In meiner Serie “Best of Chaos” komme nun endlich die Fraktale an die Reihe. Fraktale sind wirklich seltsam. Sie sind da, aber auch nicht. Sie sind unendlich groß, aber auch nicht. Sie scheinen völlig unnatürlich und haben sich trotzdem als hervorragender Weg herausgestellt, die Natur zu beschreiben. Eigentlich besteht die Chaostheorie ja aus jeder Menge heftiger Mathematik – siehe dazu meine früheren Blogartikel (Einleitung, Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4) und meine Podcasts (Folge 93). Diese komplexe Mathematik ist auch nötig, wenn man es mit so seltsamen Objekten wie den Fraktalen zu tun hat…

Ich habe bisher schon vom “seltsamen Attraktor” gesprochen. Außerdem von der Verdoppelung der Perioden in chaotischen Systemen, der Universalität des Chaos und die Mandelbrot-Menge. Die letzte Folge über die Mandelbrotmenge hat schon gezeigt, das wir eine völlig neue Geometrie brauchen, um das Chaos zu beschreiben. Und die Fraktale zeigen uns, wie das aussehen könnte.

Ein Fraktal ist ein bestimmtes geometrisches Gebilde oder Muster, das sich nicht mit dem normalen Dimensionsbegriff beschreiben lässt. Normalerweise sind Dinge entweder eindimensional (zum Beispiel eine Linie), zweidimensional (eine Fläche) oder dreidimensional (ein ausgedehnter Körper) – und ein Punkt ist nulldimensional. Ein Fraktal passt in dieses Schema aber nicht hinein. Ein klassisches Beispiel dafür ist die Koch-Kurve oder “Schneeflocken-Kurve”. Sie fängt ganz harmlos an, in dem man einfach eine gerade Linie zeichnet. Diese Linie teilt man in drei gleich große Teile und ersetzt den mittleren Teil durch ein gleichseitiges Dreieck (kein komplettes, die untere Linie des Dreiecks lässt man weg). Jede der beiden jetzt aus der Linie aufragenden Dreieckseiten teilt man wieder in drei Teile und wiederholt den Prozess. Und dann nochmal. Das sieht dann so aus:

Koch_curve_(L-system_construction)

Aber warum sollte man jetzt schon damit aufhören? Man kann das Spiel immer weiter treiben und immer mehr Dreiecke aneinander reihen. Unendlich viele sogar. Logischerweise muss diese Kurve dann irgendwann auch unendlich lang werden – wenn ich unendlich oft eine gerade Linie durch eine etwas längere dreieckige Linie ersetze, ist das unausweichlich. Die Länge der Koch-Kurve ist also unendlich groß. Aber trotzdem kann die Fläche unter der Koch-Kurve NICHT unendlich groß sein. Auch das sieht man leicht: Die hinzugefügten Dreiecke werden mit jedem Schritt immer kleiner und wenn ich um die ursprüngliche Kurve einen Kreis ziehe, wird auch die unendlich lange Kurve nie darüber hinaus reichen. Man kann mathematisch relativ einfach ausrechnen, wie groß der Flächeninhalt nach unendlich vielen Schritten sein muss und er erreicht nie einen unendlich großen Wert.

Eine unendlich lange Kurve umschließt also eine endlich große Fläche… Es ist klar, dass man hier mit normaler Geometrie nicht weiter kommt. Die Dimension der Koch-Kurve wird daher auch nicht mit den klassischen Werte von “1”, “2” oder “3” beschrieben. Die sogenannte “fraktale Dimension” der Koch-Kurve beträgt ca. 1,26 (exakt: log(4)/log(3)). Man kann sich das in etwa so vorstellen: Eigentlich wäre die Koch-Kurve ja nur eine normale Linie mit der Dimension 1. Aber weil sie sich so sehr in sich selbst verschachtelt, ist sie mehr als nur eine Linie. Sie ist zwar noch keine komplette zweidimensionale Fläche, hat aber wegen ihrer unendlichen Länge und der verschachtelten Form schon ein bisschen “flächenhafte” Eigenschaften und daher eine Dimension, die zwischen 1 und 2 liegt. Wenn man drei solcher Koch-Kurven aneinander fügt, bekommt man die berühmte Schneeflocke (die man dann natürlich auch noch schön bunt einfärben kann):

