Würde man eine Abstimmung unter Physikerinnen und Physikern machen, welcher Satz der klassischen Physik einen Schönheitspreis gewinnen soll, dann würde vermutlich das Noether-Theorem einen der vordersten Plätze belegen. Es stellt einen verblüffenden Zusammenhang her zwischen Dingen, die scheinbar nichts miteinander zu tun haben. Außerhalb der Physik ist das Theorem wohl eher unbekannt – was vermutlich daran liegt, dass es meist in ziemlich abstrakter Form präsentiert und bewiesen wird. Damit das nicht so bleibt, werde ich hier versuchen, euch das Noether-Theorem anschaulich plausibel zu machen (den Beweis überlasse ich anderen…).

Das Noether-Theorem hat zumindest den Vorteil, dass man es ganz ohne Formeln hinschreiben kann. In der Formulierung von Wikipedia lautet es

Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems gehört eine Erhaltungsgröße.

Schlicht, einfach und … unverständlich?

Symmetrien und Erhaltungsgrößen

Fangen wir am Anfang an: Da steht der Begriff der Symmetrie. Den hatte ich vor einiger Zeit schon mal im Zusammenhang mit der Elementarteilchenphysik erklärt – da ihr wahrscheinlich alle zu faul seid, auf den Link zu klicken (bin ich in solchen Fällen auch meist), zitiere ich mich hier einfach selbst:

Symmetrie ist ja zunächst mal ein Alltagsbegriff. Viele Dinge sind zum Beispiel
spiegelsymmetrisch, sie sehen also im Spiegel genauso aus wie in
Wirklichkeit. Manche sind fast spiegelsymmetrisch (zum Beispiel Autos
oder Gesichter – wenn man genau hinguckt, dann sieht man, dass die
linke und rechte Seite nicht gleich sind.). Ein Würfel ist nicht nur
spiegelsymmetrisch, sondern auch rotationssymmetrisch: Wenn ich ihn
auf den Tisch lege und um 90 Grad drehe, sieht er genauso aus wie
vorher (das gilt natürlich nicht mehr für einen Würfel mit Zahlen auf
den sechs Seiten, sondern nur für einen unbemalten Würfel). Eine Kugel
ist sogar symmetrisch gegen beliebige Drehungen – sie sieht von allen
Seiten gleich aus.

Daraus kann man jetzt (mit hinreichend viel gutem Willen zu
Abstraktion) folgende Definition ableiten: Ein Objekt ist symmetrisch,
wenn ich etwas damit machen kann, ohne dass es sich dabei
verändert. Das Objekt ist dann symmetrisch bezüglich dieser
Operation.

Im Noether-Theorem steht nun etwas von einer “kontinuierlichen” Symmetrie – das ist eine Symmetrie, bei der man das, was man mit dem Objekt macht, mit einer beliebigen Zahl beschreiben kann. Beispielsweise kann ich beim Drehen einen Drehwinkel angeben. Drehe ich eine Kugel, kann der Winkel beliebige Werte annehmen (die Symmetrie ist also kontinuierlich), aber ein Würfel ist nur symmetrisch gegenüber ganz bestimmten Drehungen (die Symmetrie ist nicht kontinuierlich, sondern diskret) . Auch das Spiegeln eines Objekts ist nicht kontinuierlich – es gibt nur “ja” oder “nein”; zweimal Spiegeln ist dasselbe wie gar nicht Spiegeln, aber ein Viertel Spiegeln oder π mal Spiegeln geht nicht.

Damit haben wir geklärt, was eine kontinuierliche Symmetrie ist. Der Begriff “Erhaltungsgröße” ist etwas einfacher zu verstehen: Es ist eine physikalische Größe, die sich im Laufe der Zeit nicht ändert. Bekanntestes Beispiel ist sicher die Energie.

Wie aber hängen nun Symmetrien und Erhaltungsgrößen zusammen? Dazu müssen wir den am unschuldigsten aussehenden Teil des Theorems noch etwas näher betrachten, nämlich den Begriff “physikalisches System”.

Das Kugelversum

In der klassischen Physik (und bei der bleiben wir hier) hat man es ja meist mit irgendwelchen kleinen Teilchen zu tun, die man sich als kleine Kugeln (vornehm “Massenpunkte” genannt) vorstellen kann. Diese Kugeln flitzen in der Gegend herum und stoßen ab und an zusammen, um dann wieder voneinander abzuprallen. Dabei haben die Kugeln eine Masse, eine Geschwindigkeit und natürlich einen Ort. Ein einfaches physikalisches System besteht also aus lauter solchen umherflitzenden und sich stoßenden Kugeln.

Als erstes betrachten wir nur eine Kugel, die sich mutterseelenallein in einem ganz eigenen Universum bewegt. (Wobei ich jetzt nicht darüber nachdenke, wie wir diese Bewegung messen können – stellt euch meinetwegen vor, das Kugel-Universum hat irgendwelche Markierungen, die aber mit der Kugel nicht wechselwirken.) Für diese Kugel gilt das erste Newtonsche Axiom, das besagt “Ein Körper, auf den keine Kraft wirkt, bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit”. Solange also nicht doch jemand gegen die Kugel tritt, fliegt sie immer mit derselben Geschwindigkeit durchs Kugelversum:

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Ich zeichne die Kugeln hier immer als echte Kugeln, aber eigentlich solltet ihr sie euch als Punktförmig vorstellen – sie haben also keine Seiten oder so. Punkte sind nur nicht so hübsch…

Das ist natürlich laaangweilig. Wir nehmen deshalb eine zweite Kugel hinzu. Wenn sich die beiden Kugeln nicht treffen und auch sonst keine Kraft aufeinander ausüben, dann fliegt jetzt jede von ihnen mit ihrer konstanten Geschwindigkeit. Weil es zwei Kugeln sind, ist das doppelt langweilig.

