mlodinowDieser Artikel ist Teil einer fortlaufenden Besprechung des Buchs “Wenn Gott würfelt: oder Wie der Zufall unser Leben bestimmt” (im Original: “The Drunkard’s Walk: How Randomness Rules Our Lives”) von Leonard Mlodinow. Jeder Artikel dieser Serie beschäftigt sich mit einem anderen Kapitel des Buchs. Eine Übersicht über alle bisher erschienen Artikel findet man hier.
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Im ersten Kapitel des Buchs erklärt Mlodinow, wie stark uns zufällige Phänomene beeinflussen, auch wenn wir das vielleicht gar nicht bemerken. Wir Menschen scheinen nicht dazu gemacht, in Wahrscheinlichkeiten zu denken oder die Existenz des Zufalls zu akzeptieren. Wir geben den Dingen immer einen Sinn, und wenn sie keinen zu scheinen haben, dann suchen wir so lange, bis wir einen finden – selbst wenn der gar nicht vorhanden ist.

Mlodinow beschreibt dazu ein Spiel: Man zeigt uns eine Abfolge von Karten, die entweder grün oder rot sein können. Die roten und grünen Karten erscheinen mit unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit, aber ohne bestimmtes Muster. In jeder beliebigen Abfolge von Karten ist die Wahrscheinlichkeit für eine rote Karte zum Beispiel doppelt so hoch wie die für eine grüne Karte. Wir sollen nun eine Abfolge von Karten betrachten und dann die Farbe der nächsten Karte vorhersagen. Wir könnten nun darauf achten, welche Farbe häufiger vorkommt und immer diese Farbe wählen. Wenn die grüne Karte in 75 Prozent der Fälle erscheint, dann haben wir eine Chance von 75 Prozent das wir richtig liegen, wenn wir “grün” wählen. Wir Menschen aber suchen nach Mustern. Wenn wir das Muster kennen, dann können wir in 100 Prozent der Fälle richtig liegen! Da die Karten aber zufällig erscheinen gibt es kein Muster, das wir erkennen können. Und trotzdem entscheiden wir Menschen uns bei diesem Versuch immer für die Mustersuche und liegen mit unseren Vorhersagen öfter daneben als es bei der ersten Taktik der Fall wäre (der sich übrigens Tiere bei ähnlichen Versuchen bedienen).

Wir können mit Wahrscheinlichkeiten nicht intuitiv umgehen. Das zeigt auch eine weitere Geschichte von Mlodinow, die vom Wirtschafts-Nobelpreisträger Daniel Kahneman handelt. Der Psychologe sollte vor Ausbildern der israelischen Luftwaffe einen Vortrag halten und erklärte dabei, dass diverse Experimente mit Tieren zeigten, dass es besser sei, positives Verhalten zu belohnen als negatives zu bestrafen. Dem widersprachen die Ausbilder vehement: Wenn sie die Rekruten nach einem schlechten Flug ordentlich zur Sau machten, flogen sie danach besser während Lob nach einem guten Flug zu schlechteren Leistungen führte.

Bestrafung eines Kriminellen in Temeswar (1793, Public Domain)

Bestrafung eines Kriminellen in Temeswar (1793, Public Domain). Ob das hilft?

Kahneman konnte das Paradoxon auflösen. Jeder Rekrut hat ein gewisses Fähigkeitslevel und die Ausbildung konnte diesen Level im Laufe der Zeit langsam erhöhen. Dabei spielten aber viele komplexe Faktoren eine Rolle und die Änderung kam nicht von einem Tag auf den anderen. Beim Vergleich von Tag zu Tag spielte die individuelle Tagesform eine wichtige Rolle und die hing im wesentlichen vom Zufall ab: Was gab es zum Frühstück; was lief am Tag davor im Fernsehen; gab es Streit mit dem Partner, und so weiter. Ob ein Pilot an einem bestimmten Tag einen für seine Verhältnisse besonders guten oder besonders schlechten Flug ablieferte, hing also vom Zufall ab. Wenn aber ein Pilot zufällig eine besonders schlechte Leistung geliefert hatte, dann wäre es unwahrscheinlich das er am nächsten Tag zufällig noch schlechter ist. Viel wahrscheinlicher ist es, dass er sich wieder seinem natürlichen Niveau annähert und eine bessere Leistung liefert. Genau so ist es mit einem besonders guten Tag: Es ist viel wahrscheinlicher, dass danach wieder ein mittelmäßiger, also “normaler” Tag folgt. Der Ausbilder, der sich dessen nicht bewusst ist, sieht nun aber nur, wie die Piloten mit besonders guten Leistungen danach wieder schlechter werden und die Piloten mit schlechten Leistungen besser und schließt daraus das es besser ist zu strafen als zu loben.