Ist das jetzt nur eine mathematische Spielerei? Nicht wirklich – bei der Betrachtung der Natur stößt man schnell auf ähnlich fraktale Phänomene. Das klassische Beispiel dafür ist die Frage nach der Länge einer Küstenlinie. Wie lang zum Beispiel ist die Linie, die einmal um die britische Hauptinsel herum führt? Man kann das natürlich einfach mit einem Atlas und einem Lineal ausmessen und wird dann einen bestimmten Wert bekommen. Aber in einem normalen Atlas sind viele kleine Buchten nicht eingezeichnet. In einer detaillierten Karte wird man eine viel verschachteltere Küstenlinie finden, die beim Ausmessen dann auch länger ist. Und im Prinzip könnte ich mir auch einen Maßstab nehmen, der einen Meter lang ist und damit einmal um die ganze Insel wandern und alles per Hand ausmessen. Oder ich nehme einen Maßstab, der nur einen Zentimeter lang ist – dann wird alles noch genauer. Und noch länger. Denkt man dieses Prozess zu Ende, dann kommt man darauf, dass die Küste unendlich lang ist. Natürlich wird man irgendwann aufhören müssen zu messen, wenn man bei einzelnen Atomen angekommen ist, aber das Prinzip ist das selbe wie bei der Koch-Kurve (weswegen man auch in vielen Nachschlagewerken deutlich unterschiedliche Werte für die Länge vieler Grenzen findet).

Was die Fraktale in der Natur so populär macht, ist auch ihre Selbstähnlichkeit. Ein vergrößerter Teil der Koch-Kurve sieht wie die Koch-Kurve selbst aus. Man braucht nur eine simple Konstruktionsregel anzugeben, um am Ende große und sehr komplexe Strukturen zu erhalten. Ein wunderschönes Beispiel für fraktale Geometrie in der Natur ist der (weniger wunderschön schmeckende) Romanesco:

Aber auch viele Farne zeigen fraktale Strukturen. Und Blitze. So wie die Ränder von Wolken. Und die Verästelungen der Blutgefäße im menschlichen Körper. Oder wachsende Kristalle bzw. sich vermischende Flüssigkeiten. Und manchmal baut man sogar welche, zum Beispiel um Funksignale besser zu empfangen. Bei der Beschreibung der Natur bzw. von dynamischen Prozessen sind fraktale Dimensionen mittlerweile ein wichtiges Hilfsmittel (ich habe sogar meine Diplomarbeit über dieses Thema geschrieben). In der Natur sind die Dinge natürlich nie so exakt wie in der mathematischen Beschreibung der Fraktale (wer mehr dazu wissen will, soll diesen Blogartikel lesen). Aber man kann damit viel Nützliches anstellen. Und abgesehen davon schauen sie auch meistens enorm hübsch und faszinierend aus!

Kommentare (23)

  1. #1 Widmer Hansruedi
    Baden, CH
    4. März 2015

    Ein Punkt ist von der Dimension 0, eine ‘Linie’ von der Dimension 1.

  2. #2 Florian Freistetter
    4. März 2015

    Danke – da ist mir was durcheinander geraten…

  3. #3 Phero
    4. März 2015

    So ganz klar erscheint es mir aber nicht, dass die Linie unendlich lang wird. Es gibt ja konvergierende Reihen – ist das hier nicht so?

  4. #4 Florian Freistetter
    4. März 2015

    @Phero: Naja, das ist ja hier keine Zahlenreihe sondern eine ausgedehnte Linie. Und die Linie wird bei jeder Iteration per Definition ein Stück länger als sie vorher war…

  5. #5 Phero
    4. März 2015

    Klar, aber wird dieses Stück, um das sie länger wird, nicht immer kleiner?

  6. #6 Desolace
    4. März 2015

    @Phero:
    Aber es kommt bei jedem Schritt mehr Linie dazu, jede einzelne Strecke wird verlängert. Ich denke das die schiere Anzahl an Linien das wieder ausgleicht, dass ein immer kleinerer Abschnitt dazukommt…
    Vielleicht ein unpassender Vergleich, aber ein anderer fällt mir grad nicht ein: Egal wie klein und leicht Insekten sind, alle zusammen wiegen mehr als alle anderen (“höheren”) Lebewesen. Die schiere Anzahl an Insekten gleicht das geringe Gewicht aus.
    Und bei den Fraktalen ist das ähnlich ^^

  7. #7 Harleaquin
    4. März 2015

    Vor der ersten Iteration ist das Ding 3*x lang. Dann wird das mittlere x rausgenommen und durch 2x ersetzt. Aus 3x Gesamtlänge wird 4x Gesamtlänge. Bei jeder Iteration wird das Ding also um 4/3 länger.

