Was ist eine “mitbewegte Entfernung”?

Von Alderamin / 28. Mai 2018 / 53 Kommentare

Hubble Extreme Deep Field - fernste Galaxien. Bild: NASA; ESA; G. Illingworth, D. Magee, and P. Oesch, University of California, Santa Cruz; R. Bouwens, Leiden University; and the HUDF09 Team, gemeinfrei.

Im Augenblick sind wir bei Alpha Cephei bei der astronomischen Entfernungsbestimmung und wir haben schon einige Methoden kennen gelernt:

Die Messung der Sternenparallaxe
Sternstromparallaxe bei Sternhaufen
Die Bestimmung des Entfernungsmoduls aus bekannter absoluter und gemessener scheinbarer Helligkeit (Cepheiden, RR-Lyrae-Sterne, Supernovae; “Standardkerzen”)
prinzipiell kann man bei bekannter Größe eines Objekts (“Standardlineal”) auch auf seine Entfernung schließen, indem man seinen Winkeldurchmesser bestimmt – das ist gewissermaßen die Parallaxe in der anderen Richtung angewendet. Tatsächlich hat man diese Methode schon zur Entfernungsbestimmung einer Galaxie mit einem supermassereichen Schwarzen Loch angewendet, das von einem Staubring umgeben ist. Wenn das Schwarze Loch im UV-Bereich aufflackert, dann wird 30 Tage später der Staubring im Infraroten heller, weil das Licht 30 Tage braucht, um die Strecke vom Schwarzen Loch zum Staubring zurück zu legen. Damit ist der wahre Abstand bekannt (30 Lichttage = 5200 AE) und durch Messung des Winkelabstands erhält man ein schmales, gleichseitiges Dreieck mit einer bekannten Seitenlänge und dem gegenüberliegenden Winkel – damit kann man die anderen Seiten berechnen, genau wie bei der Parallaxe.
Schließlich die Rotverschiebung z aufgrund der kosmischen Expansion. Die Entfernung von Galaxien folgt aus dem Hubble-Gesetz: pro Megaparsec nimmt die Rotverschiebung um einen Betrag zu, der einer scheinbaren Dopplergeschwindigkeit von rund 73 km/s entspricht.

Und wenn man die Entfernung kennt, kennt man auch die Lichtlaufzeit: pro Lichtjahr Entfernung braucht das Licht ein Jahr Laufzeit, pro Parsec 3,26 Jahre, pro Megaparsec 3,26 Millionen Jahre.

Normalerweise ergeben alle diese Messungen den gleichen Entfernungswert. Für Sterne und nahe Galaxien funktioniert das auch. Aber wenn man in die Hunderte Millionen oder gar in die Milliarden von Lichtjahren geht, dann stimmt das nicht mehr, und die Lichtlaufzeit passt auch nicht mehr so recht ins Bild. Denn wir leben in einem expandierenden Universum.

Die Hubble-Konstante (?)

Das Weltall expandiert überall (außer zwischen Objekten, die durch Kräfte wie die Schwerkraft aneinander gebunden sind) mit einer festen Rate, die durch die Hubble-Konstante H₀ beschrieben wird, die nach Edwin Hubble benannt ist, der 1929 darüber die erste in Englisch verfasste Veröffentlichung geschrieben hatte (2 Jahre zuvor hatte der belgische Priester und Astrophysiker Georges Lemaître bereits einen französischen Artikel in einer unbedeutenden Fachzeitschrift darüber verfasst, der aber damals unbeachtet blieb). Ein Megaparsec wächst um H₀=73 km/s, 2 Megaparsec um 2H₀=146 km/s, 10 Megaparsec um 10H₀=730 km/s usw.

Allgemein gilt, dass eine Entfernung r mit der Hubble-Geschwindigkeit H₀·r wächst. Dies ist das Hubble-Gesetz.

Die Einheit (km/s)/Mpc (oder gebräuchlicher km s^-1 Mpc^-1) ist für Astronomen ganz natürlich weil so der Messung entnommen (je Mpc nimmt die Rotverschiebung um einen Betrag zu, die einer “Flucht”-Geschwindigkeit von 73 km/s gleicht), aber für Physiker ist sie etwas schräg, weil sie Strecke/Strecke enthält. Man kann in der Angabe 73 km s^-1 Mpc^-1 die km und Mpc gegeneinander wegkürzen und erhält einen Wert in s^-1, also eine Frequenz oder Rate (relative Änderung pro Zeiteinheit).

1 Mpc = 3,26·10⁶ LJ = 3,08·10¹⁹ km,
also H₀=(73 km/s) / (3,08·10¹⁹ km) = 2,37·10^-18 s^-1.

D.h. jede Strecke r verlängert sich pro Sekunde um den 2,37·10^-18ten Teil, d.h um r·2,37·10^-18 oder einen Faktor 1+ 2,37·10^-18.

Die Hubble-“Konstante” ist zeitlich übrigens alles andere als konstant – sie ist es nur räumlich (und deshalb ist der Name gerechtfertigt; wer ihn nicht mag, kann ihn alternativ “Hubble-Parameter” nennen und wird verstanden werden). H₀ ist der Name der aktuellen Hubble-Konstante und H(t) derjenigen zum Weltalter t. Selbst in einem Universum, in dem so wenig Masse enthalten wäre, dass seine Expansion nicht unter der eigenen Schwerkraft gebremst würde (was in unserem Universum während der ersten 7 Milliarden Jahre geschah) und das nicht von einer Dunklen Energie angetrieben würde (die seither die Oberhand gewonnen hat), wäre H(t) nicht konstant, sondern würde stetig fallen, weil die Galaxien ihre momentane Expansionsgeschwindigkeit dann einfach beibehielten. Wenn das Weltall doppelt so groß wie heute geworden ist, dann würden in so einem Universum Galaxien mit der halben Geschwindigkeit so weit gekommen sein wie es heutige Galaxien schon sind, d.h. die Hubble-Konstante wäre dann nur noch 36,5 km s^-1 Mpc^-1. Auf lange Sicht würde sie gegen 0 fallen.

Entwicklung des Hubble-Parameters (in km/s/Mpc, y-Achse) über dem Weltalter (Milliarden Jahre, x-Achse). Kreuz beim heutigen Wert. Quelle: Niels/Wolfram-Alpha

Entwicklung des Hubble-Parameters (in km s^-1 Mpc^-1, y-Achse) über dem Weltalter (Milliarden Jahre, x-Achse). Kreuz beim heutigen Wert. Bild: Niels/Wolfram-Alpha.

Die Dunkle Energie sorgt nun aber dafür, dass H(t) gegen einen festen Wert >0 fällt (siehe Schaubild). Sie ist, wie es nach den Beobachtungen aussieht, eine Eigenschaft des Vakuums, mit einer gewissen festen Rate zu wachsen. Die Materie, die sich wechselseitig anzieht und dabei auch die Raumzeit beeinflusst, konnte da anfangs ein wenig gegenhalten und die Expansionsgeschwindigkeit über das oben beschriebene Absinken hinaus abbremsen (wie ein hochgeworfener Stein, der langsamer wird), aber seit 7 Milliarden Jahren hat sie der Dunklen Energie nichts mehr entgegenzusetzen, sie hat sich schon zu sehr im Raum verdünnt. Nur lokal innerhalb von Bereichen von ca. 20 Mpc halten die Galaxien noch durch ihre Schwerkraft zusammen. Jenseits davon übersteigt die Raumexpansion die Fluchtgeschwindigkeit von Galaxienhaufen und es gibt keine Wiederkehr – falls sich am Wert der Dunklen Energie nichts mehr ändert, was nicht vollkommen sicher ist, angesichts von Diskrepanzen zwischen den Werten von lokal gemessener Hubble-Konstante (73,52±1,62 km s^-1 Mpc^-1 laut Gaia DR2) und Messungen in der Hintergrundstrahlung durch das Weltraumteleskop Planck (67,8±0,9 km s^-1 Mpc^-1).

Die Lichtlaufzeitentfernung

Was das etwa für die Lichtlaufzeit bedeutet, kann man sich am Beispiel einer Ameise klarmachen, die über einen Luftballon von einem Punkt zum krabbelt, während dieser aufgeblasen wird. Wenn die Ameise los krabbelt, befinden sich Start- und Zielpunkt in einer bestimmten Entfernung. Angenommen, die Ameise braucht so lange, um das Ziel zu erreichen, bis sich der Umfang des Ballons (und damit auch die anfängliche Entfernung) verdoppelt hat. Welche Strecke hat die Ameise dann tatsächlich zurück gelegt?

mehr als die Entfernung zu Beginn, denn der Ballon wuchs ja während sie die Strecke zurücklegte
weniger als die Entfernung beim Eintreffen am Ziel, denn die Strecke wuchs die ganze Zeit vor und hinter der Ameise, aber sie brauchte zu jeder Zeit immer nur den noch vor ihr liegenden Teil der Strecke zu überwinden.

Eine Ameise kriecht im expandierenden Universum von A (Start zur Zeit 0) nach B (Ankunft zu Zeit t). Während der Weg vor und hinter der Ameise wächst, ist für den Restweg nur die Expansion vor ihr relevant, für die Entfernung zwischen A und B zur Zeit t aber die gesamte Expansion. Der von der Ameise zurückgelegte Weg (gelb) ist daher länger als die Entfernung A(0)-B(0), aber kürzer als A(t)-B(t).

Eine Ameise kriecht im expandierenden Universum von A (Start zur Zeit 0) nach B (Ankunft zur Zeit t). Während der Weg vor und hinter der Ameise wächst, ist für den Restweg nur die Expansion vor ihr relevant, für die Entfernung zwischen A und B zur Zeit t aber die gesamte Expansion. Der von der Ameise zurückgelegte Weg (gelb) ist daher länger als die Entfernung A(0)-B(0), aber kürzer als A(t)-B(t). Bild: Autor.

Genau so ergeht es einem Lichtstrahl im expandierenden Universum.

Damit ist schon einmal klar, dass die vom Licht zurückgelegte Strecke größer als die ursprüngliche Entfernung vom Objekt bis zu uns ist, und kleiner, als die heutige Entfernung. Man spricht von der Lichtlaufzeitentfernung (engl. light travel distance). Ist eine Galaxie so weit weg, dass ihr Licht zu uns 10 Milliarden Jahre benötigt hat, wäre ihre Lichtlaufzeitentfernung 10 Milliarden Lichtjahre, und die wird in der Presse regelmäßig als “die Entfernung” kosmologischer Objekte zitiert. Aber was ist denn dann mit der ursprünglichen/heutigen Entfernung genau gemeint?

Die Eigendistanz

Nun, wir könnten uns einen langen Faden denken, der just in diesem Moment zwischen der fernen Galaxie und uns gespannt wäre (und sofort zerreissen würde, wenn man ihn an beiden Ende festhielte). Da für beide Orte (ferne Galaxie, hier) die gleiche Zeit seit dem Urknall vergangen ist, wenn sie relativ zur lokalen Raumexpansion ruhen, ist der Abstand wohldefiniert, wir haben es nicht mit relativistisch gegeneinander bewegten Beobachtern zu tun, die sich nicht auf einen gleichzeitigen Zeitpunkt einigen können. Man könnte also einen Faden, der sich dehnen lässt, aber nicht wieder elastisch verkürzt, wenn man ihn loslässt (so etwas wie ein Klebstofffaden) kurz nach dem Urknall an beiden Enden packen und ihn dann über die Zeit dehnen, bis man nach vorher vereinbarter Zeit das Ende bei der fernen Galaxie loslässt. Wickelt man dann den Faden zum anderen Ende hin auf und misst seine Länge, so erhält man die Eigendistanz (engl. proper distance) zur Zeit des Loslassens. Die Eigendistanz ist die eigentliche Entfernung, die dem bürgerlichen Begriff am nächsten kommt. Die Eigendistanz ist diejenige, die man in Zeitungsartikeln angeben sollte. Sie ist mit obigem Argument stets größer als die Lichtlaufzeitentfernung. Sie kann deshalb auch deutlich größer sein, als das Weltalter mal Lichtgeschwindigkeit, denn jenseits einer hinreichend großen Entfernung (dem sogenannten Hubble-Radius) beträgt die Wachstumsrate mehr als die Lichtgeschwindigkeit. Wir haben oben gesehen, dass jedes Mpc pro Sekunde um 73 km wächst. Wenn die Entfernung 4110 MPc = 4,11 GPc = 13,4 GLJ beträgt, dann wächst diese Entfernung pro Sekunde um 300.000 km. Dies ist der Hubble-Radius (für H₀=73 km s^-1 Mpc^-1 ; es gibt ja, wie gesagt, verschiedene Werte, je nachdem, ob man in der Nähe/heute oder Ferne/Frühzeit des Universums misst – unabhängig vom Fallen des Hubble-Parameters).

