Einstein
In der ART gibt es keine Gravitationskraft – oder anders gesagt, man kann das, was sich in der Newtonschen Physik als Gravitationskraft äußert, als einen Effekt der Raumzeitkrümmung interpretieren. Wie Materie die Raumzeit krümmt, regeln die Einsteinschen Feldgleichungen. Die sehen ziemlich harmlos aus, nämlich so (ich ignoriere hier die berühmte “kosmologische Konstante”, die die beschleunigte Expansion des Universums regelt, die gibt es in der Newtonschen Physik ja nicht und sie spielt auch eh keine Rolle im Sonnensystem ):
G = 8π G T/c4
Die linke Seite, das G, ist dabei ein Ausdruck, der die Raumzeitkrümmung beschreibt (und dessen mathematische Definition ziemlich fies ist, weiter unten gibt es mehr dazu…). Die rechte Seite enthält zunächst mal ein paar Konstanten – neben dem 8π ist das die Gravitationskonstante G (die gibt’s ja auch im Newton-Gesetz) und die Lichtgeschwindigkeit c. (Bitte nicht verwirrt sein, das fettgedruckte G hat mit dem normal gedruckten G nichts zu tun. Stört normalerweise niemanden, weil man in den Rechnungen eh meist ein finsteres Einheitensystem nimmt, bei dem G=1 ist – hatte ich hier auch erst, aber beim nochmal durchgucken dachte ich, mit Naturkonstanten ist es doch schöner.) Und dann steht da der so genannte Energie-Impuls-Tensor T. Das ist ähnlich wie G eine komplizierte Größe, in ihr steckt die Masse (bzw. Energie, nach E=mc²) an jedem Raumpunkt. Zusätzlich stecken auch noch die “Impulsströme” drin – wenn sich Materie bewegt, hat das einen Einfluss auf die Raumzeitkrümmung. (Das ist ein bisschen ähnlich wie in der Elektrodynamik, wo bewegte elektrische Ladungen für Magnetfelder sorgen.) Außerdem enthält der Energie-Impuls-Tensor auch noch die Spannung innerhalb der Materie – wenn ihr eine Feder dehnt oder staucht, herrscht in der Feder eine Spannung, und die hat einen Einfluss auf die Raumzeitkrümmung – bei normalen Federn ist der allerdings unglaublich mini-winzig und kann getrost vernachlässigt werden. Leute die z.B. Neutronensterne berechnen, müssen den Term aber soweit ich weiß berücksichtigen.
Falls ihr wissen wollt, wie der EIT aussieht, hier ein Bild von der englischen Wikipedia, das die Komponenten erklärt. Könnt ihr aber getrost ignorieren, ich diskutiere die eh fast alle weg, bis nur noch einer übrig bleibt:
By Maschen, based on File:StressEnergyTensor.svg created by Bamse – Own work, CC0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=24940142
Ihr merkt schon, hier wimmelt es von fiesester Mathematik und alle möglichen Effekte stecken in der Feldgleichung drin.
Aber wir wollen ja nur die Newtonsche Physik der Gravitation wiederentdecken. Damit können wir eine Menge vereinfachen. Im Energie-Impuls-Tensor spielen all die Anteile, in denen die Spannung steckt, überhaupt keine Rolle. Das liegt schlicht daran, dass die Energien klein sind gegen die Ruheenergie der Masse. Nehmen wir beispielsweise an, ihr nehmt einen Kubikmeter Stahl und quetscht ihn elastisch zusammen, so stark, dass er sich plastisch verformen würde, wenn ihr ihn noch stärker quetschen würdet. Die durch die Spannung gespeicherte Energie ist dann etwa eine Billiarde mal kleiner als die Energie der Masse nach E=mc².
[Kleine Rechnung dazu, könnt ihr auch ignorieren: Die Fließgrenze sei 500MPa, was für nen Stahl ein brauchbarer Wert ist. Die gespeicherte Energie ist dann (1/2)σ²/E, wobei das σ die Spannung ist und das E der Elastizitätsmodul (200GPa für Stahl). Das macht eine Energie von 625000J pro Kubikmeter, wenn ich mich nicht verrechnet habe. Die Energie, die der Stahlwürfel durch seine Masse hat, beträgt allerdings 7.2 ⋅1020 J (also 720000000000000000000J).]
Auch die ganzen Impulsströme können uns egal sein – so lange die Geschwindigkeiten klein sind gegen die Lichtgeschwindigkeit (und das sind sie im Sonnensystem ja) spielen sie keine Rolle.
Auf der rechten Seite der Einstein-Gleichung ist also nur der Teil relevant, der direkt die Masse (oder die Energie mc²) enthält. Hat man einen ausgedehnten Körper, kann man stattdessen auch die Dichte betrachten. (Wie die Terme rechts mathematisch genau aussehen, dazu sage ich hier nichts – wer hinreichend Mathematik kann, kann das in so ziemlich jedem Buch zur ART nachlesen, wer nicht so Mathe-begeistert ist, wird durch die ganzen Terme und so Dinge wie Tensor-Indices nur abgeschreckt. Hier geht’s ums Prinzip, nicht ums herleiten. Falls ihr ne Herleitung braucht – das Buch von Misner Thorne Wheeler zeigt das in Kap. 17.4 und 18 einigermaßen ausführlich, wenn auch in einer etwas anderen logischen Reihenfolge, weil dort umgekehrt die bekannte Newtonsche Physik verwendet wird, um die Konstanten in der Einstein-Gleichung festzunageln.)
