Der Begriff “virtuelle Teilchen” fällt ja ziemlich oft, wenn man über Quanteneffekte redet. Irgendwie sind solche Teilchen nicht so richtig da, haben aber doch einen Effekt – das jedenfalls ist der Eindruck, den man oft bekommt. Manchmal wird auch mit der Unschärferelation argumentiert – für kurze Zeit können Teilchen quasi aus dem Nichts entstehen, weil dann die Energieerhaltung nicht gilt. Diese Bilder geben zwar viele wesentliche Aspekte wieder, letztlich sind sie aber ein bisschen schief. Und darüber hinaus sind eigentlich alle Teilchen, die wir beobachten, “virtuell”. Wie das? Das klären wir heute.

Im vorletzten Teil (der ist ja schon ein bisschen her, deswegen eine kleine Erinnerung) haben wir den Propagator kennengelernt, eins der wichtigsten Objekte, die es in der QFT überhaupt gibt. Der Propagator gibt an, wie groß der Einfluss einer Störung des Feldes (einer Quelle) ist. Ist x der Raumzeitpunkt, wo die Quelle sitzt und y der Raumzeitpunkt, wo wir den Einfluss der Störung wissen wollen, dann ist D(x-y) der Propagator.

Anschaulich kann man sich vorstellen, dass man am Raumzeitpunkt x einen Stein in einen Teich wirft und dann etwas später am Raumzeitpunkt y guckt, wie groß dort gerade die Wasserwelle ist. Grafisch habe ich das mit diesem Bild hier dargestellt:

i-53d09b69244dc40a4f40fe2bb6eee98d-FeynmanPropagatorMitQuellen.jpg

Nach oben geht die Zeit, horizontal die Ortskoordinate. Am Punkt x sitzt unsere Quelle, die am Ort y1 einen großen Einfluss hat, am Ort y2 dagegen einen verschwindend kleinen.

Wir hatten auch gesehen, dass der Einfluss der Quellen auf die Wahrscheinlichkeitsamplitude durch -J(x) D(x-y) J(y)/2 gegeben ist. Die Wechselwirkung zwischen zwei Quellen können wir also mit Hilfe des Propagators beschreiben. Und dieser Propagator hat direkt etwas mit den “Teilchen” zu tun, die wir beobachten.

Dazu denken wir erst einmal kurz nach, wie wir eigentlich Teilchen beobachten. Wir können beispielsweise Leuchtpunkte auf einem Leuchtschirm sehen – wobei jeder Leuchtpunkt durch ein einfallendes Elektron erzeugt wurde. Dabei messen wir allerdings nur, dass ein Elektron angekommen ist und wissen nichts über seine Eigenschaften. Besser geht es vielleicht mit einer Blasenkammer – da hinterlässt das Elektron eine Spur aus Gasblasen, die man auswerten kann. Ein angelegtes Magnetfeld lenkt die Bahn des Elektrons ab, so dass sie gekrümmt ist. So sieht das aus, wenn zum Beispiel ein Elektron-Positron-Paar entsteht:

i-babc37aa58645a0e3c4ed2497dfa250c-ELECTRON-POSITRON2-piece-thumb-300x518.jpg

Aus der Krümmung der Bahn können wir dann Informationen über den Impuls des Elektrons gewinnen (je schneller es fliegt, desto schwieriger ist es aus seiner Bahn zu bringen). Wir können uns vorstellen, dass wir zusätzlich noch einen Weg finden, das Elektron am Ende seiner Bahn tatsächlich einzufangen und es dann auf eine Waage zu legen, um seine Masse zu bestimmen. (Das könnten wir z.B. mit einem Massenspektrometer erledigen, aber ich bin ja kein Experimentalphysiker, solche technischen Details überlasse ich lieber anderen…)

Unser Elektron kommt natürlich auch irgendwoher – aus einer Elektronenkanone oder irgendeinem Prozess. Dieser Prozess ist die Quelle J(x); unsere Blasenkammer entspricht dem J(y). Zwischen den beiden Quellen fliegt jetzt das Elektron.