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Wenn die beiden Kugeln zusammenstoßen1, dann prallen sie wie Billiardkugeln wieder auseinander. Dabei gilt das zweite Newtonsche Axiom (die wirkende Kraft ist gleich der Masse mal der Beschleunigung) und das dritte (die Kraft, die die eine Kugel auf die andere ausübt, entspricht genau der negativen Kraft der anderen Kugel auf die eine).

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1 Da sieht man mal wieder, das PhysikerInnen keine Skrupel haben, Modelle zu bauen, die ein bisschen überidealisiert sind – zwei unendlich kleine Massenpunkte können natürlich nicht wirklich zusammenstoßen, weil es unendlich unwahrscheinlich ist, dass sie sich genau treffen.

Nun ist die Beschleunigung die Änderung der Geschwindigkeit mit der Zeit. Die Kraft ist also gleich der Masse mal der Änderung der Geschwindigkeit. Weil die Kraft der einen Kugel auf die andere gleich minus der Kraft der anderen auf die eine ist, ändert sich die Größe Masse mal Geschwindigkeit in der Summe nicht, das, was bei der einen Kugel hinzukommt, fällt bei der anderen weg.

Impulserhaltung
Die Größe “Masse mal Geschwindigkeit” nennt man auch den Impuls. Wir haben also gerade herausbekommen, dass sich beim Stoßen von Kugeln der Impuls insgesamt nicht ändert – mit anderen Worten: Der Impuls ist eine Erhaltungsgröße. Wir haben das hier für zwei Kugeln gezeigt, es gilt aber auch für ein System aus vielen Kugeln – stellt man sich die Welt als aus lauter kleinen harten Atomen vor, dann gilt die Impulserhaltung für alle materiellen Objekte.

Nebenbemerkung: Man muss allerdings auch in der klassischen Physik aufpassen – sobald Felder (beispielsweise elektromagnetische) ins Spiel kommen, wird die Sache komplizierter. Wegen der endlichen Lichtgeschwindigkeit gilt für zwei elektrische Ladungen, die mit eineinander wechselwirken, nicht mehr direkt das dritte Newtonsche Axiom, weil auch das elektromagnetische Feld einen Impuls trägt. (Ähnliches gilt auch für das Gravitationsfeld.) Das zu übersehen, ist eine beliebte Falle für Physik-Studis und anscheinend auch einer der Lieblingsfehler von Leuten, die versuchen, die Relativitätstheorie zu widerlegen.

Als nächstes machen wir eine unserer Kugeln viel schwerer als die andere (sie ist aber immer noch punktförmig). Beim Zusammenprall ändert dann die schwere Kugel ihre Geschwindigkeit nur sehr wenig – so wie ihr mit einem Tischtennisschläger einen leichten Tischtennisball wegschlagen könnt, ohne dass der Schläger dadurch nennenswert gebremst würde. Die Impulserhaltung gilt immer noch, aber je schwerer die schwere Kugel wird, um so weniger fällt deren Impulsänderung noch ins Gewicht.

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Und jetzt kommt wieder die klassische Physik-Idealisierung: Wir machen die schwere blaue Kugel “unendlich” schwer. Ihre Geschwindigkeit ändert sich damit gar nicht, egal wie die kleine Kugel gegen sie gegenprallt, die Kugel ist absolut starr und unbeweglich (wenn sie am Anfang in Ruhe ist).

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Wenn wir die Impulserhaltung für unser neues System prüfen wollen, dann können wir den Impuls der schweren Kugel nicht mehr sinnvoll berechnen, weil ihre Masse eben unendlich ist, und unendlich mal irgendwas keine sinnvolle Größe ergibt. (Außer mit mathematischen Tricks wie sauberen Grenzübergängen etc., die sparen wir uns aber.)

Prüfen wir also nur die Impulserhaltung für die kleine Kugel, dann sehen wir, dass die nicht mehr gilt – wenn die kleine Kugel auf die große trifft, dann prallt sie irgendwie zurück, die Geschwindigkeit der kleinen Kugel und damit ihr Impuls ändert sich. Die Impulserhaltung ist also verletzt.

Der Grund dafür, dass die Impulserhaltung nicht mehr gilt, ist, dass die schwere Kugel ihre Rolle gewechselt hat: Sie ist kein aktiver Bestandteil unseres Kugelversums mehr, sondern fest vorgegeben. Um das System zu beschreiben, brauchen wir also eine fest vorgegebene Größe, nämlich den Ort der Kugel, dieser Ort ist also keine “innere” Größe unseres Systems mehr, die durch die Gleichungen des Systems beschrieben und berechnet wird, sondern ist eben eine äußere Größe. (Und deswegen habe ich oben gesagt, dass der unschuldige Begriff “physikalisches System” hier wichtig wird.)

Und wie war das jetzt mit dem Noether-Theorem? Solange beide Kugeln echte Systembestandteile waren, war das System symmetrisch gegen beliebige Verschiebungen. Wenn wir beide Kugeln (die beiden Systembestandteile) um einen bestimmten (aber natürlich denselben) Betrag verschieben, dann ändert sich nichts am Systemverhalten (außer, dass sich die Zahlen ändern, die die beiden Kugeln beschreiben). Die Erhaltungsgröße, die zur “Verschiebung” gehört, ist gerade der Impuls. Solange Verschiebungen egal sind (vornehm ausgedrückt: “solange das System translationsinvariant ist”), ist der Impuls erhalten.

Im System mit der unendlich schweren Kugel war das anders. Deren Ort war ja fest vorgegeben. Eine Verschiebung des “Systems” umfasst also nicht eine Verschiebung dieser Kugel, sondern nur der “frei beweglichen” Systembestandteile, das heißt der leichten Kugel. Verschiebt man die leichte Kugel, die schwere aber nicht, dann ändert sich der Abstand zwischen den beiden. Das System ist also nicht unempfindlich gegen Verschiebungen (nicht translationsinvariant) und damit ist auch der Impuls nicht erhalten. (Manche Leute argumentieren auch andersherum und verschieben die von außen vorgegebenen Bestandteile – das kommt natürlich aufs selbe hinaus.)