Die Eigendistanz des fernsten Orts, der jemals in Kontakt mit uns gewesen sein kann (und somit der Durchmesser des beobachtbaren Universums, wenn unter ‘Beobachtung’ auch hypothetische Gravitationswellen fallen, die wir theoretisch noch jenseits der Hintergrundstrahlung messen könnten) beträgt 46,5 Milliarden Lichtjahre. Dieser Radius wird auch als Partikelhorizont bezeichnet, denn kein Teilchen, das mit uns jemals einen gemeinsamen Ort teilte, kann heute weiter entfernt sein.

Die mitbewegte Entfernung

Manchmal ist die Expansion des Universums unpraktisch in einer Betrachtung, z.B. wenn man die Bewegungen der Galaxien in einem Galaxienhaufen betrachtet, der von der kosmischen Expansion auseinander gezogen wird. Wenn man die Raumexpansion einfach mal ausklammern möchte, kann man die mitbewegte Entfernung (engl. comoving distance) verwenden. Die mitbewegte Entfernung ist zunächst einfach die Eigendistanz zur heutigen Zeit. Aber sie ist so definiert, dass sie diese Distanz auch zu jedem anderen kosmologischen Zeitpunkt ansetzt, die Expansion des Universums wird einfach heraus gerechnet. Man verwendet einen Maßstab, der genau mit dem Universum wächst. Es ist so, also ob auf dem oben beschriebenen Klebstofffaden in bestimmten Abständen Abstandsmarkierungen angebracht wären, die sich mit dem Faden auseinander zögen. Wann immer man den Faden kappt und einwickelt, er wird die selbe Zahl von Abstandsmarken tragen. Dies ist die mitbewegte Entfernung.

Der Skalenfaktor und die Rotverschiebung

Um wieviel sich unser Klebstofffaden mit den festen Markierungen gegenüber einem nicht wachsenden Entfernungsmaß gedehnt hat (bzw. jede mit dem Weltall wachsende Eigendistanz gegenüber der heutigen Eigendistanz, d.h. der mitbewegten Entfernung), diese Größe nennt man den Skalenfaktor und kürzt ihn meist mit a ab (oder oft a(t) für den Skalenfaktor zum Weltalter t, manchmal a₀ für den heutigen). Der heutige Skalenfaktor wird zu 1 gesetzt (ohne Einheit). Als die Entfernungen im Universum noch halb so groß waren wie heute betrug der Skalenfaktor demgemäß 0,5 und wenn das Universum irgendwann doppelt so groß wie heute sein wird, dann wird der Skalenfaktor 2 betragen. Wenn man den Skalenfaktor kennt, kann man also sofort ausrechnen, welcher damaligen Eigendistanz eine bestimmte mitbewegte Entfernung (bzw. heutige Eigendistanz) entspricht.

Aber woher will man wissen, wie groß der Skalenfaktor damals war? Das ist verblüffend einfach: nicht nur der Raum dehnt sich aus, auch das Licht, das ihn durcheilt. Seine Wellenlänge verlängert sich genau wie die unser Klebstofffaden. Wenn man die Rotverschiebung der Wellenlänge einer fernen Galaxie wissen will, braucht man bekanntlich nur die stets im Sternenlicht (der gesamten Galaxie) vorhandenen Spektrallinien des Wasserstoffs zu suchen und zu messen, wie weit sie gegenüber ihrer Soll-Wellenlänge verschoben sind. Hα (die unsere Sternentstehungsgebiete so schön rot leuchten lässt) liegt z.B. normalerweise bei 650 nm. Findet man sie bei 812,5 nm, um 162,5 nm zu längeren Wellenlängen verschoben, dann beträgt die Rotverschiebung z = 162,5nm/650nm = 0,25 – die Wellenlänge ist um 25% verlängert. Anders ausgedrückt haben sich die Lichtwellenlängen um den Faktor 1,25 durch die Raumexpansion verlängert. Das Universum war zur Zeit, als das Licht auf den Weg ging, folglich 1,25 mal kleiner als heute. Der Skalenfaktor betrug damals 1/1,25 = 0,8 und die Galaxie war uns 0,8-mal näher als heute. Allgemein gilt:

$a=\frac{1}{z+1}$

Das “z+1” rührt daher, dass die Rotverschiebung z nicht den Streckungsfaktor des Lichts angibt, sondern die Änderung der Wellenlänge relativ zur ursprünglichen Wellenlänge. Praktischer hätte ich eine Definition gefunden, bei der die beobachtete durch die Referenzwellenlänge dividiert würde, dann hätte man den Skalenfaktor direkt als Kehrwert dieser Größe gehabt, aber gebräuchlich ist die obige Definition, Wellenlängenänderung / Referenzwellenlänge.

Die Rotverschiebung z ist übrigens die in der Kosmologie gebräuchliche Entfernungsangabe, denn sie ist direkt gemessen und unabhängig von der Hubble-Konstanten oder der zeitlichen Entwicklung des Skalenfaktors. In kaum einer wissenschaftlichen Arbeit wird man eine kosmologische Entfernung in Lichtjahren finden. Die werden dann von der Presse nach Gutdünken eingesetzt, meistens als Lichtlaufzeitentfernung.

Wenn der Skalenfaktor die relative Größe des Universums ausdrückt, dann muss seine Änderung etwas über seine Expansionsgeschwindigkeit und damit die Hubble-Konstante aussagen (genau so, wie die Zunahme der Entfernung dr pro Zeiteinheit dt etwas über die Fluchtgeschwindigkeit aussagt: $v = dr/dt$ ; Physiker schreiben die Ableitung nach der Zeit gerne verkürzend als Pünktchen über der abgeleiteten Größe, also $v=\dot{r}$ ). Und das ist in der Tat so: wenn sich etwa eine Strecke $r(t)$ beim Weltalter t um $dr(t)/dt = \dot{r}(t)$ ändert, dann wissen wir aus dem Hubble Gesetz (s.o), dass mit der vom Weltalter t abhängenden Hubble-Konstante H(t) gilt:

Expansionsgeschwindigkeit der Strecke r(t): $\dot{r}(t) = H(t)\cdot r(t)$
oder anders ausgedrückt $H(t)=\dot{r}(t)/r(t)$ .

Da für den Skalenfaktor gilt $a(t) = {r(t)}/r_0$ (der Skalenfaktor ist gleich der Länge der Strecke r zur Zeit t im Verhältnis zur heutigen Länge r₀) folgt auch für die Änderung von r nach der Zeit: $\dot {a}(t) = \dot {r}(t)/r_0$ .

Damit gilt $H(t)=\dot{r}(t)/r(t)=\frac{\dot {r}(t)/r_0}{{r(t)}/r_0}\equiv\dot {a}(t)/a(t)$ .

Und genau so wird H(t) in der Kosmologie definiert:

H(t) ist die Änderung des Skalenfaktors zur Zeit t, bezogen auf den Skalenfaktor zur Zeit t.

Womit das dann auch geklärt wäre.

Entwicklung des Skalenfaktors (y-Achse) über dem Weltalte (Milliarden Jahre, x-Achse). Kreuz beim heutigen Wert. Bild: Niels/Wolfram-Alpha.

Entwicklung des Skalenfaktors (y-Achse) über dem Weltalter (Milliarden Jahre, x-Achse). Kreuz beim heutigen Wert. Bild: Niels/Wolfram-Alpha.

Weltalter

Wie oben gesehen hat H (H₀ wie auch H(t)) die Einheit 1/s. Der Kehrwert ergibt also eine Zeit, genannt Hubble-Zeit t_H= 1/H₀. Für H₀ = 73 km s^-1 Mpc^-1 = 2,37·10^-18 s^-1 gilt beispielsweise t_H=422·10¹⁵ s = 13,37 Milliarden Jahre. Dies entspräche dem Weltalter, wenn H zeitlich konstant wäre, aber es ist eine ordentliche Näherung. Wenn man das Weltalter genau wissen will, muss man über die zeitliche Entwicklung von 1/H(t) integrieren. Tun wir hier aber nicht.

Leuchtkraftentfernung

Wenn man mit Supernovae die Entfernung sehr weit entfernter Galaxien messen will, dann muss man zwei Effekte beachten: durch die Rotverschiebung wird die Lichtwellenlänge länger. Da die Energie eines Lichtquants linear von seiner Wellenlänge abhängt, wird das Licht schon alleine durch die Rotverschiebung dunkler, als es durch die Entfernung normalerweise würde. Außerdem erreichen uns durch die mit der Rotverschiebung einhergehende kosmologische Zeitdilatation, die nicht nur das Schwingen der Lichtwellen, sondern jeglichen zeitlichen Prozess zu verlangsamen scheint (Supernovae-Lichtkurven werden entsprechend zeitlich gestreckt), weniger Lichtquanten pro Zeiteinheit, so dass die Supernovae um den Faktor (1+z)² dunkler erscheinen, als sie es in einem nicht-expandierenden Universum wären. Dadurch scheint ihre Entfernung gemäß der gewöhnlichen Formel mit dem Entfernungsmodul größer zu sein, als sie es tatsächlich ist. Dies muss man beachten, wenn man kosmologische Entfernungen mit Supernovae misst. Um die richtige Entfernung zu erhalten, muss man wissen, wie sich der Skalenfaktor über die Zeit entwickelt hat, und dessen Entwicklung wird durch die Materiedichte Ω_m und die Dichte der Dunklen Energie Ω_Λ bestimmt. Umgekehrt kann man durch Messung vieler Supernovae für verschiedene z genau diese Entwicklung des Skalenfaktors ableiten, wie dieses Bild von Supernova-Messungen zeigt. Hier wird lediglich angenommen, dass Ω_m + Ω_Λ = 1 ist, eine notwendige Bedingung, wenn das Universum geometrisch flach sein soll (was wiederum aus Messungen der Strukturen in der Hintergrundstrahlung gefolgert werden kann).

Messungen der Leuchtkraftentfernung (y-Achse, logarithmisch; d_L(z) ist die Leuchtkraftentfernung bei Rotverschiebung z, H₀·d_L(z)/c ist die Hubble-Fluchtgeschwindigkeit in Einheiten von c; 0 an der Achse bedeutet Lichtgeschwindigkeit, aber d_L ist stark überschätzt, s.u.) von Typ-Ia-Supernovae über der Rotverschiebung z (x-Achse). Im Vergleich erwartete Kurven für verschiedene Dichten von Materie Ω_m und Dunkler Energie Ω_Λ in einem flachen Universum (Summe = 1). Diese beweisen die Existenz der Dunklen Energie. Bild: [1]

Winkeldurchmesserentfernung

Eingangs hatte ich ein Beispiel genannt, wie aus einem bekannten Durchmesser eines Objekts auf die Entfernung geschlossen werden konnte. Auch für Galaxien kann man dies tun und bemerkt dann, dass sie jenseits einer Rotverschiebung von 2 aufhören, kleiner zu werden. Strukturen in der Mikrowellen-Hintergrundstrahlung zeigen Korrelationen (sprich: Spuren von Temperaturausgleich durch Druckwellen) bis zu einem Sehwinkel von 1° – gemäß einer Eigendistanz von 45,5 Milliarden Lichtjahren der Hintergrundstrahlung entspräche das einem Abstand von 794 Millionen Lichtjahren, und das bei einem Weltalter von damals nur 380.000 Jahren, was gänzlich unmöglich ist. Der Grund liegt aber ganz einfach darin, dass das Universum damals 1080 mal kleiner war als heute (z = 1080, Skalenfaktor 1/1081). Der Sehwinkel von 1° war damals nur 450.000 Lichtjahre groß (bei einem Weltalter von 380.000 Jahren konnten sich Dichtewellen im Plasma in Kombination mit der Raumexpansion so weit ausbreiten), aber erscheint am Himmel immer noch ungefähr so groß wie heute. Laut z liegt die Hintergrundstrahlung heute 45,5 Milliarden Lichtjahre entfernt. Laut Winkelabstand nur 42,2 Millionen. Dies ist die Winkeldurchmesserentfernung (engl. angular diameter distance). Im unteren Bild soll verdeutlicht werden, warum Objekte in großer Entfernung vergrößert erscheinen.

