Wie groß ist die Unendlichkeit?

Kommentare (294)

1. #1 Raimund Lang

   27. September 2013

   Das hat Cantor nicht “herausgefunden”. Schon Newton kannte einige Paradoxien des Undlichen. Und Bernard Bolzano hat sie explizit behandelt in dem gleichnamigen Buch von 1851.

   LG Raimund

2. #2 ernst

   27. September 2013

   @Raimund Lang:
   Es geht Florian aber nicht allgemein um “Paradoxien des Unendlichen”, sondern konkret um die Erkenntnis, dass es unterschiedlich große Unendlichkeiten gibt (abzählbar, überabzählbar). War das auch schon Bolzano (oder gar Newton) bekannt?

3. #3 Florian Freistetter

   27. September 2013

   @Raimund Lang: “!Das hat Cantor nicht “herausgefunden”. Schon Newton kannte einige Paradoxien des Undlichen. Und Bernard Bolzano hat sie explizit behandelt in dem gleichnamigen Buch von 1851.”

   Ich spreche von der Entwicklung der Mengenlehre; den beiden Diagonalargumenten von Cantor, etc.

4. #4 Raimund Lang

   wien

   27. September 2013

   @Ernst
   Ja, beiden bekannt.

5. #5 Florian Freistetter

   27. September 2013

   @Raimund: “Ja, beiden bekannt.”

   Newton hat bewiesen, dass es überabzählbar viele irrationale Zahlen gibt? Und das es verschieden mächtige unendlich große Mengen gibt? Wo hat er das denn getan; das würde ich gerne genauer nachlesen.

6. #6 Raimund Lang

   wien

   27. September 2013

   @Florian
   Wo sprichst du von den Diagonalargumenten? Du sprichst von verschiedenen Arten von Unendlichkeit. Dass die Annahme nur einer Art (insbesondere, aber nicht notwendigerweise, als potentielle Unendlichkeit verstanden) in Paradoxien führt, war bereits vor Cantor bekannt. Er hat das also nicht erfunden, sondern das formale Instrumentarium entwickelt, um die Paradoxien aufzulösen.

   Dabei hat er übrigens einen Mengenbegriff verwendet, der seinerseits zu Widersprüchen führte. Das haben dann erst die Fraenkels-Zermelo-Axiome behoben.
   LG Raimund

7. #7 Florian Freistetter

   27. September 2013

   @Raimund Lang: “Wo sprichst du von den Diagonalargumenten? Du sprichst von verschiedenen Arten von Unendlichkeit”

   Ich spreche eigentlich von gar nichts. Ich habe nur ein Video vorgestellt, das Cantors Diagonalargument und die Grundlagen seiner Mengenlehre erklärt. Das Forscher sich auch schon vor Cantor Gedanken über die Unendlichkeit gemacht haben, hat ja niemand geleugnet. Aber in dem Video gehts halt um ein ganz konkretes Thema.

8. #8 Raimund Lang

   27. September 2013

   @Florian
   Du hast doch eben noch selbst geschrieben: “Ich spreche von (….)”. Und jetzt sagst du, du sprichst “eigentlich von gar nichts”. Na was nun? Jedenfalls hat Cantor nicht “herausgefunden”, dass die Annahme einer Menge, “die mehr Elemente enthält als alles andere und bei der man nie zu einem Ende kommen würden, wenn man probiert sie zu zählen” nicht haltbar ist. Darauf habe ich hingewiesen, das ist alles.

   LG, Raimund

9. #9 Florian Freistetter

   27. September 2013

   @Raimund Lang: “Jedenfalls hat Cantor nicht “herausgefunden”, dass die Annahme einer Menge, “die mehr Elemente enthält als alles andere und bei der man nie zu einem Ende kommen würden, wenn man probiert sie zu zählen” nicht haltbar ist.”

   Kannst du mal konkret die Arbeiten von Newton zitieren um die es dir geht? Wie gesagt, das Video das der Artikel vorstellt handelt von Cantors Mengenlehre. Dass Newton sich Gedanken über die Unendlichkeit gemacht hat, glaube ich gerne. Aber ich bezweifle, dass er Cantors Arbeit vorweggenommen hat.

10. #10 Raimund Lang

    Wien

    27. September 2013

    @Florian
    Ich muss mich entschuldigen, ich habe nämlich Galilei gemeint, nicht Newton. Sehr peinlich, andererseits stützt das meine Behauptung noch stärker, weil Galilei 78 älter als Newton war. In den “Discorsi e dimostrazioni matematiche” (1638) stellt Galilei fest, dass die Menge der Quadratzahlen gleich mächtig ist wie die Menge der natürlichen Zahlen. Bis Cantor – am bekanntesten eben Bernard Bolzano – hielt man das (und noch andere Eigenschaften, die sich aus dem prae-cantorschen Mengenbegriff ergeben) ganz einfach für paradox. Man wusste zwar, dass es nicht hinaut, nur eine Unendlichkeit anzunehmen. Man wusste aber nicht, wie man das Problem beheben sollte. Cantor hat dafür eine neue Begrifflichkeit eingeführt und zack – Paradoxie beseitigt (dafür aber eine neue ins Boot geholt). Viel wichtiger als die Hierarchie der Unendlichkeiten war für die Entwicklung der Mengentheorie aber der neue Mengenbegriff, der das Unendliche als aktual Unendliches (im Gegensatz zum potentiell Unendlichen) auffasste. Diese beiden Mengenbegriffe waren bereits Aristoteles bekannt (der das aktual Unendliche ablehnte).

    LG Raimund

11. #11 ernst

    27. September 2013

    @Raimund Lang:
    Aber hat das wirklich etwas mit der Existenz unterschiedlich großer Unendlichkeiten (im heutigen Sinne) zu tun? Die Erkenntnis, dass ein naives Verständnis von Unendlichkeit problematisch ist, scheint mir davon noch sehr weit entfernt zu sein.
    Hat Galilei beispielsweise gezeigt, dass es überabzählbar große Mengen gibt? Oder konkret, dass die reellen Zahlen in diese Kategorie fallen? (Letzteres halte ich für sehr unwahrscheinlich; auch weil Definition bzw Konstruktion der reellen Zahlen ja nicht gerade einfach sind.)

12. #12 Raimund Lang

    wien

    27. September 2013

    @ernst
    Nein, Galilei hat nicht gezeigt, dass es überabzählbar große Mengen gibt. Dass habe ich auch nie behauptet. Übrigens hat das auch Cantor nicht gezeigt. er hat nur einen formalen Apparart eingeführt, in dem es sie eben gibt. (Und den andere erst widerspruchsfrei machen mussten…)

    Der Vorschlag, eine Hierarchie von Unendlichkeiten (Cantors “Alephs”) einzuführen hat sehr wohl etwas mit der Problematik des naiven Mengenverständnisses zu tun. Und zwar deshalb, weil ersteres die Probleme (genauer: einige Probleme) von letzterem löst.

    LG Raimund

13. #13 Hr Schulz

    28. September 2013

    OT!
    @Florian: Unendlichkeit … ich hätte da mal ne Frage!
    In einer der letzten “Spektrum” habe ich gelesen, dass das “Weltall”, das etwa 13,8 mrd. Jahre alt sein soll, etwa 96 mrd. Lichtjahre groß ist … und sich an seinen äusseren Grenzen mit fast doppelter Lichtgeschwindigkeit ausdehnt.
    In unserer “lokalen Grupppe” scheint sich nichts von uns weg zu bewegen, Andromedar kommt wohl auf uns zu…
    es ist immer die Rede vom “Intergalaktischem Raum”, der sich ausdehnt – wo fängt der an?? Offensichtlich nicht zwischen den Galaxien…? Schon gar nicht innerhalb unserer Galaxie, unserer “lokalen Gruppe”, “unseres” Clusters/ “Superclusters” … etc. Also scheint … die Ausdehnung (“schwarze Energie”) NICHT an die Schwarze Energie gebunden zu sein..
    Wie muss ich mir das vorstellen. Ab wann oder wo (oder wie ist die richtige Frage) greift die Raumzeitausdehnung?? Müsste nicht unsere Galaxie aufgrund der Gravitation kleiner werden oder wenigstens aufgrund der Raumzeitausdehnung größer werden??? Warum bleibt unsere Galaxie gleich “groß”, wenn sich der “Raum” ausdehnt
    Herzliche Grüße, Hr Schulz??

14. #14 Florian Freistetter

    28. September 2013

    @Hr Schulz: “Wie muss ich mir das vorstellen. Ab wann oder wo (oder wie ist die richtige Frage) greift die Raumzeitausdehnung?? Müsste nicht unsere Galaxie aufgrund der Gravitation kleiner werden oder wenigstens aufgrund der Raumzeitausdehnung größer werden??? Warum bleibt unsere Galaxie gleich “groß”, wenn sich der “Raum” ausdehnt”

    Die Expansion des Alls findet nur auf großen Skalen statt. In kleineren Bereichen wirkt die Gravitationskraft der Expansion entgegen. Man kann es sich so vorstellen: Jedes Stückchen Raum enthält ein bisschen Energie (die “dunkle Energie”). Wenn man nur ein kleines Raumvolumen betrachtet – zum Beispiel das, in dem unsere Galaxie liegt, dann reicht die Energie nicht aus, um stärker als die Gravitationskraft zu sein, die der Expansion entgegen wirkt. Bei einem sehr großen Volumen ist aber genug Energie da. Zwischen den Galaxienhaufen ist so viel leerer Raum, dass die Energie ausreicht um die schwache Gravitationskraft zwischen den Haufen zu überkommen -> das All expandiert.

15. #15 volki

    28. September 2013

    @Raimund:

    Nein, Galilei hat nicht gezeigt, dass es überabzählbar große Mengen gibt. Dass habe ich auch nie behauptet. Übrigens hat das auch Cantor nicht gezeigt.

    Was hat dann bitte Cantor mit seinem zweiten Diagonalisierungsverfahren sonst gezeigt? Überabzählbarkeit heißt ja genau, dass etwas mächtiger als die natürlichen Zahlen ist.

    Dass das Unendliche zu Paradoxien führen kann, war schon den alten Griechen klar (siehe zum Beispiel im Paradoxon von Achilles und der Schildkröte).

16. #16 StefanL

    28. September 2013

    @Raimund Lang
    https://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_erster_%C3%9Cberabz%C3%A4hlbarkeitsbeweis
    Und der “Satz von Cantor” ( |P(A)| > |A| ) gilt doch in ZF ebenso wie in der naiven prä-ZF Mengenlehre

    Und das sich jede natürliche Zahl quadrieren läßt (und wieder eine natürliche Zahl ist) sowie das zu jeder Quadratzahl eine ursprüngliche (zu quadrierende) Zahl existiert ist ja nicht zu überraschend. Genauso wie für gerade und ungerade natürliche Zahlen. Spannender ist da schon die “Anzahl” von Primzahlen…
    Aktual und potenziell unendlich – da greift die Philosophie ( auf rein ontologischer Ebene) etwas zu kurz → Ordinal – und Kardinalzahlen.

17. #17 Realistischer

    28. September 2013

    Das Unendliche ist garkeine Zahl. Wer ist eigentlich auf die Idee gekommen dass die größer/kleiner-Relation darauf anwendbar wäre? Das ist doch von vornherein ein Fehler! Dass die Frage nach diesen Relationen garnicht beantwortbar ist, tja, das ist nicht irgendwie was ganz besonderes, sondern ein Folgefehler. Trivialer geht’s ja kaum noch…

    Ausserdem: ob eine Menge abzählbar (auf natürliche Zahlen abbildbar) ist oder nicht, ist eine Frage die mit der Unendlichkeit nichts zu tun hat. Dabei geht’s vielmehr darum ob eine geeignete (vollständig und sequenziell) Konstruktionsmethode verfügbar ist oder nicht.

18. #18 Gono

    28. September 2013

    @Realistischer
    Was ist denn “die größer/kleiner Relation”? Dir ist schon klar, dass für Mathematiker damit eben nicht unbedingt das gemeint ist, was du darunter verstehst?

    Da find ich Aussagen wie

    > Das ist doch von vornherein ein Fehler!

    ein wenig vermessen. Ohne dass du dich damit intensiv beschäftigt hast, wirst du niemals Dinge verstehen, die dein “Trivaler” Horizont erfassen kann.

    Die Frage nach der Relation wurde im Übrigen sehr wohl beantwortet, es gilt nämlich |N| < |R|.
    Die Kontinuumshypothese sagt ja "nur" aus, dass dazwischen eben nix mehr kommt.

    Gruß,
    Gono.

19. #19 Realistischer

    28. September 2013

    @Gono
    Welchen Wert hat denn |N|, und welchen |R|? Beides unendlich – also gleich.
    Nein, ich brauche mir die Welt nicht komplizierter denken als sie ist – weil ich keiner bin der davon lebt dass er irgendwas kanz kompliziert darstellt, damit er dann, weil er es vorgeblich trotzdem versteht, vor den anderen als unverzichtbarer Experte dasteht.

20. #20 GodsBoss

    Hannover

    28. September 2013

    @Realistischer:
    Das hat nichts mit komplizierten Darstellungen zu tun. Zwei Mengen sind dann gleich mächtig, wenn ich eine 1:1-Beziehung (im Fachjargon: Bijektive Funktion) zwischen ihnen finden kann. Bei N und R klappt das nicht. Damit können sie nicht gleich mächtig sein.

21. #21 volki

    28. September 2013

    $|\mathbb N|=\aleph_0$ und unter der Annahme, dass die continiumshypothese gilt ist $|\mathbb {R}|=\aleph_1$

22. #22 volki

    28. September 2013

    $*latex |\mathbb N|=\aleph_0$ und unter der Annahme, dass die continiumshypothese gilt ist $*latex |\mathbb {R}|=\aleph_1$

    ok nocheinmal. Mal schauen ob es diesmal klappt LaTeX zu verwenden.

23. #23 volki

    28. September 2013

    und unter der Annahme, dass die continiumshypothese gilt ist

    ok letzter Versuch…

24. #24 Gono

    28. September 2013

    > Welchen Wert hat denn |N|, und welchen |R|? Beides unendlich – also gleich.

    Nein. Dazu erstmal eine Frage: Was ist denn dein seltsames Ding mit Namen “unendlich”?
    |N| ist per Definition erstmal nichts anderes, als |N|.
    Die Frage ist nun bei einer zweiten Menge, nennen wir sie R, ob |N| = |R| gilt, oder eben nicht.
    Im Falle der rellen und der natürlichen Zahlen tut es das halt nicht. Da braucht man keine Begrifflichkeit wie “unendlich” für.
    Und nichts anderes hat Cantor festgestellt. Dass man |N| und |R| im Nachhinein Namen gibt, ist eine ganz andere Geschichte.

    Und auch wenn du dich dagegen sträubst, es gilt eben leider nicht |N| = |R|

    Gruß,
    Gono.

25. #25 JaJoHa

    28. September 2013

    @Realistischer
    Das abzählbar und überabzählbar spielt bei einigen Funktionen eine Rolle. Die hier ist so ein Fall, wenn du das Integral davon willst https://de.wikipedia.org/wiki/Dirichlet-Funktion
    Da geht es ganz grob darum, das abzählbare Punkte keine Fläche bedecken können, überabzählbar viele allerdings schon. Das spielt zum Beispiel eine Rolle, wenn du abzählbar viele Punkte hast, bei denen die Funktion an springt und trotzdem endlich bleibt.
    Von daher spielt die Mächtigkeit schon eine Rolle.

26. #26 Realistischer

    29. September 2013

    @Gono
    Diese verschiedenen Unendlichkeiten vom Kantor (Aleph-Funktion) beziehen sich auf die Konstruktion einer Menge, z.B. die Potenzmenge einer unendlichen Menge. Aber wenn man eine Menge an sich betrachtet, unbeachtet dessen wie sie konstruiert wurde, dann ist die entweder unendlich groß oder nicht. Wenn schon, dann müsste man von unterschiedlichen Konstruktionskomplexitäten sprechen.
    @JaJoHa
    Das ist ein interessantes Beispiel – aber ganz ehrlich: wenn man eine Linie mittels abzählbaren Punken modellierte, dann müsste man diesen selbstverständlich eine entsprechende Teil-Länge geben (also eigentlich Teil-Linien bilden). Und wenn man das täte, dann würde auch das Integral anders aussehen.
    Wenn man dagegen über Zahlenmengen ein Integral bildet das eine Linie unterstellt – das ist unredlich, denn da versteckt man die Annahme einer räumlichen Anordnung der Zahlen, als Punkte, mit einer Ausdehnung die ganz zufällig automatisch so groß ist dass sich im Endergebnis eine Linie, oder Fläche, oder was immer man haben will, ergibt.
    Eine Zahl an sich ist aber nur eine Zahl, sonst nichts. Und wenn in einer Menge nur Zahlen drinn sind, dann ist da auch keine Linie oder Fläche drinn. Dazu müsste man, wenn man ehrlich vorgeht, wiederum die Konstruktionsmethode dazu geben, und die wäre dann in dem Fall genau so dass man vom Ziel der Linien- oder Flächenbildung aus geht und die Punkte dem entsprechend konstruiert (und irgendeine Ausdehnung haben die immer, auch wenn sie gegen Null geht!)

27. #27 StefanL

    29. September 2013

    @Realistischer
    wenn Dir Mengen nicht gefallen betrachte doch Klassen …
    Und was Du als “Konstruktion” bezeichnest trifft bestenfalls die Hälfte – wann immer, egal ob mathematisch oder philosophisch oder realistisch, irgendeine Unterscheidbarkeit angenommen wird ist diese über Eigenschaften zustande gekommen. Und so ist auch die Potenzmenge nur die Zusammenfassung von Objekten mit einer gewissen gleichartigen Eigenschaft nämlich Teilmenge einer bestimmten Grundmenge( also bestimmter Objekte mit bestimmten Eigenschaften die als Menge dann eben noch bspw. ZF genügen) zu sein. Das sich so die Potenzmenge auch konstruieren läßt, ist eher ein ‘Goodie’ für die Konstruktivisten aber als Unterscheidungsmerkmal ist sie “auch nur” eine Zusammenfassung bzgl. bestimmter Merkmale/Eigenschaften. Irgendwie geht da Deine Kritik ins Leere…
    Und zur “Unredlichkeit der Linienbildung”: sagt Dir allein der Begriff “Archimedische Anordnung” irgendwas?
    Und in welchem Fall ist (beachte: auch eine konsistente Volumendefinition die sofern sie Integrale benutzt sollte dann die Linearität des Funktionals gewährleisten)?

28. #28 StefanL

    29. September 2013

    @Realistischer

    Aber wenn man eine Menge an sich betrachtet, unbeachtet dessen wie sie konstruiert wurde, dann ist die entweder unendlich groß oder nicht.

    Sicherlich – nur nicht notwendig gleich in ihrer nicht-Endlichkeit.

29. #29 volki

    29. September 2013

    Diese verschiedenen Unendlichkeiten vom Kantor (Aleph-Funktion) beziehen sich auf die Konstruktion einer Menge, z.B. die Potenzmenge einer unendlichen Menge.

    Das ist nicht richtig. ist so definiert. Aber es gibt keine Möglichkeit , die nächst größere Kardinalzahl, zu konstruieren, wenn man nicht die Continumshypothese annimmt. Das heißt, die ‘s kann man gar nicht per Konstruktion definieren, man kann aber zeigen, dass verschieden unendlich große Kardinalzahlen existieren.

    aber ganz ehrlich: wenn man eine Linie mittels abzählbaren Punken modellierte, dann müsste man diesen selbstverständlich eine entsprechende Teil-Länge geben (also eigentlich Teil-Linien bilden)

    Auch das ist falsch. Wenn man eine Linie konstruieren will, die keine Lücken hat, dann braucht man immer überabzählbar viele Punkte. (der Topologische Abschluss -das schließen aller Lücken- einer unendlichen Menge ist immer überabzählbar). Eine Linie die Lücken hat ist halt in fast allen Anwendungen unbrauchbar.

    Wenn man dagegen über Zahlenmengen ein Integral bildet das eine Linie unterstellt – das ist unredlich, denn da versteckt man die Annahme einer räumlichen Anordnung der Zahlen, als Punkte, mit einer Ausdehnung die ganz zufällig automatisch so groß ist dass sich im Endergebnis eine Linie, oder Fläche, oder was immer man haben will, ergibt.

    Nicht ganz. Das was die Fläche, Länge usw. ausmacht sinde die Abstände zwischen den einzelnen Punkten nicht irgeneine Audehnung, die sie nicht haben.

    und irgendeine Ausdehnung haben die immer, auch wenn sie gegen Null geht!

    Punkte haben per Definition keine Ausdehnung. “Ausdehnung” auf einer Menge bekommst du erst wenn du eine Metrik (Abstandsbegriff) auf dieser Menge einführst. Dann kann man erst soetwas wie über Ausdehnung reden aber da ein Punkt zu sich selbst immer Abstand 0 hat, kann ein Punkt keine Ausdehnung haben.

30. #30 celsus

    29. September 2013

    @Realistischer

    Der Haken an der Sache ist, dass unser Gehirn kein Bild für den Begriff “Unendlich” kennt. Deshalb geht das in die Hose, wenn man ohne Hilfsmittel darüber nachdenkt.
    Mathematik ist das Werkzeug, mit dem sich sowas bearbeiten lässt.
    Die meisten Menschen haben ja schon Schwierigkeiten, sich sehr große abzählbare Mengen vorzustellen. Schau mal, wie oft Millionen und Milliarden verwechselt werden.