Ein etwas komplizierteres System

Als nächstes ersetzen wir unsere unendlich schwere (aber punktförmige) Kugel durch eine unendlich schwere und unendlich lange Wand, die sich in horizontaler Richtung ersteckt. Wenn die Kugel an dieser Wand abprallt, dann passiert etwas, das ihr alle vom Ballspielen her kennt: Es gilt Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel:

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Dabei ändert sich die Geschwindigkeit – vorher flog die Kugel schräg nach unten, jetzt fliegt sie schräg nach oben. Allerdings ändert sich die Geschwindigkeit nicht irgendwie beliebig, sondern in ganz bestimmter Weise: Der senkrechte Anteil der Geschwindigkeit kehrt sich genau um (die Kugel prallt so schnell zurück, wie sie hinflog), aber der horizontale Anteil der Geschwindigkeit bleibt gleich – die Kugel fliegt hinterher immer noch nach rechts.

Was heißt das für die Impulserhaltung? Da der Impuls gleich Masse mal Geschwindigkeit ist, hat auch ein Impuls eine Richtung. Der vertikale Impulsanteil unserer Kugel hat sich beim Stoß geändert, er ist also keine Erhaltungsgröße. Der horizontale Anteil hat sich aber nicht geändert, er ist erhalten geblieben. Da unsere Wand überall gleich aussieht, ist das auch immer der Fall, egal wo die Kugel die Wand trifft.

Und wenn wir jetzt die Symmetrie anschauen, dann sehen wir, dass auch das wieder passt: Wenn wir die Kugel in vertikaler Richtung verschieben, dann ändert sich ihr Abstand von der Wand – das System ist also in der Richtung nicht unempfindlich gegen Verschiebungen, also nicht translationsinvariant. In horizontaler Richtung dagegen können wir die Kugel verschieben wie wir wollen, ihr Abstand zur Wand ändert sich nicht und das System sieht genauso aus wie vorher.

Wir haben also:
Keine Translationsinvarianz und keine Impulserhaltung in senkrechter Richtung.
Translationsinvarianz und Impulserhaltung in horizontaler Richtung.
Und das stimmt wieder mit der Aussage des Noether-Theorems überein.

Drehimpulserhaltung
Bisher haben wir ja den Impuls als Erhaltungsgröße angeschaut und dann geguckt, ob das zum Noether-Theorem passt. Jetzt drehen wir den Spieß um und wenden das Noether-Theorem an, um eine Erhaltungsgröße zu finden.

Anmerkung: Wem die vielen Pfeile (Vektoren), die in diesem Abschnitt gleich auftauchen werden, zu kompliziert sind, der kann auch direkt zum nächsten Abschnitt springen.

Dazu biegen wir unsere Wand zu einem Kreis:

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Ich habe hier gleich zwei rückprallende Bälle eingezeichnet. Ihr könnt sofort sehen, dass der Impuls hier in keiner Richtung eine Erhaltungsgröße ist 1. Aber unser System hat eine Symmetrie, nämlich eine Drehsymmetrie. Wenn ich es um einen beliebigen Winkel um den Kreismittelpunkt drehe, ändert sich nichts.

1 Wer genau aufpasst, der sieht aber natürlich, dass der Betrag des Impulses (also unter Ignorieren der Richtung) erhalten ist – der ist aber keine physikalisch besonders sinnvolle Größe (und dass er erhalten ist, hängt an einer anderen Symmetrie, die ist wie das zweite Loch in ner Dampfmaschin: kriegen wir später.)

Das ist eine echte kontinuierliche Symmetrie – also muss es auch eine Erhaltungsgröße geben, das sagt uns das Noether-Theorem. Wir müssen sie nur finden. (Benutzt man die mathematische Formulierung des Noether-Theorems, dann kann man aus der direkt ableiten, was die Erhaltungsgröße ist, aber mit der “einfachen” Variante, die ich hier benutze, geht das nicht.)

Wenn ihr nochmal das Bildchen oben anschaut, dann seht ihr, dass für unsere Kugel natürlich auch jeweils Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel gilt – um das ganz deutlich zu machen, zeichne ich nochmal zwei Tangenten an den Kreis ein:

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Dass der Impuls nicht erhalten bleibt, liegt daran, dass die Tangente an jedem Punkt des Kreises in eine andere Richtung zeigt. Wenn man eine Größe konstruiert, die diese Orientierung der Tangente irgendwie mit einbezieht, dann sollte man eine Erhaltungsgröße finden können.

Das geht tatsächlich. Beim Aufprall ist immer der Anteil des Impulses erhalten, der parallel zur Tangente liegt. Diese wiederum steht immer senkrecht auf dem Radius des Kreises. Entscheidend ist also der Impuls, den man irgendwie auf eine Verbindungslinie zum Mittelpunkt des Kreises beziehen muss.

Dazu betrachte ich jetzt die Kugel genau in dem Moment, wo sie gerade von der Wand zurückprallt. Erhalten bleibt der Impuls in Richtung der Tangente. Dazu zeichne ich den Radius des Kreises und die Tangente ein. Den Impuls (der schwarze Pfeil) teile ich auf in seinen Anteil entlang der Tangente (rot, erhalten) und seinen Anteil senkrecht dazu (orange, kehrt sich beim Stoß um).

i-cdf604dd0e26805532aefea606455af3-noetherTheoremDrehimpuls.jpg

Wenn die Kugel ein Stückchen geflogen ist (dabei ändert sich ihr Impuls nicht, weil sie ja nicht zusammenstößt), dann sieht das Bild so aus:

i-30fa805be42eb8782718f157a28c8940-noetherTheoremDrehimpuls2.jpg

Wieder habe ich die Verbindungslinie vom Ball zum Kreismittelpunkt und die Tangente eingezeichnet. Der rote Anteil des Impulses entlang der Tangente ist beim Weiterfliegen des Balls kürzer geworden, der orange Anteil dagegen länger. Gleichzeitig ist aber natürlich der Abstand zum Kreismittelpunkt größer geworden. Es ist keine mathematische Hexerei, zu beweisen, dass das Produkt aus dem Abstand zum Kreismittelpunkt und der Länge des roten Pfeils beim Umherfliegen der Kugel gleich bleibt. (In der Vektorrechnung nennt man das ein “Kreuzprodukt”.) Beim Stoß ändert sich diese Größe auch nicht (und auch nicht, wenn zwei Kugeln weit weg vom Kreis zusammenstoßen, das beweise ich aber nicht).

