Im ersten Teil dieser Serie haben wir gesehen, dass man eine gekrümmte Fläche mit geeigneten Landkarten beschreiben kann. Hier im zweiten Teil malen wir erstmal Linien, Dreiecke und Kreise in unseren gekrümmten Räumen. Damit können wir dann eine erste Idee bekommen, wie die Sonne den Raum krümmt.

Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist (k)eine Gerade
Die Raumkrümmung (beschrieben durch den von Ort zu Ort wechselnden Maßstab) ist auch für ein anderes wichtiges Phänomen verantwortlich: Bestimmt habt ihr euch irgendwann mal darüber gewundert, dass Flugrouten für lange Strecken auf Karten nie gerade aussehen. Fliegt man beispielsweise von Deutschland nach Japan (so wie ich vor zwei Jahren, das war super…), so führt der kürzeste Weg nicht etwa über Kasachstan und die Mongolei, sondern eher über Sibirien:

i-ff6736d6317746029ce8c05e67e567bd-flugroute2.jpg

(Bild gemacht mit dem Programm auf http://www.distancefromto.net/. Ähnlich gut ist auch der Rechner von daftlogic.)

An unserer Karte vom letzten Mal lässt sich das leicht verstehen: Da nach Norden hin die Abstände zwischen den Längengraden immer kleiner werden, führt der kürzeste Weg von West nach Ost nicht genau entlang eines Breitengrades, sondern etwas nach Norden:

i-339e9416fdbf4dccbe19320e2f50e1e3-paralleltransportGeodaete.jpg

Dabei muss ich zwar einen Nord-Süd-Umweg machen, aber in Ost-West-Richtung wird die Strecke reduziert, so dass ich netto etwas gewinne. Wenn ihr euren Globus zur Hand habt, dann könnt ihr das mit einem gespannten Faden ausprobieren, mit dem ihr zwei Punkte verbindet.

Normalerweise nennt man die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ja eine Gerade. Auf der Erdoberfläche ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ein Abschnitt eines Kreisbogens, der genau den Erdumfang hat. Betrachtet man den Globus im dreidimensionalen Raum, so erkennt man, dass der Kreisbogen gekrümmt ist; innerhalb unserer Kartenwelt ist aber dieser Weg (obwohl er nicht genau auf unserem Koordinatengitter verläuft) der kürzeste und damit geradeste Weg, den wir finden können. Auch hier ist es wieder so, dass man alles, was man am Globus sehen kann, auch nur mit der geeigneten Karte herausbekommen kann – die Metrik (also der verzerrte Maßstab der Karte) reicht.

Eine solche Linie, die zwei Punkte auf die kürzest-mögliche Weise verbindet, heißt Geodäte. (Auf der Kugel spricht man manchmal auch von Orthodromen.) Sie ist für alles, was jetzt kommt, extrem wichtig. Also: diesen Begriff merken.

Nachtrag: Dies ist nicht die exakte Definition einer Geodäten – jede kürzeste Verbindung ist eine Geodäte, aber nicht jede Geodäte ist automatisch eine kürzeste Verbindung. Der Weg vom Norpol über den 180sten Längengrad zum Südpol und dann nach Greewich ist eine Geodäte, aber nicht die kürzeste Verbindung (die geht direkt vom Nordpol nach Greenwich). Darauf hat mich gerade “physiker” in den Kommentaren hingewiesen.

Dreiecke
Als nächstes betrachten wir Dreiecke. Dreiecke haben bekanntlich drei Ecken (das legt der Name ja irgendwie nahe), die mit geraden Seiten verbunden werden. Auf unserer gekrümmten Fläche sind diese geraden Seiten jetzt allerdings Geodäten, keine einfachen Geraden. Aber bevor wir uns ein solches Dreieck angucken, hier erstmal ein handelsübliches Dreieck in der Ebene, ganz ohne verzerrte Maßstäbe und Ähnliches:

i-ba5c1d9625d08d4cbb6c1ab0b0b2d06b-dreieckEbene.jpg

Eingezeichnet habe ich drei Winkel, a, b und c und ein paar Hilfslinien.

Mit denen beweisen wir jetzt den bekannten Satz “Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°”. Keine Sorge, wenn ihr keine Beweise mögt, den hier werdet ihr mögen, denn er ist wunderbar einfach. Ihr malt also ein großes Dreieck wie das oben auf den Boden. Dann stellt ihr euch in der Ecke des Winkels a genau auf das Dreieck. Vor euch tragt ihr einen Stock, der genau parallel zur Kante zeigt, die von a nach b führt. Jetzt geht ihr los, dabei achtet ihr darauf, den Stock immer genau parallel zur Kante zu lassen. (Diese Aktion heißt deshalb bei Mathematikerinnen auch “Paralleltransport”.) In der b-Ecke angekommen, dreht ihr euch jetzt, bis der Stock parallel zur Kante b-c liegt. Der Drehwinkel, den ihr braucht, ist dabei 180°-b. (Falls das nicht offensichtlich erscheint, dreht euch erst um 180° zurück, dann um b wieder vorwärts.)

Jetzt lauft ihr von b nach c, wieder mit dem Paralleltransport. Dort dreht ihr euch dann um 180°-c. Und schließlich zurück nach a und wieder gedreht, bis ihr so steht wie am Anfang. Insgesamt habt ihr euch um
(180°-b) + (180°-c) + (180°-a) = 540° – (a+b+c)
gedreht, den auf den Kanten ist ja nichts passiert. Wenn ihr euren Weg nochmal zurückverfolgt, seht ihr, dass ihr euch aber auch genau einmal um euch selbst gedreht habt (ihr habt mit dem Stock einmal in jede Richtung gezeigt.) Einmal rum sind 360°, also
540° – (a+b+c) = 360° woraus folgt a+b+c=180°

War doch gar nicht so schlimm, oder?

Als nächstes spielen wir dasselbe Spiel auf unserer Erdkarte. Hier ein Dreieck:

i-284c8269ad3fb2f6acf6552b6db4dac7-paralleltransport3.jpg

Auf unserer Karte sehen zwei Seiten des Dreiecks jetzt gekrümmt aus. Das liegt daran, dass wir ja die Eckpunkt mit kürzesten Linien verbinden müssen, also mit Geodäten (denkt an die Flugrouten von oben).

Wieder laufen wir links oben los, mit einem Stock, der in Richtung der grünen Linie zeigt. Während wir zur Ecke rechts oben laufen, achten wir wieder darauf, den Stock die ganze Zeit schön parallel zu unserer Geodäte zu halten, dabei müssen wir ihn aber ständig drehen. An den anderen beiden Ecken spielen wir dasselbe Spiel. Da beim Laufen auf den Geodäten der Stock mitgedreht wird, gilt das Argument oben für die Winkelsumme im Dreieck nicht mehr, das beruhte ja darauf, dass der Stock auf den Kanten nicht gedreht wird.

Die Winkelsumme unseres Dreiecks wird also nicht 180° sein – da wir an der oberen Kante ziemlich stark von einer geraden Linie abweichen, auf der Diagonale aber nur wenig, wird die Winkelsumme größer als 180° sein. Das ist auf einer Kugel immer so – die Abweichung von 180° ist dabei proportional zur Fläche des Dreiecks. (Mein Dreieck hier ist vergleichsweise klein, deswegen ist der Effekt nicht so deutlich.) Wenn ihr nochmal auf den Globus schaut, dann seht ihr, dass ein Dreieck, dass aus zwei Längengraden und einem Stück Äquator besteht, sogar drei rechte Winkel haben kann:

i-a1a0126d8f20f7202ccda2e91033c1b6-globusDreieck.jpg

Wenn ihr also nicht wisst, ob ihr in einem Gebiet wohnt, in dem der Raum gekrümmt ist, dann müsst ihr ein großes Dreieck zeichnen und die Winkelsumme messen – wenn sie größer ist als 180°, dann ist der Raum gekrümmt, wenn sie gleich 180° ist, dann nicht. (Kleiner als 180° kann sie auch werden, das diskutieren wir vermutlich im nächsten Teil.) Carl Friedrich Gauß hat das tatsächlich mal mit einem Dreieck versucht, das bei einer Landvermessung gemessen wurde – aber die Raumkrümmung an der Erdoberfläche ist zu klein, als dass er etwas hätte sehen können.