Objekte, die wir in der Frühzeit des Unviersums sehen, erscheinen perspektivisch vergrößert, weil sie uns früher näher waren und ihr Sehwinkel einem kleineren Durchmesser entsprach als heute.

Objekte, die wir in der Frühzeit des Universums sehen, erscheinen perspektivisch vergrößert, weil sie uns früher näher waren und ihr Sehwinkel einem kleineren Durchmesser entsprach als heute. Bild: Autor, Pixabay (gemeinfreie Cliparts).

Übersicht

Das nächste Bild zeigt noch einmal, wie die verschiedenen Entfernungen für zunehmendes z auseinander driften:

Verschiedene Entfernungsmaße, die sich für gleiches z aus verschiedenen Messungen ergeben. Luminosity = Leuchtkraftentfernung, naive Hubble = Rotverschiebungs-Äquivalentgeschwindigkeit/H₀, LOS comoving = mitbewegte Entfernung = heutige Eigendistanz, Lookback time = Lichtlaufzeitentfernung, Angular diameter = Winkeldurchmesserentfernung. Bild: Wikimedia Commons, gemeinfrei.

Die Leuchtkraftentfernung erscheint wegen der raschen Abschwächung des Lichts mit z durch Zeitdilatation und Rotverschiebung am größten. Danach folgt “naive Hubble”, die wir hier nicht besprochen hatten – man setzt einfach die Rotverschiebung in eine relativistische Doppler-Geschwindigkeit um und teilt diese dann durch H₀, welches eine Entfernung ergibt, d.h. man extrapoliert die heutige Hubble-Konstante auf das frühe Universum, wo sie tatsächlich viel höher war. Daher wird die Entfernung stark überschätzt.

“LOS comoving” steht für “Line of Sight comoving” und meint die mitbewegte Entfernung in radialer Richtung, daher “LOS” (nicht besprochen haben wir, dass es auch eine Ausdehnung in transversaler Richtung, senkrecht zur Blickrichtung gibt, die aber im flachen Universum gleich skaliert wie die radiale Ausdehnung). Diese konvergiert mit wachsendem z gegen die genannten 46,5 Milliarden Lichtjahre Partikelhorizont (logarithmische Skala).

Als nächstes von oben folgt die Lichtlaufzeit, hier “Lookback time” genannt. Diese konvergiert gegen das Weltalter, knapp 14 Milliarden Jahre.

Und zuletzt die Winkeldurchmesserentfernung. Diese konvergiert gegen 0(!), d.h. hinter dem undurchdringlichen Vorhang der Hintergrundstrahlung bei z=1080 verbirgt sich die Urknall-Singularität. Alles was weiter als z=2 ist, erscheint größer als ein gleich großes Objekt in viel kleinerer Entfernung.

Kosmologie-Rechner

Wer angesichts der verschiedenen Entfernungsmaße verzweifelt oder einfach wissen will, wie er von z aus einem Paper auf eine realistische Entfernung kommt (Journalisten! Hallo!), dem sei der Kosmologie-Rechner von Edward “Ned” L. Wright ans Herz gelegt. Der berechnet fast alle zuvor genannten Größen. Oben links findet man ein Eingabefeld, und da kann man die Parameter des kosmologischen Modells eingeben (Achtung, Dezimalpunkt, nicht Komma verwenden – das schmeißt keinen Fehler, aber es wird dann nur der Vorkommateil verwendet!):

die (heutige) Hubble-Konstante H₀,
die Materiedichte Ω_m und
die Rotverschiebung z.

Die Werte sind nach bestem Wissen und Gewissen (zur Zeit des letzten Updates) vorbesetzt, man kann sich also auf die Eingabe von z beschränken. Wenn man für ein flaches Universum mit Dunkler Energie der Dichte Ω_Λ=1-Ω_m rechnen möchte, klickt man danach auf “Flat”. Wenn man auf “Open” klickt , wird ein Universum ohne Dunkle Energie (Ω_Λ=0) für das gegebene Ω_m berechnet. Will man ein Universum mit beliebig vorgegebener Dichte der Dunklen Energie rechnen, so füllt noch das entsprechende Feld aus (hier: Omega_vac) und klickt “General”.

Danach erscheinen rechts die entsprechend berechneten Werte:

Es wird das Weltalter heute und zur Zeit der Ausstrahlung des Lichtes mit Rotverschiebung z angegeben. Der Skalenfaktor wird geschludert, 1/(1+z) auszurechnen war vermutlich unter Neds Würde. Für die mitbewegte Entfernung wird auch das Volumen der entsprechenden Kugel in Kubik-Gpc angegeben und zur Winkeldurchmesserentfernung der dem Sehwinkel von einer Bogensekunde (“) entsprechende Durchmesser in Kiloparsec. Zu dem Rechner gibt’s auch noch Tutorials, die die zugrunde liegenden Formeln und ihren Hintergrund erläutern. Ich wünsche den Lesern viel Freude beim Herumspielen mit diesem überaus praktischen Tool, das ich in meinen Lieblingslinks rechts in der Seitenleiste zur leichten Erreichbarkeit eingefügt habe.

Referenzen und weiterführende Links

[1] T. Roy Choudhury, T. Padmanabhan, “Cosmological parameters from supernova observations: A critical comparison of three data sets“, Astronomy & Astrophysics Magazine 429 (2005), 807; arXiv:astro-ph/0311622.

[2] Planck Collaboration: “Planck 2015 results. XIII. Cosmological parameters”, arXiv:1502.01589

[4] de.wikipedia.org, Entfernungsmaß

[5] en.wikipedia.org, Distance measures (cosmology)

[6] The Redshift – Luminosity Distance Relation

[7] Measuring Cosmological Parameters via Expansion

[8] Ned Wright’s Cosmic Distance Calculator

Kommentare (53)

#1 Bullet
29. Mai 2018

Wetten, daß hier doch einer kommentiert? *g*
#2 Niels
29. Mai 2018

Sehr schön.
Kann beim besten Willen nicht mal eine kleine Ungenauigkeit entdecken. 😉

Wäre vielleicht eine Überlegung wert, Plots für H(t), a(t), a'(t), … einzubinden?

Vielleicht ist die Informationsdichte des Artikels aber ein bisschen zu hoch. Ich musste mich jedenfalls teilweise ziemlich konzentrieren. Ein Leser, der diesen Themen zum ersten Mal begegnet, könnte da schnell überfordert werden.
#3 Alderamin
29. Mai 2018

🙂

Hab’ mir eben nochmal Gedanken über die merkwürdige Einheit im Bild bei der Leuchtkraftentfernung gemacht. Was sie bedeutet, ist mir klar – wenn ich die Hubble-Expansionsrate H₀ mit der Leuchtkraftdistanz d_L multipliziere, erhalte ich die theoretische (weil d_L(z) wegen der beschriebenen Verdunklung viel zu groß ist) Hubble-Fluchtgeschwindigkeit bei z; dividiert durch c wird dies normiert auf die Lichtgeschwindigkeit, d.h. beim Logarithmus 0 habe ich 10⁰c= c. Der einzige Grund, den ich sehe ist, dass H₀/c die Einheit 1/m hat, was sich gegen die Leuchtkraftentfernungseinheit wegkürzt, so dass man einen sauberen Logarithmus ziehen kann; letztlich ist H₀/c ja nur irgendeine Konstante, die die Achse skaliert. Ingenieure sind da stressfreier, die ziehen auch Logarithmen von Watt und zur Not auch km und nennen sie dann dB-W (oder dB-m für Milliwatt) und dB-km.
#4 MartinB
29. Mai 2018

Perfekt zum Nachschlagen, danke.
#5 rolak
29. Mai 2018

Informationsdichte (..) schnell überfordert

Tja, Niels, war das jetzt ne Hypothese zur Klärung der Nachfrage ob der kleinen Kommentardichte?
#6 Alderamin
29. Mai 2018

Danke, das ist ja mal ein Lob aus Expertenmund…!

Ich wollte es eigentlich nicht zu kompliziert machen (gut, die Herleitung von H(t) ist vielleicht ein wenig komplex, aber ich habe mich selbst immer gefragt, warum H(t) nicht einfach $\dot{a}(t)$ ist, sondern noch einmal mit a(t) normiert wird, das konnte ich, glaube ich, hiermit klar stellen). Immerhin keine Integrale, die einem in den entsprechenden Wikipedia- und Fach-Artikeln um die Ohren gehauen werden.

Eine H(t)-Kurve würde vielleicht Sinn machen (hast Du die noch irgendwo parat aus Wolfram-Alpha?), aber a(t) und $\dot{a}(t)$ sehe ich hier noch nicht angebracht, weil die Dunkle Energie hier eigentlich noch nicht das Thema ist (kommt mit Sicherheit demnächst mal – “Was heißt beschleunigte Expansion?” oder so).

Mann, als ich über einen Blog nachdachte, dachte ich, dass mir bald die Ideen ausgehen, aber ich komme gar nicht hinterher, das niederzuschreiben, was ich in der Pipeline habe. 3 Monate rum und noch nicht einen Artikel zur Funktechnik, und Gaia 4 steht noch aus (wobei ich sagen muss, die Klickzahlen von Gaia 3 waren etwas enttäuschend gegenüber 1 und 2).
#7 Alderamin
29. Mai 2018

Hab’ gerade doch noch einen bösen Fehler gefunden (und gleich korrigiert): H₀ ist nicht zeitlich variant, sondern H(t). H₀ ist die Hubble-Konstante von heute. Wenn es heißt, man habe in der Hintergrundstrahlung ein anderes H₀ gemessen, bezieht sich das auf den heutigen Wert, nicht den damals absurd viel größeren (weswegen es auch ein Problem ist, dass wir lokal einen deutlich verschiedenen Wert messen). Hatte ich eine Weile nicht richtig verstanden. Sollte mal gesagt werden.
#8 Niels
29. Mai 2018

@Alderamin

Eine H(t)-Kurve würde vielleicht Sinn machen (hast Du die noch irgendwo parat aus Wolfram-Alpha?

Nach kurzem Googeln hab ich das hier gefunden: Schaubilder
(Bitte auch Kommentar 68 betrachten.)

[Wie hab ich damals eigentlich 4 Links in einem Kommentar hingekriegt?]

aber a(t) und \dot{a}(t) sehe ich hier noch nicht angebracht

Stimmt, kann man sich streiten.
Bei Sätzen wie

Die Materie, die sich wechselseitig anzieht und dabei auch die Raumzeit beeinflusst, konnte da anfangs ein wenig gegenhalten und die Expansionsgeschwindigkeit über das oben beschriebene Absinken hinaus abbremsen (wie ein hochgeworfener Stein, der langsamer wird), aber seit 7 Milliarden Jahren hat sie der Dunklen Energie nichts mehr entgegenzusetzen, sie hat sich schon zu sehr im Raum verdünnt.

finde ich einen a'(t) oder einen a”(t) Plot ziemlich hilfreich.
Andererseits müsste man dazu noch einiges mehr erklären, es stört den Lesefluss und die Informationsdichte ist wie gesagt sowieso schon sehr hoch.
#9 Alderamin
29. Mai 2018

Nach kurzem Googeln hab ich das hier gefunden: Schaubilder

Danke! [Edit: Done]

[Wie hab ich damals eigentlich 4 Links in einem Kommentar hingekriegt?]

Du kannst so viele Links verwenden, wie Du willst, Du musst dann nur auf Freischaltung warten. Hier sind drei erlaubt, jeder Blogger hält das anders.