Man nennt die so berechnete Größe “senkrechter Impulsanteil mal Länge der Verbindung zum Kreismittelpunkt” den Drehimpuls. In einem rotationssymmetrischen System ist also der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße.

Energieerhaltung
Wir haben jetzt unsere physikalischen Systeme verschoben (Translation) und gedreht (Rotation) und dabei die Erhaltung des Impulses oder Drehimpulses entdeckt. Gibt es noch mehr Symmetrien, die ein physikalisches System haben kann?

Ja, die gibt es. Tatsächlich gibt es eine Menge, aber in der klassischen Physik ist vor allem eine Symmetrie wichtig: Nämlich die Symmetrie in der Zeit.

Was “Symmetrie in der Zeit” bedeuten soll? Das sieht man am leichtesten im Vergleich zur “Symmetrie im Raum”, die wir ja schon ausführlich diskutiert haben: Symmetrie im Raum heißt, dass wir das System von “hier” nach “da” verschieben können, ohne dass sich etwas ändert. Die Symmetrie gilt nicht mehr, wenn wir zur Beschreibung einen bestimmten Ort festlegen müssen, so wie zum Beispiel den Ort der Wand.

Symmetrie in der Zeit heißt entsprechend, dass es egal ist, ob unsere Kugel “jetzt” an einem bestimmten Ort ist oder “gleich”. Mit anderen Worten: In der Beschreibung des Systems steckt kein bestimmter Zeitpunkt drin.

Bisher waren alle unsere Systeme “zeitsymmetrisch”, aber es ist leicht, sich eins auszudenken, das nicht zeitsymmetrisch ist: Wir brauchen unsere Wand nur zu bewegen:

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Die Wand bewegt sich von rechts nach links. Wenn sie gegen die Kugel trifft, dann saust die Kugel davon, ganz ähnlich wie wenn ihr einen leichten Tischtennisball mit dem Schläger erwischt.

Als geübte Noether-Theorem-Anwender seht ihr sofort, dass der Impuls in der senkrechten Richtung sich dabei nicht ändert, denn in der Richtung ist das System ja zu jeder Zeit translationsinvariant. Der Impuls in horizontaler Richtung ist natürlich nicht erhalten – das war er ja auch schon nicht, als die Wand noch in Ruhe war. Bei der ruhenden Wand hatte sich der Impuls in dieser Richtung einfach umgekehrt, er hatte also seine Richtung geändert, aber nicht seinen Wert. Jetzt dagegen ist die Kugel auch noch schneller geworden, ihr Impuls hat also insgesamt zugenommen.

Was wir jetzt brauchen, ist eine physikalische Größe, die mit der Größe des Impulses zusammenhängt, aber nicht mit seiner Richtung. Diese Größe ist die Bewegungsenergie. Bei der ruhenden Wand blieb die Bewegungsenergie der Kugel unverändert, weil die Geschwindigkeit zwar ihre Richtung, aber nicht ihren Wert änderte. Wenn die Wand sich bewegt, ändert sich aber auch die absolute Geschwindigkeit und damit die Energie.

Ist ein System also zeitunabhängig (in dem Sinne, dass es egal ist, wann ich ein Experiment durchführe), dann gilt in diesem System die Energieerhaltung, ansonsten gilt sie nicht. Die Erhaltungsgröße, die zur “Symmetrie in der Zeit” (Zeitinvarianz) gehört, ist also die Energie.

Noch ein Blick aufs Noether-Theorem
Das Noether-Theorem sagte ja

Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems gehört eine Erhaltungsgröße.

Wir haben hier jetzt folgende Tabelle aufgestellt:

Translationsinvarianz — Impulserhaltung (gilt jeweils in jeder Raumrichtung)
Rotationsinvarianz — Drehimpulserhaltung (gilt auch in jeder Raumrichtung)
Zeitinvarianz — Energieerhaltung

Als kleine Knobelei könnt ihr euch ja mal folgende dreidimensionale System angucken und überlegen, welche Erhaltungsgrößen gelten

A) Ein unendlich ausgedehnter starrer Zylinder bewegt sich quer zu seiner Achse mit vorgegebener Geschwindigkeit durchs Universum.

B) Ein gigantischer 1. Kegel/ 2. Würfel ist fest im Universum verankert.

Vielleicht fragt ihr euch jetzt, was Emmy Noether eigentlich genau gemacht hat – hat sie für alle Symmetrien, die ihr einfielen, nach Erhaltungsgrößen gesucht, so wie ich das hier gemacht habe, und eine große Tabelle gemacht?

Nein, was sie gemacht hat war wesentlich cleverer als das (und gerade angesichts dieser Cleverness ist es schon ein bisschen traurig, mit wie vielen Hindernissen sie Anfang des 20. Jahrhunderts als Frau in der Physik zu kämpfen hatte – wer weiß, wieviele Entdeckung sie (oder andere clevere Frauen) noch hätte machen können): Sie hat eine sehr abstrakte Formulierung des Verhaltens von physikalischen Systemen verwendet (letztlich das Prinzip der kleinsten Wirkung) und das Theorem dann für jedes System bewiesen, das überhaupt auf diese Weise beschrieben werden kann – damit kann man das Theorem nicht nur in der Mechanik anwenden, sondern auch ganz woanders. In der modernen Elementarteilchenphysik beispielsweise gibt es einen Zusammenhang zwischen der Erhaltung von Ladungen und einer Symmetrie gegenüber Rotationen in einem abstrakten mathematischen Raum – das sind die Eichsymmetrien, die ich neulich erklärt habe.