Nachtrag In den Kommentaren wurde ich darauf aufmerksam gemacht, dass man das leicht missverstehen kann: Gauß wollte natürlich nicht die Krümmung der Erdoberfläche messen, sondern wirklich die des Raumes. Er vermaß also die direkte Sichtlinie zwischen drei Punkten (Laut Wikipedia “Gauß habe bei Gelegenheit der Hannoverschen Landesvermessung empirisch nach einer Abweichung der Winkelsumme besonders großer Dreiecke vom Euklidischen Wert von 180° gesucht. Wie etwa bei dem Dreieck, das vom Brocken im Harz, dem Inselsberg im Thüringer Wald und dem Hohen Hagen bei Dransfeld gebildet wird.”)

Auch hier zeigt sich wieder, dass man den Effekt der Krümmung vollständig beschreiben kann, ohne sich die Kugeloberfläche in der dritten Dimension vorzustellen, rein durch den räumlich veränderlichen Maßstab.

Ein Beispiel dafür ist die berühmte Raumkrümmung in der Nähe der Sonne, die für die Lichtablenkung sorgt. Stellt euch zwei weit entfernte, dicht benachbarte Sterne vor, die genau parallele Lichtstrahlen Richtung Sonnensystem aussenden. Sausen diese haarscharf an der Sonnenoberfläche vorbei, so wird jeder von ihnen um eine Winzigkeit abgelenkt (nämlich um 1.75Bogensekunden), so dass sich die beiden Lichtstrahlen schließlich treffen. Zusammen mit der Verbindungslinie der beiden Sterne ergibt sich also ein Dreieck mit zwei rechten Winkeln und einem sehr spitzen Winkel von 3,5 Bogensekunden, die Winkelsumme im Dreieck ist also geringfügig größer als 180°. (Dabei habe ich etwas geschummelt, denn ich habe noch gar nicht erklärt, dass Lichtstrahlen Geodäten beschreiben – das habe ich hier einfach reingesteckt.)

Parallelen
Die Geometrie der gekrümmten Räume wurde entdeckt, als man versuchte, das berühmte Parallelenaxiom zu verstehen. Zwei Geraden heißen parallel, wenn sie sich niemals schneiden. In der Ebene gibt es zu einer Geraden und einem gegebenen Punkt immer genau eine Parallele, die durch den Punkt geht:

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Die Entfernung zwischen den beiden Geraden bleibt dabei immer gleich. Man bekommt die Parallele, indem man eine senkrechte Linie auf die erste Gerade zeichnet, und dann auf die wieder eine Senkrechte, also (im Bild oben) eine 90°-Drehung rechtsherum, dann zum Punkt laufen, dann wieder um 90° linksherum.

Spielen wir dasselbe Spiel auf unserer Karte, sehen wir, dass das anders ist.
Zeichnet auf der ersten Geodäte eine zweite im rechten Winkel, lauft diese (mit Paralleltransport) entlang und zeichnet dann eine zweite Geodäte wieder im rechten Winkel zur ersten. Nun sollten die beiden eigentlich ja parallel sein.
Sind sie aber nicht: Die zwei Geodäten nähern sich immer weiter an und treffen sich schließlich. Das war ja gerade der “Trick” bei dem oben gezeichneten Dreieck mit drei rechten Winkeln: Die Entfernung zwischen den beiden Längengraden verringert sich immer weiter, je weiter wir nach Norden kommen, und am Nordpol treffen sie sich. Auch das lässt sich auf der Karte direkt am wechselnden Maßstab ablesen – je weiter wir nach Norden kommen, desto kleiner wird ja der Abstand zwischen den Längengraden; wenn wir die Karte bis zum Nordpol verlängern, schrumpft der Abstand auf Null und die Längengrade treffen sich.

Wenn sich also zwei anfänglich parallele Geodäten schließlich schneiden, dann bedeutet auch das, dass der Raum, in dem man lebt, gekrümmt ist. Auch hier ist wieder keine “Einbettung” in einen Raum mit höherer Dimension nötig.

In unserem gekrümmten Raum gibt es durch einen Punkt neben einer Geodäten also überhaupt keine Parallele: Alle Geodäten schneiden sich irgendwo, so wie auch die Lichtstrahlen, die an der Sonne gekrümmt wurden.

Aber Vorsicht: Dass sich alle Geodäten immer schneiden gilt nur in einem Raum, der wie eine Kugeloberfläche gekrümmt ist. Unsere Raumzeit ist dagegen ungleichmäßig gekrümmt (und die Krümmung kann auch negativ sein, dann laufen Geodäten auseinander, aber dafür brauche ich noch einen dritten Teil). All diese Komplikationen vertage ich erstmal, um euch lieber zu erklären, warum die Sonne einen zu großen Radius hat.

Kreise
Als nächstes zeichnen wir einen Kreis. Wir suchen uns einen zentralen Punkt und gehen von dort aus jeweils etwa 3000km in unterschiedliche Richtungen (und zwar auf dem kürzesten Weg, also auf Geodäten) – einen Radius habe ich grün eingezeichnet. Das Gebilde, das da am Ende herauskommt, sieht auf der Karte nicht sehr kreisförmig aus (zumal ich auch ein bisschen schlampig beim Zeichnen war):

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Eine Überraschung erlebt man, wenn man den Umfang des Kreises berechnet, indem man die Kreislinie abschreitet: In der Schule habt ihr alle mal gelernt, dass der Kreisumfang 2πr beträgt, das wären also etwa 18850km. Tatsächlich ist der Umfang unseres Kreises ist wegen des verzerrten Maßstabs kleiner als das. Auf der Zeichnung lässt sich das nur mit Mühe ausmessen (obwohl es stimmt, jedenfalls, wenn man den Kreis ganz sauber zeichnet), aber auf dem Bild des Globus sieht man sofort, warum ein Kreis auf einer Kugel einen zu kleinen Umfang hat:

i-7feace26c7b4b7d86bdd022d01a50ecd-globusKreis.jpg

Der “eigentliche” Radius des gezeichneten Kreises ist ja eine gerade Linie, die zur Erdachse hin zeigt, der Radius auf der Oberfläche, der ja am Nordpol starten muss, ist länger als das.

Ein Kreis auf einer gekrümmten Fläche hat also für einen gegebenen Radius einen zu kleinen Umfang. Das merkt man übrigens auch am Beispiel mit der Mandarinenschale aus dem ersten Teil: Drückt man die obere Hälfte der Mandarinenschale (die eine Halbkugel ist, also von einem Kreis begrenzt wird) flach, dann reißt sie ein – es ist sozusagen nicht genug Umfang für den Radius da.

Und auch dieses Phänomen kann man in der echten Raumzeit beobachten. Stellt euch vor, ihr nehmt euer super-hitzebeständigen Raumschiff, aktiviert den stärksten Hochenergie-Überladungs-Schirm, den ihr auf dem Raumschiffmarkt kriegen könnt (aber nicht mit republikanischen Credits bezahlen, die sind ja wertlos) und fliegt von der Sonnenoberfläche bis zum Zentrum der Sonne auf der grünen Linie im Bild unten. Dabei messt ihr den Radius R aus, und zwar auf ein paar Meter genau. Anschließend düst ihr einmal um den Sonnenäquator herum, aber genau an der Oberfläche, um den Umfang U zu messen (also auf der roten Linie).