    Was N und R betrifft:
    Stell dir den Abstand zwischen zwei benachbarten natürlichen Zahlen vor, z.B. zwischen 1 und 2.
    In diesen Abstand passen definitionsgemäß schon unendlich viele reelle Zahlen.
    Wie könnten die beiden Mengen dann gleich groß sein?

    “Unendlich” ist keine Zahl und keine definierte Größe und deshalb für quantitative Vergleiche ungeeignet.

31. #31 GodsBoss

    Hannover

    29. September 2013

    @celsus #30:

    Stell dir den Abstand zwischen zwei benachbarten natürlichen Zahlen vor, z.B. zwischen 1 und 2.
    In diesen Abstand passen definitionsgemäß schon unendlich viele reelle Zahlen.
    Wie könnten die beiden Mengen dann gleich groß sein?

    Zwischen die beiden natürlichen Zahlen 1 und 2 passen aber auch unendlich viele rationale Zahlen und die Menge der rationalen Zahlen ist gleichmächtig zu der Menge der natürlichen Zahlen.

32. #32 Alderamin

    29. September 2013

    Man kann’s auch so sagen: jede rationale Zahl ist als Zifferndarstellung entweder endlich oder periodisch. Es gibt aber reelle Zahlen wie Wurzel 2 oder Pi, die sind das nicht, und davon gibt’s halt viel mehr.

    Man kann mit den reellen Zahlen eine Gerade dicht füllen, es gibt für jeden Ort der Gerade eine reelle Zahl, die den Abstand von einem beliebigen anderen Punkt angibt. Auch eben für Wurzel 2. Bei den rationalen Zahlen bleiben immer Lücken, die sich nicht exakt darstellen lassen. Das wie bei einem Fraktal, man findet zwar zwischen jeglichen zwei Brüchen unendlich viele weitere, aber dennoch bleiben winzige Löcher, die man nie trifft.

    Nochmal zur Erinnerung warum Wurzel 2 nicht rational sein kann: Wenn Wurzel 2 rational wäre, gäbe es einen Bruch p/q = √2, und es gäbe ein kleinstes solches p, das mit Teilern von q nicht weiter gekürzt werden kann. q ist offenbar auch nicht 1 weil √2 keine ganze Zahl ist. Dann wäre also p²/q² = 2, also müssten die Primteiler von q² die Zahl p² ohne Rest teilen. Nun enthält x² in Primzahlzerlegung aber die selben Teiler wie x, (nur eben quadriert), dann müsste also auch die Zahl q die Zahl p teilen, was nach der Voraussetzung nicht geht. Also gibt es solche Zahl p und q nicht und damit ist √2 nicht rational.

33. #33 StefanL

    29. September 2013

    @volki

    Aber es gibt keine Möglichkeit , die nächst größere Kardinalzahl, zu konstruieren, wenn man nicht die Continumshypothese annimmt.

    Ist das so? für n ≥ 5. Eine reele Zahl ist doch in ihrer Ziffernfolge mit einer gewissen Anordnung(~ Permutation) von Elementen aus identifizierbar. Also wäre ohne CH nicht möglich oder weiter sogar mit der Betrachtung von ?
    Oder sollte Dein Satz “Aber es gibt keine Möglichkeit , ( = Mächtigkeit der reelen Zahlen) als die nächst größere Kardinalzahl, zu konstruieren, wenn man nicht die Continumshypothese annimmt.” lauten?

34. #34 wurmloch

    29. September 2013

    @ StefanL

    ich bin mir nicht ganz sicher was du genau sagen möchtest. Du solltest jedenfalls das Symbol \lim_{n \to \infty} nicht in einem rein mengentheoretischen Zusammenhang nennen, weil es in der Sprache der Mengenlehre nicht existiert.

    Unter dem Kontinuum bezeichnet man üblicherweise die Menge der reellen Zahlen \mathbb{R}. Da man leicht Bijektionen von \mathbb{R} zur Potenzmenge der natürlichen Zahlen \mathcal{P}(\mathbb{N}) bzw. zu \left\{0,1\right\}^{\N}, der Menge aller 0-1-Folgen angeben kann, werden diese Mengen (wie auch viele weitere) ebenfalls mit dem Kontinuum identifiziert.
    Die Mächtigkeit des Kontinuums wird mit \mathfrak{c} bezeichnet.

    Wenn man nun die Mächtigkeit von \mathbb{N} mit \aleph_0 bezeichnet und mittels zweitem Cantorschen Diagonalargument zeigt, dass \aleph_0 < \mathfrak{c} gilt, stellt sich dir Frage, ob \mathfrak{c} genau der nächstgrößten Mächtigkeit \aleph_1 entspricht: \mathfrak{c} = \aleph_1?
    Dies ist die Aussage der Kontinuumshypothese.

    (Dass die Kardinalzahl \aleph_0 tatsächlich einen eindeutigen Nachfolger besitzt, der naheliegenderweise mit \aleph_1 bezeichnet wird, ist übrigens nicht Teil der Kontinuumshypothese.)

35. #35 wurmloch

    29. September 2013

    Noch ein Versuch mit LaTeX:

    @ StefanL

    ich bin mir nicht ganz sicher was du genau sagen möchtest. Du solltest jedenfalls das Symbol nicht in einem rein mengentheoretischen Zusammenhang nennen, weil es in der Sprache der Mengenlehre nicht existiert.

    Unter dem Kontinuum bezeichnet man üblicherweise die Menge der reellen Zahlen . Da man leicht Bijektionen von zur Potenzmenge der natürlichen Zahlen bzw. zu , der Menge aller 0-1-Folgen angeben kann, werden diese Mengen (wie auch viele weitere) ebenfalls mit dem Kontinuum identifiziert.
    Die Mächtigkeit des Kontinuums wird mit bezeichnet.

    Wenn man nun die Mächtigkeit von mit bezeichnet und mittels zweitem Cantorschen Diagonalargument zeigt, dass gilt, stellt sich dir Frage, ob genau der nächstgrößten Mächtigkeit entspricht: ?
    Dies ist die Aussage der Kontinuumshypothese.

    (Dass die Kardinalzahl tatsächlich einen eindeutigen Nachfolger besitzt, der naheliegenderweise mit bezeichnet wird, ist übrigens nicht Teil der Kontinuumshypothese.)

36. #36 volki

    29. September 2013

    @wurmloch und StefanL

    Ich stimme Wurmloch völlig zu. Ich möchte aber noch ergänzen dass gilt. Wenn du jetzt die Continiumshypothese nicht annimmst kann dir alles mögliche passieren (Satz von Easton).

37. #37 volki

    29. September 2013

    Sehe gerade es gibt sogar einen deutschsprachigen Wikieintrag der wesentlich besser ist, als der englische daher noch der Link:

    https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Easton

38. #38 Realistischer

    29. September 2013

    @Alderamin
    Welche “Lücken” in einer Geraden bitte? Mit unendlich vielen Zahlen werden diese “Lücken” unendlich klein. Und kleiner als unendlich klein geht halt nicht, genauso wie größer als unendlich groß nicht geht.
    Möglicherweise trifft man mit einem anderen Zahlensystem eine andere Aufteilung der Punkte auf die Geraden, aber deren Abstand, die “Lücken”, sind dann ebenfalls unendlich klein, also gleich.
    Auch wenn die Punkteverteilungen nicht die gleichen sind, aber das ist für sich genommen kein Kriterium.

    Ich hab’ wirklich den Eindruck, ob der Unentscheidbarkeit der Frage nach den unterschiedlichen Unendlichkeiten, dass es sich dabei um eine reine Glaubensfrage handelt. Also: wenn ich annehmen dass die nicht unterschiedlich sind, dann ist das bei mir so. Und weil diese Lösung einfacher ist als die andere, und ich alle meine relevanten Probleme damit lösen kann, ist es die Lösung für die ich mich entscheide. Wer sich sein Leben verkomplizieren will, bitte sehr, ist ja nicht mein Problem.

39. #39 volki

    29. September 2013

    @realistischer:

    Welche “Lücken” in einer Geraden bitte? Mit unendlich vielen Zahlen werden diese “Lücken” unendlich klein. Und kleiner als unendlich klein geht halt nicht, genauso wie größer als unendlich groß nicht geht.

    Betrachtet man nur die rationalen Zahlen sind das unendlich (abzählbar) viele. Trotzdem gibt es Lücken z.B. oder sind keine rationalen Zahlen, sprich da hat man Lücken. Wenn man alle Lücken auffüllt gelingt das nur mit überabzählbar vielen Zahlen, den reellen Zahlen.

40. #40 Gono

    29. September 2013

    > Und weil diese Lösung einfacher ist als die andere, und ich alle meine relevanten Probleme damit lösen kann, ist es die Lösung für die ich mich entscheide.

    Ach kannst du? Wie lang ist denn die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Kathetenlänge 1?
    Welchen Inhalt hat ein Kreis mit Radius 1?

    Das würde mich jetzt wirklich mal interessieren, so rein rational.

    Gruß.,
    Gono.

41. #41 wurmloch

    29. September 2013

    @Realistischer

    “Ich hab’ wirklich den Eindruck, ob der Unentscheidbarkeit der Frage nach den unterschiedlichen Unendlichkeiten, dass es sich dabei um eine reine Glaubensfrage handelt.”

    Nein!!!
    Weder ist es unentscheidbar, dass es unterschiedliche Kardinalitäten bei unendlichen Mengen gibt: es ist Faktum, dass es die gibt.
    Schon gar nicht handelt es sich dabei um eine Glaubensfrage. Wenn es dir so erscheint, dann liegt das nicht an dem zweifelsfreien Sachverhalt, sondern ausschließlich an dir.

    “Also: wenn ich annehmen dass die nicht unterschiedlich sind, dann ist das bei mir so. Und weil diese Lösung einfacher ist als die andere, und ich alle meine relevanten Probleme damit lösen kann, ist es die Lösung für die ich mich entscheide. Wer sich sein Leben verkomplizieren will, bitte sehr, ist ja nicht mein Problem.”

    Aha: das Leben wird also komplizierter, wenn man nicht in der Lage ist exakt die Länge der Diagonale des Einheitsquadrats anzugeben, oder das Verhältnis zwischen Kreisdurchmesser und Kreisumfang…

42. #42 JaJoHa

    29. September 2013

    @Realistischer
    Du kannst Folgen definieren, die gegen , oder e konvergieren. Die Folgenglieder für beliebige n liegen in Q, aber der Grenzwert eben nicht. Ein Beispiel ist
    Und an genau diesen Stellen sind bei den Brüchen eben “Löcher”, wie volki schon gesagt hat.

43. #43 Jakob

    29. September 2013

    Henry, der die Minute Physics Videos macht, hat auch was sehr schönes zum Thema =)
    Mit Schäfchen zählen, passt auch gut zur Uhrzeit!
    

44. #44 Raimund Lang

    30. September 2013

    Nein, Galilei hat nicht gezeigt, dass es überabzählbar große Mengen gibt. Dass habe ich auch nie behauptet. Übrigens hat das auch Cantor nicht gezeigt.

    Was hat dann bitte Cantor mit seinem zweiten Diagonalisierungsverfahren sonst gezeigt? Überabzählbarkeit heißt ja genau, dass etwas mächtiger als die natürlichen Zahlen ist. (@Volki)

    @Volki
    Hättest du mich nicht so rücksichtslos, den Folgesatz weglassend, zitiert, hättest du auch schon eine simple Version der Antwort…
    Er hat gezeigt, dass – die üblichen mathematischen Konventionen und Methoden voraussetzend – die Annahme, der Gleichmächtigkeit der reelen Zahlen mit den natürlichen Zahlen zu einem Widerspruch führt.
    Es ist vielleicht schwer zu erkennen, aber das ist eine andere Behauptung als dass die reelen Zahlen überabzählbar sind (Was sich zB auch darin zeigt, dass die beiden Aussagen unterschiedliche Metaannahmen für ihre Beweisbarkeit brauchen).

    LG Raimund

45. #45 Realistischer

    30. September 2013

    @volki
    Mit Bruchzahlen kann man jede beliebige Strecke weiter unterteilen. Endlos. Der Abstand geht im Grenzwert gegen null — was will man mehr? Es gibt keine Lücken!
    @Gono
    Man kann Pi usw. durch eine unendliche rationale Zahl darstellen. Bzw. kann man nicht, weil die halt unendlich lange ist. Aber im Grenzfall geht sich das aus, die Zahl wird mit einem gegen null gehenden Fehler angenähert, ist also gleich.
    @JaJoHa
    Wie ich schon sagte, der Grenzwert für den durch die Annäherung gegebenen Fehler geht gegen null, d.h. die unenddlich genaue Darstellung von e mittels Bruchzahl ist von e nicht mehr zu unterscheiden.

    Man muss nur unendlich genau rechnen, dann geht sich alles aus! Aber wenn man an einem beliebigen, fixen Punkt aufhört weiter zu rechnen, und dort feststellt dass man das Ziel nicht erreicht hat — tja, dann hat man die Unendlichkeit (nicht) verstanden.

46. #46 Christian

    30. September 2013

    Ich versteh nicht ganz warum ihr weiter mit “realistischer” diskutiert. Ich denke, er will es nicht verstehen. Möglicherweise einer von der “reele Zahlen sind nur Ilusion”-Fraktion.

    Gruß, Christian

47. #47 Alderamin

    30. September 2013

    @Realistischer

    Guck einfach nochmal in meine #32, da ist bewiesen, dass es keinen Bruch gibt, der exakt gleich Wurzel 2 ist. Bei Wurzel 2 ist eine Lücke der rationalen Zahlen. Auch wenn man die mit rationalen Zahlen beliebig einengen kann, bleibt genau eine Zahl als Lücke, und diese Zahl ist, wie andere schon haben anklingen lassen, exakt die Länge der Diagonalen eines Quadrats mit der Seitenlänge 1.

    Und während man jede einzelne Bruchzahl abzählen kann, kann man das mit den reellen Zahlen gerade nicht. Du wirst kein Abzählschema finden, mit dem Du jede reelle Zahl erwischst.

    Ob das für Dich im praktischen Leben Relevanz hat, ist eine andere Frage, da wird π ≈ 22/7 vermutlich reichen, aber in der Mathematik geht’s um grundsätzliches und um Exaktheit. Die beschäftigt sich ausschließlich mit ihren eigenen Konstrukten und ist deswegen auch keine Naturwissenschaft.

48. #48 JaJoHa

    30. September 2013

    @Realistischer
    Die Folge in #42 konvergiert, d.h. es git ein N, so das n>N immer . Aber das bedeutet nicht, das dieser Grenzwert e auch in den rationalen Zahlen ist. Da ist ein “Loch”. So wie das auch bei der Folge im Intervall I (0,1] der Fall ist. Das ist in dieser Hinsicht sehr ähnlich, der Grenzwert ist a=0 und alle sind in I, aber der Grenzwert eben nicht.
    Der Witz ist ja grade, das man mit derartigen Vorgehensweisen diverse Probleme lösen kann (z.B. Integralrechnung). Daher fühlt sich das am Anfang merkwürdig an und später sieht erkennst du den Sinn dahinter und findest das logisch und natürlich 🙂

49. #49 volki

    30. September 2013

    @Raimund: Ich verstehe es nicht. Daher folgende Fragen:

    Wer hat deiner Meinung als erster gezeigt, dass die reellen Zahlen überabzählbar sind?

    Warum ist es kein Beweis der Überabzählbarkeit von , wenn man zeigt es gibt keine Bijektion zwischen and , aber sehr wohl eine Injektion von nach ?

    Wie soll ich deine Aussage Cantor habe die Überabzählbarkeit von nicht bewiesen, wenn man diese Arbeit von Cantor liest? Ist sein Beweis dort falsch?

    @Realistischer:

    Bei dieser Aussage

    Man muss nur unendlich genau rechnen, dann geht sich alles aus! Aber wenn man an einem beliebigen, fixen Punkt aufhört weiter zu rechnen, und dort feststellt dass man das Ziel nicht erreicht hat — tja, dann hat man die Unendlichkeit (nicht) verstanden.

    stelle ich fest, dass du sowohl das Konzept der reellen Zahlen noch das Konzept der rationalen Zahlen verstanden hast. Obwohl eigentlich dachte ich mir das schon vorher. Es haben dir jetzt schon so viele Leute versucht es dir zu erklären, was die Lücken in den reellen Zahlen sind und du jedem Erklärungsversuch trotzt ist es wohl sinnlos mit dir weiter zu diskutieren.

    @Christian: Ja da hast du recht aber so einen Blödsinn, wie ihn realistischer von sich gibt, möchte ich nicht unwidersprochen so stehen lassen.

50. #50 Gono

    30. September 2013

    Hiho,

    eigentlich war meine erste Reaktion, nicht mehr drauf zu antworten, aber eine Sache möchte ich dann doch noch loswerden.

    @Realistischer
    > Man kann Pi usw. durch eine unendliche rationale Zahl darstellen. Bzw. kann man nicht, weil die halt unendlich lange ist.
    > Aber im Grenzfall geht sich das aus, die Zahl wird mit einem gegen null gehenden Fehler angenähert, ist also gleich.

    Na dass das “Ziel” nicht gleich ist, hast du ja selbst schon festgestellt. Aber der Fehler geht gegen Null. Verstehe ich.
    Dann nehmen wir mal diesen Ansatz und nehmen nur rationale Zahlen und diejenigen, die sich beliebig nah durch sie annähern lassen.
    Auch da kann man zeigen, dass das die Menge, die da herauskommt nicht mehr abzählbar ist.
    Und schon bist du bei der Konstruktion der reellen Zahlen mit Hilfe von Cauchy-Folgen angekommen.

    DIese doofe Mathematik ist doch tatsächlich wie eine Hydra. Wenn man meint, man hat einen Kopf abgeschlagen, wachsen zig neue nach 🙂

    Gruß,
    Gono.

51. #51 JaJoHa

    30. September 2013

    @Realistischer
    Die Folge in #42 konvergiert, d.h. es git ein N, so das n>N immer . Aber das bedeutet nicht, das dieser Grenzwert e auch in den rationalen Zahlen ist. Da ist ein “Loch”. So wie das auch bei der Folge im Intervall I (0,1] der Fall ist. Das ist in dieser Hinsicht sehr ähnlich, der Grenzwert ist a=0 und alle sind in I, aber der Grenzwert eben nicht.

52. #52 JaJoHa

    30. September 2013

    @Florian Freistetter
    Hängt von mir was im Spamfilter? Irgendwie kommt mein Kommentar anscheinend nicht an.

53. #53 StefanL

    30. September 2013

    @Alderamin — Mathematik bspw. :
    https://www.oecd.org/science/inno/38235147.pdf ( Annex pg.6)

54. #54 StefanL

    30. September 2013

    @Alderamin – Mathematik bspw.: https://www.oecd.org/science/inno/38235147.pdf

55. #55 Alderamin

    30. September 2013

    @StefanL

    Wenn das ein Nachweis dafür sein soll, dass Mathematik eine Naturwissenschaft ist – sie ist trotzdem keine (unsere Uni hatte z.B. eine “Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät”, keine “Naturwissenschaftliche”).

    Mathematik beschäftigt sich, wie gesagt, nicht mit der Natur sondern mit sich selbst. Natürlich werden auch Fragestellungen aus der Natur an sie herangetragen, aber ihre Objekte sind eben abstrakte und keine natürlichen.

    Siehe auch
    https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematik#Kategorisierung_der_Mathematik

56. #56 StefanL

    30. September 2013

    @Raimund Lang

    [dass] die Annahme, der Gleichmächtigkeit der reelen Zahlen mit den natürlichen Zahlen zu einem Widerspruch führt.
    [..] ist eine andere Behauptung als dass die reelen Zahlen überabzählbar sind

    Das stimmt so schon – aber zusammen mit ( wie volki ja auch schrieb) einer Injektion von $latex\mathbb N $ nach liegt der Unterschied wo?

57. #57 StefanL

    30. September 2013

    @Alderamin Die meisten Unis haben wohl eine Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakutät ( aber ich kenne dazu keine Erhebung). Ein Beweis – nein weder so noch so. Nur ist eine internationale (OECD) Klassifikation nicht per se völlig bedeutungslos.
    Siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Wissenschaft …
    Eine ggfs. weitere Spezifizierung in “Struktur-/Formalwissenschaft” o.ä. bedeutet ja auch nicht notwendig keine “Naturwissenschaft” zu sein ( entsprechendes ist auch im von Dir gelinkten Wiki-artikel angeführt). Neben “Hypothesenbildung” u.U. mehr aus der philosophischen Ecke heraus: “Abstraktion von Beobachtung” und diese mittels (mathematisch) logischer Prinzipien analysiert und daraus/dabei gemachte Folgerungen wieder zurückgespiegelt an die Beobachtungswelt ? Aber eben “formal” losgelöst von Bedeutungsinhalten die andere Wissenschaftszweige den “Objekten” dann zuordnen. Bspw. einer Differenzialgleichung ist es ja egal ob der Bedutungsinhalt eine biologische Population oder relativistisch-mechanisches Verhalten eines Teilchens ist. Und Empirie… wie läßt sich bspw. so etwas wie das Vierfarbtheorem einordnen? Generell ist irgendwie auch immer wieder die Frage zu stellen “entdeckt oder erfunden” … (Bsp: Primzahlen, Fourieranalyse…oder ist logische Konsitenz eine Beobachtung oder eine (ideelle) Erfindung?) Das Falsifikationsargument ( zur Identifikation eines Unterschieds von Naturwissenschaft und Mathematik) funktioniert ja auch nicht wirklich- da kann z,Bsp. die Entwicklung der – um auch beim Threadthema zu bleiben- Mengenlehre dienen

58. #58 Alderamin

    30. September 2013

    @StefanL

    Was sagt mir jetzt, dass für die OECD Informatik ebenfalls eine Naturwissenschaft ist? Sorry, dem kann ich nichts abgewinnen.