Das Noether-Theorem ist damit sozusagen ein Universalwerkzeug der theoretischen Physik. Statt, wie ich es hier gemacht habe, mühsam zu analysieren, welche Komponente von welcher Größe nun erhalten ist, schreibt man die Systembeschreibung in bestimmter mathematischer Form hin, überlegt sich, welche Symmetrie das System hat und kann dann direkt ausrechnen, welche Erhaltungsgröße dazugehört.

Zusätzlich ist es ungeheuer elegant und vermittelt überraschende Einsichten – wer hätte schon gedacht, dass die Energieerhaltung etwas mit der Zeitunabhängigkeit der Physik zu tun hat?


Auflösung zu den Knobeleien:

A) Zylinder ist rotationssymmetrisch um die Längsachse, also Drehimpulserhaltung um diese Achse. Zylinder Ist unendlich lang in einer Richtung, also in dieser Richtung Impulserhaltung. Keine Energieerhaltung, weil sich der Zylinder bewegt.

B) Für beide gilt Energieerhaltung, für den Kegel außerdem Drehimpulserhaltung um seine Längsachse. Der Würfel hat zwar viele Symmetrien (Spiegelung, Drehung um bestimmte Winkel), aber keine davon ist kontinuierlich, also auch keine weitere Erhaltungsgröße.

Kommentare (39)

  1. #1 badhofer
    22. Mai 2011

    >>Es stellt einen verblüffenden Zusammenhang her zwischen Dingen,
    >>die scheinbar nichts miteinander zu tun haben.

    Wenn man davon ausgeht, das ursprünglich alles 1 war, dann wird es überhaupt keine Dinge geben, die nicht in irgend einer Form zusammenhängen.
    Alles hat einen “kleinsten gemeinsamen Nenner”

  2. #2 uina
    22. Mai 2011

    Warum wird mit Dingen gerechnet, die es nicht gibt? “Unendlich” schwer, “unendlich” ausgedehnt, “gigantischer” Kegel, gibt es das? Wenn ja, dann auch wirklich und gesichert real vorkommend oder nur in der Quantenmechanik? Hat das schon wieder was mit toten und doch nicht toten Quantenselbstmordkatzen zu tun? A propos Quantenmechanik: Gilt das Theorem auch in der Quantenphysik oder nur in der klassischen Physik? Ich weiß noch, dass ich unglaublich empört war, als ich herausfand, dass alles, was man mir in der Schule in Chemie und Physik über herumfliegende und gegeneinanderknallende Kugeln und Berechnungen erzählt hatte, und aus dem ich mir ein schön deterministisches Weltbild aufgebaut hatte, wahrscheinlich doch nicht stimmte… 😉

  3. #3 uina
    22. Mai 2011

    @badhofer
    Ich befürchte, ich bin doof, denn ich kapiere Ihre Homepage nicht ganz 😉

  4. #4 Schmidts Katze
    22. Mai 2011

    Wenn man davon ausgeht, das ursprünglich alles 1 war, dann wird es überhaupt keine Dinge geben, die nicht in irgend einer Form zusammenhängen.
    Alles hat einen “kleinsten gemeinsamen Nenner”

    Du kannst aus einer “Wenn=>Dann”-Aussage keine Tatsache schliessen.

  5. #5 Björn Reinhardt
    23. Mai 2011

    Vielen Dank für den schönen Beitrag. Wenn die Seite einen Flattr-Button hätte und wenn dort schon jemand geflattrt hätte, dann hätte ich behauptet, dass ich es gewesen wäre.

  6. #6 Björn Reinhardt
    23. Mai 2011

    Vielen Dank für den schönen Beitrag. Wenn die Seite einen Flattr-Button hätte und wenn dort schon jemand geflattrt hätte, dann hätte ich behauptet, dass ich es gewesen wäre.

  7. #7 JLN
    23. Mai 2011

    @uina: die Schrödingergleichung ist gewissermassen die quantenmechanische Entsprechung zum Prinzip der kleinsten Wirkung. Damit gilt dieser Satz, etwas modifiziert, auch quantenmechanisch. Dort heisst er allerdings Ward-Takahashi-Identität.

    Und eine grosse Wand mag als Approximation für die klassische Mechanik trotzdem unendlich sein. Wenn der Effekt des einzelnen Teilchens auf die Wand vernachlässigbar ist, kann diese als unendlich angesehen werden selbst wenn ihre Masse nur um einige Grössenordnungen grösser ist als die der Teilchen.

  8. #8 Björn Reinhardt
    23. Mai 2011

    Vielen Dank für den schönen Beitrag. Wenn die Seite einen Flattr-Button hätte und wenn dort schon jemand geflattrt hätte, dann hätte ich behauptet, dass ich es gewesen wäre.

  9. #9 JLN
    23. Mai 2011

    Ich wollte übrigens noch anmerken, dass Noether zwar wichtige Beiträge zur theoretischen Physik geleistet hat, von Haus aus aber Mathematikerin war… und das ebenso erfolgreich. Sie hat (trotz der vielen Widerstände die sie überwinden musste) durchaus noch einiges mehr entdeckt als das Noether-Theorem – sie hat fast im Alleingang die moderne kommutative Algebra entwickelt, und die Entwicklung der algebraischen Topologie mit angestossen.

  10. #10 MartinB
    23. Mai 2011

    @JLN
    Stimmt, ich sehe Emmy Noether halt immer von der Physiker-Sicht.

    @ulna
    Wir bauen uns halt Modellvorstellungen, die gute Näherungen sind, um die Berechnungen zu vereinfachen. Wenn ich z.B. einen Ball gegen eine Hauswand werfe, dann kann ich für alle praktischen Zwecke annehmen, dass das Haus sich nicht bewegen wird. Also ist es sinnvoll, ein Rechneverfahren zu haben, das das berücksichtigen kann.