  8. #8 Till
    4. März 2015

    @Phero So ganz klar erscheint es mir aber nicht, dass die Linie unendlich lang wird. Es gibt ja konvergierende Reihen – ist das hier nicht so?

    Für die Linie nicht. Es wird sogar bei jedem Schritt insgesamt mehr Linie hinzugefügt: Beim ersten Schritt fügt man genau eine Seite eines gleichseitigen Dreiecks hinzu dessen Seitenlänge 1/3 der gesamten Linie entspricht. Bei jedem weiteren Schritt werden zwar die einzelnen Linienabschnitte kürzer, es werden aber überproportional mehr Teile hinzugefügt. Beim zweiten Schritt werden vier Linien a 1/9 hinzugefügt (die Linie wird also um 4/9 länger, was mehr als 1/3 ist), beim dritten Schritt sind es dann schon 16/27 (also mehr als 1/2 der ursprünglichen Linienlänge) etc. Diese Reihe konvergiert also nicht, sie ist divergent.

    Beim Flächeninhalt ist das anders, da die Dreiecke, die hinzugefügt werden schneller kleiner werden als ihre Anzahl zunimmt. Die Herleitung dazu überlasse ich dem interessierten Leser als Hausuafgabe ;-).

  9. #9 Kallewirsch
    4. März 2015

    Ein anderes Beispiel ist die Hilbert Kurve
    http://de.wikipedia.org/wiki/Hilbert-Kurve

    Sie beginnt als Linie. Treibt man aber die Ersetzungsregeln bis ins unendliche, dann kann man zeigen, dass jeder beliebige Punkt auf der Fläche auch auf der Kurve liegt.

    Was ist das nun? Ist es eine Linie, also etwas 1-dimensionales. Oder ist es eine Fläche, also etwas 2-dimensionales?

  10. #10 Kalli
    4. März 2015

    ich glaube allgemein könnte man sagen, Unendlich ist keine Zahl sondern eine TÄTIGKEIT ohne Ende aber
    mit Konvergenz gegen irgendetwas
    Vielleicht gilt dieses auch für unendliche Universen

  11. #11 Frantischek
    4. März 2015

    Auch geil: Der Menger-Schwamm.
    Wenn man bei der Konstruktion die Iterationen immer weiter treibt geht das Volumen irgendwann gegen Null und gleichzeitig die Oberfläche gegen Unendlich.
    http://de.wikipedia.org/wiki/Menger-Schwamm

  12. #12 Alderamin
    5. März 2015

    @Kalli

    ich glaube allgemein könnte man sagen, Unendlich ist keine Zahl sondern eine TÄTIGKEIT ohne Ende aber
    mit Konvergenz gegen irgendetwas
    Vielleicht gilt dieses auch für unendliche Universen

    Nee, nee, nee, ganz verkehrt. Unendlich ist keine Zahl, richtig, sondern ein Maß für die Mächtigkeit einer Menge. Wenn unendlich eine Zahl wäre, dann wäre unendlich plus Eins auch eine Zahl und größer, aber unendlich ist ja gerade so definiert, dass dies die größte (abzählbare) Mächtigkeit ist (ich bleib’ hier mal bei abzählbar unendlich, es gibt ja noch überabzählbar unendlich und andere Konzepte).

    Konvergenz hast Du nur bei einer Folge von Werten (oder einer Funktion), die gegen einen endlichen(!) Wert strebt, wenn der Definitionswert (“n”, “x”), aus dem der Folgenwert (bzw. Funktionswert) f berechnet wird, gegen unendlich läuft. Z.B. konvergiert die Folge f(0) = 1, f(n+1) = f(n) + 1/2^n für n gegen unendlich gegen 2, aber die Folge f(n+1) = f(n)+1 konvergiert nicht, sondern divergiert, d.h. für jede noch so große Zahl K findest Du ein n, so dass f(n) dem Betrage nach größer als K ist.