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Kommentare (30)

  1. #1 Pat
    27. Dezember 2013

    Spannende Serie, die da startet.

    Zum Thema fällt mir spontan ein, dass ich vor einiger Zeit mal Hattrick spielte (Online Fussballmanager). Da wurde in Prozenten angezeigt, wie wahrscheinlich man das nächste Spiel gegen Gegner X gewinnt. Wenn da stand, dass man mit 90% Wahrscheinlichkeit gewinnt und dann doch verlor, gab’s ständig Gemotze. Weil die Leute einfach nicht verstehen, dass etwas, das nur mit 10%iger Wahrscheinlichkeit geschieht, eben doch schlicht und einfach geschehen kann. Irgendwie lustig.

  2. #2 noch'n Flo
    Schoggiland
    27. Dezember 2013

    Das mit den Managern könnte man m.E. auch 1:1 auf Fussball- oder andere Sporttrainer anwenden. Die müssen auch immer gehen, wenn’s nicht läuft, auch wenn sie oft gar keine Schuld an der Erfolglosigkeit tragen. Und wenn dann der Nachfolger kommt, wird es manchmal besser – dann wird er gefeiert – manchmal aber auch nicht – dann liegt es immer noch am Vorgänger.

    Entbehrt nicht einer gewissen Beliebigkeit.

  3. #3 Toddy
    27. Dezember 2013

    Ich frag mal ganz spontan…
    Kann man sich auf eine Wahrscheinlichkeitsrechnung eigentlich zu 100 Prozent verlassen?

    Also wenn bei einem Spiel eine 10 prozentige Wahrscheinlichkeit auf Gewinn besteht
    und ich dieses Spiel 100 mal (mit identischen Bedingungen) spielen würde, gewinne ich tatsächlich zehn mal?

    Oder gibt es schon in der Erstellung einer Wahrscheinlichkeit toleranzen – quasi eine Unschärfe in der Wahscheinlichkeitsberechnung?

  4. #4 turtle of doom
    27. Dezember 2013

    Das ist ein Phänomen, das ich im Zusammenhang mit Managergehältern mit Sorge betrachte…

  5. #5 Florian Freistetter
    27. Dezember 2013

    @Toddy: “und ich dieses Spiel 100 mal (mit identischen Bedingungen) spielen würde, gewinne ich tatsächlich zehn mal?”

    Nein. Du kannst genau so gut 100 Mal gewinnen. Oder 100 Mal verlieren. Nur ist das halt alles nicht gleich wahrscheinlich. Wie genau man mit Wahrscheinlichkeiten arbeiten und wie man berechnen kann, wie wahrscheinlich ein bestimmtes Ergebnis eintritt und wie weit man damit daneben liegen kann, wird in den nächsten Teilen der Serie aber noch ausführlich behandelt.

  6. #6 turtle of doom
    27. Dezember 2013

    @ Toddy:

    Nein.

    Wenn das Spiel 10% Gewinnwahrscheinlichkeit hat, dann verlierst von du hundert Spielen – wenn du ganz böses Pech hast – 0 Mal.

    In einem noch viel extremeren Fall gewinnst du 100 von diesen 100 Spielen.

    Die Wahrscheinlichkeit hat kein “Gedächtnis”, welches denkt: So, jetzt hat Toddy bislang zu häufig verloren, jetzt muss er ein wenig häufiger gewinnen…

    Der sogenannte zentrale Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung sagt aber, dass du exakt 10% der Spiele gewinnst, wenn du *unendlich* viele Spiele spielst.

  7. #7 volki
    27. Dezember 2013

    @turtle of doom

    Der sogenannte zentrale Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung sagt aber, dass du exakt 10% der Spiele gewinnst, wenn du *unendlich* viele Spiele spielst.