  11. #11 Frank Wappler
    23. Mai 2011

    Martin Bäker schrieb (22.05.11 · 17:52 Uhr):

    > Als erstes betrachten wir nur eine Kugel, die sich mutterseelenallein in einem ganz eigenen Universum bewegt. (Wobei ich jetzt nicht darüber nachdenke, wie wir diese Bewegung messen können

    … aber (weil solche Leichtfertigkeit einem Physiker die schönsten Sätze verleiden würden) …

    > – stellt euch meinetwegen vor, das Kugel-Universum hat irgendwelche Markierungen, die aber mit der Kugel nicht wechselwirken.)

    Schon besser. Wie messen wir nun die Bewegungen dieser (aller vorstellbaren) “Markierungen” und der Kugel, untereinander? …

    > Für diese Kugel gilt das erste Newtonsche Axiom, das besagt “Ein Körper, auf den keine Kraft wirkt, bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit”. Solange also nicht doch jemand gegen die Kugel tritt, fliegt sie immer mit derselben Geschwindigkeit durchs Kugelversum […]

    Gilt ein Universum, im dem sich nur eine mutterseelenalleine Kugel aufhielt bzw. bewegte (sowie alle vorstellbaren Markierungen), als “jemand, der gegen die Kugel getreten” haben könnte? — insbesondere falls es dabei nicht flach war?

  12. #12 Noblinski
    23. Mai 2011

    “…sie war von Hause aus Mathematikerin.” Das soll heißen, sie war so fasziniert von Mathematik, daß sie nicht akzeptierte, daß es im physikalisch realen Universum weder unendlich großen oder schweren Kugeln noch unwiderrückbar fest stehende Wände geben kann. Ja noch nicht einmal eine unendliche Menge von Kugeln (oder Würfeln) entspricht einer unendlichen Kugel (oder einem solchen Würfel). Das bedeutet doch nichts anderes, als daß es diesen oben so schön und eingängig beschriebenen Bruch in der Symmetrie in der realen Welt gar nicht gibt.

    Ja, es ist eigentlich noch schlimmer: Es gibt auch keine fliegenden Kisten im Universum, die sich mit konstanter Kraft beschleunigen ließen. Das ist wirklich heikel, denn man bräuchte ja in der nicht mathematischen aber physikalisch realen Welt eben mindestens eine zweite Kiste, die sich (weil es praktisch ist) ebenfalls mit der selben Kraft in die Gegenrichtung beschleunigt, sobald sich die erste Kiste bewegt. Nun nehmen wir mal großzügig an, es sei genug Platz für ein ausgedehntes Experiment, denn der muß ja bei gewünschter Maximalgeschwindigkeit ausreichen, damit sich die Kisten nicht vor Abschluß der Beobachtungen begegnen. Wie sieht denn nun die ART aus, wenn man sie unter Beachtung der Beobachtungen in beiden Kisten gemeinsam ableitet? Wo sind die schönen aalglatten Invarianzen geblieben? Kurios genug erscheint es, wenn die Grenzgeschwindigkeit für materielle Objekte offenbar nicht c ist, sondern sie hängt real von der angenommenen Größe der realen Welt ab. Furchtbar, diese Physik, nicht wahr?
    Im Spamfilter hängengeblieben…

  13. #13 Bjoern
    23. Mai 2011

    @MartinB: Zunächst mal: danke für die schöne Erklärung! (wobei ich allerdings schlecht beurteilen kann, wie viel ich verstanden hätte, wenn ich das Theorem nicht eh schon kennen würde… 😉 )

    Würde man eine Abstimmung unter Physikerinnen und Physikern machen, welcher Satz der klassischen Physik einen Schönheitspreis gewinnen soll, dann würde vermutlich das Noether-Theorem einen der vordersten Plätze belegen.

    Also, bei mir wäre es auf jeden Fall auf dem ersten Platz! :-) (und ich weise meine Schüler auch jedes Jahr darauf hin, dass das heutzutage wichtigste Theorem der Physik von einer Frau stammt…)

    Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems gehört eine Erhaltungsgröße.

    Erinnere ich mich da falsch – oder galt das nicht so ähnlich auch für diskrete Symmetrien? (z. B. Paritätserhaltung)

    die ist wie das zweite Loch in ner Dampfmaschin: kriegen wir später

    LOL! Danke für das Zitat. :-)

  14. #14 MartinB
    23. Mai 2011

    @Bjoern
    Soweit ich weiß, kann man auch bei diskreten Symmetrien Erhaltungsgrößen haben, aber das folgt nicht aus dem Noethertheorem (und ich denke, es muss auch keine Erhaltungsgröße geben). Bei gebrochenen Symmetrien gibt es dann auch noch Goldstone-Moden…
    “Wichtigstes Theorem der Physik” – hmm, das scheint mir schon ein bisschen heftig, vielleicht eine Frage, was man als Theorem bezeichnet.

  15. #15 jitpleecheep
    23. Mai 2011

    Komische Koinzidenzen, Teil 70: http://xkcd.com/896/

  16. #16 MartinB
    23. Mai 2011

    @Jitlpleecheep
    Bin mir nicht sicher, ob das eine Koinzidenz ist oder ob der Cartoon, den ich neulich auch gesehen hatte, mich “angetriggert” hat.

  17. #17 Bjoern
    23. Mai 2011

    @MartinB:

    Soweit ich weiß, kann man auch bei diskreten Symmetrien Erhaltungsgrößen haben, aber das folgt nicht aus dem Noethertheorem…

    Hmmm, scheinst recht zu haben. Ich hab’ gerade noch mal in meine Aufzeichnungen aus der Experimentelle Teilchenphysik-Vorlesung reingeschaut, und da stehen die diskreten Symmetrien tatsächlich extra, nicht beim Noether-Theorem. Trotzdem kommt’s mir so vor, als ob ich irgendwo schon mal gelesen / gehört hätte, dass man auch die aus dem Noether-Theorem ableiten könnte… mal schauen, vielleicht fällt’s mir noch ein.

    “Wichtigstes Theorem der Physik” – hmm, das scheint mir schon ein bisschen heftig, vielleicht eine Frage, was man als Theorem bezeichnet.