    Die Intention scheint wohl gewesen zu sein, sie dort zu klassifizieren, wo sie am meisten gebraucht wird (obwohl die Ingenieure sie ebenfalls einsetzen). Am sinnvollsten hätte man Informatik und Mathematik in eine eigene Gruppe gepackt.

59. #59 GodsBoss

    Hannover

    30. September 2013

    @StefanL:
    Sätze und Regeln mögen in der Mathematik entdeckt werden, aber Axiome und Definitionen sind erfunden. Sie kommen in der Natur nicht vor. Damit kann Mathematik keine Naturwissenschaft sein, die sich definitionsgemäß mit Dingen beschäftigt, die in der Natur vorkommen (es sei denn, man unterlag einem Irrtum).

    Um mal einen deutlichen Gegensatz zu zeigen: In der Mathematik denkt man sich eine Grundlage aus (z.B. die Axiome der euklidischen Geometrie) und schaut, was daraus folgt. Bisweilen überlegt man sicherlich, ob eine andere äquivalente Grundlage nicht besser wäre, aber das ist nicht zwangsläufig nötig.

    Die Naturwissenschaft hingegen kann die Grundlagen nicht einfach definieren, sondern muss sie anhand dessen, was aus ihnen folgt (die Welt), erst finden. Wobei natürlich auch dort Erkenntnisse „in die andere Richtung“ gesucht und gewonnen werden.

60. #60 dude

    30. September 2013

    brainfuck!

61. #61 StefanL

    30. September 2013

    @GodsBoss – ist es wirklich so einfach? Widerspricht es tatsächlich “der Beobachtung” oder ist es nicht tagtägliche Erfahrung das “Objekte” miteinander in “Beziehung” stehen … und seien es nur zwei Punkte am Horizont, die durch die Horizontlinie verbunden sind.
    Was unterscheidet denn das von einem “Naturgesetz”?
    Ist die “Natur” denn “unlogisch”? (Btw: warum nochmal ist “Wirkung” keine Definition?)

    @Alderamin – können wir den mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit ausschließen, das wir uns ‘nur’ in einer exzellenten (hyper-super-duper) computergenerierten “Welt” befinden ? 🙂 (Wobei Informatik jetzt nicht das Thema war)

62. #62 Alderamin

    30. September 2013

    @StefanL

    Was unterscheidet denn das von einem “Naturgesetz”?

    Ganz einfach: Naturgesetze folgen nur in gewissen Grenzen den einfachsten Formeln, und man muss diese Grenzen genau empirisch ermittlen. Einfacher Fall: Spiralfeder. Die Dehnung der Feder unter einer gewissen Kraft ist fast perfekt linear. Doppelte Kraft, doppelt Dehnung. Bis zu einem gewissen Punkt, wo die Feder in einen nichtlinearen Bereich kommt und sich dann bleibend verformt. Oder Keplers Gesetze. Wunderbar bei geringen Kräften und nur zwei Körpern. Im relativistischen Fall oder im Mehrkörperproblem wird’s dann plötzlich schwierig, den letzten Fall kann man gar nicht mehr lösen.

    In mathematischen Formeln gibt’s solche Fallen nicht, eine Formel muss man nicht empirisch untersuchen. Die Formel ist die ganze Wahrheit, während eine mathematische Beschreibung der Natur von vorneherein eine Näherung ist. Was nicht heißt, dass es keine ungelösten mathematischen Probleme gibt, gerade in der Numerik gibt’s ganz einfach zu formulierende Aufgaben, die ungelöst sind.

63. #63 Liebenswuerdiges Scheusal

    30. September 2013

    Weil ich ein absolutes Off-Topic Thema habe, lade ich alle Mathematiker, vor allem jene die sich mit Statistik beschäftigen, ein, mir in den Plauderthread (Verschwörungsgeplauder) zu folgen und die dort geschilderte Fragestellung, wenn überhaupt möglich zu kommentieren (es geht um fast neue Autos die innerhalb von drei Monaten von fast dergleichen Stelle gestohlen wurden).

    Wenns niemanden interessiert ists auch gut.

64. #64 GodsBoss

    Hannover

    30. September 2013

    @StefanL:
    Die Mathematik stellt keinerlei Beziehung zwischen dem her, was ihr Gegenstand ist, und der Realität. Mathematische Modelle mögen perfekt auf viele Bereiche unserer Welt passen, aber diese Zuordnung herzustellen, ist nicht ihre Aufgabe. Das erledigen andere, zum Beispiel eben die Naturwissenschaften.

    Der Unterschied zwischen den Naturgesetzen und den „Gesetzen“ der Mathematik ist eigentlich ziemlich offensichtlich: Erstere sind uns unbekannt, Letztere auf „unserem“ Mist erst gewachsen. Für die Physiker, die sich nun beschweren wollen: Natürlich kennen wir Gesetze und Regeln, die offensichtlich verdammt nah dran sind an den Naturgesetzen, aber es gibt keine allumfassende, in sich widerspruchsfreie Theorie (meiner Erinnerung zufolge führt die schlichte Vereinigung von Relativitätstheorie und Standardmodell z.B. in Widersprüche).

65. #65 Liebenswuerdiges Scheusal

    30. September 2013

    Dorthin nämlich:
    https://scienceblogs.de/astrodicticum-simplex/2013/04/11/verschworungsgeplauder-ix-jetzt-wird-es-mittelalterlich/#comment-218712

66. #66 Realistischer

    1. Oktober 2013

    @Alderamin
    Glauben Sie denn wirklich dass jede rationale Zahl in Zifferndarstellung endlich ist? Das ist ja schon bei den natürlichen Zahlen nicht der Fall, denn die gehen bis unendlich und damit wird auch die Zifferndarstellung unendlich lange.
    D.h., alle Argumente die auf de Endlichkeit der rationalen Zahlen (in Zifferndarstellung oder sonstwie) aufsetzen, sind schon mal falsch.

67. #67 Alderamin

    1. Oktober 2013

    @Realistischer

    Glauben Sie denn wirklich dass jede rationale Zahl in Zifferndarstellung endlich ist?

    Das glaube ich nicht, das weiß ich. Jede rationale Zahl lässt sich im Dezimalsystem entweder durch endlich viele Ziffern oder eine periodische Zahl darstellen. Es sind genau die rationalen Zahlen im Zehnersystem endlich, bei denen im Nenner nur die Primfaktoren 2 und 5 auftreten (10 = 2*5). Z.B. sind 1/3 und 12/7 periodisch: 0,333… bzw. 1,714285714285…

    In anderen Basen sind demgemäß andere Zahlen periodisch, z.B. 1/2 im Dreiersystem: 0,11111… oder 1/5 im Binärsystem: 0,001100110011…

    Das ist ja schon bei den natürlichen Zahlen nicht der Fall, denn die gehen bis unendlich und damit wird auch die Zifferndarstellung unendlich lange.

    Es ging mir nur um die Ziffern hinter dem Komma!

68. #68 Alderamin

    1. Oktober 2013

    @Realistischer

    Außerdem sind die Vorkommastellen sowieso auch stets endlich. Für jede beliebige Zahl und jede Basis gibt’s eine endliche Obergrenze der Zahl der Ziffern vor dem Komma. Auch wenn die Zahlen bis unendlich gehen, ist jede einzelne Zahl endlich, und ihr Logarithmus zu einer ganzzahligen Basis größer 1 auch. Im Zehnersystem ist int (log10(n)+1) eine obere Grenze für die Länge der Zifferndarstellung.

    Also, wenn irgendwas unendlich werden kann, dann die Nachkommastellen, und bei rationalen Zahlen haben die dann eine endliche Periode, bei reellen muss das nicht so sein, wie Wurzel 2 und Pi zeigen.

69. #69 StefanL

    1. Oktober 2013

    @Alderamin & GodsBoss
    Imho sind Naturgesetze vielleicht manchmal “unscharf” aber stets exakt… irgendwie immanent bei notwendig bedingten Abläufen/Ablaufschemata(schließlich kann die Natur ja nicht anders 😉 ). Jetzt mit einem gewissen Mangel in bestimmten Wissenschafts(teil)disziplinen diese Exaktheit mit wenig Aufwand feststellen zu können zu argumentieren um damit der Mathematik hinreichend Naturwissenschaftlichkeit abzusprechen, erschließt sich mir nicht.
    Auch seh’ ich nicht warum dies als Begründung dafür funktionieren soll, dass ein Axiom/Postulat der Art “zwei Punkte/Objekte lassen sich in Beziehung zu einenader setzen/durch eine “Linie” verbinden” nicht der tagtäglichen Beobachtung eines Naturphänomens/Naturgesetzes geschuldet sein soll, dass zwei Punkte am Horizont ( und wenn sie nicht am Horizont sind bewegt sich der Beobachter halt solange bis sie auf der Horizontlinie zu liegen kommen) über die Horizontlinie verbunden sind. Wo soll denn die (untere/obere) Grenze der Komplexität eines Naturgesetzes sein? Doch wohl kaum “die Physik/Naturwissenschaft ist nicht in der Lage die Situation ohne aufwendige und langwierige Experimente exakt zu erfassen”… und was ist jetzt an dem Naturgesetz “Licht breitet sich im Vakuum mit einer universellen Geschwindigkeit aus” von hoher Komplexität? Nur das (technische) Bestimmen der Konstante?
    Auch kann ich darin keine Begründung finden warum die Lösungen des Vierfarbtheorems oder des “36-Offiziere”-Problem nicht empirisch gennannt werden sollten (oder die Bestimmung der Stellen von Π ). Ebenso verstehe ich auch nicht wie das “Feder”-Beispiel / Mehrkörperproblem (oder das nicht widerspruchsfreie Zusammenpassen von (menschgemachten) Modellvorstellungen) jetzt “Unlogik der Natur” belegen soll.
    Auch

    Die Mathematik stellt keinerlei Beziehung zwischen dem her, was ihr Gegenstand ist, und der Realität.

    ist (siehe oben 4F-T) eigentlich nicht zu halten, Zu einer Diskussion dazu auch: https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_universe_hypothesis

70. #70 Alderamin

    1. Oktober 2013

    @StefanL

    Jetzt mit einem gewissen Mangel in bestimmten Wissenschafts(teil)disziplinen diese Exaktheit mit wenig Aufwand feststellen zu können zu argumentieren um damit der Mathematik hinreichend Naturwissenschaftlichkeit abzusprechen, erschließt sich mir nicht.

    Nochmal: in der Naturwissenschaft muss man empirisch ermitteln, wie die Natur funktioniert

    In der Mathematik sind die Eigenschaften eines Objekts hingegen vollkommen bekannt, da definiert. Da ist nichts zu erforschen. Hier ist vielmehr der Weg das Ziel: kann ich irgendetwas aus vorhandenen Sätzen herleiten oder widerlegen? Wenn ich mir was neues definiere, gelten dafür analoge Rechenregeln wie für eine andere, schon bekannte Struktur (z.B. Körper über Polynomen)?

    Das eigentliche Kriterium aber ist: die Naturwissenschaft beschäftigt sich mit natürlichen Objekten, die Mathematik mit abstrakten. Eine Linie, die zwei Punkte am Horizont verbindet, gibt es in der Realität nicht, sie ist ein Fantasieprodukt, aber nicht physisch vorhanden. Es gibt keine eindimensionalen Dinge in der wahren Welt. Es gibt auch keine Punkte. In der Mathematik gibt’s das alles.

    Wo soll denn die (untere/obere) Grenze der Komplexität eines Naturgesetzes sein?

    Es hat nichts mit Komplexität zu tun, sondern mit der Natur der behandelten Objekte.

    und was ist jetzt an dem Naturgesetz “Licht breitet sich im Vakuum mit einer universellen Geschwindigkeit aus” von hoher Komplexität? Nur das (technische) Bestimmen der Konstante?

    Nein. Die Mathematik kennt kein Vakuum. Sie kennt auch keine Einheiten wie km oder s (man kann diese als extern definierte Faktoren mit in die Gleichung einbauen, aber was eine Einheit bedeutet, sagt Dir nur die externe Definition). Insofern kennt sie den Begriff “Geschwindigkeit” auch gar nicht. Und ohne Einheitenbezug gelingt es Dir auch nicht, den Wert rein aus der Mathematik heraus zu bestimmen. Ohne Messung geht da gar nichts.

71. #71 wurmloch

    1. Oktober 2013

    @Alderamin

    “Eine Linie, die zwei Punkte am Horizont verbindet, gibt es in der Realität nicht, sie ist ein Fantasieprodukt, aber nicht physisch vorhanden. Es gibt keine eindimensionalen Dinge in der wahren Welt. Es gibt auch keine Punkte. In der Mathematik gibt’s das alles.”

    Du bist also bekennender Platonist. Das ist völlig legitim. Doch wie zu jeder Position in der Philosphie gibt es hier ebenso überzeugende Gegenpositionen.

    Darüber dass Mathematik keine naturwissenschaftliche Teildisziplin ist, herrscht jedoch konsens.

    Strittig ist eher die Frage: “Gibt es abstrakte Objekte unahbängig von unserem Denken / unserer physischen Welt?”

72. #72 GodsBoss

    Hannover

    1. Oktober 2013

    @StefanL:

    Imho sind Naturgesetze vielleicht manchmal “unscharf” aber stets exakt… irgendwie immanent bei notwendig bedingten Abläufen/Ablaufschemata(schließlich kann die Natur ja nicht anders 😉 ). Jetzt mit einem gewissen Mangel in bestimmten Wissenschafts(teil)disziplinen diese Exaktheit mit wenig Aufwand feststellen zu können zu argumentieren um damit der Mathematik hinreichend Naturwissenschaftlichkeit abzusprechen, erschließt sich mir nicht.

    Der Unterschied besteht darin, dass man in den Naturwissenschaften die grundlegenden Gesetze überhaupt erschließen muss. In der Mathematik werden die einfach definiert, vor allem aber können sie beliebig definiert sein, solange sie widerspruchsfrei sind.

    Auch seh’ ich nicht warum dies als Begründung dafür funktionieren soll, dass ein Axiom/Postulat der Art “zwei Punkte/Objekte lassen sich in Beziehung zu einenader setzen/durch eine “Linie” verbinden” nicht der tagtäglichen Beobachtung eines Naturphänomens/Naturgesetzes geschuldet sein soll, dass zwei Punkte am Horizont ( und wenn sie nicht am Horizont sind bewegt sich der Beobachter halt solange bis sie auf der Horizontlinie zu liegen kommen) über die Horizontlinie verbunden sind.

    Es kann in Einzelfällen sicher vorgekommen sein, dass eine gewisse Inspiration aus der realen Welt kam, das ändert aber nichts daran, dass die Mathematik, so wie sie betrieben wird, unabhängig von der Realität ist. Auch die Geometrie ist heutzutage übrigens auf das Fundament der Mengenlehre gestellt, die Definitionen von “Punkt” und “Kurve” sind dann doch recht abstrakt.

    Wo soll denn die (untere/obere) Grenze der Komplexität eines Naturgesetzes sein? Doch wohl kaum “die Physik/Naturwissenschaft ist nicht in der Lage die Situation ohne aufwendige und langwierige Experimente exakt zu erfassen”… und was ist jetzt an dem Naturgesetz “Licht breitet sich im Vakuum mit einer universellen Geschwindigkeit aus” von hoher Komplexität? Nur das (technische) Bestimmen der Konstante?

    Du stellst einen Strohmann auf. Es geht nicht um Komplexität. Es geht darum, dass man überhaupt erstmal herausfinden muss, dass Licht eine Geschwindigkeit hat, dass diese die höchste Geschwindigkeit überhaupt ist und dass es für die Geschwindigkeit auch keinen Unterschied macht, wie schnell und in welche Richtung man sich selbst zum Licht bewegt.

    Auch kann ich darin keine Begründung finden warum die Lösungen des Vierfarbtheorems oder des “36-Offiziere”-Problem nicht empirisch gennannt werden sollten (oder die Bestimmung der Stellen von Π ).

    Meinst du beim Vierfarbtheorem konkrete Lösungen für einzelne Fälle oder den Beweis für das Vierfarbtheorem, wo die zig möglichen Karten, auf die das Problem reduziert werden konnte, per Computer durchgerechnet wurden?

    Ebenso verstehe ich auch nicht wie das “Feder”-Beispiel / Mehrkörperproblem (oder das nicht widerspruchsfreie Zusammenpassen von (menschgemachten) Modellvorstellungen) jetzt “Unlogik der Natur” belegen soll.

    Verstehe ich auch nicht, wer behauptet denn die Unlogik der Natur?

    Auch

    „Die Mathematik stellt keinerlei Beziehung zwischen dem her, was ihr Gegenstand ist, und der Realität.“

    ist (siehe oben 4F-T) eigentlich nicht zu halten, Zu einer Diskussion dazu auch: https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_universe_hypothesis

    Natürlich ist das zu halten, denn die Theorie, dass alle möglichen mathematischen Strukturen auch reale Universen darstellen, ist eine physikalische. Die Mathematik liefert Modelle, aber den Bezug zur Realität stellen andere Disziplinen her.

73. #73 Alderamin

    2. Oktober 2013

    @GodsBoss

    Verstehe ich auch nicht, wer behauptet denn die Unlogik der Natur?

    Mir ging’ s in den Beispielen um die Nicht-Vorhersehbarkeit der Natur. Wenn man eine wunderschöne einfache Formel hat, so kann diese unter gewissen Umständen plötzlich völlig versagen und eine andere Formel nötig machen, oder gar eine Fallunterscheidung. In der Mathematik ist die Formel mit ihren Definitionen immer die ganze Wahrheit. Man muss sie nicht an der Realität abgleichen. Sie nähert nichts stellvertretend an, sondern sie ist exakt und steht nur für sich selbst.

74. #74 hummlbach

    2. Oktober 2013

    @GodBoss
    Natürlich ist das zu halten, denn die Theorie, dass alle möglichen mathematischen Strukturen auch reale Universen darstellen, ist eine physikalische. Die Mathematik liefert Modelle, aber den Bezug zur Realität stellen andere Disziplinen her.

    Quak… Natürlich geben naturwissenschaftliche Entdeckungen auch immer wieder Anlass zur Entwicklung neuer mathematischer Modelle. Gute Beispiele: Wahrscheinlichkeitsrechnung oder auch Knotentheorie… oder… also es geht sicherlich in beide Richtungen…

75. #75 Realistischer

    2. Oktober 2013

    @Alderamin
    Nehmen’s doch mal’ diese Formel für die Entwicklung einer rationalen Zahl: z’/n’=(z*10+x)/(n’*10) mit dem Anfangswert z/n=1/1 und x wahlfrei aus der Menge {0..9}.
    Damit können Sie beliebig oft, auch unendlich oft, quasi eine Ziffer hinten drann hängen, und zwar hinter dem Komma (weil auch der Nenner mit wächst). Das geht ohne Ende.
    Welche Periodenlänge hat das dann? Eine unendliche. Und die wiederholt sich ab wann? Nie.
    Nein, Sie wissen garnichts. Die trivialsten Dinge verstehen Sie nicht. Sie kopieren nur, was irgendwo in für wichtig gehaltenen Quellen steht. Und leider sieht’s so aus als seien Sie nicht der einzige…

76. #76 Realistischer

    2. Oktober 2013

    P.S.
    z’/n’=(z*10+x)/(n*10) hätte es heissen sollen.
    Beginnt man mit z/n=1/1, wählt als erstes x=3, erhält man z/n=13/10 (was im Kommaschreibweise 1.3 wäre).
    Setzt man fort mit x=5, erhält man z/n=135/100 (was im Kommaschreibweise 1.35 wäre).

    Na, war das so schwer? Und alles bleibt im Bereich der rationalen Zahlen, auch wenn’s unendlich viele Stellen nach dem Komma werden, und auch wenn sich darin nirgendwo eine periodische Wiederholung finden lässt.

    Irrational sind nur die Mathematiker, denn die verstehen offensichtlich ihre eigenen Definitionen nicht!

77. #77 Alderamin

    2. Oktober 2013

    @Realistischer

    Eine Folge ist keine Zahl und jede einzelne Zahl in Ihrer Folge ist ausnahmslos endlich mit endlicher Periode.

    Nein, Sie wissen garnichts. Die trivialsten Dinge verstehen Sie nicht. Sie kopieren nur, was irgendwo in für wichtig gehaltenen Quellen steht. Und leider sieht’s so aus als seien Sie nicht der einzige…

    Genau. Nicht ein Geisterfahrer sondern hunderte. Da verneige ich mich vor der geballten Macht von Dunning-Kruger und ziehe mich aus der Diskussion zurück.

78. #78 volki

    2. Oktober 2013

    @Realistischer:

    Irrational sind nur die Mathematiker, denn die verstehen offensichtlich ihre eigenen Definitionen nicht!

    Ich empfehle dir, deine unglaublichen Erkenntnisse in den Annals of Mathematics einzureichen, vielleicht erkennen ja die Editoren dort die Größe deiner Erkenntnisse. Die Scienceblogs sind da offensichtlich nicht der richtige Ort einem Genie wie dir gerecht zu werden.

79. #79 StefanL

    2. Oktober 2013

    @ Realistischer Warum nochmal besitzt der Grenzwert der da angegebene Folge jetzt welches Inverse im Quotientenkörper von ?