Bei Sätzen wie

Ja, da bin ich abgeschwiffen and got carried away – hätte eigentlich nicht hinein gehört. Passt besser in einen Artikel zur Raumexpansion. Ist vorgemerkt.
#10 Leser
29. Mai 2018

Bei H0 muß unbedingt die Reihenfolge der Division bzw. die Lage des Haupbruchstriches berücksichtigt werden. Denn (9/4):3 ist etwas anderes als 9:(4/3) . Deshalb ist in meinen Augen das Wegkürzen der Länge zwar mathematisch korrekt aber sinnentstellend. Die korrekte Maßeinheit für H0 müßte also lauten (m/s)/m, also etwa (21km/s)/10^22m.
#11 rolak
29. Mai 2018

(9/4):3 (..) 9:(4/3)

Keine der beiden Klammerungsvarianten ist im Artikel angegeben, warum wohl? Kann sich der geneigte Leser evtl erinnern, wie der klammerlose Term abzuarbeiten ist?
Oder anders: Wäre Klammerung#2 überhaupt eine regelkonforme Umformung?
#12 Alderamin
29. Mai 2018

@Leser, rolak

Um Zweideutigkeiten zu vermeiden habe ich bei Erstverwendung Klammern gesetzt und danach die gebräuchliche Schreibweise eingeführt und weiterhin verwendet. Jetzt weiß ich auch, warum die normalerweise in Papers benutzt wird.
#13 stone1
29. Mai 2018

@Alderamin

die Klickzahlen von Gaia 3 waren etwas enttäuschend gegenüber 1 und 2

Gut Ding will Weile haben, so wie hier teils sehr anspruchsvolle und lange Artikel am laufenden Band erscheinen kommt man ja mit dem Lesen gar nicht mehr hinterher und es gibt ja auch noch jede Menge interessanter Sachen bei den Nachbarblogs.
Ich würde ja schon so weit gehen mir zu wünschen, dass Du mal eine oder zwei Wochen Blogpause machst, aber wenn Du vor Ideen gerade nur so sprühst geht das natürlich nicht, was raus muss muss raus.
Toller Blog jedenfalls, ist er wirklich erst 3 Monate jung? Bei der schon gebloggten Informationsmenge kaum zu glauben.
#14 rolak
29. Mai 2018

warum

Unnötiges wegzulassen ist halt effizienter bei der Texterstellung, und faulheitsentgegenkommend noch dazu…
#15 HF(de)
29. Mai 2018

Ich kann zu diesem Artikel nichts schreiben, da ich den erst ein zweites mal lesen muss. Stichwort Informationsdichte 🙂
Zu Gaia 4: da warte ich sehnsüchtig drauf…
#16 Uli Schoppe
29. Mai 2018

Hallo Alderamin

Erst mal danke, mir hat der Artikel eigentlich gut gefallen. Das Problem mit der Dichte das Niels schon angesprochen hatte besteht für jemanden der unbeleckt ist tatsächlich.
Ich bin mit einem guten Freund der aus völlig anderen Gründen etwas von mir über kosmische Entfernungen wissen wollte (Pen and paper Rollenspiel) den einfach mal durch gegangen. Wenn wir uns das nicht zu zweit angeschaut hätten hätte er sehr schnell aufgegeben. Man darf ja auch mal was anspruchsvolles lesen.
Also nichts desto trotz eine sehr schöne Sache. An manchen Sachen wie der Winkeldurchmesserentfernung bin ich z.B. bis jetzt immer daran vorbei gelaufen.
#17 Leser
29. Mai 2018

@ rolak

Nicht jeder, der das hier liest, hat das Studium der höheren Mathematik genossen. In meinem Schulstoff war das einfach nur mehrdeutig. Und ich haben auch schon C-Programmierer erlebt, deren Programme man nicht lesen (verstehen) konnte, weil sie so unmöglich verkürzt verklausuliert geschrieben waren. Und diese Verkürzungen provozieren auf Grund ihrer Unübersichtlichkeit auch Fehler, die man nur schwer findet.
#18 rolak
29. Mai 2018

Studium der höheren Mathematik

Da mußt Du etwas verwechseln, Leser, das wird schon beim Assoziativgesetz abgehandelt. Also ca siebte Klasse. Im selben Zeitraum wie ‘Punkt vor Strich’ – und siehe da, auch ‘3·4+5’ bedarf keiner Klammerung.
Und selbstverständlich bleibt die von Dir kritisierte Schreibweise unabhängig davon in jedem Jahrgang für Einige mehrdeutig. Genauso wie einige offensichtlich meinen, in diesem Zusammenhang wäre ein Verweis auf die schlechte Wartbarkeit schlecht bis nicht dokumentierter ProgrammTexte auch nur ansatzweise relevant.
#19 Leser
29. Mai 2018

@ rolak

Ah, ich merke, getroffene Hund bellen.

Es ist schön, wenn das heute in der Schule in der 7.Klasse durchgenommen wird. Meine Schulbildung ist leider schon einige Jahrzehnte vorbei. Punktrechnung vor Strichrechnung kam bei uns schon in der 3. oder 4. Klasse. Die Subtraktion wurde bei uns immer von links nach rechts abgearbeitet. Die Division wurde bei uns nie als Kettenbruch dargestellt, sondern eindeutig als Bruch mit dem Produkt aller Divisoren unter dem Bruchstrich. Und bei Doppelbrüchen war immer sehr eindeutig der Hauptbruchstrich gekennzeichnet. Zur Vermeidung von Mehrdeutigkeiten. Und so war das auch bei der Programmierung gemeint.
#20 rolak
29. Mai 2018

schon einige Jahrzehnte vorbei

Dito.

Kettenbruch

Es scheinen bei Dir im Laufe der Jahrzehnte einige Begrifflichkeiten völlig falsch einsortiert und zugeordnet worden zu sein, Leser, da solltest Du besser nochmal bei, bevor Du Dich weiter selber reinlegst – egal ob bei Mathe oder IT.
#21 Leser
29. Mai 2018

So komplizierte Mathematik hatten wir nicht in der Schule. Bei uns wurde auch schon die Form A/B/C/D/E als Kettenbruch bezeichnet. Und wenn man vom ersten Bruchstrich beginnt, kann man das auch als A/(B*C*D*E) darstellen.
#22 Karl Mistelberger
29. Mai 2018

Klammern sind entbehrlich:

((15 ÷ (7 − (1 + 1))) × 3) − (2 + (1 + 1))
oder
15 7 1 1 + − ÷ 3 × 2 1 1 + + −

https://en.wikipedia.org/wiki/Reverse_Polish_notation#Example

Weitschweifiges kann man auch knapper formulieren, eindeutig wird es dadurch nicht immer: https://esolangs.org/wiki/Brainfuck

Die volle Dröhnung: https://esolangs.org/wiki/Language_list
#23 PDP10
30. Mai 2018

A/B/C/D/E als Kettenbruch bezeichnet. Und wenn man vom ersten Bruchstrich beginnt, kann man das auch als A/(B*C*D*E) darstellen.

Wus?!?
#24 PDP10
30. Mai 2018

Denn (9/4):3 ist etwas anderes als 9:(4/3)

What?!?
#25 PDP10
30. Mai 2018

pardauz
#26 HF(de)
30. Mai 2018

Ich bitte um etwas Nachsicht in Bezug auf Leser. Er hat halt Schwierigkeiten mit Klammern. Das kann er ausbessern, so er denn möchte. (Wobei Argumente wie “schon einige Jahrzehnte vorbei” dabei nicht unbedingt zählen…) Wir alle möchten lernen, und das klappt hier gut!
#27 PDP10
30. Mai 2018

Ups. Hab mich verlesen:

Der von mir in #24 zitierte Satz stimmt sogar.
#28 Alderamin
30. Mai 2018

@PDP10

Sonst hätte ich es auch nicht im Text geändert…
#29 Frank Wappler
https://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahedral-octahedral_honeycomb
30. Mai 2018

Alderamin schrieb (28. Mai 2018):
> Die Lichtlaufzeitentfernung […]
> […] klar, dass die vom Licht zurückgelegte Strecke größer als die ursprüngliche Entfernung vom Objekt bis zu uns ist, und kleiner, als die heutige Entfernung. […]

> Aber was ist denn dann mit der ursprünglichen/heutigen Entfernung genau gemeint?

Respekt!
(Und hinsichtlich einer Signal-Anzeige, die heute dargestellt würde, ließe sich auch fragen, was denn wiederum mit der entsprechenden “künftigen Entfernung” genau gemeint sei.)

> Die Eigendistanz […]
> […] Da[ss] für beide Orte (ferne Galaxie, hier) die gleiche Zeit [Dauer] seit dem Urknall vergangen ist, wenn sie relativ zur lokalen Raumexpansion ruhen

(Ob bzw. in wie fern der eine oder andere Beteiligte an der “lokalen Raum[zeit]expansion” teilgenommen hätte, oder nicht, lässt sich sicherlich messen;
und möglicher Weise auch, ob bzw. in wie fern die individuellen “lokalen Raum[zeit]expansion” verschiedener, voneinander getrennter Beteiligter “hinreichend gleich gewesen/verlaufen” wären. …)

Wenn nun Dauern (als Messwerte) in Betracht gezogen werden und miteinander vergleichbar sein sollen, und wenn “Lichtlauf” insbesondere auch zwischen Beteiligten in Betracht gezogen wird, deren Dauer von “ursprünglicher Signalanzeige” bis zu “heutiger Signalwahrnnehmung” in der Größenordnung ihrer Dauer “seit dem Urknall [bis heute]” liegt,
dann lässt sich offenbar auch denken, dass “Licht vom Objekt bis zu uns und anschließend wieder zurückgelaufen” wäre (bzw. umgekehrt dass “von uns zum Objekt und anschließend wieder zurückgelaufen” wäre),
so dass ganz allgemein jeder der Beteiligten (Objekte, Galaxien, ..) seine Ping-Dauern bzgl. anderen Beteiligten ermitteln könnte (wenn auch nicht unbedingt jeder gegenüber allen anderen Beteiligten).

(Wie nennt man dieses Entfernungsmaß eigentlich? — “Chronometrische Distanz”? …)

Aber was ist denn überhaupt genau (im Sinne einer Messgröße) mit “Dauer” gemeint; z.B. mit der “Dauer einer bestimmten Anzahl von Zustands-Übergangs-Perioden” ? …
#30 Alderamin
30. Mai 2018

(Und hinsichtlich einer Signal-Anzeige, die heute dargestellt würde, ließe sich auch fragen, was denn wiederum mit der entsprechenden “künftigen Entfernung” genau gemeint sei.)

Skalenfaktor zur betreffenden Zeit * heutige Entfernung (die gleich der mitbewegten Entfernung ist).

(Ob bzw. in wie fern der eine oder andere Beteiligte an der “lokalen Raum[zeit]expansion” teilgenommen hätte, oder nicht, lässt sich sicherlich messen;

Die kosmische Hintergrundstrahlung bietet eine Referenz für das ganze Weltall; das primordiale Gas ist gewissermaßen überall zu sich selbst in Ruhe entstanden (bis auf die Expansion des Raumes). Wer sie in jeder Richtung mit der gleichen Temperatur/Frequenz/Rotverschiebung (also isotrop) sieht, bewegt sich relativ zur lokalen Raumzeitexpansion nicht. Wir auf der Erde bewegen uns mit der Sonne und der Milchstraße mit rund 600 km/s relativ zu dieser Referenz, was weit weg von einer relativistischen Gesschwindigkeit ist. Hier ticken die Uhren also ziemlich genau so schnell wie an einem anderen Ort, der die Hintergrundstrahlung als isotrop wahrnimmt. Die Bewegung der Milchstraße und anderer Galaxien rührt daher, dass das beim Urknall entstandene Gas nicht überall exakt gleich dicht war, und wo die Dichte etwas höher war, dahin setzte sich alles Umgebende in Bewegung. Diese winzigen Inhomogenitäten sieht man schon in der Hintergrundstrahlung und auf sie bauen die Messungen von H₀ durch Planck auf, die ich oben im Artikel erwähne.

Wenn nun Dauern (als Messwerte) in Betracht gezogen werden und miteinander vergleichbar sein sollen, und wenn “Lichtlauf” insbesondere auch zwischen Beteiligten in Betracht gezogen wird, deren Dauer von “ursprünglicher Signalanzeige” bis zu “heutiger Signalwahrnnehmung” in der Größenordnung ihrer Dauer “seit dem Urknall [bis heute]” liegt,
dann lässt sich offenbar auch denken, dass “Licht vom Objekt bis zu uns und anschließend wieder zurückgelaufen” wäre (bzw. umgekehrt dass “von uns zum Objekt und anschließend wieder zurückgelaufen” wäre),
so dass ganz allgemein jeder der Beteiligten (Objekte, Galaxien, ..) seine Ping-Dauern bzgl. anderen Beteiligten ermitteln könnte (wenn auch nicht unbedingt jeder gegenüber allen anderen Beteiligten).