    Allzu viele Dinge fallen mir nicht ein, die in der Physik als “Theorem” bezeichnet werden – spontan gerade mal das CPT-Theorem und das Spin-Statistik-Theorem. Und beide würde ich zwar als extrem wichtig, aber doch weniger wichtig als das Noether-Theorem ansehen.

  18. #18 Bjoern
    23. Mai 2011

    @MartinB: So, jetzt hab’ ich noch einige andere Vorlesungs-Mitschriebe durchstöbert – das einzige, das ich gefunden habe, war eine einzige Zeile in einer Vorlesung, in der schlicht behauptet wurde, die C-, P- und T-Erhaltung würden mittels Noether-Theorem aus entsprechenden Symmetrien folgen – ohne einen Beweis dafür.

    Mit kurzem Googlen habe ich aber folgendes gefunden:
    http://pauli.uni-muenster.de/tp/fileadmin/lehre/teilchen/ss07/SymmetrieQM.pdf

  19. #19 MartinB
    24. Mai 2011

    @Bjoern
    Puh, sowas ist lange her…
    Mir ist auf Anhieb nicht klar, wie sich das in die klassische Physik rückübersetzt – aus dem Kommutatoor mit H wird die Poisson-Klammer, aber wie ich daraus eine Erhaltungsgröße ableiten soll, sehe ich auf die Schnelle nicht. Die englische Wiki-Seite verweist noch auf den Unterschied zwischen Vektor und Axialvektor:
    http://en.wikipedia.org/wiki/Parity_%28physics%29#Classical_mechanics

  20. #20 Bjoern
    24. Mai 2011

    @MartinB: Ich kenne die multiplikativen Erhaltungsgrößen Parität usw., die ja aus diskreten Symmetrien folgen, auch nur aus der Quantenphysik. Ob’s das in der klassischen Physik auch gibt, habe ich leider keine Ahnung…

  21. #21 MartinB
    24. Mai 2011

    @Bjoern
    Ist es nicht immer faszinierend zu merken, was man alles nicht weiß? :-)

  22. #22 Bjoern
    25. Mai 2011

    @MartinB: Ja! (vor allem holt das einen Lehrer wie mich immer wieder schön auf den Boden der Tatsachen zurück, wenn man den ganzen Tag von Schülern angeschaut wird, als ob man alles wüsste… 😉 )

  23. #23 MartinB
    25. Mai 2011

    @Bjoern
    Ja, so Lehrer wie dich müsste es mehr geben. Willst du nicht hier in die Gegend ziehen (und am besten bringst du nochnFlo gleich mit…)?
    Und was die Physik angeht: So viele Erkenntnisse, so wenig Zeit.

  24. #24 Bjoern
    26. Mai 2011

    @Martin: Danke für das Kompliment – aber nein, ich möchte eigentlich hier wohnen bleiben… 😉

  25. #25 perk
    27. Mai 2011

    hmmm ich hab die knobelbeispiele nicht verstanden

    Auflösung zu den Knobeleien:

    A) Zylinder ist rotationssymmetrisch um die Längsachse, also Drehimpulserhaltung um diese Achse. Zylinder Ist unendlich lang in einer Richtung, also in dieser Richtung Impulserhaltung. Keine Energieerhaltung, weil sich der Zylinder bewegt.

    die impulserhaltung ist nicht davon abhängig ob nach der translationstransformation an der stelle auch wieder der zylinder ist sondern ob die wirkung unter der trafo unverändert bleibt

    also ist der impuls in alle 3 richtungen erhalten

    und die energie ist auch erhalten da es keinen unterschied macht wann ich mir ein bewegendes system anschaue da ich ja auch die startzeit und die endzeit mit transformiere (verschiebe) und damit die gesamtwirkung des systems unverändert bleiben müsste

    deswegen haben wir es ja auch noch nicht geschafft impulserhaltung oder energieerhaltung zu verletzen… wäre ja lächerlich einfach wenn wir nur ein asymmetrisches system bauen müssten 😉

    korrigiere mich bitte wenn ich grad in die vollkommen falsche richtung denke

  26. #26 MartinB
    27. Mai 2011

    @perk
    “ob die wirkung unter der trafo unverändert bleibt”
    Der Zylinder bzw. seine Koordinaten steckt aber doch in der Wirkung explizit drin – also kann die Wirkung doch nicht unverändert bleiben?
    Stell es dir anschaulich vor: Eine Kugel liegt ruhend vor dem Zylinder, der kommt an und schiebt sie weg: Impuls und Energie der Kugel (die des Zylinders gelten ja nicht) ändern sich.
    Der Zylinder kann aber niemals den Drehimpuls einer Kugel ändern, noch kann er die Impulskoordinate entlang seiner Achse ändern.

    “wäre ja lächerlich einfach wenn wir nur ein asymmetrisches system bauen müssten ;)”
    Ist ja auch lächerlich einfach – wenn man unendlich schwere Objekte zur Verfügung hat :-)

  27. #27 perk
    27. Mai 2011

    Stell es dir anschaulich vor: Eine Kugel liegt ruhend vor dem Zylinder, der kommt an und schiebt sie weg: Impuls und Energie der Kugel (die des Zylinders gelten ja nicht) ändern sich.

    ich sprach vom gesamtsystem, es ist egal ob der zylinder die kugel hier wegschiebt oder in 100 metern die wirkung ist die gleiche

    das system ist also translationsinvariant und die impulserhaltung gilt

    Der Zylinder bzw. seine Koordinaten steckt aber doch in der Wirkung explizit drin – also kann die Wirkung doch nicht unverändert bleiben?

    die wirkung enthält nur die zylinderkoordinaten wenn du das gravitationsfeld des zylinders als das potential nimmst in dem alles passieren soll (in dem gravitationsfeld ist also der impuls eines probekörpers nicht erhalten) aber der gesamtimpuls des systems wieder da es wurst ist ob ich den zylinder mit seinem gravitationsfeld im koordinatenursprung oder 100 meter weiter wirken lasse ..

    irgendwie hab ich grad ne denkblockade.. ich schau mal wie es nachher aussieht

  28. #28 MartinB
    27. Mai 2011

    @perk
    Wenn ich dich richtig verstehe, nimmst du den Zylinder als teil des Systems – dann hast du natürlich Recht, Impul sist erhalten.
    Wenn der Zylinder aber unendlich schwer ist, dann ist sein Impuls nicht mehr sinnvoll definiert und er muss als externe Randbedingung betrachtet werden.