    Du meinst wohl das Gesetz der großen Zahlen! Der zentrale Grenzwertsatz sagt was ganz anderes aus.

  8. #8 turtle of doom
    27. Dezember 2013

    @ volki:

    Hups, Mist!

    *meinen MSc in Epidemiologie wieder zurückgeb*

  9. #9 Statistiker
    27. Dezember 2013

    @ Toddy: Da ergeben sich zwei Fragen.

    1) Ist es sicher, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit 10 % beträgt? Wenn eine Lotterie 10 Millionen Lose druckt mit einer Million Gewinnen, sind die 10 % sicher. Wenn ein Fußballer in der Vorsaison bei jedem 10. Schuss das Tor getroffen hat, können die 10 % schonmal Zufall sein, ein sogenannter “nichterwartungstreuer Schätzer”. Genauso kann er eine Trefferqoute von 20 oder 5 % haben und nur eine schlechte oder gute Saison gehabt haben…

    2) Selbst wenn die Trefferqoute von 10 % richtig ist (siehe Lotterie), ergeben sich bei Stichproben (fast) immer Abweichungen. Das muss auch so sein, das lässt sich leicht zeigen: Denn ansonsten müsstest Du bei der Lotterie bei 10 Losen ja immer einen Treffer haben, bei 100 Losen immer 10 Treffer. Dies hieße aber, man wüsste vor dem Öffnen des letzten Loses, ob es ein Treffer oder eine Niete ist. Und das geht nnmal nicht, auch wenn manche Leute behaupten, in die Zukunft schauen zu können.

    Für dieses Beispiel mit den Losen: Bei 100 Losen kannst Du mit einer Wahrscheinlichkeit von 95,5 % mit 4 bis 16 Treffern rechnen….. ganz schön große Abweichung. Und selbst dabei hat man ca. jedes 20. mal mehr als 16 oder weniger als 4 Treffer…..

    Das wirkt dann “unnatürlich”, ist aber reiner Zufall. Funktioniert so überall, ob bei Managern, im Sport oder wo auch immer…..

  10. #10 Statistiker
    27. Dezember 2013

    @ volki: Tja, und das Gesetz der großen Zahlen gilt ja nun auch nur für relative Häufigkeiten, nicht für absolute…… das vergessen Roulettespieler immer wieder…..

  11. #11 stone1
    27. Dezember 2013

    Das verspricht wieder eine interessante Artikelreihe zu werden. Bin schon gespannt auf Kapitel 8: “the Order in Chaos”…

  12. #12 Toddy
    27. Dezember 2013

    @turtle of doom

    Danke für die Erklärung…jetzt geht mir ein Licht auf.

    Ich glaube, in einem ähnlichen Zusammenhang habe ich bei Numberphiles einen Clip dazu gesehen:

  13. #13 noch'n Flo
    Schoggiland
    27. Dezember 2013

    @ turtle of doom:

    Wenn das Spiel 10% Gewinnwahrscheinlichkeit hat, dann verlierst von du hundert Spielen – wenn du ganz böses Pech hast – 0 Mal.

    In einem noch viel extremeren Fall gewinnst du 100 von diesen 100 Spielen.

    Also entweder gewinnt er immer oder er gewinnt immer. Das macht eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 100%, n’est-pas?

    (scnr)

  14. #14 Toddy
    27. Dezember 2013

    @ Statistiker

    Das mit den Losen ist ein exzellentes Beispiel.
    90 Nieten und 10 Gewinne. Ziehe ich einhundert mal, gewinne ich garantiert 10 mal.
    Aber was passiert wenn ich nur einmal ziehe, oder 33 mal, oder wenn es 100 aus 1000 sind…

    Das die Chance trotzdem noch bei 10% liegt ist mir klar.
    Auch, das niemand sagen kann was tatsächlich passiert leuchtet mir ein.

    Aber mir ist dieser “fließender Übergang” von: “jawoll, einhundert mal gezogen – zehn mal gewonnen”, zu: “ist ja eh Zufall. Sind zwar zehn Gewinne; trotzdem ist bei einmal ziehn die Chance 50/50 – Niete oder Gewinn.” immernoch suspekt.