80. #80 StefanL

    2. Oktober 2013

    … Quotientenkörper von

81. #81 GodsBoss

    Hannover

    2. Oktober 2013

    @Alderamin:

    Mir ging’ s in den Beispielen um die Nicht-Vorhersehbarkeit der Natur. Wenn man eine wunderschöne einfache Formel hat, so kann diese unter gewissen Umständen plötzlich völlig versagen und eine andere Formel nötig machen, oder gar eine Fallunterscheidung. In der Mathematik ist die Formel mit ihren Definitionen immer die ganze Wahrheit. Man muss sie nicht an der Realität abgleichen. Sie nähert nichts stellvertretend an, sondern sie ist exakt und steht nur für sich selbst.

    Das ist mir schon klar, aber damit hast du nicht die Unlogik der Natur behauptet, es zeigt lediglich auf, dass wir die dahinter stehende Logik noch nicht ausreichend kennen.

    @hummlbach:

    Quak… Natürlich geben naturwissenschaftliche Entdeckungen auch immer wieder Anlass zur Entwicklung neuer mathematischer Modelle. Gute Beispiele: Wahrscheinlichkeitsrechnung oder auch Knotentheorie… oder… also es geht sicherlich in beide Richtungen…

    Da zitiere ich doch einfach mich selbst, aus dem gleichen Beitrag:

    Es kann in Einzelfällen sicher vorgekommen sein, dass eine gewisse Inspiration aus der realen Welt kam, das ändert aber nichts daran, dass die Mathematik, so wie sie betrieben wird, unabhängig von der Realität ist.

    Ob die Wahrscheinlichkeitsrechnung brauchbar ist, um einen realen Münzwurf zu modellieren, ist nicht Sache der Mathematik.

    @Realistischer:

    Auch wenn ich inzwischen Cranks schon an den Formulierungen erkenne, hier trotzdem eine Antwort, damit wenigstens nicht andere auf den Unsinn reinfallen:

    Na, war das so schwer? Und alles bleibt im Bereich der rationalen Zahlen, auch wenn’s unendlich viele Stellen nach dem Komma werden, und auch wenn sich darin nirgendwo eine periodische Wiederholung finden lässt.

    Man kann beliebig oft eine Stelle hinten anfügen und tatsächlich ist das Ergebnis immer eine rationale Zahl. Zu behaupten, dass man das auch unendlich oft wiederholen könne, zeugt lediglich von einer naiven Anschauung, was das Unendliche angeht.

    Machen wir es doch ganz einfach: Nenn uns einen Bruch, bestehend aus einem Zähler und einem Nenner, beides natürliche Zahlen, der quadriert zwei ergibt. Wenn du das schaffst, wird dir sofort jeder glauben.

82. #82 JaJoHa

    2. Oktober 2013

    @Realistischer
    Dann schau dir mal folgende Reihe an (die wird konvergieren, da streng monoton fallend und alternierend):
    . Jetzt die Aufgabe: Stelle ln(2) als Bruch dar. Du merkst dann folgendes: Angenommen, ich breche bei N ab (kann ich immer so wählen, das ich beliebig nahe am Grenzwert bin). Dann ist ein trivialer gemeinsamer Nenner natürlich und der Zähler eine Summe natürlicher Zahlen. Jedes Glied der Folge $a_m=\sum\limits^m_{i=1}\frac{(-1)^i}{i}$ ist also rational.
    Aber wenn ich im Grenzwert bin, also suche, dann passiert folgendes: Ich kann keinen Nenner mehr angeben, da ich für nichts vernünftiges rausbekomme (außerdem gibt es unendlich viele Primzahlen, ein weiterer Grund warum das nicht funktionieren kann). Ohne gemeinsamen Nenner bist du aber in Schwierigkeiten beim Summieren. Daher kann der Grenzwert eben nicht in den rationalen Zahlen dargestellt werden.

83. #83 JaJoHa

    2. Oktober 2013

    Nachtrag: So Probleme werden dir auch Sinus, Cosinus und die Exponentialfunktion machen (siehst du in den Reihendarstellungen). Von daher ist es nicht sinnvoll, sowas wie eine “Monstersperre” da einbauen zu wollen (“Hier Bild von beliebigen Monster denken”)

84. #84 volki

    2. Oktober 2013

    @JaJoHa:

    Tut mir leid aber dein Argument ist Blödsinn. Was ist denn mit der Reihe ?

    Wende ich die gleichen Argumente wie du an, hätte ich bewiesen, dass 3/2 irrational ist.

    Ja du hast recht ist irrational aber der Beweis funktioniert so nicht. Der Beweis, dass tatsächlich irrational ist relativ schwer.

85. #85 volki

    2. Oktober 2013

    Ach ja $\latex \log =\ln$

86. #86 Sim

    2. Oktober 2013

    @Realistischer

    Der entscheidende Fehler in deiner Argumentation ist, dass du annimmst natürliche Zahlen hätte eine unendliche Dezimaldarstellung. Das ist aber nicht richtig wie sich leicht durch Induktion zeigen lässt.

    Fangen wir bei n=1 an dann ist das trivialerweise eine Endliche Darstellung. Nehmen wir nun n als eine beliebige natürliche Zahl an welche eine endliche Dezimaldarstellung besitzt dann besitzt auch n+1 eine endliche Dezimaldarstellung. Auch diese Feststellung sollte sofort einleuchtend sein. Per Induktion ist nun also gezeigt, dass alle natürlichen Zahlen eine endliche Dezimaldarstellung besitzen.

    So sind die natürliche Zahlen nun mal definiert. Ich hoffe, ich konnte helfen 🙂

87. #87 JaJoHa

    2. Oktober 2013

    @volki
    Stimmt 🙁 Vermutlich ist der Fehler beim Grenzübergang , wodurch ich dann nur zeige das jede Teilsumme rational sind. Ich hätte mir vieleicht ein Beispiel suchen sollen, das “nur” irrational ist.
    Sagst du mir, wie die Idee hinter dem Beweis dafür ist?

88. #88 volki

    2. Oktober 2013

    @JaJoHa:

    Ehrlich gesagt, weiß ich nur wie man beweist, dass transzendent ist (und damit auch irrational):

    https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Lindemann-Weierstra%C3%9F

    Ersetze im Abschnitt über die Zahl durch und wäre rational (nicht transzendent) dann müßte sein. Widerspruch!

    Der Beweis vom Satz von Lindemann ist nicht ganz leicht. Ich habe jetzt zu wenig Zeit eine vernünftige Referenz zu suchen. Aber das Buch von Alan Baker “Transcendental Number Theory” enthält einen Beweis (1. Kapitel). Ob man den Satz von Lindemann umgehen kann, weiß ich nicht, glaube es aber nicht. Werde das versuchen heute Abend, wenn ich mehr Zeit habe, herauszufinden.

89. #89 volki

    2. Oktober 2013

    Corrigendum: Ersetze durch $\log (2)$ im Beweis, dass transzendent ist.

90. #90 JaJoHa

    2. Oktober 2013

    @volki
    Danke.
    Wiki hat den Beweis für den Satz auf Englisch. Muss mal schauen, ob ich den verstehe, weil ich von Zahlentheorie sehr wenig Ahnung habe.

91. #91 StefanL

    2. Oktober 2013

    @JaJoHa (et.al)
    ln(2) = p/q so 2^(q/p) = e aber 2^t mit t in Q ist algebraisch?

92. #92 StefanL

    2. Oktober 2013

    @GodsBoss

    Der Unterschied besteht darin, dass man in den Naturwissenschaften die grundlegenden Gesetze überhaupt erschließen muss. In der Mathematik werden die einfach definiert, vor allem aber können sie beliebig definiert sein, solange sie widerspruchsfrei sind.

    Nein – nicht definiert; das sind dann Definitionen, sondern wenn dann postuliert ( Axiome eben) wie “physikalische Gesetze ” und auch mit entsprechenden Konsistenzbedingungen versehen – und dies führt unmittelbar zur Frage der Logik oder Unlogik der Natur: Wenn die Natur nicht unlogisch ist warum ist dann Logik nicht naturbasiert?
    4F-T: bzgl. Lösungen wo siehst Du da einen Unterschied bzgl. speziellen Lösungen einzelner Karten und der allgemeinen (mit viel Computerrechenzeit) ermittelten Lösung? Mir erscheint beides empirisch … aber Landkarten sind ja auch nur illusionäre (2-dim)Gebilde (wenn nicht sogar wie jedes Bild das wir uns von irgendetwas machen; scnr).
    Zum Strohmann “Komplexität”: Warum? Ich beziehe mich da auf Alderamin#62 Naturgesetze folgen nur in gewissen Grenzen den einfachsten Formeln, und man muss diese Grenzen genau empirisch ermittlen…wenn die Begrifflichkeit “einfache Formel” nun nichts mit Komplexität zu tun hat, dann ja, ist es ein Strohmann.

    Naturgesetz: “Licht breitet sich im Vakuum mit einer universellen Geschwindigkeit aus”

    Es geht darum, dass man überhaupt erstmal herausfinden muss, dass Licht eine Geschwindigkeit hat, dass diese die höchste Geschwindigkeit überhaupt ist und dass es für die Geschwindigkeit auch keinen Unterschied macht, wie schnell und in welche Richtung man sich selbst zum Licht bewegt.

    Nein darum geht es hier nicht (Strohmann; Die Natur müsste sich ja totlachen wenn ihre Gesetzmäßigkeiten von den dem Menschen verfügbaren Meßapparaturen abhängen würde). Methodik(e.g. Empirie, Meßmethode),Definitionen(e.g. elektromagnetische Welle, Vakuum, Geschwindigkeit – die an sich ja auch lustig ist, Positionsänderung ohne punktuelle Positionsbestimmung da Punkte ja gar nicht existieren?) sind irrelevant um den Begriff “Naturgesetz” zu rechtfertigen. Universelle Gültigkeit einer Eigenschaft/eines Verhaltens eines Objektes ist das entscheidende(…und wie wurde nochmal gemessen(!) das c tatsächlich die höchste Geschwindigkeit überhaupt ist?) um von einem (lokalen) Postulat zu einem (universellem) Gesetz zu gelangen. D.h. das Postulat muß entsprechenden Konsistenzbedingungen genügen um einen “Naturgesetzstatus” zu rechtfertigen – und eine dieser Konsitenzbedingungen, neben genauen Definitionen(e.g. Vakuum)und logischer Konsistenz mag dann auch sein keine widersprüchliche Messung entgegengestellt zu haben(…das ist ein Teil aber nicht die Falsifikationsbedingung – auch logische Inkonsistenz falsifiziert). Ein entscheidenderes Kriterium mag da eher die Natur( oder Realität) des “Objektes” sein
    -(Zitat Wiki:)Feldlinie (oder Kraftlinie) ist ein Begriff der Physik. Feldlinien sind gedachte oder gezeichnete Linien (i.A. gekrümmt), die die von einem Feld auf einen Probekörper ausgeübte Kraft veranschaulichen.
    …und gut das man Farbladungen mißt….
    Als günstigen Zufall(?) würde ich jetzt allerdings schon ansehen, dass Fourier-Analyse unabhängig von der Realität ist…

93. #93 StefanL

    2. Oktober 2013

    @Alderamin

    Nochmal: in der Naturwissenschaft muss man empirisch ermitteln, wie die Natur funktioniert.

    Ok – das muß in der Mathematik nicht notwendig überall so sein(ohne jetzt den Realitäts- oder Naturbegriff zu stark strapazieren zu wollen). Reicht das um Mathematik jegliche Naturwissenschaftlichkeit abzusprechen?

    In der Mathematik sind die Eigenschaften eines Objekts hingegen vollkommen bekannt, da definiert. Da ist nichts zu erforschen.

    Ähh – nein. Wenn dies nicht eine Nullaussage sein soll, dass jegliches Objekt( unerheblich ob “natürlich” oder nicht) per seiner inhärenten Definition gar nicht anders kann als jegliche seiner Eigenschaften zu beinhalten ein klares: Nein.
    (einfaches)Bsp. Primzahlen – wo ist da deren Verteilung definiert? Eher ist dafür ein Beispiel wie “Dunkle Materie” angebracht, die per Definition all die Eigenschaften hat um die ihr zugeschriebenen Phänomene zu begründen.( Nicht missverstehen, es geht nicht darum ob es DM gibt oder nicht, es geht um die Art Definitionen einzubringen)

    Das eigentliche Kriterium aber ist:die Naturwissenschaft beschäftigt sich mit natürlichen Objekten, die Mathematik mit abstrakten.

    Ja – Quotienten- & Hilberträume, Statistik, Algebren, Rubik’s Cube, Relationen beschrieben durch Differentialgleichungen, Knoten, OR, Landkarten, Wahrscheinlichkeiten und Singularitäten( und selbstverständlich der prinzipielle Logikaspekt der Natur mal ausgeklammert)…alles ohne Numerik( oder Kepler’sche Faßregel)

    Und das ZF + GCH hinreichend für AC ist; ZFC aber nicht hinreichend für CH (und so lustigen Sachen wie Freiling’s axiom of symmetry).

94. #94 volki

    3. Oktober 2013

    @StefanL

    Ja aber woher weißt du, dass e nicht algebraisch ist? Ok das geht etwas einfacher als der Beweis von Lindeman ( <a href="https://de.wikibooks.org /wiki/Beweisarchiv:_Algebra:_K%C3%B6rper:_Transzendenz_von_e_und_%CF%80" Satz von Hermite – mit Beweis) ist aber auch nicht ganz einfach.

95. #95 volki

    3. Oktober 2013

    Link veramasselt also nocheinmal zum Satz von Hermite

96. #96 StefanL

    3. Oktober 2013

    @volki – nun ja, öfters führen mehrere Wege ans Ziel. Essentiell ist aber immer das die Basis des Logarithmus transzendent ist um relativ einfach als irrational zu bekommen und gewissermaßen elementar über https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Gelfond-Schneider ergibt sich dann auch die Transzendenz. Lindemann-Weierstraß ist ja auch nicht “Ohne”, mit der Theorie der Körpererweiterungen/Galois dahinter. Auch wird im Beweis dazu auf der englischen Wiki bei Lemma A ja auch darauf hingewiesen, dass das benutzte Integral ja dem im puren Transzendenzbeweis für e entspricht und damit quasi die Transzendenz von e en passant einfließt.
    Das Nette ist ja, dass man dann auch mit weitermachen kann um transzendente Zahlen zu finden. Bzgl. Lindemann-Weierstraß vermute ich das gilt für jedes t transzendent – aber wie gesagt dazu hab’ ich jetzt weder einen Beweis noch eine Widerlegung zur Hand(?).
    Das elementare Transzendenzbeweise nicht einfach sind, ist ja auch daran zu sehen, dass die ersten ( e und Π ) ja noch nicht so alt sind und für viele Zahlen ( e.g. Euler-Mascheroni ) unklar ist ob sie algebraisch sind oder nicht.

97. #97 StefanL

    3. Oktober 2013

    … soll natürlich heißen

98. #98 volki

    3. Oktober 2013

    @StefanL: Also zu dem Thema ist mein Standpunkt:

    Also ich kenne keinen Weg um die Transzendenz (oder auch nur Irrationalität) von oder sotewas wie zu beweisen, ohne die Sätze von Lindemann bzw. Hermite zu benutzen. Ich glaube da sind wir uns einig. Und wir sind uns auch einig, dass der Beweis von Hermite deutlich einfacher ist da er relativ technisch wird.

    Wenn ich mich aber richtig erinnere, reicht das Wissen von Galoistheorie auf dem Nivau vom Satz von Vieta (man braucht nur an geeigneter Stelle, dass die elementarsymetrischen Funktionen der Nullstellen ganze Zahlen sind – Satz von Vieta in etwas unüblicher Form)

    Beim Satz von Gelfond Schneider möchte ich aber anmerken, dass dieser ein ziemliches Kaliber ist und für das was du beschreibst die wesentlich einfacher zu beweisenden Sätze von Hermite-Lindemann-Weierstrass reichen.

    Das Nette ist ja, dass man dann auch mit \log_{\log_b{n}}{x} weitermachen kann um transzendente Zahlen zu finden.

    Sehe ich jetzt am Abend auf die schnelle nicht. Bist du dir sicher? Werde mir das morgen vielleicht in Ruhe ansehen, oder du kannst ein zwei Zeilen schreiben.

    Bzgl. Lindemann-Weierstraß vermute ich das […]

    Das hängt tatsächlich sehr mit der exp-Funktion zusammen. Sobald und nicht algebraisch ist, bricht alles zusammen. Das ganze funktioniert für die exp-Funktion da sie die Lösung einer gewissen Klasse von Differentialgleichungen ist. Das hat Siegel 1929 und Shidlovsky 1954 gezeigt .
    Meines Wissens nach ist die aktuellste Version von Frits Beukers ein Paper mit dem Titel “A refined version of the Siegel-Shidlovskii theorem” aus dem Jahr 2006 das in den Annals of Mathematics erschienen ist.

    Weil ich gerade dabei bin mit Logarithmen statt exp-Funktion funktioniert das auch, dafür gab es 1970 die Fields-medaille für Alan Baker.

99. #99 hummlbach

    3. Oktober 2013

    @GodsBoss:
    
    Es kann in Einzelfällen sicher vorgekommen sein, dass eine gewisse Inspiration aus der realen Welt kam, das
    

    Nein Einzelfälle sind das denke ich nicht… Ich würde eher sagen es ist die Regel, dass mathematische Theorien ihre Ursprünge in relativ realitätsnahen Problemen haben. Für Gegenbeispiele bin ich offen…

    ändert aber nichts daran, dass die Mathematik, so wie sie betrieben wird, unabhängig von der Realität ist.

    Du scheinst Mathematik mit Reiner Mathematik zu verwechseln. Die Angewandte Mathematik agiert keines Wegs unabhängig von der Realität…

    Ob die Wahrscheinlichkeitsrechnung brauchbar ist, um einen realen Münzwurf zu modellieren, ist nicht Sache der Mathematik.

    Doch die Modellbildung ist mitunter eben schon Teil der Mathematik und Mathematiker haben Wahrscheinlichkeitstheorie entwickelt gerade um den Münzwurf zu modellieren…
    Wer wenn nicht die Mathematik sollte Deiner Meinung nach beurteilen ob man mit Wtheo einen realen Münzwurf modellieren kann?

100. #100 Realistischer

     4. Oktober 2013

     @GodsBoss
     “Nenn uns einen Bruch, bestehend aus einem Zähler und einem Nenner, beides natürliche Zahlen, der quadriert zwei ergibt.”
     Das ist – für Sie vermutlich völlig überraschend – mittels Internet unmöglich vermittelbar weil das unendlich viel Übertragungskapazität benötigen würde, die zumindest mein Internetanschluss nicht hat. Aber in der Menge Z ist es schon möglich, denn die ist unendlich groß – was Sie aber wieder nicht verstehen werden, denn da kommt wieder diese ominöse Unendlichkeit vor.
     @Sim
     Wenn alle natürlichen Zahlen eine endliche Dezimaldarstellung haben, und gleichzeitig die Menge der natürlichen Zahlen unendlich groß ist, dann ergibt das einen Widerspruch, denn die Menge der natürlichen Zahlen mit endlicher Dezimaldarstellung ist endlich. Soviel zu den Fehlern in der Argumentation.

101. #101 StefanL

     4. Oktober 2013

     @volki
     Danke für die Info/links zu E-Funktionen.
     Zu i.A. wird da nicht unbedingt etwas herauskommen … ich ließ mich da von ” ist irrational ” hinreißen, hilft aber bzgl. Transzendenz wenn überhaupt nicht unmittelbar..
     Vielleicht fällt ja etwas ab bei fortgeschritteneren Methoden zum algebraischen Grad ( → Liouvillsche Zahlen,
     Satz von Thue-Siegel-Roth, aber auch das ist sicherlich nicht trivial.

102. #102 StefanL

     4. Oktober 2013

     ..und doch parse ….

103. #103 StefanL

     4. Oktober 2013

     @Realistischer
     Gebrauchssemantik: Das Ganze ist mehr als seine Teile.
     Etwas mathematischer versuchen wir’s mal mit einfachem Zählen:
     .
     Und falls die Anzahl der natürlichen Zahlen mit endlicher Dezimaldarstellung endlich wäre – welches ist dann das Maximum?

104. #104 JaJoHa

     4. Oktober 2013

     @Realistischer
     Sagt dir das Archimedische Axiom etwas? Zu jeder Zahl in gibt es eine Zahl die größer ist. Durch Abzählen kommst du niemals bis , es gibt immer eine noch größere Zahl.
     Um eine anschauliche Konsequenz zu nennen: Du kannst mit abzählen: Alle positiven Zahlen bekommen eine grade Zahl aus , alle negativen eine ungrade. Und da ich immer eine nächste Zahl habe funktioniert das. Und das, obwohl es ja eigentlich doppelt so viele ganze Zahlen gibt wie natürliche Zahlen.

     Angenommen, du hast ein Paar , von dem du annimmst das es näher als an der irrationalen Zahl liegt. Dann kann ich dennoch ein finden und dazu , so das p'/q' näher am Grenzwert ist als p/q. Deshalb wirst du in $latex´\mathbb Q$ beliebig gute Approximationen finden, aber nie die irrationale Zahl erreichen

105. #105 Alderamin

     4. Oktober 2013

     @Realistischer

     denn die Menge der natürlichen Zahlen mit endlicher Dezimaldarstellung ist endlich

     Das ist Blödsinn. Jede endliche, totalgeordnete Menge hat ein größtes Element. Wäre die Menge der natürlichen Zahlen mit endlicher Dezimaldarstellung endlich, dann gäbe es eine größte Zahl q mit dieser Eigenschaft. q+1 hätte dann definitionsgemäß unendliche Zifferndarstellung. Da aber bei der Addition mit 1 höchstens eine Ziffer dazukommen kann, kann dies nicht stimmen.