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Nach normaler “flacher” Mathematik, müsste R=U/(2π) sein, richtig? Stimmt aber nicht, R ist größer als das, und zwar etwa um 500 Meter1. (Zugegeben, bei knapp 700000km Sonnenradius ist das weniger als ein Millionstel, aber immerhin.) Die Sonne krümmt also den Raum.

1Falls es jemand genau wissen will: Bei einer Kugel mit Masse M ist der Überschussradius näherungsweise gegeben durch GM/(3c2), dabei ist G die Gravitationskonstante. Diese Formel stammt aus den Feynman Lectures, Vol. II. Sie ist stark vereinfacht, wer die Rechnung nachvollziehen will, findet sie hier.

Wenn ihr versucht, euch das mit den Bildern oben vorzustellen, dann ist Vorsicht geboten: Ihr dürft natürlich auf keinen Fall das Bild mit dem Globus und dem Kreis um den Nordpol angucken und euch vorstellen, dass ihr einfach statt der Erdkugel die Sonnenkugel nehmt – nicht vergessen, der Raum um die Erdoberfläche herum hat keine wirkliche Bedeutung, er dient nur zur Veranschaulichung. Der eingezeichnete rote Kreis entspricht dem Sonnenäquator, die grüne Linie entspricht dem direkten Flug auf dem kürzesten Weg vom Sonnenäquator ins Zentrum der Sonne. Im Zweifelsfall schaut lieber auf das Bild mit der Karte.

Im letzten Teil hatten wir ja an der langsamer gehenden Uhr gesehen, dass die Raumzeit gekrümmt ist. In diesem Teil haben wir jetzt angefangen, auch den Raum selbst zu krümmen. Allerdings habe ich bisher nur eine Art der Krümmung diskutiert, die analog zur Kugeloberfläche ist. Es gibt aber auch negative Krümmungen. Die erkläre ich demnächst.


Hier ein Überblick über die ganze Serie:

Wie man die Raumzeit krümmt. Teil I: Spielereien mit Landkarten

Wie man die Raumzeit krümmt. Teil II: Warum der Sonnenradius “zu groß” ist

Wie man die Raumzeit krümmt. Teil III Negative Krümmung und ein Tipp zum Pizza-Essen

Wie man die Raumzeit krümmt. Teil IV: Raumzeit – was ist das eigentlich?

Wie man die Raumzeit krümmt. Teil V Warum es keine Schwerkraft gibt

Wie man die Raumzeit krümmt. Teil VI: Metrik Reloaded

Kommentare (35)

  1. #1 Jörg Friedrich
    27. Januar 2011

    MartinB, Bei Erklärungen dieser Art gewinne ich immer den Eindruck das man auch sagen könnte: Die Raumzeit ist eigentlich gar nicht gekrümmt, wir haben nur keine Möglichkeit, wirklich gerade Linien zu ziehen, weil selbst Lichtstrahlen im Vakuum (das “geradeste” was wir haben) durch Gravitation und Beschleunigung abgelenkt wird. Etwa so, als wenn unsere Lineale beim Streckenmessen auf einer platten Landkarte durch das verformt werden, was auf die Karte gemalt ist (oder woraus die Karte besteht).

    Aber was ist dann mit der Expansion des Weltalls? Ist das Weltall “tatsächlich” in einem Hyperraum gekrümmt, dann ist das eine “einfache” Sache – die Expansion erfolgt in diesem Hyperraum (wie der Luftballon im 3D-Raum expandiert). Wenn ich mir aber das platte Weltall in der 2D-Veranschaulichung als unendlich großes Blatt vorstelle, dass einfach immer größer wird, so ist diese Vorstellung zwar möglich, aber Expansion und gekrümmte Raumzeit haben nichts mehr miteinander zu tun.

    Man sieht an diesen naiven Fragen, dass ich nicht viel Ahnung von ART habe. Aber vielleicht kann mir jemand eine Lesetipp geben oder meinen Denkfehler aufklären?

  2. #2 Jörg Friedrich
    27. Januar 2011

    MartinB, Bei Erklärungen dieser Art gewinne ich immer den Eindruck das man auch sagen könnte: Die Raumzeit ist eigentlich gar nicht gekrümmt, wir haben nur keine Möglichkeit, wirklich gerade Linien zu ziehen, weil selbst Lichtstrahlen im Vakuum (das “geradeste” was wir haben) durch Gravitation und Beschleunigung abgelenkt wird. Etwa so, als wenn unsere Lineale beim Streckenmessen auf einer platten Landkarte durch das verformt werden, was auf die Karte gemalt ist (oder woraus die Karte besteht).

    Aber was ist dann mit der Expansion des Weltalls? Ist das Weltall “tatsächlich” in einem Hyperraum gekrümmt, dann ist das eine “einfache” Sache – die Expansion erfolgt in diesem Hyperraum (wie der Luftballon im 3D-Raum expandiert). Wenn ich mir aber das platte Weltall in der 2D-Veranschaulichung als unendlich großes Blatt vorstelle, dass einfach immer größer wird, so ist diese Vorstellung zwar möglich, aber Expansion und gekrümmte Raumzeit haben nichts mehr miteinander zu tun.

    Man sieht an diesen naiven Fragen, dass ich nicht viel Ahnung von ART habe. Aber vielleicht kann mir jemand eine Lesetipp geben oder meinen Denkfehler aufklären?

  3. #3 Thilo
    27. Januar 2011

    Wenn ihr also nicht wisst, ob ihr in einem Gebiet wohnt, in dem der Raum gekrümmt ist, dann müsst ihr ein großes Dreieck zeichnen und die Winkelsumme messen – wenn sie größer ist als 180°, dann ist der Raum gekrümmt, wenn sie gleich 180° ist, dann nicht. (Kleiner als 180° kann sie auch werden, das diskutieren wir vermutlich im nächsten Teil.) Carl Friedrich Gauß hat das tatsächlich mal mit einem Dreieck versucht, das bei einer Landvermessung gemessen wurde – aber die Raumkrümmung an der Erdoberfläche ist zu klein, als dass er etwas hätte sehen können.

    Dazu muß man noch sagen, daß man dafür natürlich geradlinige Dreiecke im Raum (und nicht auf der Erdoberfläche, wo ohnehin jedes Dreieck gekrümmt ist) vermessen muß.

    Du hast ja vorher einige Beispiele von gekrümmten Dreiecken auf der Erdoberfläche gezeigt – die sind aber eben kein Beweis für die Raumkrümmung, sondern nur für die Krümmung der Erdoberfläche im Raum.

    So wie ich es verstanden habe, hat Gauß bei seiner Messung den Effekt der gekrümmten Erdoberfläche dadurch ausgeschlossen, daß er an verschiedenden Meßpunkten auf unterschiedlich hohe Berge (oder Kirchtürme etc.) geklettert ist, womit er dann wirklich geradlinige Dreiecke im Raum bekam. Wenn er bei diesen Dreiecken eine Abweichung der Innenwinkelsumme von 180 Grad gemessen hätte, dann hätte das also nicht an der Krümmung der Erdoberfläche gelegen, sondern wäre tatsächlich ein Beweis für die Raumkrümmung gewesen.

    Freilich, wie Du geschrieben hast, ist der Effekt der Raumkrümmung zu gering, als daß Gauß ihn hätte messen können. (Kann man wohl auch heute noch nicht.)
    http://www.scienceblogs.de/mathlog/2009/01/topologie-von-flachen-xlvii.php

  4. #4 physiker
    27. Januar 2011

    “Eine solche Linie, die zwei Punkte auf die kürzest-mögliche Weise verbindet, heißt Geodäte.”

    Das ist nicht ganz richtig: Geodäten sind Kurven, die die Geodätengleichung erfüllen (Paralleltransport der Tangente an der Kurve). Lokal ist eine solche Linie die kürzeste Verbindung – global muss das aber nicht stimmen. Beispiel: Zwei Punkte auf der Erdoberfläche können immer durch zwei Geodäten miteinander verbunden werden, die eine ist die kürzeste Verbindung und die andere ist die längste “gerade” Verbindung.