Diese Erklärung verwendete allerdings das Teilchenbild – ich habe ja von einem Elektron gesprochen. Wie passt das nun in unsere Quantenfeldtheorie, in der es ja eigentlich gar keine einzelnen Elektronen gibt, sondern nur Anregungen des Elektron-Feldes?

Unser Elektron transportierte Masse, Energie und Impuls (und noch ein paar andere Größen wie elektrische Ladung, Drehimpuls) in unsere Blasenkammer (wobei Energie und Impuls nur zwei Aspekte derselben Sache, des Viererimpulses, sind). Zwischen Masse, Energie und Impuls des Elektrons lässt sich eine Beziehung aufstellen, die laut der speziellen Relativitätstheorie für jedes Teilchen gilt.

i-32267808eacd04e03c1838306169613f-WarnschildFormelWinzig.jpg

Es gilt

E ist die Energie, m die (Ruhe-)Masse, p der Impuls und c die Lichtgeschwindigkeit, die ich hier mal netterweise (hoffentlich richtig) wieder eingebaut habe.

Nach den Regeln für Vierervektoren können wir das umschreiben als

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Kommentare (34)

  1. #1 SCHWAR_A
    13. Januar 2012

    @MartinB:
    “Ich habe keine Ahnung, ob jemand schon mal so eine Feldtheorie zusammengebastelt hat und ob die zu etwas gut wäre. Wir beobachten jedenfalls keine halben Elektronen”

    Da hätt’ ich was für Dich.

  2. #2 SCHWAR_A
    13. Januar 2012

    @MartinB:
    “…warum der Hamilton-Operator die Zeitentwicklung beschreibt?”

    Laut Wikipedia ist doch dieser Operator die Zeitentwicklung (siehe auch “Hamilton-Funktion”), also genau dafür gemacht…

    Herzliche Grüße.

  3. #3 MartinB
    13. Januar 2012

    @SCHWAR_A
    Interessant, was man alles mit Quasi-Teilchen machen kann.

    Was den Hamiltin angeht – der ist ja Zeitentwicklungsoperator und Energieoperator; ich suche ein Argument, warum das eine das andere impliziert. (Ich weiß nen Haufen Herleitungen und formale Argumente, aber kein so richtig griffiges Argument für Nicht-Physiker.)

  4. #4 SCHWAR_A
    13. Januar 2012

    @MartinB:
    Ist eigentlich in Materialien mit Brechungsindex n>1 der Virtuell-Anteil größer? Darin ist doch ebenfalls ω²-k² ungleich m² des Lichts, oder?

  5. #5 SCHWAR_A
    13. Januar 2012

    @MartinB:
    “warum das eine das andere impliziert”

    Vielleicht hilft das:
    – Bei Wellen ist die Energie die zeitliche Änderung dessen, was die Welle ausmacht. Je größer diese (periodischen) Änderungen, desto höher die Energie. Energie und Zeit sind in einer Welle sozusagen dasselbe, nur ineinander umgerechnet.
    – Daher ist das Produkt aus beiden auch in der Heisenberg-Ungleichung enthalten.
    – Auch das Noether Theorem könnte hier weiterhelfen.

    Herzliche Grüße.

  6. #6 SCHWAR_A
    13. Januar 2012

    “Je größer diese (periodischen) Änderungen, …”
    gemeint ist natürlich
    “In je kürzerer Zeit diese Änderungen erfolgen, …

  7. #7 MartinB
    13. Januar 2012

    @SCHWAR_A
    Ja, das sind einige der Erklärungen, die mir auch einfallen – Wellen, Noether, auch unschärfe. Aber irgendwie gibt es garantiert ein schlagendes Argument, warum Energie/Zeit in passender Weise konjugiert sind.
    Das mit dem imaginären Brechungsindex blicke ich gerade gar nicht, aber ich habe auch wenig Zeit, ich jage gerade einen logarithmus in einer Formel…

  8. #8 SCHWAR_A
    13. Januar 2012

    @MartinB:
    Vielleicht ist es besser, die Zeit in Form von Frequenz zu betrachten.
    Dann wird nämlich vieles anschaulicher: Energie pro Frequenz ist ja sehr geläufig als Wirkung…

    Viel Erfolg beim fröhlichen ln-Jagen…

  9. #9 Niels
    13. Januar 2012

    mir fehlen noch ein oder zwei Ideen – hat jemand eine gute anschauliche Begründung, warum der Hamilton-Operator die Zeitentwicklung beschreibt?