    Bei Konvergenz findest du hingegen für jedes noch so kleine Intervall um den Konvergenzwert herum eine Folgenwert, jenseits dessen alle weiteren Werte näher am Konvergenzwert dran sind, als das Intervall breit ist. So definiert man das technisch, und dann kommt auch kein Wert “unendlich” in der Definition vor.

    Und was unendliche Universen angeht, die hätten nach Definition von Unendlich einen unendlich-mächtigen Rauminhalt (Kubikmeter) oder Durchmesser (Meter), also egal welches Volumen/welchen Durchmesser Du Dir konkret ausdenkst, sie würden größer sein. Wenn dies der Fall ist, konvergiert da nichts.

    Ich hoffe, die Mathematiker zerreissen mich jetzt nicht in der Luft…

  13. #13 schnablo
    5. März 2015

    @Kallewirsch
    “dann kann man zeigen, dass jeder beliebige Punkt auf der Fläche auch auf der Kurve liegt”
    Nicht ganz. Man kann zeigen, dass jeder beliebige Punkt beliebig nah an der Kurve liegt.

  14. #14 Stefan K.
    5. März 2015

    Ich häng auch noch dabei, dass die Linie unendlich lang ist.
    Für mich drängt sich bei der Beschreibung der sich unendlichen “Teilung” unweigerlich der Vergleich zum Zeno-Paradoxon auf. UNd für dieses kann man doch mathematisch beweisen, dass die Strecke gerade eben nicht unendlich lang ist. Wieso ist das hier anders?

  15. #15 Florian Freistetter
    5. März 2015

    @Stefan: ” UNd für dieses kann man doch mathematisch beweisen, dass die Strecke gerade eben nicht unendlich lang ist. Wieso ist das hier anders?”

    Die Länge der Strecke ist x*n wobei n die Zahl der Iterationen ist und x größer als 1 ist. Wenn n gegen unendlich geht, MUSS die Länge unendlich sein. Zeno ist wieder was ganz anderes; da gehts um ein fundamentaleres Missverständnis, das erst durch die Einführung der Differentialrechnung gelöst wurde.

  16. #16 Stefan K.
    5. März 2015

    Aja, habs jetzt erstanden. Hier wird die Strecke bei jedem Schritt tatsächlich länger, also muss bei unendlichen vielen wiederholungen auch das Ergebnis unendlich sein. Danke

  17. #17 Alderamin
    5. März 2015

    @Stefan K.

    Manche Folgen konvergieren halt, manche nicht. Muss man für den konkreten Fall jeweils nachrechnen.

    Man starte mit einem Segment, das ohne Beschränkung der Annahme die Länge 1 habe. Enmal unterteilt ergibt sich nach Konstruktion eine Länge von 4/3 (denn die Strecke wird in drei gleich große Teile geteilt, wobei das mittlere durch ein gleichseitiges Dreieck ersetzt wird, das dann das ersetzte Stück durch zwei ebenso lange Segmente ersetzt, also hat man am Ende 4 Segement zu je 1/3 der ursprünglichen Länge).

    Im folgenden Schritt wird jedes der 4 resultierenden Segmente des Schrittes davor (Länge jeweils 1/3) um 4/3 verlängert, also 4* (1/3*4/3) = (4/3)² Gesamtlänge.

    Die Folge der Längensumme der Linie ist also durch folgende Folge abbildbar:

    l(0) = 1
    l(n+1) = 4*l(n)/3,

    Man kann die Gesamtlänge nach Schritt n also als (4/3)^n ausrechnen, und dieser Wert divergiert, weil 4/3 betragsmäßig größer als 1 ist (konvergieren würde er nur, wenn die Basis betragsmäßig kleiner oder gleich 1 wäre, dann wäre der Konvergenzwert 0 bzw. 1).

    Man kann es sich auch so veranschaulichen: Die Zahl der Segmente vervierfacht sich in jedem Schritt, während sich ihre individuelle Länge auf je 1/3 verkürzt. Die Segmente wachsen also schneller in der Menge, als sie sich in der indviduellen Länge verkürzen (und diese Diskrepanz bleibt immer 4/3, der Wert verklienert sich nicht, wie das für eine Konvergenz nötig wäre). Deswegen nimmt die Gesamtlänge mit jedem Schritt zu, auf’s Unermessliche.