Die linke Seite der Gleichung sagt etwas über die Raumkrümmung. Das G ist der Einstein-Tensor, und dessen mathematische Struktur ist auch nicht gerade Mathe-Stoff in der Grundschule, um es vorsichtig auszudrücken. Der Einstein-Tensor enthält unter anderem “nicht-lineare” Terme, das sind solche, bei denen die Raumzeitkrümmung auf sich selbst zurückwirkt, und auch solche Terme, bei denen sich Krümmungen der Raumzeit selbst im Raum ausbreiten können (so wie bei Gravitationswellen). Das sind alles coole und abgefahrene Effekte, aber mit der Newtonschen Physik haben sie nichts zu tun.
Sind die Krümmungen in der Raumzeit klein, dann kann man die sogenannte “linearisierte Theorie” verwenden – dabei wird angenommen, dass die Raumzeit nahezu flach ist und dass die Abweichungen von einer flachen Raumzeit sehr klein sind. Wir können dann – insbesondere, wenn wir einzelne Objekte angucken, die sich im Schwerefeld eines viel schwereren Körpers bewegen, so wie die Erde in dem der Sonne oder ein Satellit auf der Bahn um die Erde – die räumliche und die zeitliche Komponente der Raumzeitkrümmung getrennt voneinander betrachten. (Hinweis: Das geht natürlich nur im geeigneten Bezugssystem; wen ihr euch nahezu lichtschnel bewegt, dann sorgt die Spezielle Relativitätstheorie dafür, dass sich Raum- und Zeit-Verzerrung vermischen. Ist uns aber hier egal, wir machen Newtonsche Physik, sind langsam relativ zur Sonne, alle Geschwindigkeiten sind klein und solche Effekte spielen keine Rolle.)
Die zeitliche Komponente der Raumzeitkrümmung ist nichts anderes als die berühmte Zeitdilatation. Nicht die aus der speziellen Relativitätstheorie (bei der Uhren in schnell bewegten Objekten von außen betrachtet langsamer erscheinen), sondern die der ART. Wenn ihr euch in der Nähe einer Masse befindet (in der Sprache der klassischen Physik “in einem Schwerefeld”), dann geht eure Uhr langsamer als für jemanden im freien Weltall. Der Effekt ist klein, ist aber inzwischen gut nachgewiesen worden.
Die räumliche Komponente der Raumzeitkrümmung äußert sich ähnlich wie die Krümmung auf der Erdoberfläche: Wenn ihr in der Nähe einer Masse ein Dreieck malt, dann ist die Winkelsumme nicht exakt 180° (ist sie auf der Erdoberfläche auch nicht – ihr könnt ein Dreieck vom Norpol zu zwei Punkten auf dem Äquator malen, das drei rechte Winkel hat), wenn ihr einen Kreis malt, dann ist das Verhältnis von Durchmesser zu Umfang nicht gleich der Kreiszahl π, sondern etwas größer. Diese Effekte habe ich in meiner alten Serie zur Raumzeitkrümmung ausführlich abgehandelt; da wir im zweiten Teil ohnehin sehen werden, dass die Raumkrümmung für die Bewegung von Teilchen im Schwerefeld (in der Newtonschen Näherung) keine Rolle spielt, gehe ich darauf nicht weiter ein.
So, jetzt aber mal ein bisschen mehr auf den Punkt – wie groß ist denn nun der Effekt einer Masse auf die Zeitdilatation und die Raumverzerrung?
Das lässt sich mit der Einsteinschen Feldgleichung ausrechnen. Heraus kommt, dass die Zeit im Abstand R von einer Masse M um den folgenden Faktor verlangsamt ist:
Vergleicht das mit der Formel für das Gravitationspotential oben – ihr seht, dass da zumindest derselbe Ausdruck drinsteht, nur mit einem zusätzlichen Faktor 2/c² versehen.
Die Formel für die Verzerrung des räumlichen Maßstabs ist (bis auf ein Vorzeichen) ähnlich, ich schreibe sie aber nicht extra hin, weil sie nachher eh keine Rolle spielt.
Immerhin: auch wenn wir zwei ganz unterschiedliche Größen betrachtet haben (einmal eine potentielle Energie im Schwerefeld, einmal eine Zeitdilatation), tauchen zumindest dieselben Größen in beiden Theorien auf, sowohl bei Newton als auch bei Einstein. Aber ansonsten haben die beiden Theorien scheinbar wenig miteinander zu tun. Wie wirkt sich die Zeitdilatation auf die Bewegung eines Teilchens aus und führt am Ende dazu, dass sich das Teilchen so bewegt, als würde eine Kraft wirken? Klingt doch ziemlich unglaublich – die Zeit vergeht einen Meter über dem Erdboden eine unglaubliche Winzigkeit schneller als direkt am Erdboden, und das soll dazu führen, dass ein Stein, den ihr werft, auf einer schönen Parabelbahn fliegt?
Dass das tatsächlich funktioniert, schauen wir uns im zweiten Teil an (auf den müsst ihr aber noch etwas warten…).
Quellenangaben:
Neben dem Buch von Misner, Thorne, Wheeler habe ich noch diese Lecture notes verwendet, die sind kurz, aber auf den Punkt, und insbesondere stehen alle Naturkonstanten drin…
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