  5. #5 MartinB
    27. Januar 2011

    @Thilo
    Ja, so habe ich die Geschichte mit Gauß auch verstanden – irgendwo, ich glaube bei Wikipedia, steht auch, welche Punkte er benutzt hat. Ist das oben missverständlich? Ich hatte extra “Raumkrümmung” an der Oberfläche geschrieben, damit das niemanden verwirrt.

    @Physiker
    Du hast sicher recht (obwohl: Gab’s da auf der Kugel nicht den Trick, gegenüberliegende Punkte zu identifizieren?) – aber ist es nicht trotzdem richtig, dass die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten immer eine Geodäte ist ?

  6. #6 Thilo
    27. Januar 2011

    Ja, stimmt schon, aber ‘bei der Aufforderung “dann müsst ihr ein großes Dreieck zeichnen und die Winkelsumme messen” sollte man noch dazusagen, das Dreieck eben nicht auf die Erdoberfläche zu zeichnen sondern als geradliniges Dreieck zwischen passend erhöhten Punkten.

  7. #7 Thilo
    27. Januar 2011

    ist es nicht trotzdem richtig, dass die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten immer eine Geodäte ist ?

    Das ist schon richtig, ist aber nicht die Definition der Geodäte. Zum Beispiel ist der Äquator eine Geodäte (d.h. erfüllt die Geodätengleichung), er ist aber nur bis zur Länge des halben Erdumfangs die kürzeste Verbindung, darüber hinaus dann nicht mehr.
    http://www.scienceblogs.de/mathlog/2009/03/topologie-von-flachen-lvi.php

  8. #8 Jörg Friedrich
    27. Januar 2011

    MartinB, Bei Erklärungen dieser Art gewinne ich immer den Eindruck das man auch sagen könnte: Die Raumzeit ist eigentlich gar nicht gekrümmt, wir haben nur keine Möglichkeit, wirklich gerade Linien zu ziehen, weil selbst Lichtstrahlen im Vakuum (das “geradeste” was wir haben) durch Gravitation und Beschleunigung abgelenkt wird. Etwa so, als wenn unsere Lineale beim Streckenmessen auf einer platten Landkarte durch das verformt werden, was auf die Karte gemalt ist (oder woraus die Karte besteht).

    Aber was ist dann mit der Expansion des Weltalls? Ist das Weltall “tatsächlich” in einem Hyperraum gekrümmt, dann ist das eine “einfache” Sache – die Expansion erfolgt in diesem Hyperraum (wie der Luftballon im 3D-Raum expandiert). Wenn ich mir aber das platte Weltall in der 2D-Veranschaulichung als unendlich großes Blatt vorstelle, dass einfach immer größer wird, so ist diese Vorstellung zwar möglich, aber Expansion und gekrümmte Raumzeit haben nichts mehr miteinander zu tun.

    Man sieht an diesen naiven Fragen, dass ich nicht viel Ahnung von ART habe. Aber vielleicht kann mir jemand eine Lesetipp geben oder meinen Denkfehler aufklären?

  9. #9 Thilo
    27. Januar 2011

    wobei dieser Unterschied hier natürlich keine Rolle spielt, solange man nur Dreiecke innerhalb einer Erdhälfte betrachtet

  10. #10 Thilo
    27. Januar 2011

    (bezog sich auf meinen Kommentar von 17:55)

  11. #11 MartinB
    27. Januar 2011

    @Thilo, physiker
    Ich habe beide Hinweise mal oben eingebaut, damit niemand verwirrt ist.

    @JF
    Das beispiel mit den verformten Linien gibt es ja so ähnlich in den Feynman-Lectures – da nimmt er eine Platte mit heißen und kalten Zonen, die die Maßstäbe verformt.
    Ich glaube, Ihre Formulierung basiert einfach zu sehr auf der Anschauung (und das von mir, der sonst immer so für Anschauung ist): Da wir innerhalb des Universums leben, ist es sinnvoll, auf eine Krümmungsdefinition zurückzugreifen, die eben nicht explizit einen Hyperraum zum Krümmen braucht, weil wir den ja nicht bemerken können. Man hätte natürlich einen anderen Namen für eine solche “innere” Krümmung suchen können, aber da sie von der anderen nicht zu unterscheiden ist, ist das eigentlich überflüssig. Das zu veranschaulichen ist ja hier gerade mein Ziel.

    Das mit der Weltallexpansion wird ja auch schon problematisch, wenn das Universum keine positive Krümmung hat – schon wenn es flach ist, ist es irgendwie schwieirg, sich vorzustelen, wie sich ein unendlich großes Blatt Papier ausdehnen soll.
    Man macht hier aber auch den Anschauungsfehler, nur die zeitliche Änderung des Raumes zu veranschaulichen; besser wäre es vielleicht, gleich Raum-Zeit-Diagramme anzugucken, es ist ja auch die Raumzeit, die gekrümmt ist – und da ändert sich dann ja nichts mehr (denn die Zeit ist ja als Koordinate schon enthalten).
    Das oberste Bild in meinem Universums-Artikel veranschaulicht das vielleicht etwas:
    http://www.scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2010/09/wie-gross-ist-das-beobachtbare-universum.php
    weiter unten im Artikel sind auch 2D-Raumzeit-Diagramme gezeichnet.

    Ich stelle mir im Moment (auch wenn das auch nur eine “Krücke” ist) immer sich überall ändernde Maßstäbe vor. Ich habe eine vage Idee, wie ich das zeichnerisch in 3D für die Raumkrümmung um einen Stern veranschaulichen kann – wenn das klappt, dann kommt das im nächsten (oder gar übernächsten, das ufert hier ja wieder mal aus) Teil…

  12. #12 Frank Wappler
    27. Januar 2011

    Martin Bäker schrieb:

    > […] wunderbar einfach. Ihr malt also ein großes Dreieck wie das oben auf den Boden. Dann stellt ihr euch in der Ecke des Winkels a genau auf das Dreieck. Vor euch tragt ihr einen Stock, der genau parallel zur Kante zeigt, die von a nach b führt. Jetzt geht ihr los, dabei achtet ihr darauf, den Stock immer genau parallel zur Kante zu lassen.

    Das ist so weit wirklich wunderbar einfach:
    Man achtet einfach darauf, dass jedes der beiden Enden des Stocks während des gesamten Transports in Kontakt mit der Farbe (der betreffenden Kante) auf dem Boden bleibt.

    > (Diese Aktion heißt deshalb bei Mathematikerinnen auch “Paralleltransport”.)

    (Dazu sollten sich wohl zuerst Mathematiker äußern.)

    > In der b-Ecke angekommen, dreht ihr euch jetzt, bis der Stock parallel zur Kante b-c liegt.

    Auch wunderbar einfach.
    Nur: warum scheint der Stock im obigen Bild so gemalt, als wäre er gerade “beim Drehen”; also nur mit einem Ende in der Farbe, aber dem anderen gerade “irgendwo anders”? …

    p.s.

    Schon mal

    ArcCos[ Sqrt[ 1 – 1/4 (2 (b/a)^2 (c/a)^2 + 2 (b/a)^2 + 2 (c/a)^2 – (b/a)^4 – (c/a)^4 – 1) ] ]

    ausgewertet? …

  13. #13 Bullet
    28. Januar 2011

    Wappler: du hast echt ein Problem.

    (Dazu sollten sich wohl zuerst Mathematiker äußern.)

    Warum?