Das wird schwierig werden. Wenn die Lichtlaufzeit in der einen Richtung schon in der Größenordnung des Weltalters liegt, dann befindet sich der heutige Ort der fernen Seite schon hinter dem heutigen kosmologischen Horizont, d.h. das Rücksignal käme nie an. Man kann zeigen, dass in einem Universum ohne Dunkle Energie das Licht auch von Orten hinter dem Hubble-Radius irgendwann bis zu uns vordringen wird (weil H(T) langfristig gegen 0 fällt). Aber in unserem Universum mit Dunkler Energie gibt es einen absoluten Horizont, und der zieht sich in mitbewegter Entfernung zunehmend zusammen, d.h. immer mehr Galaxien entweichen jenseits eines Horizonts, über den wir niemals nicht hinausblicken können werden. Dahin kann man nicht mehr pingen.

Auf kurze Distanzen geht das natürlich wohl. Dann erhielte man halt die Summe der Lichtlaufzeiten für Hin- und Rückweg, wobei der Rückweg erheblich länger dauerte. Der Cosmology Calculator hilft beim Ausrechnen. Die resultierende Entfernung sagte einem jedoch nicht viel, sie stimmte ja schon für Hin- und Rückweg nicht überein.

(Wie nennt man dieses Entfernungsmaß eigentlich? — “Chronometrische Distanz”? …)

Roundtrip-Zeit (entsprechend dann: Roundtrip-Distanz?), denke ich. So heißt es bei Raumsonden, mit denen man kommuniziert, da ändert sich die Distanz aber nur graduell durch die Bewegung der Sonde.

Aber was ist denn überhaupt genau (im Sinne einer Messgröße) mit “Dauer” gemeint; z.B. mit der “Dauer einer bestimmten Anzahl von Zustands-Übergangs-Perioden”

Na ja, die Frequenzen von Quantensprüngen, Schwingungen von Lichtwellen etc. sind ja universell und damit als Zeitnormal geeignet, und eine (frei definierbare) Anzahl von ihnen können als Zeiteinheit dienen. Eine Uhr tief im Schwerefeld tickt langsamer als eine in größerer Entfernung von der Masse. Zwei relativ zueinander bewegte Uhren ticken auch verschieden schnell, jeder sieht die andere Uhr langsamer ticken (da man keine gemeinsame Basis für Gleichzeitigkeit findet ist das aber kein Paradox; wenn man die Uhren zum Vergleich zusammenbringen will, muss eine ihre Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit ändern, um die andere einzuholen, und damit das Inertialsystem wechseln – die ist dann diejenige, die weniger Zeit anzeigen wird im Vergleich zur anderen.

Wenn wir eine ferne Galaxie betrachten, scheint auch deren Zeit für uns langsamer zu vergehen, weil die kosmische Expansion jegliche Zeitabstände auseinander zieht. Beispiel: wenn zwei Lichtpulse mit 1s Abstand in der fernen Galaxie in unsere Richtung abgefeuert würden, dann würde der Raumabstand (anfangs eine Lichtsekunde) zwischen ihnen expandieren, bis sie uns erreichten, d.h. sie würden bei uns mit mehr als 1 Sekunde Zeitdifferenz eintreffen (eben mit (1+z)*1Ls). Dies ist aber nur ein Effekt, der unterwegs eintritt. Tatsächlich könnte man, wie oben beschrieben, an beiden Orten je eine hypothetische Uhr beim Urknall starten und beide würden synchron ablaufen. Auf diese Weise könnte man gemeinsame Zeiten vereinbaren, die nur durch die Lichtlaufzeit verzögert erschienen.

Über die Raumexpansion schreibe ich demnächst nochmal einen extra Artikel. Oder 2. Dazu gibt’s eine Menge zu erzählen.
#31 Frank Wappler
30. Mai 2018

Alderamin schrieb (#30, 30. Mai 2018):
> Die kosmische Hintergrundstrahlung bietet eine Referenz für das ganze Weltall; […]

Bekanntlich sind CMBR-Asymmetrien denkbar und eventuell sogar auffindbar;
und es geht (mir zumindest) doch um einen “Entfernungs”-Begriff, der auch in Regionen vor (dem “kosmologischen Zeitalter”) der Rekombination anwendbar wäre.

> [ »Ping-Dauer« … ] Auf kurze Distanzen geht das natürlich wohl.

Sogar ausgehend von beliebig kleiner Anfangs-Entfernung zwischen voneinander getrennten Beteiligten können Pings untereinander scheitern; je nach deren “Partikular-Bewegung(en)”, Stichwort: “Rindler-Horizont“.

> Dann erhielte man halt die Summe der Lichtlaufzeiten für Hin- und Rückweg, wobei der Rückweg erheblich länger dauerte.

Je nach “Partikular-Bewegung(en)”, möchte ich ergänzen.
Ein Paar von Beteiligten (Objekten, Galaxien, …) z.B., die Versuch für Versuch durchwegs konstante Ping-Dauer(n) fänden (bzw. so charakterisiert wären), könnte man wohl “gegenüber einander chronometrisch starr” nennen … denen man einen bestimmten Abstand voneinander zuschreiben könnte (oder zumindest zwei bestimmte Quasi-Abstände voneinander, falls die betreffenden Ping-Dauern des einen bzgl. des anderen zwar jeweils konstant, aber nicht gegenseitig gleich wären).

> Wenn die Lichtlaufzeit in der einen Richtung schon in der Größenordnung des Weltalters liegt, dann befindet sich der heutige Ort der fernen Seite schon hinter dem heutigen kosmologischen Horizont, d.h. das Rücksignal käme nie an.

Wiederum sicherlich: je nach “Partikular-Bewegung(en)”.
Mich würde aber interessieren: Ob es im Kosmologie-Standard-Modell auch soetwas wie eine “absolute Horizont-Entfernung” gibt, so dass (für gegebene, anfänglich mindestens so weit voneinander entfernte Beteiligte, bzgl. einer Signal-Anzeige des einen) das entsprechende Ping-Rücksignal nie ankäme, ganz egal welcherlei “Partikular-Bewegung(en)” die beiden unterlägen ?

> [ »Aber was ist denn überhaupt genau (im Sinne einer Messgröße) mit “Dauer” gemeint; « … ] Na ja, die Frequenzen von Quantensprüngen, Schwingungen von Lichtwellen etc. sind ja universell

Na ja — die o.g. SI-Definition bezieht sich (zumindest in den “Mises en pratique”) z.B. auf (Quanten-)Systeme, die “ungestört (von externen Feldern)” sein sollten; und “Störungen” sind ja wohl nicht universell (sondern müssten ggf. Versuch für Versuch gemessen oder zumindest nachvollziehbar abgeschätzt werden).

Ich hatte im Zusammenhang mit einer Definition von “Dauer” als Messgröße eher an “ideale Uhren” gedacht; und zwar weniger solche nach Marzke/Wheeler, sondern eher tetrahedral-oktahedrale Ping-Koinzidenz-Gitter (auch bekannt als “Sierpinski-Pyramiden”).

> Eine Uhr tief im Schwerefeld tickt langsamer als eine in größerer Entfernung von der Masse. […]

???

Wenn zwei Beteiligte, $A$ und $B$ , gegenüber einander wie oben beschrieben chronometrisch starr sind,
d.h. so dass einzeln $\tau A^{\text{ping_}B} = const.$ und $\tau B^{\text{ping_}A} = const.$ ,
dann heißt derjenige “tiefer gelegen”, der die geringere Ping-Dauer hat;
d.h. falls $\tau A^{\text{ping_}B} \lt \tau B^{\text{ping_}A}$ , dann heißt $A$ (deshalb) “tiefer gelegen”.

Wenn wir nun zusätzlich Uhren $\mathcal A \equiv (A, t_{\mathcal A}$ und $\mathcal B \equiv (B, t_{\mathcal B}$ in Betracht ziehen, indem den Anzeigen von $A$ bzw. $B$ Anzeigewerte/Readings/Koordinaten $"t"$ zugeordnet würden,
also konkret $t_{\mathcal A } : A \rightarrow \mathbb R$ und $t_{\mathcal B } : B \rightarrow \mathbb R$ ,
dann ist damit keineswegs garantiert, dass
$\frac{d}{d\tau A}[ \, t_{\mathcal A}\, ] \lt \frac{d}{d\tau B}[ \, t_{\mathcal B}\, ], also dass Uhr$ latex \mathcal A$ “langsamer tickte” als Uhr $\mathcal A$ .
#32 Frank Wappler
p.s. -- instant-preview:
30. Mai 2018

> Eine Uhr tief im Schwerefeld tickt langsamer als eine in größerer Entfernung von der Masse. […]

???

Wenn zwei Beteiligte, $A$ und $B$ , gegenüber einander wie oben beschrieben chronometrisch starr sind,
d.h. so dass einzeln $\tau A^{ping-B} = const.$ und $\tau B^{ping-A} = const.$ ,
dann heißt derjenige “tiefer gelegen”, der die geringere Ping-Dauer hat;
d.h. falls $\tau A^{ping-B} < \tau B^{ping-A}$ , dann heißt $A$ (deshalb) “tiefer gelegen”.

Wenn wir nun zusätzlich Uhren $\mathcal A \equiv (A, t_{\mathcal A}$ und $\mathcal B \equiv (B, t_{\mathcal B}$ in Betracht ziehen, indem den Anzeigen von $A$ bzw. $B$ Anzeigewerte/Readings/Koordinaten $"t"$ zugeordnet würden,
also konkret $t_{\mathcal A } : A \rightarrow \mathbb R$ und $t_{\mathcal B } : B \rightarrow \mathbb R$ ,
dann ist damit keineswegs garantiert, dass
$\frac{d}{d\tau A}[ \, t_{\mathcal A}\, ] < \frac{d}{d\tau B}[ \, t_{\mathcal B}\, ]$ ,
also dass Uhr $\mathcal A$ "langsamer tickte” als Uhr $\mathcal A$ .
#33 Frank Wappler
30. Mai 2018

p.s.
Frank Wappler schrieb (#33, 30. Mai 2018)
> […] Uhren $\mathcal A \equiv (A, t_{\mathcal A})$ und $\mathcal B \equiv (B, t_{\mathcal B})$

… wobei die Notation an diejenige erinnern soll, die für Riemannsche Mannigfaltigkeiten, $(M, g)$ bzw. für metrische Räume, $(X, d)$ gebräuchlich ist.
#34 Alderamin
31. Mai 2018

@Frank Wappler

Habe mal die #33 gelöscht, war ja identisch mit dem nachfolgenden Post, bis auf Parsing-Fehler.

Bekanntlich sind CMBR-Asymmetrien denkbar und eventuell sogar auffindbar;

Die einzigen Asymmetrien, die ich bei der Hintergrundstrahlung kenne, sind diejenigen verursacht durch die Bewegung des Beobachters. Oder meinst Du den Sachse-Wolfe-Effekt? Dann sind Anisotropien aufgrund der ungleichmäßig verteilten Materie, die das durchlaufende Licht lokal beeinflussen; bei den Modellen für die Raumexpansion geht man von einer großflächig gleichverteilten Materie aus, sonst könnte man nichts rechnen.

und es geht (mir zumindest) doch um einen “Entfernungs”-Begriff, der auch in Regionen vor (dem “kosmologischen Zeitalter”) der Rekombination anwendbar wäre.

Auch da findet man eine lokal als ruhend betrachtbare Referenz, sogar noch viel früher als zur Zeit der Rekombination; schon zur Zeit als es nur Strahlung gab, hätte man ein Inertialsystem finden können, relativ zu dem die Strahlung, die den Raum erfüllte, isotrop erschienen wäre. Wenn man dieses dann beibehalten hätte, wäre man am Ende in einem System gelandet, in dem auch die Hintergrundstrahlung isotrop gewesen wäre.

Sogar ausgehend von beliebig kleiner Anfangs-Entfernung zwischen voneinander getrennten Beteiligten können Pings untereinander scheitern; je nach deren “Partikular-Bewegung(en)”,

Sicher, aber wenn wir die Expansion des Universums betrachten wollen, sollten wir Eigenbewegungen ausklammern. Wenn man dieTiefe des Meeres an einer bestimmten Stelle misst, sollte man Wellen ausklammern.