     Tatsächlich ist jede natürliche Zahl endlich und hat daher eine endliche Dezimaldarstellung. Damit ist die Zahl der natürlichen Zahlen mit endlicher Dezimaldarstellung unendlich.

106. #106 Realistischer

     5. Oktober 2013

     @StefanL, JaJoHa, Alderamin
     Eine natürliche Zahl mit endlicher Zifferndarstellung ist endlich. Das ist klar. Eine Menge natürlicher Zahlen, in der nur endliche Zahlen enthalten sind, muss auch endlich sein, denn es können maximal so viele Elemente enthalten sein wie die größte Zahl groß ist – und die muss dann ja auch endlich sein, sofern man davon aus geht dass alle natürlichen Zahlen endlich sind. Das passt aber nicht damit zusammen dass die Menge der natürlichen Zahlen unendlich sein soll.
     Zum Problem mit dem Maximum: wenn es dieses Maximum nicht geben kann weil man unendlich oft um 1 erhöhen kann — dann muss es auch unendlich große Zahlen geben, denn mit der Einschränkung auf endliche Zahlen kann man nicht unendlich oft um 1 erhöhen, man würde irgendwann an die Grenze jeder beliebigen aber fixen endlichen Zahl stossen.

     Das sind jetzt schon 2 Widersprüche. Ihr redet’s euch da in einen Wirrwarr hinein, und es wird immer schlimmer…

107. #107 rolak

     5. Oktober 2013

     moin Realistischer, zu den Widersprüchen:
     1) die Menge der natürlichen Zahlren hat keine größte Zahl – dieser Kategorienwechsel zerschlägt Deinen ersten Scheinwiderspruch.
     2) wenn Du so sicher bist, daß es eine natürliche Zahl gibt, deren Nachfolger unendlich viele Stellen in der Dezimaldarstellung hat, gib doch einfach dieses Beispiel hier an. Geht ja, weil Dein Ausgangspunkt selber noch endlich viele Stellen hat.

     Kurz: HelterSkelter’s on your side.

108. #108 volki

     5. Oktober 2013

     @StefanL:

     Zu Thue-Siegel-Roth: Ich glaube dieser Wikipedia Artikel zu Mahlers classification beantwortet sicher viele Fragen. Vor allem der letzte Teil:

     https://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_number#Mahler.27s_classification

     Ganz unten wird bemerkt, dass Sprindzuk 1965 bewiesen hat, dass fast alle reellen Zahlen vom Typ 1 sind. Das heißt, der Satz von Thue-Siegel-Roth ist in fast allen Fällen nicht anwendbar. Aber es gibt eine ganze Horde von Mathematikern die immer neue Zahlen konstruieren die transzendent sind, da sie dem Satz von Thue-Siegel-Roth widersprechen (das klingt jetzt trivial ist es aber bei weitem nicht).

     Falls du etwas über Transzendente Zahlen lernen willst empfehle ich wirklich das Buch von Baker “Transcendental Number Theory” (ist aber nur etwas für Mathematiker). Das ist jetzt schon 40 Jahre alt, aber einfach das beste, das es gibt. Alle meine Antworten an dich stammen aus dem Buch, das neben mir am Schreibtisch liegt. Einziges Minus das sogenannte Subspace Theorem fehlt.

     Also wenn wir weiter über Transzendente Zahlen reden wollen sollten wir in den Plaudertread wechseln. Das wird hier sonst etwas OT.

109. #109 JaJoHa

     5. Oktober 2013

     @Realistischer

     Eine natürliche Zahl mit endlicher Zifferndarstellung ist endlich. Das ist klar. Eine Menge natürlicher Zahlen, in der nur endliche Zahlen enthalten sind, muss auch endlich sein, denn es können maximal so viele Elemente enthalten sein wie die größte Zahl groß ist – und die muss dann ja auch endlich sein, sofern man davon aus geht dass alle natürlichen Zahlen endlich sind.

     Ähm, nein? Hast du dir das Archimedische Axiom angeschaut? Das zeigt ja grade, das ich immer, also wirklich immer, eine noch größere Zahl finden werde. Die Reihe von StefanL in #103 zählt, wie viele natürliche Zahlen es gibt. Die Antwort lautet . Hätte er nur die graden Zahlen genommen, oder die ungraden oder jede 2000ste, würde sich das Ergebnis denn ändern?

     Die Vorstellung, das man wie jede andere Zahl behandeln kann macht Probleme. Erstens stellt sich die Frage nach der laut Archimedes existierenden, größeren Zahl. Zum Beispiel für beliebige x. Was soll da rauskommen?

110. #110 Alderamin

     5. Oktober 2013

     @Realsatiriker

     Das sind jetzt schon 2 Widersprüche. Ihr redet’s euch da in einen Wirrwarr hinein, und es wird immer schlimmer…

     JEDE natürliche Zahl ist endlich. Für natürliche Zahlen gilt das Induktionsprinzip. Wenn eine Eigenschaft für 1 erfüllt ist und aus der Erfüllung für n die für n+1 folgt, dann gilt sie für jede natürliche Zahl. Und deswegen ist es ganz trivial: 1 ist endlich. Wenn n endlich ist, dann ist es auch n+1, denn durch das Hinzufügen von 1 kann eine endliche Zahl nicht unendlich werden. Also sind alle natürlichen Zahlen endlich.

     Und es gibt offensichtlich unendlich viele natürliche Zahlen.

     Das

     Eine Menge natürlicher Zahlen, in der nur endliche Zahlen enthalten sind, muss auch endlich sein, denn es können maximal so viele Elemente enthalten sein wie die größte Zahl groß ist

     ist offensichtlicher Quatsch. Wie eben gesehen kann ich mir aus jeder endlichen natürlichen Zahl eine endliche definieren, die größer ist.

111. #111 StefanL

     5. Oktober 2013

     @volki – laß mal gut sein; mir fehlt aktuell sowieso die Zeit da tiefer in die aktuelle Forschung auf diesem Gebiet einzusteigen ( was gelegentliches Plaudern nicht ausschließt), wobei ich mich immer wieder gerne an die Diplomanden-& Doktorandenseminare über Diophantische Gleichungen bei H.P. Schlickewei ( … und die Prüfungen – LOL) zurückerinnere…

112. #112 StefanL

     5. Oktober 2013

     @Realsatiriker ( Danke an Alderamin )

     Eine Menge natürlicher Zahlen, in der nur endliche [ viele ] Zahlen enthalten sind, muss auch endlich sein, denn es können maximal so viele Elemente enthalten sein wie die größte Zahl groß ist.

     So wird ein Schuh daraus. Andernfalls welches ist denn die größte natürliche Zahl oder (ein letzter Versuch es einleuchtend zu formulieren) wenn die (Menge der) geraden (natürlichen) Zahlen und die ungeraden betrachtet werden: Wo finde ich denn jetzt die größte natürliche Zahl? Unter den geraden oder den ungeraden?

113. #113 Alderamin

     5. Oktober 2013

     @StefanL

     Den Dank gebe ich weiter an (ich glaube es war) Adent 😉

114. #114 Realistischer

     5. Oktober 2013

     Also nochmal’: nehmen wir eine Menge natürlicher Zahlen mit einer definierten größten Zahl, z.B. 2. Die grösste Menge an natürlichen Zahlen mit 2 als Maximum ist {2,1,0}, hat als Mächtigkeit also 3. Andere Möglichkeiten wären {2}, {2,1} und {2,0}, die alle kleiner sind.
     Im Allgemeinen: die Mächtigkeit einer Menge von natürlichen Zahlen.mit dem Maximum n ist maximal n-1.
     Wenn also die Menge der natürlichen Zahlen nur endliche Zahlen enthalten kann, dann wäre die größte der natürlichen Zahlen auch endlich, und folglich die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen auch (weil eine endliche Zahl +1 wieder eine endliche Zahl ergibt).
     Daraus folgt: entweder die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen ist nicht unendlich – oder aber, es gibt unendlich große natürliche Zahlen.
     Sucht es euch aus, aber eins geht nicht: solche eklatanten Widersprüche mit irgendwelchen Verweisen auf irgendwelche berühmten Sätze abzutun. Da wird nur vertuscht und verschoben, aber kein Widerspruch aufgelöst. Das ist euer Problem.

115. #115 rolak

     5. Oktober 2013

     dann wäre die größte der natürlichen Zahlen auch endlich

     Nochmal, Realistischer, in langsam, zum Mitschreiben: Es GIBT KEINE größte natürliche Zahl. Das war schon im klassischen Altertum bekannt und sollte eigentlich mittlerweile auch bis zu Dir vorgedrungen sein.

116. #116 Alderamin

     5. Oktober 2013

     @Irrealistischer

     solche eklatanten Widersprüche mit irgendwelchen Verweisen auf irgendwelche berühmten Sätze abzutun. Da wird nur vertuscht und verschoben

     Was mal wieder zeigt, wie sinnlos die Diskussion mit Dunning-Kruger-Trollen ist. Wenn sie nicht mal einen pillepalle-Induktionsbeweis in der einzigen exakten Wissenschaft, der Mathematik (die als einzige Wissenschaft unwiderlegbare Beweise und nicht nur diskussionwürdige Belege hat) versteht, welche Hoffnung besteht dann, einen Einsteinleugner oder Chemtrailanhänger zu überzeugen?

     Oder Du nimmst uns nur auf den Arm.

117. #117 JaJoHa

     5. Oktober 2013

     @Realistischer
     Es gab hier jetzt schon mehrere Beweise, das es keine größte, natürliche Zahl gibt, ebenso wie es keine größte oder kleinste ganze, rationale oder reelle Zahl gibt. $latex\mathbb C$ ist etwas anderes (= sind da anders). Das sind wie Alderamin bereits sagte Beweise, die kann man sich anschauen und verstehen. Du kannst immer rechnen (das – falls du kleinste Zahlen suchst(außer in $latex\mathbb N$)). Dir gehen die Zahlen niemals aus. Du behauptest du kennst die größte Zahl X? Ich kenne eine größere, egal welche du nimmst. X+1 oder X+42 erfüllen die Forderung immer.

118. #118 Realistischer

     5. Oktober 2013

     Also ist es so, dass man die Reihe natürlichen Zahlen endlos fortführen kann. Eins mehr geht immer, ohne je zu einem Ende zu kommen. Das ist ein Beispiel für Unendlichkeit. Die natürlichen Zahlen werden also unendlich groß, womit ihr euch für die zweite der vorhin genannten Optionen entschieden hättet. Jetzt müsst ihr nur noch die Konsequenzen dieser Entscheidung akzeptieren…

119. #119 Realistischer

     5. Oktober 2013

     @Sim, Alderamin
     Zu eurem Induktionsbeweis ist noch etwas zu sagen: nimmt man eine endliche Menge und fügt dieser ein zusätzliches Element hinzu, dann ist das Ergebnis auch endlich. Das lässt sich endlos wiederholen – die Menge wird nie unendlich groß.
     So wäre das, wenn man die unendliche Induktion auf die (Un)Endlichkeitseigenschaft anwendet. Irgendwie eine Verkehrung der Dedekind-Unendlichkeit, nennen wir es die Sim-Alderamin-Endlichkeit.
     Aber leider gibt es ein Problem dabei, denn die unendliche Induktion führt selbst in die Unendlichkeit – es sei denn sie ist garnich unendlich sondern hat ein fixes Limit.

120. #120 JaJoHa

     5. Oktober 2013

     @Realistischer
     Dann liefer einen Beweis. Behaupten kann man vieles, aber ein Beweis (sofern er korrekt ist) würde mich ohne weiteres überzeugen. Bis jetzt hast du das nicht geliefert.

121. #121 PDP10

     5. Oktober 2013

     @Ralistischer:

     “Daraus folgt: entweder die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen ist nicht unendlich – oder aber, es gibt unendlich große natürliche Zahlen.”

     Du schmeisst da so einiges durcheinander.
     Die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen ist Aleph-0.
     Es gibt keine unendlich grosse natürliche Zahl aber es gibt unendlich viele davon.

     Bevor du hier weiter Unsinn verbreitest könntest du auch einfach mal den kurzen aber sehr informativen Wikipedia-Artikel über Mächtigkeit lesen:

     https://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%A4chtigkeit_%28Mathematik%29

122. #122 PDP10

     5. Oktober 2013

     @Alderamin, JaJoHa:

     Versteht einer von euch, was Freund Realistischer eigentlich will?
     Ich nicht …

123. #123 JaJoHa

     5. Oktober 2013

     @PDP10
     Du kannst Fragen stellen, möchtest du auch die Antwort auf den Sinn des Universums dazu? Meine Vermutung: Er fasst anscheinend wie eine “normale” Zahl wie 1 oder 15/8 auf und kann sich Grenzprozesse nicht vorstellen/verstehen.

124. #124 Alderamin

     5. Oktober 2013

     @PDP10

     Ursprünglich ging’s mal darum, dass er nicht einsehen wollte, dass reelle und rationale Zahlen nicht gleichmächtig sind. Über die Dezimaldarstellung (mir war es eigentlich um die endlichen Perioden hinter dem Komma gegangen) kam dann seine kühne Hypothese, dass irgendwelche natürliche Zahlen eine unendliche Zifferndarstellung im Zehnersystem hätten (und zwar vor dem Komma). Was mehrfach widerlegt wurde, aber das zählt für ihn nicht, weil wir komische Sätze von fremden Leuten benutzen.

     Das schöne an der Mathematik ist ja, wenn man irgendeinen Beweis gefunden hat wie z.B. den Induktionsbeweis, dann hilft kein Drehen und Wenden mehr. In den anderen Wissenschaften gibt es Belege für oder gegen bestimmte Annahmen, da kann man diskutieren und alternative Ansätze ausprobieren. In der Mathematik ist man mit dem Beweis fertig. Deswegen ist die Diskussion an dieser Stelle für mich beendet, falls nicht jemand einen Fehler in dem Beweis findet.

     Oder fei nach Trapattoni:

     Was erlaube Realistische? Ist immer krank. Er rechnet wie eine Flasche leer. Ich habe fertig.

125. #125 PDP10

     5. Oktober 2013

     “Du kannst Fragen stellen”

     Gelle? 😉

     Irgendwie scheint er nicht glauben zu wollen, dass reelle Zahlen anders unendlich sein können, als natürliche Zahlen.
     Soviel habe ich jedenfalls mitgekriegt, abgesehen davon, das er vermutlich nicht verstanden hat was vollständige Induktion ist ..
     Aber da hörts auch schon auf ….

126. #126 PDP10

     5. Oktober 2013

     @Alderamin:

     ” aber das zählt für ihn nicht, weil wir komische Sätze von fremden Leuten benutzen.”

     … danke für den Lacher 🙂

127. #127 hummlbach

     6. Oktober 2013

     @Realistischer:
     Das ist ein Beispiel für Unendlichkeit. Die natürlichen Zahlen werden also unendlich groß, womit ihr euch für die zweite der vorhin genannten Optionen entschieden hättet.

     Ja Du hast Recht die natürlichen Zahlen werden unendlich groß – aber lass uns das präziser ausdrücken:

     Die Dezimaldarstellungen der natürlichen Zahlen werden beliebig lang! Egal was für eine Zahl L wir uns vorgeben wir finden immer unendlich viele natürliche Zahlen deren Dezimaldarstellungen viel länger sind als L und es gibt keine obere Schranke für die Länge von natürlichen Zahlen!

     Na? Wie wärs wenn wir uns darauf einigen?!?

128. #128 PDP10

     6. Oktober 2013

     “Ja Du hast Recht die natürlichen Zahlen werden unendlich groß – aber lass uns das präziser ausdrücken”

     Um es noch ein klein wenig präziser auszudrücken:

     Es gibt keine “unendlich grosse” natürliche Zahl.

     Wenn es eine natürliche Zahl gäbe, die unendlich gross wäre, sagen wir n.
     Was wäre dann n+1?
     Eins grösser als unendlich? Oder so?
     Wohl eher nicht.

     Aber das was du über die Dezimaldarstellung sagst, ist natürlich vollkommen richtig.

129. #129 Realistischer

     6. Oktober 2013

     @hummlbach
     Was genau wäre denn der Unterschied zwischen “es gibt keine obere Schranke für die Länge” und “es gibt unendliche Länge”?

     @Alderamin
     Sie sind ein gutes Beispiel für die Problematik der Verwendung von Beweisen anderer Leute, haben’s doch selber vorhin gezeigt dass Sie den Induktionsbeweis *nicht verstanden* haben: der Versuch, per unendlicher Induktion die Endlichkeitseigenschaft in’s Unendliche fortzuschreiben hat einen Humor, den Sie vermutlich garnicht kapieren können.
     Aber das ist genau das Problem dabei: dass irgendein Zitat vorgeschoben wird um Verständnislücken zu verstecken.

130. #130 GodsBoss

     Hannover

     6. Oktober 2013

     @Realistischer:

     Was genau wäre denn der Unterschied zwischen “es gibt keine obere Schranke für die Länge” und “es gibt unendliche Länge”?

     hummlbach hat es längst ausreichend geschrieben, aber ich kann gerne auch noch was dazu schreiben.

     „Es gibt keine obere Schranke für die Länge“ besagt schlicht und ergreifend genau das – es gibt keine obere Schranke für die Länge. Dennoch können alle Dezimaldarstellungen von endlicher Länge sein, und sind es im Fall der natürlichen Zahlen auch.

     „Es gibt unendliche Länge“ hieße, es wären tatsächlich unendlich viele Ziffern. In den natürlichen Zahlen kommt so etwas nicht vor.

     Um genau solche Unstimmigkeiten zu vermeiden, drücken sich Mathematiker i. d. R. sehr exakt aus. So heißt es üblicherweise nicht „Die natürlichen Zahlen werden unendlich groß“, sondern „sie werden beliebig groß“, damit niemand auf die Idee kommt, es gäbe tatsächlich unendlich große natürliche Zahlen (alle natürlichen Zahlen sind von endlicher Größe).

     Sie sind ein gutes Beispiel für die Problematik der Verwendung von Beweisen anderer Leute, haben’s doch selber vorhin gezeigt dass Sie den Induktionsbeweis *nicht verstanden* haben: der Versuch, per unendlicher Induktion die Endlichkeitseigenschaft in’s Unendliche fortzuschreiben hat einen Humor, den Sie vermutlich garnicht kapieren können.

     Es gibt nichts zu lachen, der Beweis ist korrekt. In der Mathematik sind die natürlichen Zahlen eine unendlich große Menge aus ausschließlich endlich großen Elementen. Das kann man scheiße finden und seinen eigenen Zweig der Mathematik aufmachen, andere Definitionen benutzen und mit ganz anderen Objekten hantieren. Das ändert aber trotzdem nichts an den Eigenschaften, die die natürlichen Zahlen, so wie sie herkömmlich definiert sind, nunmal haben.

131. #131 Realistischer

     6. Oktober 2013

     @GodsBoss
     Nun ja, wie ich weiter oben schon mal’ anmerkte: wenn man eine Menge von natürlichen Zahlen von 0 weg aufbaut, dann gibt es einen linearen Zusammenhang zwischen der Größe der größten Zahl und der Größe der Menge. Lässt man also die größte Zahl “beliebig groß” werden, dann wird auch die solcherart aufgebaute Menge “beliebig groß”. Aber nicht unendlich. Oder seid ihr dermaßen inkonsequent dass ihr zwar für die Größe der Menge einen Grenzwertübergang zur Unendlichkeit macht, aber für die Größe der Elemente nicht? Gut, das immerhin eure Verwirrtheit erklären.

132. #132 GodsBoss

     Hannover

     6. Oktober 2013

     @Realistischer:
     Wo soll da die Inkonsequenz sein? Die Menge der natürlichen Zahlen ist überhaupt nicht über eine Grenzwertbetrachtung definiert (sowas wäre/ist auch nicht ganz trivial), sondern ist schlicht und ergreifend die Menge, in der alle natürlichen Zahlen drin sind. Die sind alle endlich, wie Alderamin zeigte. Welche Mächtigkeit hat nun die Menge der natürlichen Zahlen, bei endlichen Mengen bekanntlich durch eben jene natürlichen Zahlen angegeben? Keine natürliche Zahl n kommt in Frage, denn in der Menge sind ja 1 bis n enthalten und n+1 (jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger) auf jeden Fall auch, man könnte also eine bloße (endliche) Teilmenge der natürlichen Zahlen konstruieren, die schon mächtiger ist. Deswegen ist die Menge der natürlichen Zahlen unendlich groß, obwohl ihre Elemente alle lediglich beliebig, aber endlich groß sind.

     Es ist keine Schande, mit einem naiven Verständnis von Unendlichkeiten zu straucheln – so ging es in der Mathematik lange, bis man es geschafft hat, eine Theorie von Unendlichkeiten aufzubauen, die funktioniert.

     Nicht hilfreich ist es hingegen, andere mit mehr Wissen als inkompetent und „verwirrt“ zu bezeichnen, denn diese werden sich zwangsläufig irgendwann verweigern, noch weiter Hilfestellung anzubieten, insbesondere wenn diese absolut nicht angenommen wird und der Helfende noch beschimpft wird.