    Hm, das ist doch eigentlich eins der Postulate der QM, oder?

    Obiges folgt ja aus der Unitarität des Zeitentwicklungsoperators bzw. aus der Hermitezität des Hamilton-Operators.
    Eine dieser Eigenschaften muss man doch postulieren, damit die Norm des Zustandsvektors zeitlich konstant ist, weil man sonst keine Messwahrscheinlichkeiten vorhersagen kann.

    Tja, das war jetzt wahrscheinlich nicht so wahnsinnig hilfreich…
    Kann man denn Hermitezität bzw. die Unitarität denn irgendwie anschaulich beschreiben?

  10. #10 MartinB
    13. Januar 2012

    @Niels
    Vielleicht habe ich mich mit der Frage ja auch ungeschickt ausgedrückt, ich hätte vielleicht schreiben sollen:
    “Warum der Energieoperator die zeitentwicklung beschreibt.”
    Klar, das steckt letztlich in der Schrödingergleichung, aber die gilt ja in der QFT nicht mehr. Über Frequenz-Argumente u.ä. kann ich mir das auch überlegen, aber mir fehlt noch ein richtig schlagendes intuitives Argument.

  11. #11 Thomas Wolkanowski
    13. Januar 2012

    Hallo, Martin. Du hast doch vor einiger Zeit eine Reihe zur Schrödingergleichung gemacht. Der Hamiltonian ist nur im Infinitesimalen auch gleichzeitig der Zeitentwicklungsoperator – du könntest von der Schrödingergleichung aus starten und im Infinitesimalen schnell durch einfache Differenzbetrachtung zeigen, dass automatisch der Hamiltonian auf der rechten Seite steht und somit den “früheren Zustand (rechts) zum späteren (links) propagiert hat”. Der ganze Beitrag tritt bloß als zusätzlicher Beitrag auf, der zum früheren aufaddiert wird. Könnte man noch ein schönes Bildchen zu machen.

    Ich hoffe, es handelt sich bei dir nur um einen Logarithmus im Reellen… im Komplexen veranstalten die nämlich immer gernen einen Zirkus.

  12. #12 MartinB
    13. Januar 2012

    @Thomas
    Ja, das ist auch einer der Ansätze, an die ich gedacht habe (ich habe ne menge überlegt, bevor ich den Satz oben reingeschrieben habe…) – Problem ist nur, dass ich es ziemlich unschön finde, mit der SGL zu starten, wenn ich QFT mache. Ich hoffe immer noch,d ass es einen intuitiveren Weg gibt.

  13. #13 SCHWAR_A
    13. Januar 2012

    @MartinB:
    “Warum der Energieoperator die zeitentwicklung beschreibt.”

    E = hf = ħω

    und daher ist die Zeitentwicklung zB. einer Welle am Ort x

    e^[i·(k·x – ω·t)] = e^[i·(k·x – E·t/ħ)]

    direkt beschrieben durch die Energie…

  14. #14 MartinB
    13. Januar 2012

    @SCHWAR_A
    Ja klar, wenn ich dann den Zeitentwicklungsoperator anwende, kommt das richtige raus – das macht die Sache ja aber nicht eindeutig. Wie gesagt, Wellen, Noether, Unschärfe sind alles Sachen, über die ich auch schon nachgedacht habe. Mein “Bauchgefühl” sagt mir aber, dass man das einfacher erklären kann…

  15. #15 SCHWAR_A
    13. Januar 2012

    @MartinB:
    Täusche ich mich, oder ist die eigentliche Frage:
    “Wie erkläre ich, daß aus dem Laplace-Operator (Totales Differential), also rein ortsbezogen, die Wellengleichung mit Zeitentwicklung wird?”