Ein Paar von Beteiligten (Objekten, Galaxien, …) z.B., die Versuch für Versuch durchwegs konstante Ping-Dauer(n) fänden (bzw. so charakterisiert wären), könnte man wohl “gegenüber einander chronometrisch starr” nennen … denen man einen bestimmten Abstand voneinander zuschreiben könnte

Um die Ping-Zeiten konstant zu halten, müssten sie entgegen der Raumexpansion aufeinander zu fliegen und die Hubble-Expansion exakt kompensieren. Bei kurzen Abständen mit nichtrelativistischer Geschwindigkeit würden sie dabei auf die Eigendistanz kommen müssen. Bei relativistischen Geschwindigkeiten erschiene die Strecke relativistisch verkürzt, weil die Uhren langsamer tickten. Und jenseits des doppelten Hubble-Radius wären sie nicht mehr in der Lage, mit der Expansion Schritt zu halten, selbst wenn beide mit Lichtgeschwindigkeit aufeinander zu flögen. Aber interessanter Gedanke.

Na ja — die o.g. SI-Definition bezieht sich (zumindest in den “Mises en pratique”) z.B. auf (Quanten-)Systeme, die “ungestört (von externen Feldern)” sein sollten; und “Störungen” sind ja wohl nicht universell (sondern müssten ggf. Versuch für Versuch gemessen oder zumindest nachvollziehbar abgeschätzt werden).

Sicher muss man hier idealisieren. Wenn man eine vernünftige Messung machen will, muss man Störeffekte minimieren. Man misst die Lufttemperatur ja beispielsweise auch nicht im Sonnenschein, sondern im Schatten.

> Eine Uhr tief im Schwerefeld tickt langsamer als eine in größerer Entfernung von der Masse. […]

???

War von mir nur als Beispiel genannt worden, dass Dauern selbstverständlich nicht absolut sind. Es ging ja darum, an zwei verschiedenen Orten im Universum, die in Bezug auf die Hintergrundstrahlung in Ruhe sind, die Zeit zu messen und daraus eine Gleichzeitigkeit für den Augenblick der Entfernungsmessung zu definieren. Es würde keinen Sinn machen, wenn der eine Beobachter eng um ein Schwarzes Loch kreiste und der andere in der Mitte eines kosmischen Voids säße. Hier sei idealisiert von zur Hintergrundstrahlung ruhenden Beobachtern in einer homogen verteilten Materie im All ausgegangen.

Natürlich ist die reale Welt viel komplizierter als das Friedmann-Modell. Es geht in dem Artikel aber um ein Grundverständnis der kosmologischen Entfernungsbegriffe.
#35 Frank Wappler
https://scienceblogs.de/sic/2014/01/27/science-of-science-communication#ScienceBlogs.SandBox
31. Mai 2018

Alderamin schrieb (#34, 31. Mai 2018):
> Habe mal die #33 gelöscht

Bitte um Entschuldigung, dass ich mir die Formatierungsgepflogenheiten nur schrittweise (wieder-)angeeignet habe. Und wie sich zeigte, als ich schließlich auch mal darauf achtgab, ist die letzte Zeile in #32 immer noch sachlich falsch gewesen, und sollte stattdessen lauten:

… also dass Uhr $\mathcal A$ langsamer tickte als Uhr $\mathcal B$ .

> Die einzigen Asymmetrien, die ich bei der Hintergrundstrahlung kenne […] bei den Modellen für die Raumexpansion geht man von einer großflächig gleichverteilten Materie aus, sonst könnte man nichts rechnen.

Das illustriert wohl die Verschiedenheit unserer Interessen:
in der (Experimental-)Physik geht es nun mal nicht darum, was man schon kennt bzw. entsprechend bestimmten Modellen erwarten mag,
sondern nur darum, nachvollziehbar (für sich selbst) festhalten und (anderen) mitteilen zu können, was man (sich) gefragt, was man getan, gefunden und geschlussfolgert hat;
weswegen sich dabei ggf. auch Entdeckungen machen und Überraschungen erleben lassen.

> […] findet man eine lokal als ruhend betrachtbare Referenz, sogar noch viel früher als zur Zeit der Rekombination; schon zur Zeit als es nur Strahlung gab, hätte man ein Inertialsystem finden können, relativ zu dem die Strahlung, die den Raum erfüllte, isotrop erschienen wäre.

Na, wenn das so ist … sollte ich genauer wohl mein Interesse an einem “Entfernungs”-Begriff bekunden, der insbesondere auch in Regionen während und auch noch deutlich vor (dem “kosmologischen Zeitalter”) der (eventuellen) Inflation anwendbar wäre.

> wenn wir die Expansion des Universums betrachten wollen, sollten wir Eigenbewegungen ausklammern. Wenn man die Tiefe des Meeres an einer bestimmten Stelle misst, sollte man Wellen ausklammern.

Wenn man “Wellen ausklammern” möchte, muss man sich unter allen Umständen zunächst darauf festlegen (lassen) können, was überhaupt mit “Welle” gemeint wäre; also, um im Bild zu bleiben, nicht etwa die womöglich wechselhafte Meerestiefe während eines Tsunamis bestreiten, nur weil manche dabei an “Hafenwelle” denken.

> [ »chronometrisch starr« … ] Um die Ping-Zeiten konstant zu halten, müssten sie entgegen der Raumexpansion aufeinander zu fliegen und die Hubble-Expansion exakt kompensieren.

Mag sein. Womöglich ergibt sich daraus überhaupt erst eine nachvollziehbare Definition (des Nenners in) der “Hubble-Expansions“-Rate (?) …

> […] jenseits des doppelten Hubble-Radius wären sie nicht mehr in der Lage, mit der Expansion Schritt zu halten

Okay …
Aber: könnten zwei dermaßen entfernte “Enden” jeweils (jeder für sich) doch noch mit ein-und-dem-selben geeigneten Beteiligten (Objekt, Galaxiehäuflein, …) “Schritt halten” ?

> Wenn man eine vernünftige Messung machen will, muss man Störeffekte minimieren. Man misst die Lufttemperatur ja beispielsweise auch nicht im Sonnenschein, sondern im Schatten.

Nein: man muss eventuelle Störungen messen, bzw. (à propos rechnen) durch eine (“ordentliche”) Fehlerrechnung abschätzen.
(Schließlich konnten nicht einmal Feynman oder Landauer ein Thermometer im Dunkeln ablesen, auch wenn Maxwell sich das gewünscht hätte. &)

> Es geht in dem Artikel aber um ein Grundverständnis der kosmologischen Entfernungsbegriffe.

Mir geht es (offenbar im Gegensatz dazu) um ein Grundverständnis des Entfernungsbegriffs, um diesen u.a. auch in der Kosmologie anzuwenden; und dadurch erst zu ermöglichen, dass in den betreffenden Modellen Werte von “Entfernungen” überhaupt als bestimmte reellwertige Vielfache eines SI-Meters angegeben werden könnten, oder dass darin überhaupt von “Geschwindigkeit” die Rede sein könnte …

p.s.
> […] Bei relativistischen Geschwindigkeiten erschiene die Strecke relativistisch verkürzt, weil die Uhren langsamer tickten.

“Langsamer tickten” als … ?!?
(Man beachte die Bildung des Komparativs …)

Bzw. die Tickrate (alias Gangrate) einer solchen Uhr, $\frac{d}{d\tau A}[ \, t_{\mathcal A}\, ]$ wäre kleiner als die Tickrate welcher anderen Uhr ??

Leider sind (gegebene Werte von) “Lorentzian distances $\ell$ ” zum Ausrechenen/Ausdrücken von Ping-Dauern nicht ganz so unmittelbar nützlich wie (gegebene Werte von) “Flach-Raumzeit-Intervallen $s^2$ …
#36 Alderamin
31. Mai 2018

@Frank Wappler

Das illustriert wohl die Verschiedenheit unserer Interessen:
in der (Experimental-)Physik geht es nun mal nicht darum, was man schon kennt bzw. entsprechend bestimmten Modellen erwarten mag,
sondern nur darum, nachvollziehbar (für sich selbst) festhalten und (anderen) mitteilen zu können, was man (sich) gefragt, was man getan, gefunden und geschlussfolgert hat;
weswegen sich dabei ggf. auch Entdeckungen machen und Überraschungen erleben lassen.

Das ist in der Astronomie auch nicht anders, aber bevor man sich in Details versteigt, braucht man doch zuerst einmal eine Grundlage für den unterliegenden Effekt. Z.B. die Kepler-Ellipse im Sonnensystem, die man zu Fuß noch ausrechnen kann. Bevor man die Interaktionen zwischen den Planeten berechnet, was wahlweise per Störungsrechnung oder Simulation möglich ist. Die Friedmann-Gleichung ist eine Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen und beschreibt das Universum. Und in sie hinein gehen Dichten für die Materie und Dunkle Energie, die als homogen verteilt gerechnet werden. Wie sich das Weltall dann punktuell verhält, kann dann in Simulationen wie Illustris betrachtet werden.

Okay …
Aber: könnten zwei dermaßen entfernte “Enden” jeweils (jeder für sich) doch noch mit ein-und-dem-selben geeigneten Beteiligten (Objekt, Galaxiehäuflein, …) “Schritt halten” ?

Verstehe jetzt nicht, was Du meinst… es ging ja darum, dass die beiden Enden entgegen der Raumexpansion versuchen wollen, ihren Abstand beizubehalten. Dann müssten sie ja gerade nicht mit den Galaxien mithalten, die mit der Raumexpansion mitbewegt sind. Beim doppelten Hubble-Radius als Entfernung müssten sie sich dazu mit Lichtgeschwindigkeit gegenüber den umgebenden, mitbewegten Galaxien fortbewegen, in Richtung auf das jeweils andere Ende, was schon nicht mehr geht. Jenseits von 2 Hubble-Radien müsste es Überlichtgeschwindigkeit sein. Da wäre eine über augetauschte Pings definierte Entfernung nicht mehr wohldefiniert.

Mir geht es (offenbar im Gegensatz dazu) um ein Grundverständnis des Entfernungsbegriffs, um diesen u.a. auch in der Kosmologie anzuwenden;

In der Kosmologie werden bestimmte Entfernungsdefinitionen benutzt, die ich hier vorstellen wollte. Sie werden benutzt, weil sie eine Bedeutung haben (meistens im Zusammenhang mit der Messmethode, siehe Leuchtkraftentfernung). Andere Definitionen sind sicher möglich, sind aber nicht gebräuchlich.

“Langsamer tickten” als … ?!?
(Man beachte die Bildung des Komparativs …)

Ja klar, RT, das ist Sache des Standpunkts. Ich meinte, aus Sicht von (mit der Raumexpansion) mitbewegten Beobachtern. Aus Sicht der gegen den Strom ihren Abstand haltenden Raumschiffen wäre es natürlich die Zeit der anderen, die langsamer vergeht.
#37 HF(de)
1. Juni 2018

“In der Kosmologie werden bestimmte Entfernungsdefinitionen benutzt, die ich hier vorstellen wollte.”

“Wollte”? Die Du vorgestellt hast! Und das Dir richtig gut gelungen, vielen Dank dafür.
#38 HF(de)
1. Juni 2018

*ist
#39 Uli Schoppe
1. Juni 2018

@HF(de) ja das hat er gut hin bekommen. Man kann sich fragen ob man das wegen der Informationsdichte vielleicht besser aufgeteilt hätte. Aber jammern geht immer, erst mal selbst machen.
#40 Frank Wappler
1. Juni 2018

Alderamin schrieb (#36, 31. Mai 2018):
> […] Verstehe jetzt nicht, was Du meinst…

Oh — dabei/deshalb fällt mir auf, dass ich oben (#35) die/deine in #34 benutzte Formulierung “mit der Expansion Schritt zu halten“ nicht ganz genau so verstanden/benutzt habe, sondern als “miteinander Schritt halten” wohl missinterpretiert/überstrapaziert habe.

Deshalb bitte nochmal zurück:

Alderamin schrieb (#34, 31. Mai 2018):
>>> [ »chronometrisch starr« … ] Um die Ping-~~Zeiten~~Dauern konstant zu halten, müssten sie entgegen der Raumexpansion aufeinander zu fliegen und die Hubble-Expansion exakt kompensieren.

So weit zur Erinnerung; und so weit, so gut.

>>> […] jenseits des doppelten Hubble-Radius wären sie nicht mehr in der Lage, mit der Expansion Schritt zu halten

Die genauere, faktisch(er)e (d.h. nicht kontra-faktische) Formulierung wäre wohl:

Zwei Enden, denen eine “mitbewegte Entfernung von mehr als dem doppelten Hubble-Radius” zugeschrieben wäre, könnten unter keinen Umständen (insbesondere durch keinerlei Partikularbewegungen) gegenseitigen Pings (a.k.a. “signalfront round trips”) wahrnehmen; und (deshalb erst recht nicht) nicht feststellen, dass ihre gegenseitigen Ping-Dauern konstant blieben.