  18. #18 kalli
    5. März 2015

    mit Konvergenz als Tätikeit meine ich , dass eine Folge oder
    Reihe – wenn sie einen Grenzwert hat- diesen erreicht
    für n gegen unendlich. d.h. sie kommt beliebig nahe mit
    jedem weiteren Schritt.
    allerding bei der fraktalen Teilung der Koch-Linie
    geht die Anzahl der Teilungen gegen Unendlich aber
    die Länge der Teilungsseiten gegen Null !
    Hmm ? Kopfzerbrechen
    Dein letzter Satz von # 17 sagt, mit n gegen unendlich wird die Anzahl der Segmente schneller Unendlich als die Länge der Segmente gegen Null
    wird wohl so sein?
    Bei unendlichen Universen ist also die Tätigkeit oder Handlung das neue Schaffen von Raum. und das
    konvergiert eben gegen Unendlich. -Aber bitte, diese ist
    nicht kompetent durchdacht

  19. #19 Kalli
    6. März 2015

    die harmonische Reihe Summe 1/n für n gegen unendlich ist auch divergent (also Grenzwert Unendlich) obwohl jedes
    neue Glied kleiner wird (geht gegen Null) aber die Anzahl der Glieder gegen unendlich geht.

  20. #20 Alderamin
    6. März 2015

    @Kalli

    Bei unendlichen Universen ist also die Tätigkeit oder Handlung das neue Schaffen von Raum. und das
    konvergiert eben gegen Unendlich. -Aber bitte, diese ist
    nicht kompetent durchdacht

    Ein endlicher Raum kann nicht mit endlicher Wachstumsrate in endlicher Zeit unendlich groß werden. Das Universum, das wir beobachten, existiert endlich lange und wächst mit endlicher Rate (Hubble-Konstante). Wenn es unendlich groß sein soll (was eine durchaus zulässige Annahme ist, ja sogar die Standard-Annahme der Urknalltheorie), dann war es schon bei der Entstehung unendlich groß. Aber jeder endliche Ausschnitt davon war zu Beginn winzig klein.

  21. #21 Kalli
    6. März 2015

    danke.
    ich hatte früher schon mal bei Dir angefragt: kann ein Universum mit einem Anfang (Urknall) heute unendlich sein ?
    Deine Antwort wie heute: nein (ist auch logisch)
    Die Krise für mich ist, dass unendliche Universen, von denen Greene
    spricht, schon in der Vergangenheit unendlich gewesen sein sollen,

  22. #22 Alderamin
    6. März 2015

    @Kalli

    Na ja, das geht einerseits, wenn es diese Universen schon ewig gab (z.B. ewige Inflation). Eine andere Möglichkeit ist, sich von der Zeit Raum zu borgen. Das ist (steht auch bei Greene, “Hidden Universe”, erklärt) z.B. so möglich:

    In einem inflationär expandierenden Raum entstehe eine Blase aus normal expandierendem Raum (so wie unser Unviersum). Diese Blase wächst stetig und für immer. Drumherum expandiert der Raum sehr viel schneller. An der Grenze der Blase verwandelt sich die hohe Vakuumenergie des inflationären Raums in unser normales Vakuum mit geringerer Energie und gibt die Energie als Strahlung frei. Dort findet ein Urknall statt. Die ganze Zeit, während die Blase weiter und weiter wächst.

    Als Insasse der Blase misst man die Zeit aber anders, nämlich nach zunehmender Entropie. Die Entropie ist am Rand der Blase am geringsten, da gibt es nur gleichverteilte Strahlung. Nach innen hin bidlen sich unter den Grundkräften Strukuren, Atome, Gaswolken, Galaxien, Sterne, die die Entropie erhöhen. D.h. für den Insassen vergeht die Zeit von außen nach innen. Für den Insassen ist die Blasenwand jetzt und in Zukunft sein einmaliger Urknall vor 14 Milliarden Jahren, auf einer unendlichen Blasenfläche (weil diese ja nach dem Zeitmaß des inflationären Raums darum herum gegen die Unendlichkeit strebt). Die Fläche ist in Wahrheit natürlich ein dreidimensionaler Raum.

    So wird aus der unendlichen Zeit des Blasenwachstums ein unendlicher Raum für den Bewohner der Blase. Das ist auch auf dieser Webseite erklärt. Finde ich eine spannende Hypothese.

  23. #23 Kalli
    6. März 2015

    wirklich besten Dank