  16. #16 MartinB
    14. Januar 2012

    @SCHWAR_A
    Nein, für mich ist die Frage nach wie vor :
    Wie erkläre ich, dass H (also die Energie bzw. der Hamilton-Operator) die Zeitentwicklung beschreibt, z.B. in
    psi(t) = exp(iHt) psi(0)

    Ich bin mir inzwischen nicht so ganz sicher, ob man das wirklich beweisen kann oder ob das nur durch Plausibilität aus der klassischen Physik gefolgert werden kann (z.B. darüber, dass d/dt der Generator einer infinitesimalen Zeitverschiebung ist und die Hamiltonfunktion die zugehörige Erhaltungsgröße) und letztlich als Quantenmechanisches Postulat anzusehen ist.

  17. #17 Thomas Wolkanowski
    14. Januar 2012

    Nun, diese Lösung erfüllt schlicht und ergreifend die Schödingergleichung. Letztere kommt jedoch (für gewönlich) aus einem Postulat der QM, so dass ich dir bei deiner letzten Aussage im Kern beipflichten würde. Die Schrödingergleichung in Ortsdarstellung ergibt sich ja rein heuristisch nach dem Korrespondenzprinzip (also letztlich wieder aus der klassischen Physik). Rein mit unitären Transformationen zu argumentieren ist zwar mathematisch besonder schön (vor allem weil die Schrödingergleichung in Ortsdarstellung dann automatisch auf die Bühne tritt), aber sprengt deine angestrebte Anschaulichkeit. Auch eine Ableitung durch ein Pradintegral erscheint nicht wünschenswert.

    Ich glaube, irgendetwas wirst du wohl voraussetzen müssen.

  18. #18 SCHWAR_A
    14. Januar 2012

    @MartinB:

    Bei Wikipedia (deutsch) “Zeitentwicklung” finde ich “Explizite Form”.
    Dieser Abschnitt zeigt ziemlich schön, wie sich die Zeitentwicklung aus dem Diskreten ergibt.
    (Du hast übrigens ein 1/ħ im Exponenten unterschlagen :-()

    Wenn Du darstellen möchtest, warum H überhaupt eine zeitliche Änderung darstellt bzw. generiert, könntest Du über die Ortsdarstellung des Impuls-Operators gehen, zB. wie in Wikipedia (deutsch) “Hamiltonoperator” im Abschnitt “Quantenmechanisches Teilchen im Potential” dargestellt. Das folgt quasi dem Weg

    Energie -> Impuls -> LaplaceOperator,

    der letztlich zur Wellengleichung, also einer zeitlichen Entwicklung führt.

  19. #19 MartinB
    14. Januar 2012

    @SCHWAR_A
    Wir reden irgendwie aneinander vorbei: Mir ist vollkommen klar, wie man aus der SGL zeigen kann, dass der Hamilton-Operator der Zeitentwicklungsoperator ist.
    Ich suche ein *anschauliches* Argument (ohne oder mit wenig Formeln), mit dem man das *intuitiv* einsehen kann. Denn in der ganzen Serie versuche ich ja immer, die Sachen, die man normalerweise durch Formelei beweist, auch formelfrei zumindest halbwegs einleuchtend zu erklären.
    Und dieses anschauliche Argument sollte auch eigentlich ohne die SGL auskommen – denn die SGL ist ja nicht gerade fundamental, wenn man über QFT redet.

    Eine Möglichkeit ist natürlich, zu zeigen, dass Ort und Impuls passend konjugiert sind – dann kann ich über relativistische Invarianz argumentieren.