    Nur: warum scheint der Stock im obigen Bild so gemalt, als wäre er gerade “beim Drehen”; also nur mit einem Ende in der Farbe, aber dem anderen gerade “irgendwo anders”? …

    Ich weiß ja nicht, was mit deinem Verständnis ist, aber was du da schreibst, kommt im Bild nicht vor.
    Meine bescheidene Auffassungsgabe rät mir, deine Beiträge als “überflüssig” einzustufen, weil du besondere Freude daran zu haben scheinst, unnötige Vertiefungen von einfachen Sachverhalten anzuregen. Oder du liest gerne lange Beiträge von dir. Spätestens wenn verschiedene Kommentatoren und Martin selbst auch der Meinung sind, aus deinem Geschreibe nichts sinnvoll anmutendes mehr extrahieren zu können, stellt sich die Frage, ob du mit deinen Kommentaren eventuell nur Entropie erhöhst. Ist dir das schon mal durch den Kopf gegangen?

  14. #14 MartinB
    28. Januar 2011

    @Frank
    Ja, natürlich muss man den Vektor eigentlich im Tangentialraum am jeweiligen Punkt zeichnen und beim Paralleltransport entsprechend bewegen und eigentlich wäre es auch besser, alles mit Differentialformen zu erklären und mit Faserbündeln.
    Wer das nachlesen will, der kann sich den Penrose kaufen, da steht das matehmatisch sauber drin. Wer dagegen als mathematischer Laie Scienceblogs liest, der darf sich auch werstmal den Vektor so vorstellen, wie ich ihn hier zeichne. Manchal darf man aus didaktischen gründen Dinge vereinfachen, in der Grundschule fängst du auch nicht an, zum Zählen erstmal die Peano-Axiome hinzuschreiben. ich schreibe hier einen Populärwissenschaftlichen Blog, kein Lehrbuch der Differentialgeometrie.

  15. #15 IsabellaP
    28. Januar 2011

    Soweit okay.
    Verständlich, wie eine 2D-Oberfläche gekrümmt ist, auch wie eine 3D-“Fläche” gekrümmt ist (Lichtstrahlen bei Sonne). Aber wie ist es zu verstehen, dass die Raum-ZEIT gekrümmt ist. Wie ist eine Krümmung der Zeit zu verstehen?

  16. #16 MartinB
    28. Januar 2011

    @IsabellaP
    Im ersten Teil der Serie habe ich das ja schon ein bisschen an dem einfachen Beispiel mit der Zeitdilatation erklärt (das Beispiel mit dem Viereck am Ende).

    Ich bastle gerade an weiteren Erklärungen für den nächsten (oder übernächsten) Teil, vielleicht wird es dann noch klarer – da hab ich im Moment ne Menge Ideen, die sind aber noch etwas diffus.

  17. #17 roel
    28. Januar 2011

    @Frank Wappler “Auch wunderbar einfach. … Schon mal ArcCos[ Sqrt[ 1 – 1/4 (2 (b/a)^2 (c/a)^2 + 2 (b/a)^2 + 2 (c/a)^2 – (b/a)^4 – (c/a)^4 – 1) ] ] ausgewertet?”

    Ich denke, dass MartinB diesen Blog betreibt, um Personen, die sich für seine Themen interessieren, einen Einstieg zu geben. Und das gelingt ihm hier zum wiederholten Mal auf eine wunderbar einfache Art und Weise. Weiterführend diskutieren können wir später. Ich verfolge ihre Diskussion mit MartinB die ganze Zeit, und muß zugeben, dass ich nicht immer alles verstehe. Das ist einmal darin begründet, dass viele Themen für mich neu (oder längst vergessen) sind, aber es liegt auch daran, dass Sie sich auch manchmal sehr unverständlich ausdrücken. Wenn Sie also einen hohen Wissenstand haben und hier evtl. (was ich nicht beurteilen will) nicht viel neues lernen, dann können Sie zumindest auf wunderbar einfache Art und Weise lernen, wie Sie Ihr Wissen in eben solcher Art und Weise weiter vermitteln können. Das ist doch was, oder?

    @MartinB “Wer dagegen als mathematischer Laie Scienceblogs liest, der darf sich auch erstmal den Vektor so vorstellen, wie ich ihn hier zeichne.” Genauso stelle ich mir den jetzt vor und warte auf den 3. Teil.

  18. #18 Frank Wappler
    28. Januar 2011

    MartinB schrieb (28.01.11 · 09:51 Uhr):

    > ich schreibe hier einen Populärwissenschaftlichen Blog,

    Ja, die ScienceBlogs-Webseite ist ganz offensichtlich dem Populären verbunden:
    mit Teilnahmebedingungen, die so (beinahe ungewöhnlich) behutsam sind, dass sie z.B. mir erlauben, meinem Moniker zu beinahe jedem einzelnen Kommentar einen Gedanken einzubleuen, der an der eigentlichen Formulierung meines jeweiligen Kommentars teilhatte (und der sicher in erster Linie nur für mich selbst behaltenswert ist).
    (Und das schätze ich sehr, denn es erinnert mich daran, wie gut Wikipedia sein könnte.)

    Ist die ScienceBlogs-Webseite auch dem Gedanken verbunden, die Öffentlichkeit (und sei sie noch so wissenschaftlich vorbelastet) an Wissenschaft teilhaben zu lassen,
    oder (nur) der Vorführung von Wissenschaft?
    (Oder: auch nur davon, was Wissenschaft genannt wird — manche würden wohl sagen: schlichter Angeberei?)

    Das entscheidet sich weniger an der Webseite als solcher, sondern eher an ihren Nutzern.

    > Ja, natürlich muss man den Vektor eigentlich im Tangentialraum am jeweiligen Punkt zeichnen und beim Paralleltransport entsprechend bewegen

    Wenn du selber meinst, dass man das eigentlich muss, dann scheint es mir eine rechte Unverschämtheit, insbesondere Laien vom Eigentlichen abzulenken.
    (So weit ich weiß und meine, muss man das nicht unbedingt — siehe mein “p.s.”. Aber das ist eine andere Baustelle …)

    > den Penrose kaufen, da steht das mathematisch sauber drin.

    Mag sein; bin etwas zu faul bzw. zu sehr mit Anderem beschäftigt, um das kritisch beurteilen zu können.
    Sicher ist: Mathematische Sauberkeit ist die Pflicht (mit Punktabzug für Unterlassungen); physikalische Solidität ist die Kür (mit Anerkennung durch — recht verstandene — Popularität).

    > Manchal darf man aus didaktischen gründen Dinge vereinfachen

    Zweifellos. Hoffentlich ist dir dieser Gedanke schon beim Lesen meines obigen Kommentars gekommen.

    > Wer dagegen als mathematischer Laie Scienceblogs liest, der darf sich auch erstmal den Vektor so vorstellen, wie ich ihn hier zeichne.

    Und wer sich mit aller zu Gebote stehenden Gerissenheit und Entschlossenheit in die Lage von (mathematischen) Laien versetzt, und sich dazu zwingt, unter “Vektor” nicht mehr (und nicht weniger) zu verstehen, als zwei Stockenden, die in Farbe eingetaucht sind?

    Darf derjenige, der aus Prinzip (nenn es meinentwegen “Popularitätssucht”) den Standpunkt sogar derartiger Laien zu vertreten versucht, deine vorgezeichnete Vorstellung in Frage stellen — oder bist du dafür doch zu elitär?

    p.s.

    ArcCos[ Sqrt[ 1 – 1/4 (2 (b/a)^2 (c/a)^2 + 2 (b/a)^2 + 2 (c/a)^2 – (b/a)^4 – (c/a)^4 – 1) ] ] +

    ArcCos[ Sqrt[ 1 – 1/4 (2 (c/b)^2 (a/b)^2 + 2 (c/b)^2 + 2 (a/b)^2 – (c/b)^4 – (a/b)^4 – 1) ] ] +

    ArcCos[ Sqrt[ 1 – 1/4 (2 (a/c)^2 (b/c)^2 + 2 (a/c)^2 + 2 (b/c)^2 – (a/c)^4 – (b/c)^4 – 1) ] ]

    == Pi.

    Ist das “Cayleys Theorem”, oder “Mengers Theorem”, oder “Euklids Theorem”, oder … Martins Theorem?

    p.p.s.