    Aber schon klar…man kann den realen Zufall eben nicht berechnen, sondern lediglich die Wahrscheinlichkeit.

  15. #15 turtle of doom
    27. Dezember 2013

    @ noch’n Flo: 😀

    @ Toddy: Statistik ist eben, wenn man nicht die Gesamtheit aller möglichen Fälle untersuchen kann, und deshalb die Unsicherheit durch Zufälle irgendwie berücksichtigen muss.

    Man kanns auch umgekehrt angehen… wieviele Lose musst du kaufen, um die exakte Gewinnwahrscheinlichkeit (10%) festzustellen?

    Du kaufst zuerst 10 Lose. Davon waren zwei Gewinne darunter. Nach dem Binomial-Test beträgt der Anteil Gewinn-Lose mit 95%iger Sicherheit zwischen 2.52 und 55.6%.

    Dann kaufst du nochmals 10 Lose. Du hast nur einmal gewonnen. Auf 20 Lose kommen nun 3 Gewinne. Man wird schon schlauer: zwischen 3.2 und 37.9% aller Lose sind Gewinnlose.

    Okay, jetzt richtig viel Geld ausgeben!

    50 weitere Lose, davon waren 8 Gewinnlose. Insgesamt 70 Lose, davon 11 Gewinnlose. Zwischen 8.1 und 26.4% der Lose sollten Gewinne versprechen.

    Am Ende der Übung haben wir 102902 Lose gekauft, und 10177 davon waren Treffer.

    Mit 95% Sicherheit beträgt der Anteil an Gewinnlosen zwischen 9.7 und 10.1%.

    Du bräuchtest die Gesamtheit aller Lose, um dann mit Sicherheit festzustellen, dass es genau 10% sind.

    Und gibt es unendlich vielel Lose, müsstest du auch unendlich viele kaufen, und schauen, wie oft du gewinnst… vorher wird deine Gewinnchance rund um 10% herumpendeln. 10% an Gewinnlosen wirdst du aber wohl kaum erleben.

  16. #16 Toddy
    27. Dezember 2013

    Faszinierend…
    Ich denke ich habe da ein neues Interessengebiet entdeckt.

    @ Florian Freistetter

    Danke für den Buchtip.
    Außerdem – falls das posten von clips nicht erwünscht ist – mein Fehler. Hab’ nicht geahnt dass das System dieses embedded. Wollte lediglich den Link posten.

  17. #17 Statistiker
    27. Dezember 2013

    @ Toddy, machen wir ein Beispiel mit etwas Mathematik.

    Wir nehmen wieder die Lotterie, die 10 Millionen Lose druckt. Die Zahl habe ich bewusst groß gewählt, damit die wenigen Lose, die Du kaufst, keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit des Einzelloses spielen. Würden nur 10 Lose gedruckt, könntest Du ja das Ergebnis des letzten Loses vorhersagen, wenn Du alle 10 Lose kaufst.

    So, jetzt rechnen wir kurz.

    Die Wahrscheinlichkeit, bei 10 Losen und 10 % Gewinnen 10 Nieten zu haben, beträgt 0,9 ^10 = ca. 37 % (ja, jetzt etwas falsch, aber ich will auf Poisson hinaus…)

    Die Wahrscheinlichkeit, bei 10 Losen und 10 % Gewinnen 9 Nieten und einen Gewinn zu haben, beträgt 0,9 ^9 * 0,1 * 10 = ebenfalls ca. 37 %. Dan “* 10”, weil das erste, das zweite, das dritte …. oder…. das zehnte Los der Treffer sein kann.

    Die Wahrscheinlichkeit, bei 10 Losen und 10 % Gewinnen 8 Nieten und zwei Gweinne zu haben, beträgt 0,9 ^8 * 0,1 ^2 * 45 = ca. 18,5 %. Mal 45, weil 1. und 2. Los Treffer, 1. und 3. Los Treffer etc…… Das rechnet sich als 10!/(8!*2!). Allgemein ausgedrückt: n!/(k!*(n-k)!).
    n = Anzahl der Lose
    k = Anzahl der Treffer
    Das ist genau die Hälfte für die Wahrscheinlichkeit eines Treffers.

    etc…..