  29. #29 rolf
    8. Juni 2011

    kleine Anfrage:
    Wenn aus translationsivarianz Zeit Energieerhaltung folgt, die Zeit aber
    ‘in der Nähe des Urknalls’ kaum Translationsinvariant ist (da fehlt ja ne Hälfte :-)
    sollte man sich doch in der Kosmologie des frühen Universums nicht so sehr
    mit der Energieerhaltung belasten.

    Oder?

  30. #30 MartinB
    8. Juni 2011

    @rolf
    Soweit ich weiß ist die Energieerhaltung für das gesamte Universum ein problematisches Konzept – letztlich deshalb, weil man es nicht von “Außen” betrachten kann. Details habe ich leider nicht im Kopf, im MisnerThorneWheeler steht was dazu, wenn ich mich recht entsinne.

  31. #31 rolf
    8. Juni 2011

    @MartinB
    ‘nahe’ beim Urknall gilt sie aber eben nicht einmal lokal zumindest solange man dort mit Varianzprinzipien rechnen will!

  32. #32 MartinB
    8. Juni 2011

    @rolf
    Verstehe ich jetzt nicht ganz – eine infinitesimale Translation in der Zeit (mehr braucht Noether ja nicht) kann ich auch nahe am urknall machen, oder nicht? Vielleicht verstehe ich auch was falsch…?

  33. #33 rolf
    8. Juni 2011

    @MartinB
    Lokal heisst zunächst mal ein kleines Raumelement. Die Zeit ist sowieso schlicht nicht translationsinvariant, weder lokal noch ‘global’ ist für eine Wirkung t -> t – dt auch nur eine gültige Transformation da eben bei t= 0 nichts mehr definiert ist!
    Ich will nur betonen, dass sich mein Argument eben nicht auf das gesamte Universum bezieht – auch jeder Teil davon ist bezüglich der Zeit nicht translationsinvariant!!

  34. #34 MartinB
    8. Juni 2011

    @rolf
    Verrstehe ich nach wie vor nicht. Wenn ich bei t bin, dann ist doch t-t/2 (also dt=t/2) auf jeden Fall ein zulässiges Inkrement.

    Trotzdem ist natürlich das Universum wegen seiner Ausdehnung nicht zeitinvariant.

  35. #35 perk
    9. Juni 2011

    tautologie ftw: wir wissen, dass ne flrw raumzeit mit unseren dichteparametern ne anfangssingularität hat, die nicht entfernbar ist und bei der krümmungsgrößen divergieren, also dort die beschreibung der physik durch die ART zusammenbricht

    warum rolf noch ne extra umdrehung braucht um zu sagen dass dort die physikalische beschreibung zusammenbricht versteh ich nicht

    damit ist eigentlich alles gesagt.. wenn da nicht die spannende frage/problemstellung der energieerhaltung in der ART überhaupt bestünde .. denn ein ∇^a T_ab = 0 hilft nicht viel wenn man das klassische bild von getrennter impuls und energieerhaltung gewöhnt ist und hier (in beliebigen koordinaten) recht komplizierte konstrukte aus energien, impulsen, energieströmen und impulsströmen erhalten sind…

    ich finds erdrückend, dass die diskussion hier ergebnislos abgestorben ist

  36. #36 M. Polka
    15. April 2013

    Zum schlus des Abschnittes “Ein etwas komplizierteres System” sagen sie
    “Wir haben also:
    Keine Translationsinvarianz und keine Impulserhaltung in senkrechter Richtung.
    Translationsinvarianz und Impulserhaltung in horizontaler Richtung.”

    Dabei ändert sich zwar beim Stoß die Richting des vertikalen Anteils des Impulses, aber doch immer in gleicher Weise, vollkommen invariant zum Startpunkt des Teilchens, solange dessen Impuls in Richtung und Betrag am Anfang gleich sind.

  37. #37 MartinB
    15. April 2013

    @M. POlka
    Ich sehe ehrlich gesagt das Problem nicht – klar, der Impuls wird bei einem rein elastischen Stoß (wegen der Energieerhaltung) in der senkrechten Komponente nur umgekehrt, aber er bleibt nicht erhalten, darauf kommt es hier an. Oder ich verstehe die Frage nicht?

  38. #38 M. Polka
    15. April 2013

    Mir erscheint nur nicht einsichtig warum Translationsinvarianz und Erhaltung einer Größe praktisch synonym verwendet werden. Das Verhalten des Systems(Teilchen stößt an eine Wand) ist translationsinvariant unter beachtung der Tatsache, dass die vertikale Komponente des Impulses beim Stoß das Vorzeichen wechselt. Natürlich wird somit der Impuls an sich nicht erhalten, aber er wird in diesem Fall translationsinvariant nicht erhalten. Mir ist schon klar, dass streng mathematisch die invarianz so definiert ist, aber anschaulich ist es doch etwas holprig.

  39. #39 MartinB
    16. April 2013

    Translationsinvarianz und Erhaltung einer größe sind nicht synonym (sonst wäre das Noether-Theorem ja reine Semantik), sondern äquivalent (also mit einer genau dann-wenn-Beziehung verbunden).

    “aber er wird in diesem Fall translationsinvariant nicht erhalten.”
    Diese Formulierung verstehe ich nicht so ganz – willst du darauf hinaus, dass es ja “nur” ein Vorzeichenwechsel ist? Das liegt an der Energieerhaltung; der Impulsbetrag darf sich ja insgesamt nicht ändern – siehe das Beispiel mit der bewegten Wand, da sieht man doch eigentlich ganz gut, warum es sinnvoll ist, die Komponenten so aufzudröseln.