    > Ich bin selbst kein Experte für die ART, geschweige denn für Differentialgeometrie. Ich hoffe, ich habe hier trotzdem nicht zuviel Unsinn verzapft, falls doch, beschwert euch in den Kommentaren.

  19. #19 Frank Wappler
    28. Januar 2011

    Bullet schrieb (28.01.11 · 03:22 Uhr):

    > [Frank Wappler schrieb (27.01.11 · 22:33 Uhr)
    > > > (Diese Aktion heißt deshalb bei Mathematikerinnen auch “Paralleltransport”.) ]

    > (Dazu sollten sich wohl zuerst Mathematiker äußern.)

    > Warum?

    Weil: ich mich nicht als Mathematiker, sondern als Physiker verstehe;
    und ich allen (Mathematikerinnen und/oder) Mathematikern, die diese Diskussion verfolgen mögen, nicht in der Beurteilung dessen vorgreifen möchte, was Martin Bäker, selbsterklärter Physiker und Author des obigen Artikels, über sie geschrieben hat.

    Warum bist du so “wie aus der Pistole geschossen”??
    Hast du etwa gelesen:

    “Dazu, was man [[sprich: jeder]] unter “Paralleltransport” zu verstehen hat, solltest du [[Martin Bäker, selbsterklärter Physiker]] besser schweigen, sondern mir [[Frank Wappler, der sich zu seinen beruflichen Vorlieben hier bisher gar nicht geäußert hatte, aber immerhin nicht als mathematischer Analphabet aufgetreten ist]] gehorchen!”

    Das kann ich nachvollziehen (wie gerade gezeigt).
    Ohne Verankerung in (Wikipedia-mäßigen) Links, ist jeglicher bloßer Wortlaut eben dem ausgeliefert, worauf es der Leser anlegt …

    > was du da schreibst, kommt im Bild nicht vor.

    Lass dir das bitte mal von MartinB erklären; falls er denn seinen didakischen Impulsen dahingehen bitte mal folgen möchte.
    (Soviel Vertrauen hat er MBMN wirklich schon verdient.)

  20. #20 MartinB
    28. Januar 2011

    @FW
    “Ist die ScienceBlogs-Webseite auch dem Gedanken verbunden, die Öffentlichkeit (und sei sie noch so wissenschaftlich vorbelastet) an Wissenschaft teilhaben zu lassen,
    oder (nur) der Vorführung von Wissenschaft?
    (Oder: auch nur davon, was Wissenschaft genannt wird — manche würden wohl sagen: schlichter Angeberei?)”
    Das darf die geneigte Leserin selbst für sich beantworten, wie sie das sieht. Wenn sie es für Angeberei hält oder für langweilige Vorführung und ihr meine Art zu bloggen nicht gefällt, dann ist sie herzlich eingeladen, hier entweder konstruktive Kritik zu üben (die ich dann annehme oder auch nicht) oder, wenn meine Reaktion nicht zur Zufriedenheit ausfällt, einen der vielen Knöpfe des jeweiligen Internetbrowsers zu bedienen, um sich auf gefälligeren Seiten zu tummeln.

    “Wenn du selber meinst, dass man das eigentlich muss, dann scheint es mir eine rechte Unverschämtheit, insbesondere Laien vom Eigentlichen abzulenken.”
    Mit “eigentlich” meinte ich (und ich denke, das ist relativ offensichtlich) “wenn man auf mathematische Strenge wert legt” (was ich hier ganz explizit nicht tue).

    “Sicher ist: Mathematische Sauberkeit ist die Pflicht (mit Punktabzug für Unterlassungen); physikalische Solidität ist die Kür (mit Anerkennung durch — recht verstandene — Popularität).”
    Nö, das ist alles andere als sicher. Ich rede hier über Physik, nicht über Mathematik. Dass du den Unterschied zwischen diesen beiden Disziplinen anscheinend nicht wirklich begreifst, ist ganz ehrlich nicht mein Problem.

    “Darf derjenige, der aus Prinzip (nenn es meinentwegen “Popularitätssucht”) den Standpunkt sogar derartiger Laien zu vertreten versucht, deine vorgezeichnete Vorstellung in Frage stellen — oder bist du dafür doch zu elitär?”
    Du darfst hier alles in Frage stellen, solange es halbwegs im Rahmen zivilisierten Umgangs bleibt. Ob ich dann allerdings auf dich höre oder auf Kommentare wie zum Beispiel den hier
    http://www.scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2011/01/raumzeitkrummung-ganz-einfach.php#comment178680
    bleibt dann trotzdem meine Entscheidung.
    Wenn du aber glaubst, hier den Standpunkt des mathematischen Laien einzunehmen, dann sollte dir die Tatsache, dass dich hier niemand versteht, schon zu denken geben.
    Ob ich mich hier elitär gebe, darf auch wieder jeder selbst beim Lesen beurteilen.

    Was du mir mit dem p.s. sagen willst, verstehe ich nach wie vor nicht.

    Zum pps nur so viel: Wie du oben sehen kannst, bin ich gern bereit, konstruktive Kritik in meinem Text als Korrektur unterzubringen. Habe ich bisher immer so gehalten.

  21. #21 Ludmila
    28. Januar 2011

    @Martin: Der einzige, der hier elitär ist, und noch dazu unbegründet elitär, ist der Wappler Frank. Wer darauf besteht Konzepte komplexer als nötig zu beschreiben hat sie nicht verstanden sondern bildet sich nur ein die verstanden zu haben. Dann ist er nicht mal in der Lage einen einzigen pissigen Kommentar so zu verfassen, dass er wenigstens halbwegs verständlich ist.

    Und fordert dann, dass alle anderen sich gefälligst nach seinem verqueren Wirrwarr an Gedanken zu orientieren haben. Wenn er meint es besser zu können, soll er halt selbst nen Blog schreiben. Wahrscheinlich weiß er aber selbst, dass so einen unausgegorenen Brei niemand freiwillig lesen würde. Daher hängt er sich an die erfolgreicheren Leute um wie ein kleiner Blutsauger ein paar Tropfen Aufmerksamkeit zu erheischen.

    Das einzige probate Mittel: Ignorieren.

  22. #22 Frank Wappler
    28. Januar 2011

    roel schrieb (28.01.11 · 16:59 Uhr):

    > Weiterführend diskutieren können wir später.

    Wann-Wo-Wie?, bitte.

    Und doch sicher nicht, ohne so bedauernswerten Gestalten wie diejenigen teilnehmen zu lassen, die “eigentlich (um Himmels Willen!) Koordinatenzahlen nicht einfach irgendwie dahinstreuseln” wollen, aber andererseits (“auf-Teufel-komm-raus”) nicht den Mumm aufbringen, sich selbst (wie allen anderen) Rechenschaft zumindest darüber zu geben, wie denn festzustellen wäre, ob es ihnen gelungen wäre, oder nicht.

    > auf wunderbar einfache Art und Weise lernen, wie Sie Ihr Wissen in eben solcher Art und Weise weiter vermitteln können. Das ist doch was, oder?

    Wie auch anderswo (Mathlog) schon bemerkt wurde:
    es wäre sehr zu wünschen, dass man auch in den Kommentaren zeichnen könnte.
    Und/oder LaTeX benutzen zu können; einschl. z.B. “\usepackage{psfig}”, wenn man mich fragen würde.

    Aber mich fragt ja keiner …

    p.s.

    Noch ‘ne Anregung, falls an einem langen Wochenende nichts Besseres zu tun wäre:
    Würde sich mal jemand hervorwagen und hier öffentlich und verbindlich aussagen;
    “Dieses (…konkret…) habe ich aus den beiden vorliegenden Artikeln dieser Serie von Martin Bäker gelernt; was ich vorher nicht wusste”,
    und Martin Bäker reinen Gewissens (Physiker-Ehrenwort!) hinzufügen:
    “Ja, genau das habe ich gemeint und lehren wollen”?