133. #133 Realistischer

     6. Oktober 2013

     @GodsBoss
     Was Alderamin mit seinem “Induktionsbeweis” zeigte war dass er nicht weis was er tut. Nochmal: durch eine unendliche Induktion die Endlichkeitseigenschaft von etwas in’s Unendliche fortzusetzen ist ein Widerspruch wie man ihn sonst nur von Karikaturisten erwarten würde. Aber ihr nehmt das anscheinend sogar ernst. Übrigens wäre ich der Helfende, aber euch ist offenbar nicht zu helfen.

134. #134 Florian Freistetter

     6. Oktober 2013

     @Realistischer: “Was Alderamin mit seinem “Induktionsbeweis” zeigte war dass er nicht weis was er tut.”

     Kleine https://www.amazon.de/gp/product/B00C55RVOQ/ref=as_li_ss_tl?ie=UTF8&camp=1638&creative=19454&creativeASIN=B00C55RVOQ&linkCode=as2&tag=astrodisimple-21“>Leseempfehlung. Das schöne an der Mathematik ist ja, das man sie definitiv nicht glauben braucht. Man muss über Mathematik nicht mal diskutieren. Entweder etwas ist bewiesen oder nicht. Beweise deine Aussagen. Oder nicht. Es ist ganz einfach.

135. #135 PDP10

     6. Oktober 2013

     @Ralistischer:

     “Was Alderamin mit seinem “Induktionsbeweis” zeigte war dass er nicht weis was er tut.”

     Wo bleibt dann bitte dein Beweis?

     Im übrigen glaube ich sehr wohl, dass Alderamin weiss was er tut. Er weiss zB. mit Sicherheit, dass es soetwas wie eine “unendliche Induktion” nicht gibt.
     Die Beweismethode heisst “vollständige Induktion” und da gibts bestimmt einen Wikipedia Artikel zu.
     Den Link rauszusuchen sei dir als Hausaufgabe selber überlassen.

136. #136 PDP10

     6. Oktober 2013

     “Kleine Leseempfehlung. “

     Da hätte ich auch noch eine:

     Richard Courant: “Was ist Mathematik”.

     Bisl alt schon, aber ein Klassiker.

     BTW: Kann es sein, dass ich selbiges Buch Realistischer schon mal bei einer anderen Diskussion empfohlen habe … ? Grübel … kommt mir alles so bekannt vor hier ….

137. #137 GodsBoss

     Hannover

     6. Oktober 2013

     @Realistischer:
     Deine substanzlosen Behauptungen werden durch Wiederholung nicht wahr. Du kannst gerne Alderamins Beweis widerlegen bzw. einen Fehler darin suchen. Und damit meine ich nicht, dass du einfach behauptest, er sei falsch, weil dir das Ergebnis nicht passt. Das im Beweis genutzte Prinzip der vollständigen Induktion ist übrigens zumindest an meiner Uni Erstsemesterstoff gewesen – es ist nämlich recht einfach. Insofern hat Florian die richtige Literatur-Empfehlung.

138. #138 Alderamin

     6. Oktober 2013

     @Realo

     Vollständige Induktion geht immer so und ist genau das Beweisprinzip für abzählbare Zahlenmengen. Sie ist das 5. Peano-Axiom der natürlichen Zahlen. Das Axiom ist immer gültig und kann nicht angezweifelt werden.

     Ein Induktionsbeweis ist also nur dann falsch, wenn entweder der Induktionsanfang (1 ist endlich, d.h. hat eine endliche Länge der Zifferndarstellung im Zehnersystem) oder der Induktionsschluss (auf eine endliche natürliche Zahl folgt als Nachfolger wieder eine endliche natürliche Zahl) falsch sind. Andere Fehler sind ausgeschlossen.

     Das Nicht-Erfülltsein einer Behauptung zeigt man normalerweise durch ein Gegenbeispiel. Zeige uns also eine endliche natürliche Zahl, deren direkter Nachfolger eine unendliche Ziffernlänge hat, dann hast Du den Beweis widerlegt. Sonst gib’ Deine Niederlage zu.

     Noch ein Link bzgl. der Definition von endlich/unendlich.

139. #139 Realistischer

     7. Oktober 2013

     Naja, dann müsst ihr halt ein bisschen selber denken und das, was ich “unendliche Induktion” nannte als eine vollständige Indukiton über eine unendliche Menge verstehen.
     Ok, war schon zu viel verlangt, ich seh’s ein.
     Aber, weil ihr eh alle so fix seid beim Zitieren: wo genau ist denn der Beweis dafür dass man mittels einer vollständigen Induktion über die unendliche Menge der natürlichen Zahlen auch die Eigenschaft “i ist endlich” beweisen kann? Das ist eine Frage der Anwendbarkeit der Methode, geht es doch um eine – ich sag’ es trotzdem – unendliche Induktion, und da könnte man auf die Idee kommen dass das mit der zu beweisenden Endlichkeitseigenschaft in Konflikt stehen könnte.
     Ok, ihr kommt auf keine dermaßen häretischen Ideen, aber dafür bin ich ja da.

140. #140 Florian Freistetter

     7. Oktober 2013

     @realistischer: “Ok, ihr kommt auf keine dermaßen häretischen Ideen, aber dafür bin ich ja da.”

     Lass mich raten: Du hast sicher auch schon ne eigene Theorie entwickelt, die die Entstehung des Universums erklärt und Quantentheorie mit GRavitation vereinigt oder so…

141. #141 Alderamin

     7. Oktober 2013

     @Realo

     was ich “unendliche Induktion” nannte als eine vollständige Indukiton über eine unendliche Menge verstehen.

     Gibt’s denn überhaupt eine vollständige Induktion über eine nur endliche Menge natürlicher Zahlen? Und wieso würde die sich dann “vollständig” nennen dürfen? Hast Du eine Referenz auf Deine “unendliche” Induktion?

     Nochmal aus dem ersten Link in meinem Post #138

     “Die vollständige Induktion liefert eine Methode, Aussagen für alle natürlichen Zahlen zu beweisen”

     wo genau ist denn der Beweis dafür dass man mittels einer vollständigen Induktion über die unendliche Menge der natürlichen Zahlen auch die Eigenschaft “i ist endlich” beweisen kann?

     Es ist sch…egal, welche Aussage im Induktionsschluss bewiesen wird, solange sie sich beweisen lässt. Da gibt es keinerlei Einschränkung. Wenn ich die Zahl q als a(n)10^n+a(n-1)10^(n-1)+…+a(0)10^0 mit endlichem n darstellen kann, dann kann ich die Zahl q+1 entweder darstellen als
     a(n)10^n+a(n-1)10^(n-1+)+…+(a(0)+1))10^0 falls a(0) < 9 oder
     a(n)10^n+a(n-1)10^(n-19*:::*(a(1)+1)10^1 falls a(0) = 9 und a(1) < 9 oder
     …
     (a(n)+1)10^n falls a(0) = … = a(n-1) = 9 und a(n) <9 oder
     10(n+1) falls a(0) = … = a(n) = 9.

     Nur im letzten Fall wird die Zahl um eine Ziffer länger, bleibt damit endlich (und ist ohnehin viel kleiner als q; int(log(q))+1 Stellen reichen)

142. #142 volki

     7. Oktober 2013

     @Alderamin

     Gibt’s denn überhaupt eine vollständige Induktion über eine nur endliche Menge natürlicher Zahlen?

     Ja, nennt man aber transfinite Induktion. Da reicht es aus, wenn die Menge wohlgeordnet ist und alle endlichen Mengen kann man wohlordnen.

     @Realistischer:

     wo genau ist denn der Beweis dafür dass man mittels einer vollständigen Induktion über die unendliche Menge der natürlichen Zahlen auch die Eigenschaft “i ist endlich” beweisen kann? Das ist eine Frage der Anwendbarkeit der Methode, […]

     Ja das ist eine Frage der Anwendbarkeit, also sehen wir mal nach. Oh! Das steckt ja schon in der Definition der natürlichen Zahlen, den Peano Axiomen. Beachte das 5. Axiom. Also damit sollte das jetzt wirklich geklärt sein.

143. #143 Alderamin

     7. Oktober 2013

     @myself

     a(n)10^n+a(n-1)10^(n-19*:::*(a(1)+1)10^1 falls a(0) = 9 und a(1) < 9 oder

     Ups, da bin ich wohl bei der 9 den folgenden Zeichen auf Caps-Lock geraten, also richtig natürlich:

     a(n)10^n+a(n-1)10^(n-1)+…+(a(1)+1)10^1 falls a(0) = 9 und a(1) < 9 oder

     @Volki
     Danke für den Hinweis auf die transfinite Induktion, allerdings schränkt deren Existenz nicht die Gültigkeit der üblichen vollständigen Induktion nach Peano #5 auf eine endliche Menge von natürlichen Zahlen ein, sondern es ist ein verallgemeinertes Induktionsprinzip auf einer modifizierten Trägermenge, wenn ich das richtig verstehe.

144. #144 Adent

     7. Oktober 2013

     Wo war nochmal der Link zur Diskussion mit Starrköpfen, wie z.B. so einem wie dem “Realistischer”?
     @PDP10
     Ich erinnere mich auch an Diskussionen mit einem Vertreter der Spezies Realistischer, ich nannte ihn damals immer Unrealistischer, weiß aber auch nicht mehr wo das war.

145. #145 Realistischer

     7. Oktober 2013

     @volki u.a.
     Ja, die Peano-Axiome sind schön, sagen aber überhaupt garnichts explizit darüber aus dass damit auch die Induktion über eine Endlichkeitseigenschaft mit enthalten ist. Da müsste man also separat darüber nachdenken…

     A propos: wenn also *alle* natürlichen Zahlen endlich sind, dann sind auch *alle* Mengen welche gemäß der Peano-Konstruktion von 0 beginnend aufgebaut werden, endlich. Es sei denn man macht für die Größe der Menge einen Grenzwetüberganz zu unendlich, aber für die (in gleichem Maß steigende) Größe der Elemente der Menge nicht.

     Aber das sagte ich ja bereits, ihr habt es geflissentlich ignoriert, sicher deshalb weil sich kein Zitat finden ließ mit dem sich dieses Argument direkt widerlegen lässt, und selber bedenken geht ja auch nicht, bleibt also nur daran vorbei zu argumentieren, irgendwie muss man ja so lästige Störenfriede weg bekommen, wenn schon nicht mit sachlichen Mitteln dann anderswie…

146. #146 StefanL

     7. Oktober 2013

     Jetzt müsst ihr nur noch die Konsequenzen dieser Entscheidung akzeptieren…

     Aber @Realistischer betrachtet ist das doch Usus:
     
     
     
     
     Es steht Dir frei zu bekunden den Verzicht auf:
     
     Um jetzt aber auch noch das 5. Peano Axiom ( also auf Prädikatenlogik 2. Stufe eine Nachfolgerfunktion) und $ latex \mathbb N $ als Schnitt aller induktiven Mengen( inklusive der Wohldefiniertheit von “+”) zu verwerfen, bedarf es etwas mehr als nur den “häretischen Gedanken” die natürlichen Zahlen vielleicht völlig anders definieren oder einzuführen zu können. Und möchtest Du wirklich auf so nette Sachen wie Dies verzichten? Btw – da ist auch nochmal eine Bemerkung dazu, das vollständige Induktion eine endliche Induktion ist, enthalten, Und dies führt zu

     Naja, dann müsst ihr halt ein bisschen selber denken und das, was ich “unendliche Induktion” nannte als eine vollständige Indukiton über eine unendliche Menge verstehen.
     Ok, war schon zu viel verlangt, ich seh’s ein.

     welches die Frage aufwirt, was das jetzt mit transfiniter Induktion zu tun haben soll? Aber bei gewissen Themen ist ein bestimmtes Fachvokabular das man sich selbst aneignen sollte schon zu viel verlangt – ich seh’s ein…

147. #147 StefanL

     7. Oktober 2013

     1.not parse:
     
     2. :
     

148. #148 StefanL

     7. Oktober 2013

     Haare rauf…
     1. :

149. #149 StefanL

     7. Oktober 2013

     2:

150. #150 Alderamin

     7. Oktober 2013

     @StefanL

     Versuch’ doch mal die Vorschauseite:
     https://www.perun.net/2012/09/13/wordpress-anleitung-und-handbuch/#postcomment

     Da eintippen, unten Vorschau anschauen, und dann nach hier kopieren.

151. #151 volki

     7. Oktober 2013

     @Alderamin

     Ja siehst du vollkommen richtig. Der Hinweis auf die transfinite Indiktuion sollte einen irionischen Unterton haben und mein 😉 war dann in dem Teil den ich dann doch vorm wegschicken noch gelöscht habe, sorry.

152. #152 volki

     7. Oktober 2013

     @Realistischer

     sagen aber überhaupt garnichts explizit darüber aus dass damit auch die Induktion über eine Endlichkeitseigenschaft mit enthalten ist.

     Also 5. Peano Axiom sagt:

     Enthält X die 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger n’, so bilden die natürlichen Zahlen eine Teilmenge von X.

     Da geht es um Mengen, ohne irgendwelche Einschränkungen. Also deine Sorgen sind unberechtigt.

     wenn also *alle* natürlichen Zahlen endlich sind, dann sind auch *alle* Mengen welche gemäß der Peano-Konstruktion von 0 beginnend aufgebaut werden, endlich

     Ja genau! Darum gibt es ja auch in ZF-Axiomensystem das Unendlichkeitsaxiom, das garantiert, dass es unendliche (eigentlich induktive) Mengen gibt. Ansonsten gäbe es tatsächlich keine unendlichen Mengen. Hast du jetzt etwa doch recht? Nein! Denn das Unendlichkeitsaxiom steckt im 5. Peanoaxiom implizit drinnen ($\latex \mathbb N$ ist eine induktive Menge) und zwar dass die Menge der natürlichen Zahlen unedlich groß ist. So sagt die Wikipedia dazu:

     Durch die Existenz mindestens einer induktiven Menge I wird zusammen mit dem Aussonderungsaxiom auch die Existenz der natürlichen Zahlen als Menge sichergestellt

     (Das steht so im Artikel über das Unendlichkeitsaxiom drinnen.)

     Aber das sagte ich ja bereits, ihr habt es geflissentlich ignoriert,

     Deine immer gleichen Argumente wurden schon so oft widerlegt, nur leider ignorierst du alle Erklärungen.

153. #153 StefanL

     7. Oktober 2013

     @Alderamin – danke für den link ; lößt bei mir allerdings Latex-code nicht auf……

     Noch ein Versuch 2:( UA)
     

154. #154 GodsBoss

     Hannover

     7. Oktober 2013

     @Realistischer:

     Naja, dann müsst ihr halt ein bisschen selber denken und das, was ich “unendliche Induktion” nannte als eine vollständige Indukiton über eine unendliche Menge verstehen.
     Ok, war schon zu viel verlangt, ich seh’s ein.

     Arroganz muss man sich auch leisten können. Mathematik ist eine Disziplin, in der es von extremer Wichtigkeit ist, genau das zu sagen, was man meint und nicht etwas, was es nur ungefähr ist. Das ist ihr größter Vorteil, denn so kommt es nicht zu Missverständnissen. Wenn dann jemand Begriffe verwendet, die in dem gegebenen Kontext keine Bedeutung haben, dann muss eben geklärt werden, was eigentlich gemeint ist. Wenn man die Begriffe nicht kennt, kann man nachschlagen (das WWW bietet dafür genügend Recherchemöglichkeiten) oder eine saubere Definition von dem bringen, was man eigentlich meint. Wenn du weiterhin die vollständige Induktion lieber „unendliche Induktion“ nennen willst, ist das in Ordnung, dir muss aber klar sein, dass es sich dabei um etwas handelt, was eine klare Definition hat.

     A propos: wenn also *alle* natürlichen Zahlen endlich sind, dann sind auch *alle* Mengen welche gemäß der Peano-Konstruktion von 0 beginnend aufgebaut werden, endlich. Es sei denn man macht für die Größe der Menge einen Grenzwetüberganz zu unendlich, aber für die (in gleichem Maß steigende) Größe der Elemente der Menge nicht.

     Aber das sagte ich ja bereits, ihr habt es geflissentlich ignoriert, sicher deshalb weil sich kein Zitat finden ließ mit dem sich dieses Argument direkt widerlegen lässt, und selber bedenken geht ja auch nicht, bleibt also nur daran vorbei zu argumentieren, irgendwie muss man ja so lästige Störenfriede weg bekommen, wenn schon nicht mit sachlichen Mitteln dann anderswie…

     Ein durchschaubarer Versuch, dich als denjenigen darzustellen, der die Wahrheit für sich gepachtet wird, aber von einer ignoranten Mehrheit als Störenfried angesehen zu werden.

     Tatsächlich bist du aber nichts weiter als ein Lügner und ich kann es belegen: In Kommentar 132 habe ich höchstselbst auf dein bereits vorgebrachtes Problem mit dem angeblichen Grenzwertübergang geantwortet, du hast auch auf den Beitrag geantwortet, bist aber inhaltlich auf meine Ausführungen überhaupt nicht eingangen. Du bist also ignorant und die Behauptung, deine Problematik würde ignoriert, ist nichts weiter als eine Lüge.

     Du kannst lediglich nicht akzeptieren, dass du im Unrecht bist, aber die Mathematik ist nunmal keine Meinungsumfrage, bei der jeder mitmachen kann und am Ende liegt keiner falsch. Was du vorbringst, sind lediglich deine Verständnisprobleme, die du nicht als solche verstehst. Es haben inzwischen einige Leute, darunter ich, versucht, dir durch Links, Definitionen und Zitate auf die Sprünge zu helfen.

     Ich weiß aber, dass es nichts helfen wird. Du wirst weiterhin denken, dass wir eben alle Unrecht haben. Dein Problem.

155. #155 Realistischer

     7. Oktober 2013

     Und immer wieder und immer noch dasselbe: wenn die Menge N durch undendlich fortlaufendes Hinzufügen einer nächsten Zahl (n’) unendlich groß wird – warum werden dann diese Zahlen (n’=n+1) nicht auch unendlich groß?
     WARUM?
     Weil ihr nirgendwo einen Textstelle findet wo das genau so drinn steht. Das ist der einzige Grund. Mit Logik hat es allerdings ganz genau garnichts zu tun, denn die Logik sagt dass selbstverständlich auch n bzw. n’ unendlich groß werden.

156. #156 PDP10

     7. Oktober 2013

     “Das ist eine Frage der Anwendbarkeit der Methode, geht es doch um eine – ich sag’ es trotzdem – unendliche Induktion, und da könnte man auf die Idee kommen dass das mit der zu beweisenden Endlichkeitseigenschaft in Konflikt stehen könnte.”

     Oh je, der blamiert sich ja bis auf die Knochen ….

     “Ok, ihr kommt auf keine dermaßen häretischen Ideen, aber dafür bin ich ja da.”

     Und merkts nicht mal …

     @Ralistischer:

     Könntest du das bitte lassen?

     Ich bin nicht so gut im Fremdschämen …

157. #157 PDP10

     7. Oktober 2013

     @Realistischer:

     “Und immer wieder und immer noch dasselbe: wenn die Menge N durch undendlich fortlaufendes Hinzufügen einer nächsten Zahl (n’) unendlich groß wird – warum werden dann diese Zahlen (n’=n+1) nicht auch unendlich groß?”

     Und nochmal meine Frage dazu:

     Wenn es eine natürliche Zahl gäbe, die unendlich gross wäre, sagen wir n.

     Was wäre dann n+1?

     Noch unendlicher?

158. #158 Realistischer

     7. Oktober 2013

     Noch eine Idee, für die Freunde des Induktionsbeweises: nehmen wir die Menge m={0,1,…,i}, also eine Menge welche die natürlichen Zahlen von 0 bis i enthalt. Für i=0 ist dies eine endliche Menge. Wenn es für ein beliebiges i eine endliche Menge ist, ist es auch für i+1 eine endliche Menge. Und weil dem Induktionsbeweis keine Obergrenze gesetzt ist, gilt es für unendlich viele Wiederholungen.

     Gemäß euren Beweis-Regeln ist damit ganz klar und eindeutig erwiesen dass die Menge der natürlichen Zahlen, dem Peanoaxiom entsprechend aufgebaut, endlich ist.

     q.e.d.

159. #159 PDP10

     7. Oktober 2013

     @Realistischer:

     “Und weil dem Induktionsbeweis keine Obergrenze gesetzt ist, gilt es für unendlich viele Wiederholungen.”

     Ähm ja.

     Das nennt man dann am Ende ein unendlich grosse Menge …

160. #160 PDP10

     7. Oktober 2013

     Q.E.D. hatte ich vergessen .. Sorry.

161. #161 GodsBoss

     Hannover

     7. Oktober 2013

     @Realistischer:
     Du verstehst den Unterschied zwischen vollständiger Induktion und Grenzwertbetrachtungen nicht. Bei vollständiger Induktion werden alle Glieder einer Folge betrachtet, aber nicht ein möglicher Grenzwert selbst.
     Tatsächlich sind auch alle Mengen in der von dir konstruierten Folge endlich, analog zu den natürlichen Zahlen, die auch alle von endlicher Größe sind. Ist aber eine dieser Mengen die Menge der natürlichen Zahlen? Natürlich nicht! Wenn du das i-te Glied der Folge betrachtest, so fehlt mindestens eine Zahl, nämlich i+1. Die Endlichkeit der natürlichen Zahlen kannst du so nicht zeigen.

     Man kann übrigens tatsächlich Grenzwertbetrachungen von Folgen von Mengen machen, siehe Limes superior und Limes inferior. In dem von dir genannten Fall müssten für beide tatsächlich die Natürlichen Zahlen als Grenzwert herauskommen.