In anderen (etwas kontra-faktischeren) Worten:
> Beim doppelten Hubble-Radius als Entfernung müssten sie sich dazu mit Lichtgeschwindigkeit gegenüber den umgebenden, mitbewegten Galaxien fortbewegen, in Richtung auf das jeweils andere Ende, was schon nicht mehr geht.

Meine Frage bzw. weitergehende Überlegung ist nun:
Sind zumindest für manche Paare von Enden, nennen wir eines beispielhaft A und B, denen eine “mitbewegte Entfernung von mehr als dem doppelten Hubble-Radius” zugeschrieben wäre, und die keine Pings untereinander austauschen, trotzdem Partikularbewegungen denkbar,
so dass sich ein dritter Beteiligter, M (mit geeigneten individueller Partikularbewegung) denken ließe,

– dem bzgl. A eine mitbewegte Entfernung von weniger als dem doppelten Hubble-Radius zugeschrieben wäre, und

– dem bzgl. B eine mitbewegte Entfernung von weniger als dem doppelten Hubble-Radius zugeschrieben wäre,

– der sowohl mit A als auch mit B Pings austauscht, und

– der sowohl bzgl. A als auch bzgl. B jeweils konstante (und sogar zu beiden gleiche) Ping-Dauern feststellt ?

p.s.
> RT, das ist Sache des Standpunkts. […]

Nein: RT, das ist eine Sache von (“Standpunkt“-unabhängigen) Invarianten.

Ob sich diese beiden Auffassungen unversöhnlich gegenüberstehen, oder komplimentär (aber kompatibel), ist freilich eine Frage des Standpunkts.
#41 Alderamin
1. Juni 2018

@Frank Wappler

Meine Frage bzw. weitergehende Überlegung ist nun:
Sind zumindest für manche Paare von Enden, nennen wir eines beispielhaft A und B, denen eine “mitbewegte Entfernung von mehr als dem doppelten Hubble-Radius” zugeschrieben wäre, und die keine Pings untereinander austauschen, trotzdem Partikularbewegungen denkbar,
so dass sich ein dritter Beteiligter, M (mit geeigneten individueller Partikularbewegung) denken ließe,

– dem bzgl. A eine mitbewegte Entfernung von weniger als dem doppelten Hubble-Radius zugeschrieben wäre, und

– dem bzgl. B eine mitbewegte Entfernung von weniger als dem doppelten Hubble-Radius zugeschrieben wäre,

– der sowohl mit A als auch mit B Pings austauscht, und

– der sowohl bzgl. A als auch bzgl. B jeweils konstante (und sogar zu beiden gleiche) Ping-Dauern feststellt ?

Nein. Wenn A sich mit (fast) Lichtgeschwindigkeit auf einen Ort (fast) am Hubble-Radius zubewegt, dann kann man mit M, der dort relativ zur Hintergrundstrahlung ruht, Pings mit konstanter Laufzeit austauschen. Aus Symmetriegründen kann das auch ein Beobachter B, der sich auf der gleichen Linie im (fast) doppelten Hubble-Radius befindet und sich mit (fast) Lichtgeschwindigkeit in Richtung von M und A bewegt. A kann M und B pingen, B M und A und M A und B.

Wird der Radius von A und B auf oder über den doppelten Hubble-Radius erhöht, dann können A und B sich nicht mehr mit konstanter Laufzeit pingen. M kann sich dann aussuchen, mit wem es pingen möchte – es muss sich dann in dessen Richtung bewegen, bewegt sich dann aber weniger schnell als die Raumexpansion in Bezug auf den anderen Beobachter, dessen Entfernung folglich wächst.

Man könnte noch einwenden, M ist ja frei beweglich und könnte sich die Pings von A abholen, dann die Richtung ändern und an B weiterleiten, um so die Zeit verlängert, aber konstant zu halten. Das funktioniert aber auch nicht, denn da A und B mit mehr als doppelter Lichtgeschwindigkeit (aus Sicht eines mitbewegten Beobachters) von der Raumexpansion voneinander weggetragen werden, nimmt ihr Abstand echt zu, auch wenn sie beide mit jeweils Lichtgeschwindigkeit aufeinander zuhalten (mitbewegte Sicht). M muss also zunehmend weitere Strecken hin- und herpendeln, um die Signallaufzeit konstant zu halten, verlängert so aber die Zeit zwischen Ping-Empfang und Ping-Aussendung, d.h. die Roundtrip-Zeit nimmt unweigerlich zu. M trägt nichts zu Verkürzung der Zeit bei, A und B können auch direkt pingen, nur eben nicht mit konstanter Zeit. Bis dann spätestens bei 3 Hubble-Radien Abstand gar nichts mehr geht.
#42 Frank Wappler
1. Juni 2018

Alderamin schrieb (#41, 1. Juni 2018):
> Wird der Radius von A und B auf oder über den doppelten Hubble-Radius erhöht, dann können A und B sich nicht mehr mit konstanter Laufzeit pingen. M kann sich dann aussuchen, mit wem es pingen möchte – es muss sich dann in dessen Richtung bewegen […]

Danke jedenfalls für die deutliche Auskunft; auch wenn ich mir gerade nicht so recht vorstellen kann, inwiefern (bei Entfernung AB “ganz knapp über dem doppelten Hubble-Radius”) eine entsprechend “behutsame Partial-Bewegung Ms” die Pings in der einen Richtung gerade noch (“für immer”) gewährleisten, aber in der anderen Richtung (“für immer”) abschalten würde …

Die naheliegende Betrachtung “M in geeigete Emissäre, P und Q, aufzutrennen” … würde die Sache hier wohl zu weit treiben.

Im Übrigen möchte (nochmals) darauf hinweisen, dass sich (Verhältnisse von) Lorentzsche(n) Distanzen bzw. daraus definierbare Größen, wie insbesondere (Verhältnisse von) Ping-Dauern zur Koordinaten-freien, invarianten, properen Beschreibung geometrischer Beziehungen eignen; sicherlich auch in Anwendung auf die Kosmologie.
#43 bruno
2. Juni 2018

@ Alderamin:
…ich finds ja toll, wenn sich hier Experten auf Experten-Niveau unterhalten…. aber mir als Standart-Science-Blog-Leser fehlt da komplett die Bodenhaftung.
Das ist nicht das, weshalb ich Science-Blogs abboniert habe….

Ich denke … wer so schlau ist … hat andere Quellen … und lässt die Scienceblogs für die interessierten Laien….

Mir ist “alpha-cephei” mittlerweile zu abgehoben. Zu speziell. Uninteressant für mich!
Scheinbar auch für andere…. sonst wären ja die Klickzahlen nicht eingebrochen… (#3)

Mir gefiel Alderamin noch besser, als er voller Inbrunst und Fachkompetenz FFs Artikel kommentierte/ ergänzte/ berichtigte…

Das hier ist “too much” – für mich.
Nicht ganz so schlimm wie “…hier wohnen Drachen” mit seinem Super-Gendering – was mir das Lesen komplett verleidet und ich aufgegeben habe(!) …(zumal ich entgegengesetzter Meinung bin…) aber mittlerweile finde ich “Super-Information” auch echt etwas zu viel….

ScienceBlogs war lange für Laien …. mittlerweile scheint man sich hier mit Fachkompetenz übertreffen zu wollen … und vergisst den gemeinen Mitleser – meiner Meinung nach ursprünglich das Zielobjekt!!
FF hat da eine etwas bessere PA.

@Alderamin: bleib doch bitte bei deinen Artikeln VIEL näher an deinen bisherigen Kommentaren der letzten 8 Jahre! Das hat dich GROSS gemacht!
ICH mochte deine intuitiv plausiblen und massiv fundamentalen Kommentare…. diese glattgeschliffenen High-end-Artikel…. nerven mich. Nix für mich! Ich will den “alten” Alderamin:
Super-gescheit und unsagbar-belesen!
Neue Ideen und immer die neuesten plausiblen Informationen aus den aktuellsten plausibel relevanten Publikationen!!

Und jetzt?

Alle Artikel bis zur Paper-Reife recherchiert und glatt-geschliffen…. gefällt mir nicht mehr!

FF schafft es, mir unter jeweiligen Diagrammen deren Bedeutung in einem Satz erklären zu können – so muss ich nicht stundenlang über für mich irrelevante “Diagramme” nachdenken müssen…. sondern bekomme bereits eine “Interpretation” – die ich aber zu 100% glaube, weil ich seine Kompetenz respektiere!
DEINER Kompetenz würde ich ebenso zu 100% vertrauen – warum also nicht von DIR eine Interpretation der Daten….

Klar…kann das nicht jeder, will auch nicht jeder.

Ist aber auch nur meine Meinung.
Ich bin raus.

Dennoch Danke für die Mühe!
#44 Alderamin
2. Juni 2018

@bruno

Danke für eine ehrliche Meinung.

ScienceBlogs war lange für Laien …. mittlerweile scheint man sich hier mit Fachkompetenz übertreffen zu wollen … und vergisst den gemeinen Mitleser – meiner Meinung nach ursprünglich das Zielobjekt!!
FF hat da eine etwas bessere PA.
[…]
FF schafft es, mir unter jeweiligen Diagrammen deren Bedeutung in einem Satz erklären zu können – so muss ich nicht stundenlang über für mich irrelevante “Diagramme” nachdenken müssen…. sondern bekomme bereits eine “Interpretation”

Ich versuche eigentlich, völlig unverständliche Fachartikel so darzustellen, dass man sie nachvollziehen kann. Mein selbstgestellter Anspruch ist, dass man halbwegs nachvollziehen können soll, wie die Wissenschaftler gearbeitet haben – das bloße Präsentieren der Ergebnisse fände ich langweilig, die kann man in den Wissenschaftsteilen von Spiegel Online und anderen Quellen lesen.

Das ist teilweise unglaublich komplexes Zeug, das ich auch nicht auf Anhieb verstehe (wenn überhaupt). Es dauert Stunden, da durchzusteigen. Die enthaltenen Diagramme sind so, wie sie sind, die kann ich nur nach meinen besten Fähigkeiten versuchen zu erläutern – die Darstellungen sind in der Tat von Wissenschaftlern für Wissenschaftler gedacht. Sicher hat Florian mehr didaktisches Talent als ich, vielleicht wählt er auch die besseren Paper aus.

Ich möchte Florian aber auch nicht imitieren, jeder hat seinen eigenen Stil und auch seine Leserschaft, der das gefällt (oder eben nicht). Was nicht heißt, dass ich mich nicht zu verbessern brauche, natürlich bin ich Blog-Anfänger und muss noch viel lernen.

Uninteressant für mich!
Scheinbar auch für andere…. sonst wären ja die Klickzahlen nicht eingebrochen… (#3)

Ich denke nicht, dass man das alleine an der Komplexität der Themen festmachen kann. Die Artikel über den CCD-Fehler (sehr komplex) und die fehlgeleitete Ariane (relativ komplex) sind die meistgelesenen und werden immer noch geklickt (mag am Clickbait-Titel liegen). Der Artikel über das Sternbild Löwe war nicht besonders kompliziert, nur (wie viele Artikel) ziemlich lang. Der ist kaum gelesen worden.

Auch war flipboard.com eine meiner Haupt-Leserquellen. Seit 14. Mai ist die Klickzahl von dort von einem Tag auf den anderen abrupt auf 0 gesunken. Da die Scienceblogs dort immer noch geführt werden, denke ich dass es mit dem Analytics-Plugin zusammenhängt, das ist da anscheinend rausgeflogen, vielleicht wegen des DSGVO.