    Dann — zugegeben — hätte ich hier wirklich etwas gelernt, womit ich nicht gerechnet hatte.

  23. #23 MartinB
    28. Januar 2011

    @FW
    “aber andererseits (“auf-Teufel-komm-raus”) nicht den Mumm aufbringen, sich selbst (wie allen anderen) Rechenschaft zumindest darüber zu geben, wie denn festzustellen wäre, ob es ihnen gelungen wäre, oder nicht.”
    Also ich halte mich da an den MTW, wenn dir der nicht gut genug ist, dann ist das dein Problem. Das habe ich hier bisher noch nicht ansatzweise diskutiert, weil koordinatenfreie Formulierungen oft unanschaulicher sind. Hier geht’s nur um Raumkrümmung, nicht um die ganze ART.

    Aber ganz ehrlich, jetzt wird’s hier etwas seltsam.
    Ich blogge nicht für dich oder um dich in irgendwas zu bestätigen. Ich blogge hier auch nicht, um ein Lehrbuch der mathematischen Physik zu verfassen.
    Ich blogge, weil es mir Spaß macht, zu versuchen, komplizierte Dinge einfach zu erklären – das hilft zunächst meinem eigenen Verständnis. (Man versteht eine Sache erst dann, wenn man nen Artikel drüber schreiben oder ne Vorlesung drüber halten kann.) Deshalb blogge ich auch gern über Dinge, für die ich kein absoluter Experte bin, sei es die ART oder leaky membranes.

    Es freut mich um so mehr, wenn mir Leute schreiben, dass es mir gelungen ist, ihnen etwas zu erklären, so wie das schon gelegentlich vorkommt. Lies den Kommentar von roel oder den von mir verlinkten aus dem ersten Teil (oder diverse andere von leuten, die auf meinem Blog was gelernt haben und mir das netterweise mitteilen).

    Ob ich mit meinem Blog deinen Anforderungen an eine mathematisch-axiomatische Physik gerecht werde oder nicht, ist dabei n-rangig (mit n groß gegen 1).

  24. #24 Niels
    28. Januar 2011

    @MartinB
    Du brauchst zwar bestimmt keinen Zuspruch mehr, aber trotzdem:
    Toll gemacht. Du hast meiner Meinung nach ein Gespür dafür, Dinge anschaulich und einfach zu beschreiben.
    Hast du die Bildchen alle selbst erstellt?
    Zum Paralleltransport hat übrigens der Professor in meiner Vorlesung Luftballons zum selber ausprobieren verteilt.

    Genauer auf die Differentialgeometrie einzugehen und mathematisch exakt zu formulieren halte ich im Rahmen dieses Blogs für absolut sinnlos.
    Wer soll denn da die Zielgruppe sein? Die Leute, die es sowieso schon können?
    Die lesen wohl lieber noch einmal in einem/ihrem Lehrbuch nach.
    Die Leser, die noch nie davon gehört haben, wären noch schneller weg.

    @Frank Wappler
    Mich würde vielmehr interessieren, ob sich jemand öffentlich und verbindlich hervorwagt und aussagt:
    “Dieses (…konkret…) habe ich aus den zahllosen vorliegenden Kommentaren von Frank Wappler gelernt.”
    Oder kann sich wenigstens jemand melden und bestätigen, dass es einen Menschen gibt, der verstanden hat, was Frank Wappler überhaupt aussagen möchten?

    Falls Sie jemand zwingt hier mitzulesen (offenbar wussten Sie ja schon vorher, dass Sie hier nichts lernen können), sagen Sie Bescheid.
    Dann rufe ich die Polizei.
    Wenn nicht, dann halten Sie sich doch einfach von uns “bedauernswerten Gestalten” ohne “Mumm” fern.

  25. #25 Frank Wappler
    28. Januar 2011

    Also … Ein’ hab ich noch:

    > Wenn du aber glaubst, hier den Standpunkt des mathematischen Laien einzunehmen, […]

    Autsch! — danke (dass du im Gegenzug auch mein Geschreibsel Korrektur liest) — da bin ich doch tatsächlich deiner Hinterlassenschaft nicht konsequent genug ausgewichen:

    MartinB schrieb (28.01.11 · 09:51 Uhr):
    >>> Wer dagegen als mathematischer Laie Scienceblogs liest, der darf sich auch erstmal den Vektor so vorstellen, wie ich ihn hier zeichne.

    Frank Wappler schrieb (28.01.11 · 20:10 Uhr):
    >> Und wer sich […] in die Lage von (mathematischen) Laien versetzt […] und sich dazu zwingt, unter “Vektor” nicht mehr (und nicht weniger) zu verstehen, als zwei Stockenden, die in Farbe eingetaucht sind?

    Nein, nein! Das sollte besser, und wie immer zielführend strikt, heißen:

    “Und wer sich […] in die Lage von physikalischen Laien versetzt […]

    … du weißt schon:
    etwa so laienhaft frei von irgendwelchen Voreingenommenheiten, wie ausgehend vom ersten Absatz, S. 893, Ann.Phys. 17:

    Wenn ich z. B. sage: „Jener Zug kommt hier um 7 Uhr an,“ so heißt dies etwa: „Das Zeigen des kleinen Zeigers meiner Uhr auf 7 und das Ankommen des Zuges sind gleichzeitige [Anzeigen].“[1: (Allerdings … s. DSR)] …

    Aber — ach! — wer kann schon Vorfreude darüber entwickeln, ungefähr auf die Laienhaftigkeit eines (bestimmten, und wohl-verstandenen) Vierer-Durchschnitt-Schülers zurechtgestutzt zu werden …

    p.s.

    >>
    ArcCos[ Sqrt[ 1 – 1/4 (2 (b/a)^2 (c/a)^2 + 2 (b/a)^2 + 2 (c/a)^2 – (b/a)^4 – (c/a)^4 – 1) ] ] +
    ArcCos[ Sqrt[ 1 – 1/4 (2 (c/b)^2 (a/b)^2 + 2 (c/b)^2 + 2 (a/b)^2 – (c/b)^4 – (a/b)^4 – 1) ] ] +
    ArcCos[ Sqrt[ 1 – 1/4 (2 (a/c)^2 (b/c)^2 + 2 (a/c)^2 + 2 (b/c)^2 – (a/c)^4 – (b/c)^4 – 1) ] ]
    == Pi.

    > verstehe ich nach wie vor nicht

    Also am Nachrechnen wird’s doch sicherlich/hoffentlich nicht scheitern —

    Cos[ Pi – x – y ] ==
    (-1) Cos[ x + y ] ==
    Sqrt[ 1 – (Cos[ x ])^2 ] Sqrt[ 1 – (Cos[ y ])^2 ] – Cos[ x ] Cos[ y ]
    usw.

    Und “Pi” kann man doch sicher mal kurz als “180°” gelten lassen …

    Was in aller Welt kann denn dann noch …??
    Ach — [[Fäkalausdruck mühsam unterlassen]]! — du hast in dein Bild “a”, “b” und “c” dahin gemalt, wo man ansonsten gefälligst “A”, “B” und “C” hinsetzt!

    Na, dann hat die (berüchtigt) dicke Dame wohl gesungen …

  26. #26 MartinB
    29. Januar 2011

    @FW
    Nach wie vor verstehe ich weder, was du meinst, noch habe ich Lust, irgendwelche Formeln nachzurechnen, die du hier hinschreibst oder mir Gedanken zu machen, warum du die hier hinschreibst.