  20. #20 Christian
    14. Januar 2012

    Ich finde in Leslie E. Ballentine, Quantum Mechanics wird das sehr schön erklärt (Kapitel 3.3 – Generators of the Galileo Group). Ihre Argumentation ist bisher das mathematisch Strengste und gleichzeitig auch das konzeptionell Anschaulichste, was ich in Bezug auf die Frage, warum H die Zeitentwicklung und P die örtliche EntwicKlung der Wellenfunktion beschreibt, gelesen habe. In Grundzügen und meinen eigenen Worten geht ihre Argumentation so:
    Der Operator exp(i*tau*d/dt) bescheibt die zeitliche Änderung der Wellenfunktion um das Zeitintervall tau, exp(i*lambda*d/dx) entsprechend die örtliche Änderung der Wellenfunktion um lambda (Translationsoperator, irgendwo ist mit Sicherheit ein Vorzeichen falsch^^). Diesen Schritt kann man, denke ich, auch Laien mittels Taylor veranschaulichen und verständlich machen. Ballentine findet daraufhin mehrere Operatorgrößen (Ort, Impuls, Geschwindigkeit, Energie..), deren Eigenwerte sich von den klassischen Größen Ort, Impuls, etc. sich nur durch einen Faktor unterscheiden. Dieser Faktor entpuppt sich dann als h-quer.
    In Analogie zur klassischen Physik werden dann die Operatoren auch “Ort”, “Impuls”, “Energie”, etc. genannt (an dieser Definitions-Stelle muss man wahrscheinlich kurz Noether erwähnen). Von Energie- nach Hamiltonoperator sollte es dann nicht mehr soo weit sein.
    Mir ist klar, dass Ballentines Erklärung für Laien viel zu detailliert ist, aber die Grundideen und der Ausgangspunkt mit den Translationsoperatoren sollten auch einem Anfänger mit ein bisschen Didaktik verständlich zu machen sein. :)

  21. #21 SCHWAR_A
    14. Januar 2012

    “die SGL ist ja nicht gerade fundamental, wenn man über QFT redet.”

    Na klar, weil sie letzlich im Laplace des H-Operators steckt. Also will dieser Zusammenhang, “Laplace -> Wellengleichung”, anschaulich dargestellt werden.

    Ich würde das ganz anschaulich im Diskreten anfangen, und wenn dann das Totale Differential diskret dasteht, also die “Triebfeder” der zeitlichen Änderung der Änderung, den Übergang zur Wellengleichung mit dem Laplace-Operator machen…

    So ganz ohne Rechnung geht es zwar nicht, aber die sind bis zu diesem Übergang einfach und leicht nachzuvollziehen, völlig ohne QFT.

    “Dieser Faktor entpuppt sich dann als h-quer.”

    …sollte man also in diesem Kontext (und sonst auch) nicht unterschlagen…;-)

  22. #22 MartinB
    14. Januar 2012

    @Christian
    Sieht ganz gut aus, das schaue ich mir mal näher an – es scheint so halbwegs zu meiner Intuition zu passen. Danke

    @SCHWAR_A
    So ganz habe ich deinen Zugang noch nicht verstanden. Ich denk noch mal drüber nach.

  23. #23 SCHWAR_A
    14. Januar 2012

    @MartinB:
    …ich hab’ Dir was per eMail geschickt, hier wäre es wohl zu lang…

  24. #24 mar o
    15. Januar 2012

    Die Herangehensweise von Ballentine über die Galilei-Gruppe finde ich auch super. Der Zusammenhang zwischen Zeitentwicklung und Energie ist mir mittlerweile quantenmechanisch klarer als klassisch. Kennt jemand ein gutes Buch, wo das analog für die klassische Mechanik gemacht wird? (also die Beziehungen der Generatoren der Galileo-Gruppe untereinander und zu den dynamischen Variablen hergeleitet). Das hat glaube ich was mit den kanonischen Transformationen der Hamiltonschen Mechanik zu tun. Vielleicht helfen ja auch die Referenzen von Ballentine weiter.

    Noch zwei Anmerkungen:
    1) Zumindest für ein einzelnes Teilchen lässt sich aus dem Blickwinkel auch gut der Zusammenhang mit dem Propagator herstellen. Den kann man ja als Matrixelement des Zeitentwicklungsoperators ansehen: <x’|U(t’-t)|x>.
    2) Die SGL gilt doch auch in der QFT. Nur eben nicht für die Felder (die sind ja Operatoren), sondern wie üblich für die Zustände.