     Hilft aber nicht. Betrachten wir doch mal die Mächtigkeit dieser Mengen? Die erste enthält ein Element, die Mächtigkeit ist also 1, beim nächsten 2, dann 3, usw. – also letztlich die natürlichen Zahlen (um 1 verschoben, wenn man bei 0 anfängt, ist aber ein unwichtiges Detail). Was ist denn der Grenzwert dieser Folge, also a(i) = i? Eine natürliche Zahl sicher nicht, denn egal, welches n aus den natürlichen Zahlen als Grenzwertkandidat genommen wird, alle Folgenglieder a(m) mit m > n sind größer und werden mit größer werdendem m noch größer, kommen also nicht in Frage. Vollkommen egal, was dieser Grenzwert nun eigentlich ist und ob er überhaupt definiert ist, eine natürliche Zahl ist er sicher nicht.

     Ich hoffe (vermutlich vergebens), dir wird klar, dass ein Grenzwert Eigenschaften haben kann, die kein einziges Glied der Folge hat und dass der Grenzwert nicht Teil der Folge sein muss.

162. #162 JaJoHa

     7. Oktober 2013

     @Realistischer
     Einige Beispiele:
     Die Funktion im Intervall [0,1]. Alle Funktionen sind stetig für endliches n, aber im Grenzfall wird das unstetig und zu einer Sprungfunktion.

     Die Folgenglieder von $a_n=\sum\limits^n_{i=1} i$ ist für jedes n endlich, aber im Grenzwert divergiert das

     In beiden Fällen macht die Funktion im Grenzwert etwas “komisches”

     @GodBoss
     Du meinst doch so Folgen wie die zwei weiter oben?

163. #163 Hans

     8. Oktober 2013

     Hm…
     

164. #164 Hans

     8. Oktober 2013

     Ah ja.

165. #165 PDP10

     8. Oktober 2013

     @Hans:

     “Ah ja”

     Tja. Das zählt aber für Freund Realistischer nicht, wie Alderamin schon sagte:

     ” weil wir komische Sätze von fremden Leuten benutzen.”

166. #166 Realistischer

     8. Oktober 2013

     @PDP10
     Das nennt man dann am Ende eine unendlich große Menge — nur dass das “i” dabei NICHT unendlich werden darf weil sonst wären ja auch die natürlichen Zahlen unendlich groß und das muss auf jeden Fall vermieden werden, auch wenn man dazu jede Logik über Bord werfen muss. Es darf einfach nicht dieses Ergebnis heraus kommen, sonst ist der Beweis falsch!
     @GodsBoss
     Hatte ich schon mal’ erwähnt dass es inkonsequenz wäre, und unlogisch (also falsch) wenn man den Grenzwertübergang zur Unendlichkeit nur für die Mächtigkeit der Menge macht, aber nicht für die Größe der Elemente? Es ist ja, bei der vorhin gegebenen Konstruktion |m|=i+1, und wenn also |m| unendlich werden soll aber i+1 nicht, nun ja, … dann liegt wohl so ein “komisches” Verhalten vor, dass lim(i->unendl.)(i) NICHT unendlich ist sondern endlich, stimmt’s?
     Ich meine, es liegt bei euch eindeutig der Fall vor dass das gewünschte Ergebnis darüber entscheidet ob die Beweisführung richtig oder falsch ist. Und immer wenn heraus kommt dass die natürlichen Zahlen unendlich groß wären, dann sagt das Dogma dass der Beweis falsch sein muss.

167. #167 JaJoHa

     8. Oktober 2013

     @Realistischer

     Es darf einfach nicht dieses Ergebnis heraus kommen, sonst ist der Beweis falsch!

     Das liest sich wie “Mir gefällt das Ergebnis nicht, also muss es falsch sein”. Das ist ein ganz schlechtes Argument.
     Du könntest vieleicht ein Konstrukt mit veränderten Eigenschaften bauen, vieleicht würde dir ein Ring besser gefallen. Da könnte ich ein Element nennen und müsste dann mit leben (und den anderen Merkwürdigkeiten von Ringen, z.B. das sie nicht Nullteilerfrei sind), wie man sowas genau konstruieren würde kann dir ein Mathematiker genauer erklären. Ob dir das gefällt bezweifle ich.

     Ich meine, es liegt bei euch eindeutig der Fall vor dass das gewünschte Ergebnis darüber entscheidet ob die Beweisführung richtig oder falsch ist.

     Die Beweisführung ist richtig, wenn die Axiome und schon bewiesenen Sätze korrekt genutzt wurden und man die Behauptung im direkten Beweis, Wiederspruchsbeweis oder mit vollständiger Induktion zeigen kann. Du zweifelst dagegen Ergebnisse an, weil sie dir nicht gefallen oder weil du den Beweis nicht nachvollziehen kannst.
     Dein Beispiel zeigt divergentes Verhalten, ist streng monoton steigend und läuft gegen . Die Frage nach dem Zahlenwert von macht in dem Fall keinen wirklichen Sinn. Bei divergenten Folgen kannst du den nicht angeben, sondern nur wohin die laufen. Jede obere Schranke wird überschritten.
     Würdest du etwas monotones und beschränktes nehmen, dann sieht die Sache ganz anders aus. Für ist das einfach der Grenzwert 0 und für könnte man einen Wert für angeben (das kann man auch zeigen, z.B. mit der Umformung , in Zähler und Nenner laufen alle vom n mit negativen Exponenten gegen 0).

     Lies doch einfach mal eine Einführung in die Mathematik.

168. #168 Florence

     8. Oktober 2013

     “Hatte ich schon mal’ erwähnt dass es inkonsequenz wäre, und unlogisch (also falsch) wenn man den Grenzwertübergang zur Unendlichkeit nur für die Mächtigkeit der Menge macht, aber nicht für die Größe der Elemente?”

     Das ist wieder ein Fall (wie schon weiter oben angesprochen), dass der Grenzwert einer Folge nicht Element der Folge sein muss und auch nicht dieselben Eigenschaften haben muss. lim i für i->\infty ist zwar unendlich, dies sagt aber nichts darüber aus, dass es irgendein i gibt, welches unendlich groß ist.

169. #169 Realistischer

     8. Oktober 2013

     @JaJoHa
     Ringe, das sind doch diese Dinge mit einer definierten obersten Grenze, ab der es wieder von vorne beginnt, nicht? Also exakt nicht die nach oben hin offen definierten natürlichen Zahlen. Was genau wills’t eigentlich mit den Ringen sagen, dass Du nicht weist worum es geht? Lies doch einfach mal eine Einführung in die Mathematik.
     @Florence
     So so, das ist also keine Aussage? Aber dass die Elemente in m ganz sicher nicht unendlich groß werden, wenn man die Mengenkonstruktion in’s Unendliche fort setzt, ist schon eine… Warum denn? Ich weis schon, es geht darum, das vom Lehrer erwartete Ergebnis herauszubekommen.

170. #170 Florence

     8. Oktober 2013

     Die Elemente der Menge der natürlichen Zahlen sind alle endlich, was sich aus der vollständigen Induktion ergibt, die hier schon öfter vorgestellt wurde.
     Wenn ich eine endliche natürliche Zahl habe, ist deren Nachfolger auch endlich, denn etwas endliches plus 1 ist nicht unendlich. Da es eine endliche natürliche Zahl gibt, bei der ich starten kann (die 1) sind alle natürlichen Zahlen endlich, da ich sie über Nachfolger aus dem Startpunkt konstruieren kann.

     Vielleicht wird die Vorstellung, dass der Grenzwert und die Folgenglieder nicht die gleichen Eigenschaften haben müssen, einfacher mit der Folge 1/n. Der Grenzwert für n->\infty ist Null, aber kein Element der Folge ist Null.

171. #171 StefanL

     8. Oktober 2013

     @Realistischer

     nehmen wir die Menge m={0,1,…,i}, […und…] Es ist ja, bei der vorhin gegebenen Konstruktion |m|=i+1 […]

     Wenn Du schon diese Menge(n) mit Induktion in Verbindung bringst, dann doch bitte konsequent:
     Vorab: Für
     Ind. Schritt:
     
     
     …und jetzt natürlich die Frage: Was könnte denn da jetzt nicht stimmen?

     Ansonsten steht es Dir selbstverständlich frei den Ultrafinitismus ( e.g. https://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimPDF/real.pdf ) und seine Konsequenzen zu vertreten. Erklär dann aber bitte mal wie mit tatsächlich was brauchbares( = wohldefiniertes) rauskommt( h ist zumindest quasi-freier Parameter und die Existenz eines Quotientenkörpers(/Divisionsringes)(→ Fundamentalsatz der Algebra)?)?
     Auch das wahr ist (und auch weitere Näherungen) aber nicht zulässig ist, hilft wenig bei Fragen die durch die Glockenkurve tangiert werden.

     Wie bringst Du Deine Bemerkung zu Ringen z.Bsp. damit in Einklang?

172. #172 StefanL

     8. Oktober 2013

     Da wurde was verschluckt:
     …dann doch bitte konsequent:
     Vorab: Für
     Beh.:
     Ind.Anf.:
     Ind.Hyp.: ( n > 0 )
     Ind. Schritt: …

173. #173 GodsBoss

     Hannover

     8. Oktober 2013

     Hatte ich schon mal’ erwähnt dass es inkonsequenz wäre, und unlogisch (also falsch) wenn man den Grenzwertübergang zur Unendlichkeit nur für die Mächtigkeit der Menge macht, aber nicht für die Größe der Elemente? Es ist ja, bei der vorhin gegebenen Konstruktion |m|=i+1, und wenn also |m| unendlich werden soll aber i+1 nicht, nun ja, … dann liegt wohl so ein “komisches” Verhalten vor, dass lim(i->unendl.)(i) NICHT unendlich ist sondern endlich, stimmt’s?

     Du hast meinen letzten Beitrag offensichtlich nicht verstanden. Mal schauen, ob du es so verstehst (der passenderen Zuordnung von natürlicher Zahl zu Mächtigkeit wegen ist die 0 nicht in den Mengen enthalten):
     Die Mengen {}, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, …, sind alle endlich (Folge A).
     Deren Mächtigkeiten |{}| = 0, |{1}| = 1, {{1, 2}| = 2, |{1, 2, 3}| = 3, …, die den natürlichen Zahlen entsprechen, sind ebenso alle endlich (Folge B).
     Der Grenzwert der Folge A ist die Menge der natürlichen Zahlen, ist nicht endlich und nicht in der Folge enthalten.
     Der Grenzwert der Folge B ist unendlich*, damit ebenso nicht endlich und nicht in der Folge enthalten.

     Und jetzt erkläre du mir, warum wir diejenigen sein sollen, die hier die beiden Folgen nicht analog zueinander betrachten?

     * Bei traditioneller Grenzwertbetrachtung eigentlich undefiniert (Folge ist divergent), aber den Grenzwert einer streng monoton wachsenden Folge ohne obere Schranke als „unendlich“ anzunehmen, ist brauchbar.

     Ich meine, es liegt bei euch eindeutig der Fall vor dass das gewünschte Ergebnis darüber entscheidet ob die Beweisführung richtig oder falsch ist. Und immer wenn heraus kommt dass die natürlichen Zahlen unendlich groß wären, dann sagt das Dogma dass der Beweis falsch sein muss.

     Dir wurde mehrfach von verschiedenen Leuten mit Hilfe von Verweisen erklärt, dass und warum du falsch liegst. Du willst oder kannst das nicht akzeptieren. Du bist derjenige, der hier dogmatisch ist, niemand sonst.

174. #174 JaJoHa

     8. Oktober 2013

     @Realistischer
     Die Ringe waren ein Beispiel für ein Objekt, bei dem du eben nicht mit +1 immer größer werden kannst.
     Ich hatte die Hoffnung, das Beispiele und Gegenbeispiele weiterhelfen. Erklärt worden ist das ja schon mehrfach.
     Könntest auch da mal schauen https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlich#Analysis
     Allerdings ist dein Problem nach meiner Meinung, das dir die Ergebnisse einfach nur “nicht gefallen”.

175. #175 PDP10

     8. Oktober 2013

     @Florence:

     “Die Elemente der Menge der natürlichen Zahlen sind alle endlich, was sich aus der vollständigen Induktion ergibt, die hier schon öfter vorgestellt wurde.”

     Ach je, das habe ich Ihm jetzt schon zweimal erklärt.
     Darauf eingegangen ist er nicht.

     @Realistischer:

     Nochmal:

     Gäbe es ein unendlich grosses Element der Menge der natürlichen Zahlen, sagen wir n.

     Was ist dann n+1?

     Könntest du einfach mal die Frage beantworten?

176. #176 Realistischer

     9. Oktober 2013

     @Florence
     Ich hab’ einige Postings zuvor die Induktion auf die Mächtigkeit der Menge angewendet – die ist dann auch unendlich endlich.
     @StefanL
     Also den in #127 versteckten Fehler hab ich schnell gefunden, steht ja schon bei “Vorab”. Weiter hab’ ich dann nicht mehr gelesen.
     @GodsBoss
     Diese Folge mit den Mengen {0}, {0,1} usw., in der sind alle Elemente in allen Teilen der Folge endlich (wenn die Induktion einen Grenzwertübergang nicht beinhaltet, d.h. den muss man dann separat behandeln).
     Weil aber die Menge der natürlichen Zahlen nicht Teil der Folge ist, kann man nicht aus der Endlichkeit aller Elemente in allen Teilen der Folge schliessen, dass auch in der Menge der natürlichen Zahlen alle Elemente endlich sind.
     Wenn Sie beweisen wollten, dass in den natürlichen Zahlen alle Elemente endlich sind – tut mir leid, es ist wieder nicht gelungen…
     @PDP10
     Wieso fragen Sie das, haben Sie etwa ausgerechnet für die Rechenregeln mit Unendlich keinen Link parat? Einen Moment, ich helf’ Ihnen: https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlich#Analysis
     @JaJoHa
     Den Link hätten’s nicht nur posten, sondern auch den dortigen Inhalt lesen sollen. Übrigens ist da noch eine Unterscheidungsmöglichkeit versteckt, zwischen “nicht mit +1 immer größer werden” und “am End wieder von vorne beginnen”. Letzteres ist eigentlich das, was einen Ring ausmacht, naiv (= frei von irrwitzigen Sprachverdrehungen) gesehen. Bei unendlich+1=unendlich wird’s aber immerhin nicht mehr größer.

177. #177 Adent

     9. Oktober 2013

     Realistischer = Troll
     PLONK!

178. #178 volki

     9. Oktober 2013

     Weil aber die Menge der natürlichen Zahlen nicht Teil der Folge ist, kann man nicht aus der Endlichkeit aller Elemente in allen Teilen der Folge schliessen, dass auch in der Menge der natürlichen Zahlen alle Elemente endlich sind.

     Und wieder einmal wird das 5. Peano-Axiom ignoriert (das mit der Induktion und so). Deine Argumentation wäre ja auch nicht falsch, wenn man die natürlichen Zahlen nur mit den ersten 4 Peano-Axiomen definieren würde. Aber ob es dir passt oder nicht, definiert sind die natürlichen Zahlen durch alle 5 Peano-Axiome.

179. #179 StefanL

     9. Oktober 2013

     @Realtroll

     Also den in #127 versteckten Fehler hab ich schnell gefunden, steht ja schon bei “Vorab”.

     Der Zahlendreher sei Dir nachgesehen – aber welchen Fehler hast Du schon bei “Vorab:..” gefunden?

180. #180 Florence

     9. Oktober 2013

     *seufz*
     Ich glaube, bei Realistischer kommt nach der Zahl “ganz viel” die Zahl “unendlich”. Also ist “unendlich”-1 wieder “ganz viel”
     😉
     “Unendlich” ist keine natürliche Zahl!

181. #181 Realistischer

     9. Oktober 2013

     @StefanL
     Stimmt, da hab’ ich mich verschaut. Kein Fehler. Aber was soll |N|=1?
     @volki
     Das 5. Axiom sagt dass eine Menge, welche die natürlichen Zahlen enthält und dazu noch beliebiges anderes enthalten kann, die natürlichen Zahlen als Teilmenge hat. Schön, einfach, gut, trivial, und irrelevant für unsere Diskussion.
     @Florence
     Lesen Sie bitte was @GodsBoss geschrieben hat zum Thema Folgenbildung und Grenzwertübergang. Das Ergebnis des Grenzwertübergangs – und die Menge der natürlichen Zahlen ist sowas – liegt ausserhalb der Folgenbildung.

     Das bedeutet dass die Induktion, wenn man die so interpretiert dass sie auf die Folgenbildung angewendet wird, mit der Unendlichkeitseigenschaft nichts zu tun hat. Gilt übrigens auch für den Peano, der definiert die natürlichen Zahlen auch über den Nachfolger. Und, wie ich schon mal sagte, auf der Induktionsbasis lässt sich beweisen dass die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen (wenn diese ohne Grenzwertübergang definiert wird) endlich ist.

     Zusammenfassung eures Kasperltheaters: euch genügt anscheinend das Herumwerfen mit angelernten Wissensbruchstücken, aber die verlinkten Inhalte auch zu integrieren (und damit meine ich nicht die Integralrechnung), soweit seid ihr noch nie gekommen; schon gar nicht irgendwas kritisch zu hinterfragen (als gutgläubiges Schaf trinkt man aus den heiligen Quellen ohne jeden Argwohn oder Vorbehalt, nicht wahr?).

182. #182 volki

     9. Oktober 2013

     Das 5. Axiom sagt dass eine Menge, welche die natürlichen Zahlen enthält und dazu noch beliebiges anderes enthalten kann, die natürlichen Zahlen als Teilmenge hat.

     Ähh Nein! Es sagt:

     Enthält X die 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger n’, so bilden die natürlichen Zahlen eine Teilmenge von X.

     Danke, dass du so schön zeigst, dass du absolut keine Ahnung von Induktion hast. Damit erübrigt sich wohl jede weitere Diskussion mit dir.

183. #183 Florence

     9. Oktober 2013

     Das Ergebnis des Grenzwertübergangs – und die Menge der natürlichen Zahlen ist sowas – liegt ausserhalb der Folgenbildung.

     Das Ergebnis des Grenzwertübergangs liegt außerhalb der Folgenbildung. Na sowas.
     Das hab ich doch gar nicht bestritten. Um mich mal selbst zu zitieren:

     Das ist wieder ein Fall (wie schon weiter oben angesprochen), dass der Grenzwert einer Folge nicht Element der Folge sein muss und auch nicht dieselben Eigenschaften haben muss.

     Dass die Menge der natürlichen Zahlen das Ergebnis des Grenzwertübergangs ist, würde ich jetzt bezweifeln. Um die Menge aller Folgenglieder der Folge 1/n zu konstruieren, brauche ich auch keinen Grenzwert. Der Grenzwert ist ja eben in der Menge nicht enthalten.

     Zur Sache mit dem fünften Peano-Axiom… volkis Aussage ist wenig hinzuzufügen.

184. #184 StefanL

     9. Oktober 2013

     @Realistischer
     “Beh.” steht für “Behauptung”. Also erstmal ist da dann nur eine Aussage deren Korrektheit zu zeigen ist. Wenn dies gelingt ist sie “wahr”. Insofern ist es da gar nicht möglich einen “Fehler zu verstecken” – von einer “falschen” Behauptung läßt sich (korrekterweise) nicht zeigen, daß sie “wahr” ist.

185. #185 Realistischer

     9. Oktober 2013

     @volki
     Sie verstehen unter “verstehen” offenbar die Fähigkeit etwas wortwörtlich wiederholen zu können. Ich nenne das kopieren, verstehen ist bei mir was anderes. Aber jetzt kann ich Sie besser einschätzen.
     @Florence
     Ich wiederhole mich zwar, aber egal: wenn man die natürlichen Zahlen nicht als Ergebnis eines Grenzwertübergangs definiert sondern als die Aufsammlung von Gliedern einer Folge, dann ist diese Menge per Induktionsbeweis genauso endlich wie die Glieder der Folge endlich sind. Und lesen Sie auch das, was ich volki sagte, auch wenn es eher nichts helfen wird.
     @StefanL
     Was hatten Sie dann mit #172 beabsichtigt? Schon wieder vergessen? Zum Glück kann man’s nachlesen…

186. #186 PDP10

     9. Oktober 2013

     @Realistischer:

     “@PDP10
     Wieso fragen Sie das, haben Sie etwa ausgerechnet für die Rechenregeln mit Unendlich keinen Link parat?”

     Eine Antwort auf meine Frage hätte mich jetzt mehr beeindruckt, als ein Link, den schon jemand anders hier gepostet hatte.

     Zur Erinnerung:

     Sei n Element der natürlichen Zahlen und unendlich gross:

     Was ist dann n+1?

187. #187 PDP10

     9. Oktober 2013

     @Florence:

     “*seufz*
     Ich glaube, bei Realistischer kommt nach der Zahl “ganz viel” die Zahl “unendlich”. Also ist “unendlich”-1 wieder “ganz viel””

     Ich kann aber viiiiel weiter zählen als ganz Fiel!
     Ich kann eine Fantastilliardemilliardebillionenbilliardemillionenmal weiter zählen als ganz Fiel!

     Dä!

188. #188 PDP10

     9. Oktober 2013

     Und Fiiieeel weiter zählen als @Realistischer kann ich schon lang!!!!

