. Die breitet sich mit der Welle aus. Eine Gravitationswelle transportiert zwar auch Energie, aber es ist eine der seltsamen Eigenheiten der ART, dass ihr diese Energie nicht lokalisieren könnt. Dafür sorgt das Äquivalenzprinzip, das besagt, dass man an jedem Punkt der Raumzeit immer ein Bezugssystem finden kann, in dem die Raumzeit flach und ungekrümmt aussieht und genau so, wie man es ohne ART erwartet hätte. (Dieses Prinzip ist letztlich der Grund, warum es überhaupt sinnvoll ist, von einer gekrümmten Raumzeit zu reden: Bei einer gekrümmten Oberfläche ist es ja genauso: In einer kleinen Umgebung eines Punkts ist sie flach, so wie die Erde ja auch flach aussieht, wenn man nur kleine Distanzen anguckt. – ich schweife schon wieder ab…)
Entsprechend gibt es immer ein Bezugssystem, bei dem gerade am Punkt X (zu einer Zeit) gar keine Energie gespeichert ist, egal wo ihr diesen punkt hinlegt, auch in einer Gravitationswelle. Die Energie einer solchen Welle lässt sich also nicht lokalisieren, was auch nicht zu einer elastischen Welle passt.
Elastische Wellen haben zusätzlich auch noch die Eigenschaft, dass sie auch longitudinal sein können: Die Welle schwingt in ihrer Ausbreitungsrichtung
Von Christophe Dang Ngoc Chan (cdang) – Eigenes Werk, CC BY-SA 3.0, Link
Eine Gravitationswelle tut das nicht, sie ist immer transversal – die Dehnungen in der Welle sind immer senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Ein weiterer Punkt, der dagegen spricht, Gravitationswellen als analog anzusehen (Bemerkung für ganz Spitzfindige: es sei denn, ihr würdet jetzt noch postulieren, der Raum wäre inkompressibel – aber das passt wieder nicht zum Rest, denn wir wissen, dass Abstände im Raum gedehnt und gestaucht werden können.)
Rückstellende Kräfte
Die Definition einer elastischen Verformung ist ja die, dass die Verformungen wieder verschwinden, wenn man die Last wegnimmt, es gibt also eine rückstellende Kraft. Auch das ist in der Raumzeit nicht so einfach. Zum einen ist es natürlich richtig: Wenn zum Beispiel ein Stern die Raumzeit verformt und sich dann weiterbewegt, dann geht die Verformung der Raumzeit wieder zurück. Für eine Gravitationswelle gilt Ähnliches: Wenn sie vorbeigezogen ist, sieht der Raum wieder ganz normal aus. (Expertinnenhinweis: Ja, mir ist klar, dass man hier eigentlich viel Aufwand treiben müsste mit Bezugssystemen, kovarianten Größen usw., weil man zwei Raumpunkte zu unterschiedlichen Zeiten nicht eindeutig identifizieren kann, aber das spare ich mir hier.)
Insofern könnte man argumentieren, dass der Raum ja tatsächlich wieder seine alte Form annimmt. Das ist aber nicht immer so. Denkt beispielsweise an die Expansion des Alls. Der Raum dehnt sich aus und diese Ausdehnung wird durch die Materie im Raum gebremst (zusätzlich durch die dunkle Energie beschleunigt, aber das ist jetzt wieder ne andere Baustelle…). Es gibt da aber keinen Effekt, der den einmal gedehnten Raum selbst dazu bringt, wieder in seine Ausgangsgröße zurückzukehren.Hier entsteht neuer Raum – man kann sich das natürlich im Bild analog dadurch erklären, dass man sagt, dass es so ist, als würde neues Gummi in unserem Gummituch entstehen, aber dann muss man erklären, warum bei manchen Raumzeitkrümmungen (Expansion des Alls) neuer Raum entsteht, bei anderen (Gravitationswelle) aber nicht.
Fazit
Es gibt in einigen Punkten eine Ähnlichkeit zwischen der elastischen Verzerrung eines Materials und der Krümmung des Raums in der ART – aber die Ähnlichkeit ist nicht besonders groß. Daraus eine “Elastizität” des Raums abzuleiten, ist deshalb ziemlich problematisch und vermutlich mehr irreführend, als das es was nützt. Analogien sind eben oft nur sehr bedingt aussagekräftig.
PS: Ich habe mir die Dinge, die ich hier geschrieben habe, selbst zusammengereimt. Falls irgendwer eine plausible Erklärung oder ein Modell kennt, mit dem man die Raumzeit doch sinnvoll als elastisches Medium beschreiben kann, hinterlasst gern einen Kommentar.
PPS: Alle, die hier zum Thema “Aber die RT ist doch sowieso Blödsinn” kommentieren wollen – lasst es einfach. Je nach Laune werde ich eure Kommentare entweder löschen oder mich drüber lustig machen, so wie ich es auch mit Flach-Erdlern tun würde; das hier ist ein Wissenschaftsblog, wenn ihr Blödsinn erzählen wollt, findet ihr anderswo im Netz genügend Gelegenheit dazu.
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