Ich bin sicher das dieses Experiment jeder kennt: Man lässt zwei Objekte mit unterschiedlicher Form und unterschiedlichen Gewicht fallen – was fällt schneller? Was ändert sich, wenn man das Experiment im Vakuum durchführt? Ich hab diesen Versuch in der Schule gesehen – aber wesentlich beeindruckender ist das, was Apollo-15-Astronaut David Scott 1971 live auf dem Mond vorgeführt hat (Danke an das Astronomy Picture of the Day, das mich wieder an dieses Video erinnert hat).
Scott hat einen Hammer und eine Feder und wenn er beides auf dem luftleeren Mond fallen lässt, dann erreichen sie – entgegen all unserer Alltagserfahrung – den Boden gleichzeitig:
Ein altes Video, aber doch jedesmal wieder gut!
Ich hatte mal wieder Lust, ein wenig mit Formeln zu spielen und dachte mir, es wäre ganz nett, mal aufzuschreiben, wie die Sache mathematisch aussieht. Es ist keine große Hexerei nötig, um zu sehen, dass die Masse eines Körpers tatsächlich keinen Einfluss darauf hat, mit welcher Geschwindigkeit er zu Boden fällt (im luftleeren Raum jedenfalls).
Die Formel für die Gravitationskraft ist bekannt, seit sie Isaac Newton im 17. Jahrhundert fand. Die Kraft zwischen einem Körper der Masse m und der Erde mit der Masse ME ist direkt proportional zum Produkt dieser beiden Masse und indirekt proportional zum Quadrat des Abstands (r²), das der Körper zur Erde hat. Die Proportionalitätskonstante G ist die Gravitationskonstante
Wir können die Kraft auf einen Körper der Masse m natürlich auch nach dem zweiten Newtonschen Axiom aufschreiben: Kraft ist Masse mal Beschleunigung:
Wenn wir uns nun auf der Erdoberfläche befinden, dann können wir als Abstand den Erdradius nehmen und wir erhalten den Wert für die Beschleunigung:
Es gilt also:
Wenn wir fallende Körper betrachten, dann interessiert uns aber nicht nur die Kraft, wir wollen wissen wie stark die Beschleunigung ist. Und wenn – siehe oben – Kraft gleich Masse mal Beschleunigung ist, dann muss Beschleunigung gleich Kraft durch Masse sein:
Und das war auch schon das große Geheimnis! Die Gravitationskraft hängt direkt von der Masse des Körpers ab, die Beschleunigung aber indirekt. Wenn ich also jetzt die Gravitationskraft durch die Masse dividiere um die Beschleunigung zu erhalten, dann kürzt sie sich weg. Die Beschleunigung eines Körpers im freien Fall ist also immer gleich der Schwerebeschleunigung und hängt nicht von der Masse ab:
Das gilt aber nur im luftleeren Raum. Fällt ein Körper durch ein Medium wie Luft, dann wirkt ihm ein Luftwiderstand entgegen. Es gibt also nicht mehr nur die Gravitationskraft die von Bedeutung ist, sondern auch die Kraft des Luftwiderstands:
Oder, wenn wir wieder F=mg einsetzen:
Was den Anteil der Gravitationskraft angeht: Hier kürzt sich die Masse wieder weg. Aber die Kraft des Luftwiderstands ist etwas komplizierter. Die Masse verschwindet hier nicht und deswegen fallen bei uns auf der Erde ein Hammer und eine Feder unterschiedlich schnell.
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