  27. #27 roel
    29. Januar 2011

    @Frank Wappler Weiterführend diskutieren können wir später. “Wann-Wo-Wie?, bitte.”
    Herr Wappler, ich bezeichne mich als Laien, was Mathematik und Physik anbelangt. Ich habe keine wissenschaftliche Laufbahn eingeschlagen, aber ich habe wachsendes Interesse an vielen Themen die auf scienceblogs diskutiert werden. Themen, die ich meine gut genug zu kennen und bei denen ich meine etwas Sinnvolles beitragen zu können kommentiere ich. Zu Themen, die mich interessieren und bei denen ich kleinere Verständnisprobleme habe, stelle ich Fragen. Wenn ich Fehler in Argumentationen zu finden meine, spreche ich die an (zum Leidwesen einiger Autoren). Sie hingegen scheinen ein umfangreiches Fachwissen zu haben. Ich schätze Sie unter den Kommentatoren als einen mit dem fundiertesten Wissen ein. Wenn wir beide über Mathematik oder Physik diskutieren würden, wären wir auf stark unterschiedlichen Stufen. Aber – ich eigne mir gerade einiges an Wissen an. Natürlich lerne ich auch hier und zwar auf super einfache Art und Weise z.B. über Maxwellgleichungen, Feynman-Diagramme, Schrödingergleichung. Und vielleicht kommentieren wir beide einmal auf nicht so stark mathematisch oder physikalisch dominierten Themen.

  28. #28 Frank Wappler
    29. Januar 2011

    roel schrieb (29.01.11 · 16:59 Uhr):
    > […]

    Dear roel,

    Wir könnten über Themen diskutieren, die der eine oder andere gut kennt oder interessant findet. Dabei könnten wir besonderen Wert darauf legen anzuerkennen, was darunter zählbar ist (also zu Mathematik und/oder Physik zu zählen ist).

    (Genau das mach “ich-hier-gerade”, besten Dank! — 1:0.)

    Wenn wir das unbedingt als Wettbewerb auffassen wollten (weil, wenn wir uns schon irgendwo reinhängen, dann doch sicher nicht nur so lasch wie irgendwelche Teebeutel),
    dann könnte man doch bestimmt eine geeignete Handicap-Differenz für die jeweilige Paarung vorneweg festsetzen.

    Es täte doch jedenfalls nicht schlecht, wenn sich alle, die wollten, so miteinander ertüchtigen könnten …
    (“Kids say the darndest things!” ist schließlich nicht vordergründig/böse gemeint).

    p.s.

    Heller: Wie geht’s Ihnen denn so, als Formel-1-Weltmeister?
    Senna: Well — ten to twelve hours each day I’m working with the car.
    Heller: Oh, natürlich — Sie sind ein echter Profisportler. Aber wie lebt’s sich denn ansonsten, in Brasilien?
    Senna: The rest of the time?? — I’m thinking about the car.

  29. #29 TheBug
    30. Januar 2011

    @Niel: Ich würde nicht so weit gehen zu behaupten, ich hätte aus den Kommentaren von Frank Wappler etwas gelernt, aber er hat mir mal wieder ganz eindringlich bestätigt, dass es eine Menge Leute im Internet gibt, deren Kommentare man besser nicht liest, weil sie sich als Zeitverschwendung erweisen.

    Ganz im Gegensatz zu den lesenswerten Artikeln von MartinB und den anderen Scienceblogs Autoren ist der typische Erguss von Frank Wappler weder erbaulich, noch verständlich, vorzugsweise würde ich für seine Beiträge den Speicherort /dev/null wählen.

  30. #30 roel
    31. Januar 2011

    @Frank Wappler Wie meistens, verstehe ich nicht was Sie sagen wollen. Aber an einem Wettbewerb habe ich kein Interesse.

  31. #31 erik
    31. Januar 2011

    @MB + JF

    In diesem Teil haben wir jetzt angefangen, auch den Raum selbst zu krümmen. Allerdings habe ich bisher nur eine Art der Krümmung diskutiert, die analog zur Kugeloberfläche ist.“

    Nein, das haben „WIR“ sicherlich nicht getan. Die Eigenschaften von gekrümmten Oberflächen können nur für ein Modell der RaumZeit herhalten, mit dem NIEMAND jemals RaumZeit krümmen wird.
    Modelldenken ist wichtig, denn wir können nun mal nicht anders. Ein unvollkommenes Modell kann ja immer noch vervollständigt werden. Es sollte unbedingt einbezogen werden, das zwischen einer 4-Dim.-RZ mit QM-Eigenschaften und der Fortbewegung im 3-DIM.-Raum quasi „Welten“ des Verstehens liegen.

    „Die Expansion des Universums darf nicht so verstanden werden, dass sich Galaxien in der Raumzeit voneinander entfernen (Relativbewegung). Es ist die Raumzeit selbst, die sich ausdehnt, die Galaxien werden mitbewegt. Gravitativ gebundene Objekte wie Galaxien oder Galaxienhaufen expandieren nicht, denn sie sind durch ihre Eigengravitation von der allgemeinen Expansionsbewegung (beschrieben durch die Friedmann-Gleichungen) entkoppelt.“ (wikipedia)

    Mit anderen Worten: RZ besitzt Eigenschaften, welche die Existenz von Materie erst ermöglicht.
    RZ liefert die Bestandteile, welche es ermöglichen den Blog von MB zu gestalten. Ohne RZ könnten wir den gekrümmten Oberflächen von MB nicht folgen.
    Wie RZ Materie in seiner Existenz gestaltet ist sicherlich in Teil II. noch nicht beschrieben worden. Aber ich eile vorraus. Ich lese erst einmal Teil III.

    Trotz allem Widerspruch, . . ., ich finde ihren Blog sehr inspirierend.

  32. #32 Frank Wappler
    1. Februar 2011

    > Zu Themen, die mich interessieren und bei denen ich kleinere Verständnisprobleme habe, stelle ich Fragen. Wenn ich Fehler in Argumentationen zu finden meine, spreche ich die an

    > […] Aber an einem Wettbewerb habe ich kein Interesse.

    Dann scheint es wohl angeraten, sein “Bewerben” ggf. davon zu trennen, dass man Gegenstand von Wetten anderer würde, man auf Kosten anderer erfolgreich wäre, oder umgekehrt zum Spott noch den Schaden hätte.

    Der “Wett”-Einsatz im “Mathematik/Physik”-Spiel besteht aber doch darin, dass man in besten Fall Gelegenheit erhält, bestimmte nachvollziehbare Aussagen zu Gleichheit bzw. Ungleichheit zu veröffentlichen:
    entweder Beweise der Äquivalenz bestimmter mathematisch-logischer Aussagen;
    oder Definitionen betreffs “was wir experimentell getan und gefunden haben”, um darüber mit Kollegen Einvernehmen zu erzielen.

    Wenn also irgendwo das Wort “gleich” (bzw. “ungleich”) ohne ausdrückliche Definition auftaucht, die auch auf Nachfrage nicht geliefert würde, dann scheint es doch zum gegenseitigen Vorteil, möglichst systematisch zu versuchen, entsprechende Beweise zu erbringen oder Messoperationen zu unterbreiten, ohne den Begriff “Gleichheit” darin vorauszusetzen.

    p.s.
    Äußerungen, in denen eine Argumentation überhaupt nicht vorhanden ist, spricht man nach Pauli als “nicht mal falsch” an.

  33. #33 roel
    1. Februar 2011

    @Frank Wappler Wie bereits geschrieben, ich habe bei Ihren Äusserungen Verständnisprobleme. Im Moment reicht es mir (mehr gibt meine Zeit nicht her) mich mit den Themen auseinanderzusetzen, die mein Interesse wecken. Wenn ich einen Kommentar 3-mal durchlese und sich mir kein eindeutiger Sinn erschließt, mache ich mir darüber keine Gedanken mehr.

  34. #34 Michael
    26. September 2014

    Hallo, ich möchte dieses Thema noch einmal aufwärmen: Wie bestimmt man denn c in der Formel GM / 3c^2 ? Bisher ging es ja nicht um Geschwindigkeit(in dem Link oben wurde das auch nicht weiter erklärt)

  35. #35 MartinB
    26. September 2014

    c ist einfach die Lichtgeschwindigkeit als Naturkonstante: 299792458m/s, wenn ich es richtig im Kopf habe.