    Die Wahrscheinlichkeit für drei Treffer beträgt dann ca. 6 %, genau ein Drittel wie für zwei Treffer.

    Die Wahrscheinlichkeit für vier Treffer beträgt dann ca. 1,5 %, genau ein Viertel wie für drei Treffer. Und immer so weiter……

    Das heißt in der Konsequenz:

    Man kann ganz genau ausrechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für 0, 1, 2, 3 oder wieviel Treffer ist. Nur das Ergebnis des einzelnen Versuchs, des einmaligen Kaufens von 10 Losen, das kann keiner vorhersagen, das ist Zufall……

    Die Wahrscheinlichkeit für 10 Treffer bei 10 Losen beträgt 1: 10 Milliarden (1/10^10). Das ist wahnsinnig gering, und wenn Du oder ich 10 Lose kaufen, kann man das ausschließen, es wird nicht passieren. Wenn aber jeder Einwohner dieser Erde 10 Lose kauft, dann wird es schon recht wahrscheinlich, dass es zumindest einem passiert…..

  18. #18 Florian Freistetter
    27. Dezember 2013

    @Toddy: Kein Problem – das Video ist auch in der Serie eingeplant. Ich weiß allerdings nicht mehr auswendig, wann genau der Artikel mit diesem Video erscheinen wird…

  19. […] ersten Kapitel des Buchs hat Mlodinow anschaulich dargelegt, wie sehr der Zufall unser Leben bestimmt und vor […]

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  23. #23 Stefan W.
    http://demystifikation.wordpress.com
    31. Dezember 2013

    Das Bestrafungsbeispiel ist mir neu und es gefällt mir sehr gut.

    Die Aussage

    Wir können mit Wahrscheinlichkeiten nicht intuitiv umgehen.

    ist mir aber zu pauschal. Als Jäger und Sammler muss man auch ständig mit Wahrscheinlichkeiten arbeiten, auch wenn man weder den Begriff der Wahrscheinlichkeit hat, noch eine Theorie und Gleichungen.
    Dass es auf der Lichtung im Westen ab und zu, aber weder immer, noch nie Wildschweine gibt, sondern mit ungewissen aber schätzbaren Wahrscheinlichkeiten muss auch ein Urmensch oder ein anderer Jäger irgendwie grob verarbeiten können. Oder die Dichte von Obstbewuchs bei wenigen. aber viel Obst tragenden Apfelbäumen vs. vielen aber wenig Früchte tragenden Birnbäumen.

    Dass man sich oft täuscht will ich aber nicht bestreiten.

  24. #24 turtle of doom
    31. Dezember 2013

    @ Stefan W.:

    Ich finde, dein Beispiel bezieht sich mehr auf den Erfahrungsschatz, aber nicht auf den Umgang mit Wahrscheinlichkeiten an und für sich.

    Dass wir Menschen die Sache mit der Wahrscheinlichkeit wirklich nicht draufhaben, zeigt die sogenannte “Verlustaversion”:

    Kaum jemand willigt in ein Würfelspiel ein, wo man mit geraden Zahlen jeweils 9.95 € verliert, und bei ungeraden Zahlen 10 € gewinnt. Die psychologische Forschung zeigt, dass der mögliche Gewinn deutlich grösser sein muss.

    Wir vermeiden mit allen Kräften Verluste, aber wir versuchen überhaupt nicht mit dem selben Eifer, etwas zu gewinnen – und das auch in unserem täglichen Sozialverhalten!

    Gerade zum deinem Jagd-Beispiel fällt mir etwas ein.

    Es gab Indianerstämme, die warfen abends einen Knochen ins Feuer, und die Weise, wie der Knochen zersplitterte, bestimmte die Jagdgründe des nächsten Tages.

    Das war ein simpler Zufallsgenerator, damit die Beutetiere sich nicht an ein menschliches Verhaltensmuster, nämlich die Wahl der Jagdgebiete, gewöhnen konnten.

  25. […] ersten Kapitel des Buchs hat Mlodinow anschaulich dargelegt, wie sehr der Zufall unser Leben bestimmt und vor […]

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  30. […] Kapitel 1: Der Zufall ist überall. Besonders dort, wo man ihn nicht erwartet! Warum das so ist, ist Thema des ersten Kapitels. […]