Daran kann ich nichts ändern, aber die Artikel müssen kürzer werden, soviel ist klar. Ich nehme mir ein Thema vor und merke dann beim Schreiben, dass es dazu mehr zu sagen gibt, als mir vorher bewusst war. Dann verliere ich mich manchmal in zu vielen Details. In der Länge muss ich strenger mit mir sein. Die Hälfte von jetzt sollte reichen. Mal schauen, ob ich das hinbekomme.
#45 HF(de)
2. Juni 2018

@bruno: ich kann der Kritik nicht zustimmen. Ich hab kein Problem damit, einen Artikel zwei mal zu lesen, um durchzublicken. Wenn Dir das zu hoch ist, lies halt andere Sachen. Dem Autoren vorzuwerfen dass seine Artikel “Paper-Reife recherchiert und glatt-geschliffen” sind, kann ich absolut nicht nachvollziehen. Die sind so, dass man was lernen kann, so man denn will.
Und zu den Klickzahlen: schau mal beim Artikel von Gaia 4 vorbei. Wieviele Leute wollen da eine ganze Serie? Und soo einfach ist die Materie auch nicht — aber super erklärt von Alderamin…
#46 UMa
3. Juni 2018

@Alderamin:
Ich finde gut, dass du auch komplizierte Themen beschreibst. Ich kann aber verstehen, dass machen Themen oder Artikel für Leser, die kein MINT-Fach studiert haben, zu kompliziert sein könnten.
Vielleicht könntest du komplizierte Artikel mit anderen einfacheren abwechseln, um eine breitere Leserschaft anzusprechen? Z.B. mit der Serie über die Sternbilder aus Amateurastronomischer Sicht? Es sind noch genügend Sternbilder übrig.
#47 Alderamin
3. Juni 2018

@UMa

Die Sternbilder waren zuletzt klickmäßig auch nicht so der Renner, aber erstens habe ich mir vorgenommen, weitere Gaia-Artikel nur noch über ein, maximal 2 Arbeiten zu schreiben (also deutlich kürzer) und zweitens kommt sehr bald was völlig anderes aus dem Funkbereich. Mal sehen, wie das so ankommt. Ich versuche aber auch, den Komplexitätsgrad ein wenig zurück zu fahren.

Eigentlich waren meine Kommentare früher auch nicht weniger komplex, finde ich. Nur halt viel kürzer.

Mich würden auch andere Meinungen der Leser zu diesem Blog interessieren, gerne auch kritische.
#48 HF(de)
3. Juni 2018

Mich würden auch andere Meinungen der Leser zu diesem Blog interessieren, gerne auch kritische.

Gerne: ich finde den Blog extrem gut. Egal, ob komplexere Sachverhalte wie in diesem Artikel (das ist doch spannend, wie die unterschiedlichen Entfernungen/E.-messungen etc funktionieren und warum man das überhaupt so “kompliziert macht”/machen muss und wo die Haken lauern).
Oder kurzfristige Hinweise auf z.B. Merkur-Beobachtungsmöglichkeit.
Oder auch Sternbilder — bei denen gibt es bei mir allerdings eine kleine Einschränkung, die auch die Klickzahlen erklären könnte: im Winter kann ich mir die direkt abends anschauen und üben, das ist im Sommer eher schwierig… (Ich hol die Sommerbilder im Winter nach 🙂

Oder, oder, oder. Ich sag nur: weiter so! Und: vielen Dank!
#49 Zyfdnug
6. Juni 2018

Alderamin, mach’ mal ruhig weiter mit langen Artikeln… die hab’ ich dann zwar auch mal ein paar Tage im Browser offen, aber ich wühle mich da gern durch 🙂

Und ich hab’ auch kein MINT-Fach studiert, meine Mathematikkenntnisse sind, na ja, nicht so toll, aber grade das in-die-Tiefe gehen bei dir gefällt mir.

Ganz generell les’ ich aber lieber Sachen, die nicht so schnell zu Ende sind, und bei denen ich quasi vorweg weiss, dass die ganze Länge mit neuen, interessanten Sachen gefüllt ist. Exakt das bekomme ich bei dir – bei Florian nebenan krieg’ ich die Diskussionen um auch mal in die Tischplatte zu beissen, hier krieg’ ich halt was anderes. Ist doch perfekt 🙂

Z
#50 Togoon
11. Juni 2018

Wow.

Alderamin, danke fuer den Artikel. Es ist zu spaet fuer mich meinen Fund jetzt noch durchzuarbeiten, obwohl ich es moechte, daher habe ich ihn nur ueberflogen.

Ich hoffe dass ich noch die Zeit finde.

Vielleicht schaffst Du es bis dahin noch der armen Ameise ein Ziel zu geben. 😉

Und die Gaia-Reihe steht jetzt auch auf meinem Lektuereplan.

Gruss Togoon
#51 JosefF
BY
5. August 2022

Die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit c gilt als Konstante (ca. 300.000 km/s).
Wie werden vom Licht die zugehörigen gleichbleibenden 300.000 Kilometer gemessen?
Der heutige Skalenfaktor ist 1, früher war er mal 0,5 und in ferner Zukunft wird er einmal 2 sein (Beispiele aus dem Beitragstext).
Früher irgendwann war eine Strecke, die heute 300.000 km lang ist nur 150.000 km lang, und in Zukunft wird sie irgendwann 600.000 km lang sein, ich glaube, man spricht auch von einer sich ändernden Metrik.
Woher “weiss” das Licht, dass es in seine Geschwindigkeit die Längen-Expansion nicht einbeziehen darf, sondern nur die Wellenlänge?
Woher weiss die Wissenschaft, dass die Geschwindigkeit des “Ur-Lichts” (der bekannten 3K-Strahlung) so gross ist wie die “heutige Lichtgeschwindigkeit” ?
#52 Alderamin
13. August 2022

Hallo @JosefF, sorry für die späte Antwort, ich kriege keine Benachrichtigungen mehr auf’s Handy wenn jemand einen Kommentar schreibt, das hat früher mal funktioniert.

Zur Frage:
Vorab: Eine Strecke von 1 m ist definiert als diejenige Entfernung, die das Licht in ungefähr 3,3 Nanosekunden zurücklegt. Die Sekunde ist wiederum über die Frequenz einer bestimmten Mikrowellenstrahlung definiert. Und die Lichtgeschwindigkeit selbst ist seit einigen Jahren auf einen bestimmten Wert definiert worden, der zu den damaligen Einheitendefinitionen im Rahmen der Messgenauigkeit am besten passte. Es ist jetzt so, dass die Lichtgeschwindigkeit der definierte Wert ist und der Meter die davon abgeleitete Einheit, das war früher umgekehrt.

Wenn wir also wissen wollen, wie weit etwas entfernt ist, können wir einen Lichtstrahl aussenden und messen, wie lange er für die Strecke braucht (und zurück; sonst kommt man in die Bredouille, Gleichzeitigkeit zu definieren). Und eben jene Strecke nimmt zu, wenn man die Entfernung kosmischer Objekte misst (wenn auch mit anderen Methoden, aber man kann alles ineinander umrechnen, siehe oben) weil der Raum sich ausdehnt. Was sich hingegen nicht ausdehnt, sind Objekte, die durch Kräfte aneinander gebunden sind. Die Erde wächst nicht mit, somit auch nicht die Entfernung von Orten auf der Erde oder das frühere Urmeter. Auch das Sonnensystem wächst nicht, selbst die lokale Gruppe von Galaxien, zu der die Milchstraße, die Andromedagalaxie, die Triangulumgalaxie und alle ihre Satelliten gehören, wächst nicht; im Gegenteil, die werden alle irgendwann miteinander kollidieren.

Insofern gibt es kein Problem mit einer sich ändernden Metrik. Erst ab ca. 10 Mpc Entfernung, wo die Expansionsgeschwindigkeit in die Größenordnung der Fluchtgeschwindigkeiten von Galaxien in Galaxienhaufen kommt, macht sich die Expansion bemerkbar (wir messen dabei übrigens nicht das Wachstum selbst, sondern die erste Ableitung davon, die Geschwindigkeit des Wachstums als scheinbare Entfernungsgeschwindigkeit aufgrund der Rotverschiebung). Aus der Diskrepanz zwischen lokaler Nichtexpansion und entfernter Expansion ergibt sich, dass die Metrik sich nicht ändert, sondern der Raum wirklich wächst. Aber eben nur auf großen Skalen.

Übrigens gibt es noch einen weiteren Hinweis darauf, dass das Weltall echt wächst und die Rotverschiebung nicht eine ganz andere Ursache wie “müdes Licht” oder dergleichen hat: man kann die Expansion des Universums auch an seiner Temperatur messen, denn je größer es wird, desto länger wird die Wellenlänge der kosmischen Hintergrundstrahlung und desto dünner die Dichte ihrer Photonen. Als das Weltall noch kleiner war, war es folglich wärmer (die Hintergrundstrahlung hatte mehr Energie: kürzere Wellenlänge und höhere Intensität). Und das hat man tatsächlich messen können, indem man mit Radioteleskopen die Temperatur von Gas in großen kosmologischen Entfernungen (gleichbedeutend mit vor langer Zeit) gemessen hat, das sich im freien Raum zwischen den Galaxien befindet und mit der Hintergrundstrahlung im Temperaturgleichgewicht ist. Und das war (aus der Erinnerung) 5 oder 6 K “warm”, im Gegensatz zu den heutigen 2,73 K. So kann man ausrechnen, wie der Skalenfaktor zur damaligen Zeit war.

Beantwortet das die Frage?
#53 Frank Wappler
17. August 2022

Alderamin schrieb (#52, 13. August 2022):
> […] Wenn wir also wissen wollen, wie weit etwas

… nennen wir ein bestimmtes (geeignetes) solches “Etwas” konkret z.B. “Reflektor $B$ ” …

> entfernt ist

… nämlich: “von uns” entfernt ist, bzw. “von $A$ ” …

> können wir einen Lichtstrahl aussenden

… gemeint ist sicherlich eine einzelne (momentane oder möglichst kurze) Signalanzeige, einschl. der somit wahrnehmbaren (“ausgestrahlten”) Signalfront …

> und messen, wie lange er für die Strecke braucht (und zurück; […])

Messbar wäre (zumindest im Prinzip), wie lange “wir” (alias $A$ ) von unserer Signalanzeige bis zu unserer Wahrnehmung(sanzeige) der entsprechenden Reflexionsanzeige $B$ s gebraucht hätten;
also unsere bzw. $A$ s Pingdauer bzgl. $B$ .

> Eine Strecke von 1 m ist definiert als diejenige Entfernung, die das Licht in ungefähr 3,3 Nanosekunden zurücklegt. […]

Falls also $A$ einmal den Wert seiner Pingdauer bzgl. $B$ als ungefähr 6,6 Nanosekunden festgestellt hätte:

– wäre dann ohne Weiteres $B$ eine Entfernung von ungefähr 1 m von $A$ zuzuschreiben ?

– wäre dann (sogar) ohne Weiteres der von den beiden Enden $A$ und $B$ begrenzten “Strecke” “ $AB$ ” eine “Länge” von ungefähr 1 m zuzuschreiben ?

Falls darüberhinaus $A$ den Wert seiner Pingdauer bzgl. $B$ sogar wiederholt und durchwegs (z.B. über etliche Sekunden hinwegs) als ungefähr 6,6 Nanosekunden festgestellt hätte:

– wäre dann ohne Weiteres $B$ eine Entfernung von ungefähr 1 m von $A$ zuzuschreiben ?

– wäre dann (sogar) ohne Weiteres der von den beiden Enden $A$ und $B$ begrenzten “Strecke” “ $AB$ ” eine “Länge” von ungefähr 1 m zuzuschreiben ?

Oder wären dafür bestimmte weitere Anforderungen zu erfüllen, insbesondere womöglich betreffend $B$ s Feststellungen von Werten seiner Pingdauer bzgl. $A$ ?

> Die Sekunde ist wiederum über die Frequenz einer bestimmten Mikrowellenstrahlung definiert. […]

Wie wäre (zumindest im Prinzip) festzustellen, ob (oder — ungefähr — mit welcher Genauigkeit) ein gegebener Mikrowellenstrahler ausgerechnet mit dieser bestimmten Frequenz strahlte ?

Oder (was einfacher sein könnte):
Wie wäre wenigstens (und zumindest im Prinzip) festzustellen, ob (oder — ungefähr — mit welcher Genauigkeit) ein gegebener Mikrowellenstrahler überhaupt mit einer bestimmten Frequenz strahlte ?, und
Wie wäre (zumindest im Prinzip) festzustellen, ob (oder — ungefähr — mit welcher Genauigkeit) zwei voneinander getrennte (wie $A$ und $B$ ), die jeweils mit einer bestimmten Frequenz strahlten, dabei mit der gleichen Frequenz strahlten ? …

p.s.
Und in welcherlei Bredoullien man gerät, wenn man solchen Herausforderungen nicht von vornherein und fischelant nachkommt! …

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