  25. #25 MartinB
    15. Januar 2012

    @mar o
    Äh, die SGL kann in der relativistischen QFT doch nicht gelten (außer als Grenzfall) – oder beziehst du dich auf die QFT in der Festkörperphysik?

    Was den Rest angeht, ich muss nochmal ein paar Bücher wälzen (ich glaube, im Kuypers ist der ganze Mechanik-Kram gut erklärt, ist aber schon ewig her). Und ich muss mir nochmal für die Serie ganz genau klar werden, was ich eigentlich genau für eine Aussage brauche.

    Also @alle (besonders @Bjoern), nicht ungeduldig werden, der nächste Teil kommt. irgendwann. (Hab im Moment an den Wochenenden weniger Zeit als üblich, und da gibt’s noch andere spannende Dinge, die unbedingt verbloggt werden wollen…)

  26. #26 mar o
    15. Januar 2012

    @MartinB:
    Du beziehst dich wahrscheinlich auf die nicht-relativistische SGL in Ortsdarstellung. Die gilt in der QFT natürlich nicht mehr. In ihrer allgemeinen Form gilt die SGL aber in jedem Quantensystem. Der Hamiltonian für das elektromagnetische Feld z.B. besteht aus einer Summe von harmonischen Oszillatoren, für jede Mode einen.

  27. #27 MartinB
    16. Januar 2012

    @mar o
    Ach so – für dich ist SGL sozusagen alles, was die Form H psi=E psi (oder i d/dt psi) hat.

  28. #28 Patrick
    10. Februar 2012

    Hallo Martin
    Ich wollte mich mal ganz herzlich bedanken für Deine Serie hier. Ich habe bereits die Erklärungen zur Schrödingergleichung durchgearbeitet und prima verstanden, obwohl ich nicht Physik studiert habe. Ganz prima finde ich die Formelteile, weil ich im Gegensatz zu Physikbüchern die Chance habe, sie zu verstehen. Im Moment bin ich zwar hart am Limit meiner geistigen Kapazitäten :-), aber zuversichtlich, die grundlegendsten Geheimnisse des Universums ein bisschen verstehen zu können.
    dafür vielen Dank

  29. #29 MartinB
    10. Februar 2012

    @Patrick
    Freut mich sehr – und demnächst geht’s um eins der wirklich grundlegenden geheimnisse: Warum stoßen sich gleiche elektrische Ladungen ab, aber Massen ziehen sich immer an? Das kann man direkt aus der QFT ableiten, wenn man ein bisschen schlampig ist, ist’s nicht mal sehr schwer.

  30. #30 Patrick
    11. Februar 2012

    @Martin
    Ich bin schon sehr gespannt. Denn mit den Wasserwellen, die ich immer noch in meiner Vorstellung habe, funktioniert das nicht, die gehen einfach durch einander hindurch :-}

  31. #31 MartinB
    11. Februar 2012

    @Patrick
    Ja, Wasserwellen sind ja auch (nahezu) linear und lassen sich überlagern. Bis wir ne echte selbst-wechselwirkende QFT bekommen, dauert’s es aber noch ein bisschen.
    Morgen sollte der nächste teil aber fertig sein, da gibt’s dann zumindest Anziehungskräfte.

  32. #32 Aljo
    28. Januar 2014

    Ein äußerst hilfreicher und anschaulicher Beitrag!
    Ich bin froh eine Erklärung zu hören, die auf “Energie-Zeit-Unschärfe” verzichtet!
    Danke Martin!

  33. #33 MartinB
    28. Januar 2014

    @Aljo
    Freut mich, gern.

  34. #34 MartinB
    28. Januar 2014

    Ach so, Nachtrag: Zur “Energie-Zeit-Unschärfe” siehe auch hier:
    http://scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2013/08/04/was-ist-das-vakuum/
    hier
    http://scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2013/08/31/kann-man-das-vakuum-polarisieren/
    und in den anderen Artikeln zum Vakuum aus dem August und September letzten Jahres.