189. #189 JaJoHa

     9. Oktober 2013

     @PDP10
     Eigentlich zählt man doch so:
     Ein, zwei, drei, viele, vieleeins, vielezwei, vieledrei, vieleviele, vielevieleeins, vielevielezwei, vielevieledrei, vielevieleviele, vielevielevieleeins, vielevielevielezwei, vielevielevieledrei, EINE MENGE, EINE MENGE eins… 😉

190. #190 StefanL

     9. Oktober 2013

     Ach @Realtroll, wenn schon Endlichkeit der natürlichen Zahlen dann ist doch eine der leichtesten Übungen.
     Oder was hast Du an der Beweisführung nicht verstanden oder als falsch erkannt?
     Alternativ bleibt natürlich einfach multiple PLONKs zu sammeln.
     1, 2, viele, mehr, noch mehr, viele viele, ganz viele…

191. #191 GodsBoss

     Hannover

     9. Oktober 2013

     @Realistischer:

     Weil aber die Menge der natürlichen Zahlen nicht Teil der Folge ist, kann man nicht aus der Endlichkeit aller Elemente in allen Teilen der Folge schliessen, dass auch in der Menge der natürlichen Zahlen alle Elemente endlich sind.
     Wenn Sie beweisen wollten, dass in den natürlichen Zahlen alle Elemente endlich sind – tut mir leid, es ist wieder nicht gelungen…

     Es gab hier schon einige korrekte Beweise dafür, einen weiteren hättest du nur ebenso fälschlicherweise abgelehnt, begründet durch deine abstrusen, unverrückbaren Vorstellungen. Offensichtlich bist du nicht einmal in der Lage, die Intention eines Beitrags zu erkennen, wenn sie als Frage formuliert, direkt vorliegt. Den Teil hast du komplett ignoriert. Ich zitiere mich einfach selbst:

     Und jetzt erkläre du mir, warum wir diejenigen sein sollen, die hier die beiden Folgen nicht analog zueinander betrachten?

     Das war der essentielle Teil. Hast du darauf eine Antwort?

     Lesen Sie bitte was @GodsBoss geschrieben hat zum Thema Folgenbildung und Grenzwertübergang. Das Ergebnis des Grenzwertübergangs – und die Menge der natürlichen Zahlen ist sowas – liegt ausserhalb der Folgenbildung.

     Ich schrieb, man kann die natürlichen Zahlen als Grenzwert der Mengen-Folge {}, {0}, {0, 1}, … erhalten. Definiert sind die natürlichen Zahlen über die Peano-Axiome und die Menge der natürlichen Zahlen ist einfach die zugehörige Menge, sprich, die Menge, die alle natürlichen Zahlen enthält. Da wird kein Grenzwert gebildet.

     Das bedeutet dass die Induktion, wenn man die so interpretiert dass sie auf die Folgenbildung angewendet wird, mit der Unendlichkeitseigenschaft nichts zu tun hat.

     Nur in dem Sinne, dass die vollständige Induktion eine Aussage über alle Folgeglieder macht, aber nicht über einen möglichen Grenzwert. Das ist auch konsistent mit dem, was hier alle außer dir sagen: Die Folgeglieder, also die natürlichen Zahlen selbst, sind alle endlich, aber der Grenzwert, der genau der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen entspricht, ist es nicht.

     Und, wie ich schon mal sagte, auf der Induktionsbasis lässt sich beweisen dass die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen (wenn diese ohne Grenzwertübergang definiert wird) endlich ist.

     Die Menge der natürlichen Zahlen ist bereits definiert, es ist die Menge, die die natürlichen Zahlen enthält, die wiederum über die Peano-Axiome definiert sind. Sicherlich sind auch andere Definitionen denkbar, aber diese müssen dann schon äquivalent sein, sprich, auch tatsächlich die gleiche Menge definieren.

     Insbesondere solltest du von dem ominösen „Grenzwertübergang“ wegkommen oder definieren, was du darunter verstehst.

     Ich wiederhole mich zwar, aber egal: wenn man die natürlichen Zahlen nicht als Ergebnis eines Grenzwertübergangs definiert sondern als die Aufsammlung von Gliedern einer Folge, dann ist diese Menge per Induktionsbeweis genauso endlich wie die Glieder der Folge endlich sind. Und lesen Sie auch das, was ich volki sagte, auch wenn es eher nichts helfen wird.

     Ja, du wiederholst dich, was deswegen so schlimm ist, weil das, was du wiederholst, schlicht und ergreifend falsch ist, wie dir schon mehrfach aufgezeigt wurde. Leider bist du offensichtlich nicht in der Lage, diesen Fehler zu sehen. Ob du es nur nicht kannst oder nicht willst, kann dabei eigentlich schnurz sein.

     Die Menge der natürlichen Zahlen ist nicht endlich, alle natürlichen Zahlen sind es sehr wohl. Daran wird sich auch nichts ändern, wenn du wieder und wieder wütend mit dem Fuß stampfst und dein dogmatisch verteidigtes falsches Verständnis von Unendlichkeiten, Induktion, Folgen und vermutlich allem anderen ein ums andere Mal verdeutlichst. Hier nimmt dich niemand mehr ernst und ich kann es verstehen.

192. #192 PDP10

     9. Oktober 2013

     “vielevieleviele, vielevielevieleeins, vielevielevielezwei, vielevielevieledrei, EINE MENGE, EINE MENGE eins…”

     … ganz doll Fiele mehr als eine Menge, ganz ganz doll Fiele Fielmehr, ganz Fielefiele mehr als Fiele, tausendmalmillionenmal Fiele mehr als EINE MENGE!

     Siehste! Ich kann auch ganz fiel weiter zählen als du!

     Nur Realistischer kann nich weit zählen.
     Ganz fiele von EINE MENGE ist für den schon das gleiche wie mehr als ALLES!

     Der kann ja nichtmal bis ALLES+1 zählen!

     Ätschbätsch! Realistischer kannnichweitzääählen zääählen zääählen!

193. #193 PDP10

     9. Oktober 2013

     Tschuldigung.

     Es überkam mich gerade für einen Moment.

     Was auch immer.

     Schon wieder vorbei.

194. #194 Blaubaer

     9. Oktober 2013

     immer zweimal mehr wie du… 🙂

195. #195 JaJoHa

     9. Oktober 2013

     @PDP10

     Es überkam mich gerade für einen Moment.

     Hoffentlich ist das wieder vorbei, ich mache mir grade Sorgen. So viele Ausrufezeichen und Buchstabenvervielfachungen. Ein ! mehr und die Annahme mit der Unterhose gilt.
     Aber kennst du die Art zu zählen nicht? So zählen die Scheibenwelttrolle 😉

196. #196 PDP10

     10. Oktober 2013

     “So zählen die Scheibenwelttrolle”

     Oh ja, stimmt! 🙂

     Na, die können jedenfalls besser (und weiter!) zählen als Realistischer …

197. #197 Realistischer

     10. Oktober 2013

     Jö, die Kindergartenkinder müssen sich nicht mehr verstellen und dürfen endlich frei sprechen. Wie lieb.

198. #198 JaJoHa

     10. Oktober 2013

     @Realistischer
     Lies mal #191. Dem ist eigentlich nichts mehr hinzuzufügen.

199. #199 Realistischer

     10. Oktober 2013

     @GodsBoss, JaHoHa
     In #191 werden eure Widersprüche gut auf den Punkt gebracht: einerseits die Definition der natürlichen Zahlen über Folgenbildung, andererseits über Grenzwertbildung, und dazu noch die Behauptung dass man beides kann, aber gleichzeitig auch, dass beides nicht gleichzusetzen ist…

     Der Kindergarten kennt sich mit sowas allerdings nicht aus, deshalb macht er sich über das lustig was von einem Aussenseiter kommt, und nicht über das was objektiv widersprüchlich gewesen wäre. Weil, was ein Aussenseiter ist, wissen die kleinen Kinder auch schon – aber was ein logischer Widerspruch ist, nun ja, das wissen zumindest im Kindergarten nur die Aussenseiter.

200. #200 JaJoHa

     10. Oktober 2013

     @Realistischer
     Wo ist das Problem, wenn etwas auf verschiedene Arten konstruiert werden kann? Sobald man zeigen kann, das es sich um das gleiche Objekt handelt ist alles bestens und kein Wiederspruch vorhanden. Schönes Beispiel ist , die Gleichheit kann man beweisen.

     Die natürlichen Zahlen sind nun mal so definiert
     und haben alle Eigenschaften, die man braucht und haben will. Wenn du sie anders definieren willst ist das durchaus möglich, solange die Eigenschaften gleich bleiben. Tun sie das nicht sind es nicht die natürlichen Zahlen.

     Jetzt beschreib ganz präzise, wo das Problem liegen soll. Nenn ein Beispiel, wo man den Wiederspruch klar erkennen kann. Und bedenke folgendes: Die Mathematik baut auf diesen Grundlagen wie vollständige Induktion auf und funktioniert.

201. #201 PDP10

     10. Oktober 2013

     @Realistischer:

     “Der Kindergarten kennt sich mit sowas allerdings nicht aus, deshalb macht er sich über das lustig was von einem Aussenseiter kommt,”

     Ich mache mich über gar nichts lustig.
     Ich versuche nur so zu reden, dass auch du das Verstehst.

     Du bist immer noch nicht auf meine Frage eingegangen (ich zitiere mich jetzt zum wiederholten Male selbst):

     Sei n Element der natürlichen Zahlen und unendlich gross:

     Was ist dann n+1?

202. #202 PDP10

     10. Oktober 2013

     @Realistischer:

     Du kannst die Frage nicht sinnvoll beantworten, oder?

     Das ist dir, glaube ich, inzwischen wohl selbst klar geworden.
     Deshalb eierst du hier nur noch rum, richitg?

203. #203 GodsBoss

     Hannover

     10. Oktober 2013

     @Realistischer:
     Dass du inzwischen auf konkrete Aussagen vollkommen verzichtest und dich stattdessen in Allgemeinplätzen ergehst, insbesondere auf Erläuterungen und Fragen keine Antwort weißt, akzeptiere ich gerne als deine Form des Eingeständnisses, dass du schlicht im Unrecht bist, aber dies, egal ob nun aufgrund einer Persönlichkeitsstörung, Scham oder anderen Gründen, nicht zugeben willst bzw. kannst.

204. #204 Hans

     10. Oktober 2013

     Sei n Element der natürlichen Zahlen und unendlich gross:

     Was ist dann n+1?

     

205. #205 JaJoHa

     11. Oktober 2013

     @PDP10
     Die Antwort lautet vermutlich 😉
     Zumindest, wenn ich da mit Folgen dran gehe, keinen Fehler gemacht habe und unbeschränkt, monoton steigend wähle (n,n², n³ oder so) sowie (könnte auch eine nicht konstante, konvergente Folge nehmen).
     Im GW müsste das passen und das Problem tritt nicht auf 😀

206. #206 PDP10

     11. Oktober 2013

     @Hans, JaJoHa:

     Haha …

     Ihr könnt aber schön LaTex können …

     Und was ist dann Unendlich +1 +1 ? 😉

207. #207 PDP10

     11. Oktober 2013

     Und wenn jetzt einer sagt, Unendlich + 2 lass ich ihn nachsitzen!

     Und zwar vier Wochen lang!

208. #208 Hans

     11. Oktober 2013

     #206 PDP10

     @Hans, JaJoHa:

     Ihr könnt aber schön LaTex können …

     Soso. Ich bin da mir ja nicht so sicher. 😉
     Ich denke eher, das kann JaJoHa besser als ich, und Ihr beide könnt besser Mathe als ich… 🙁 – Obwohl ich bei diesem Ausdruck: ja noch durchblicke.

209. #209 Thanus

     11. Oktober 2013

     Unendlich + was auch immer = unendlich.

     Das ist vergleichbar mit 0 mal egal wie viel = 0. 😉

210. #210 Realistischer

     11. Oktober 2013

     @PDP10
     https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlich#Analysis

     Ich hatte das schon in #176 beantwortet. Sie haben’s nichtmal’ bemerkt, oder schon wieder vergessen, oder was geht eigentlich in Ihrem Kopf so vor? Etwa garnichts?

211. #211 Alderamin

     11. Oktober 2013

     @Thanus

     Nach de l’Hôpital kann 0 mal ∞ auch schon mal 1 (oder was anderes) ergeben. sin(x)/x ist z.B. für x->0 durch 1 stetig fortsetzbar, weil d(sin(x)/x)/dx = 1. Leider kann ich kein Latex können tuen. 🙁

212. #212 Alderamin

     11. Oktober 2013

     @myself

     Quatsch, die Regel war: f(x)/g(x) stetig fortsetzbar durch f'(x)/g'(x).

213. #213 StefanL

     11. Oktober 2013

     Das ist vergleichbar mit 0 mal egal wie viel = 0.
     Na ja, hängt schon davon ab wie viel “viel” ist:
     

214. #214 Timo Reitz

     Hannover

     11. Oktober 2013

     @Realistischer:

     Ich hatte das schon in #176 beantwortet. Sie haben’s nichtmal’ bemerkt, oder schon wieder vergessen, oder was geht eigentlich in Ihrem Kopf so vor? Etwa garnichts?

     Dummerweise hast du zwar dort gelesen, aber offenbar nicht verstanden, was dort steht. Denn die Frage danach, was n+1 ergibt, wenn n unendlich ist und eine natürliche Zahl sein soll, wird dort keineswegs beantwortet. Zitat von dort:

     So bedeutet die Rechenregel a + \infty = \infty nur Folgendes:
     „Sind (a_n) und (b_n) zwei Folgen reeller Zahlen, so dass (a_n) gegen a konvergiert und (b_n) über alle Grenzen wächst, dann gilt für die Folge (a_n + b_n), dass sie über alle Grenzen wächst.“

     Ebenso steht dort:

     Wäre dagegen „\infty“ eine reelle Zahl, so würde aus der oben genannten Rechenregel eine Gleichung, bei der man „\infty“ auf beiden Seiten subtrahieren könnte, was a = 0 ergibt, also keineswegs für jede reelle Zahl a richtig ist.

     Die natürlichen Zahlen sind nur eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wenn Unendlich schon keine reelle Zahl ist, kann Unendlich erst recht keine natürliche Zahl sein.

215. #215 volki

     11. Oktober 2013

     @Hans, JaJoHa, PDP10:

     Wenn man mit Ordinalzahlen (die englische Wikipedia erklärt das viel besser als die deutsche) rechnet und das Standardmodell der Peano-Axiome darstellt (also die gewöhnlichen natürlichen Zahlen) dann ist aber ziemlich verrückt aber das ist die Mengenlehre sowieso 😉

     Bitte nicht bei Grenzwerten mit rechnen diese Ausdrücke sind alle nicht definiert und damit rechnen macht keinen Sinn. Denn wenn ich die richtigen Folgen wähle bekomme ich für alles mögliche heraus. Aber der Ausdruck heißt nur dass die Folge nach oben unbeschränkt ist. Der Grenzwert existiert aber nicht.

216. #216 volki

     11. Oktober 2013

     Letzter Satz sollte lauten:

     Der Ausdruck heißt nur, dass die Folge nach oben unbeschränkt ist. Der Grenzwert existiert aber nicht.

217. #217 StefanL

     11. Oktober 2013

     Sei n Element der natürlichen Zahlen und unendlich gross: Was ist dann n+1?

     ähh – nein 42 .. ähh , nein: Blau….
     das hat nun mal so an sich…

218. #218 Alderamin

     11. Oktober 2013

     @StefanL

     Ich frag’ mich auch, was bei @Realistischers “Grenzwertübergang zu unendlich” (#131) passiert, wenn die Zahl n unendlich würde, aber die Zifferndarstellung der deutlich geringeren Länge int (log(n))+1 noch endlich wäre. Dann hätte man also eine schon unendlich große Zahl mit endlicher Länge (denn alle Zahlen kleiner n wären ja endlich).

     Interessant auch, dass die Länge bei einer Darstellung im Binärsystem schon viel früher unendlich würde als im Zehnersystem, da sie rund 3,3 mal so lang ist…

     Wie heißt es immer so schön: “der Delinquent verwickelte sich in Widersprüche”.

219. #219 PDP10

     11. Oktober 2013

     @Ralistischer:

     “Ich hatte das schon in #176 beantwortet. “

     Nein, du hast einen Link gepostet dessen Inhalt du nicht verstanden hast.

     Also, kriege ich jetzt eine Antwort oder nicht?

220. #220 PDP10

     12. Oktober 2013

     @Realistischer:

     Oder lass mich die Frage meinetwegen anders formulieren:

     Zeige:
     für das gilt

221. #221 Realistischer

     12. Oktober 2013

     @PDP10
     Die natürlichen Zahlen sind ja auch als Folge definiert – nicht die einzelnen Zahlen sind als Folge definiert (das wäre bei den reellen Zahlen so), aber die Menge der natürlichen Zahlen ist als Folge definiert, denn die Nachfolge-Funktion vom Peano bildet eine linear wachsende Folge.

     Diese Folge hat keine oberste Schranke, oder anders gesagt, jede beliebig große Schranke die man annimmt kann überschritten werden. Die Folge geht also gegen unendlich – in der Große der Elemente, aber ebenso der Länge der Folge.

     D.h. es gibt in dieser Folge Zahlen welche unendlich weit vom Startpunkt, der Null, entfernt sind. Wenn die Entfernung eines Elements der Folge von der Null unendlich ist, dann ist dieses Element aufgrund des linearen Wachstums auch unendlich groß.

     Übrigens gibt es von den unendlich großen Elementen in der Folge auch wieder beliegig viele. Unendlichkeit ist eben keine Zahl, sondern eine Eigenschaft — welche, wie ich meine, auch natürliche Zahlen aufweisen können.

222. #222 StefanL

     12. Oktober 2013

     @Alderamin
     … noch weiter getrieben mit bspw. einer Stellenwert-Darstellung zur Basis wäre dann plötzlich die Darstellung einer endlichen Zahl nicht mehr endlich …

223. #223 StefanL

     12. Oktober 2013

     @Realistischer
     Wie denn nun: Gibt es eine größte endliche natürliche Zahl (siehe Ind.Bew. #172/171 und Deine Bemerkung in #181) oder mehrere unendlich große natürliche Zahlen, die sich dann wie unterscheiden sollen?

224. #224 sebi

     12. Oktober 2013

     In den Peano-Axiomen ist überhaupt nicht von der “Größe” einer Zahl die Rede. Es ist auch noch keine Ordnungsrelation definiert. Es gibt einfach nur zu jeder Zahl einen Nachfolger, und dieser Nachfolger ist immer eine Zahl, die ungleich einer ihrer Vorgänger ist. Die Zahlen haben keine Größe, sie existieren einfach. Damit kann die Größe einer Zahl auch nicht unendlich sein.

     Zu deinem letzten Posting: nein, die natürlichen Zahlen sind erst einmal keine Folge. Erst nachdem du die natürlichen Zahlen definiert hast, kannst du eine Folge überhaupt definieren, denn eine Folge ist eine Funktion, die jeder natürlichen Zahl etwas zuordnet.

     Du solltest mal deine Definitionen bisschen in Ordnung bringen.

225. #225 Realistischer

     12. Oktober 2013

     @StefanL
     Wenn die natürl. Zahlen unendlich groß werden können, kann es keine endliche größte natürl. Zahl geben. Logisch. Und wie sich unendlich große natürl. Zahlen unterscheiden? Na so wie alle anderen auch: sie sind ungleich groß.
     @sebi
     Ach nein? Dann definierten die Peano-Axiome aber nicht die natürlichen Zahlen sondern abstrakt irgendwas das eine Nachfolge-Funktion hat. Ist aber egal, es ändert nichts, es zeigt nur dass Sie ablenken wollen – das aber nicht geschafft haben.

226. #226 StefanL

     12. Oktober 2013

     @Realistischer

     Wenn die natürl. Zahlen unendlich groß werden können, kann es keine endliche größte natürl. Zahl geben. Logisch.

     Nein (Btw, brauchbare Logikkalküle verlangen inhärente Konsistenz). Falls “unendlich große” natürliche Zahlen existieren würden, die sich durch ihre “Größe” unterscheiden so gäbe es darüber ein Infinum deren (eindeutiger) Vorgänger endlich wäre. Nämlich das Supremum der endlichen natürlichen Zahlen deren (eindeutiger) Nachfolger “unendlich” wäre.

227. #227 Basilius

     Oreimo.

     12. Oktober 2013

     @Realistischer
     Lass es einfach gut sein.
     Die in der Mathematik allgemein anerkannten Definitionen haben einfach gar nichts mit Deinen eigenen Anschauungen gemeinsam. Das ist ja auch in Ordnung, weil jeder seine eigene Mathematik für sich haben darf. Du musst ja auch gar nicht die allgemein anerkannte Mathematik lernen, wenn Du das (so offensichtlich) auch gar nicht willst. All das kannst Du ganz so, wie es Dir beliebt halten.
     Das einzige Problem ist, daß Du so tust, wie wenn Du die alleinige Wahrheit™ für Dich exklusiv gepachtet hättest und alle anderen nur Unsinn erzählen würden. Dabei ist es aber genau umgekehrt und deswegen machst Du hier sowieso nur noch ein Rückzuggefecht, willst das aber nicht zugeben.
     Noch mal:
     Lass es einfach gut sein.

228. #228 StefanL

     12. Oktober 2013

     @Realistischer
     Nachtrag: Wenn Du jetzt nicht mehr von der Endlichkeit natürlichen Zahlen ausgehst, was ist dann an #172/#171 (logisch) falsch?

229. #229 sebi

     12. Oktober 2013

     @Realistischer: Dein Schluss ist richtig, es gibt keine endliche größte natürliche Zahl. Denn es gibt überhaupt keine größte natürliche Zahl (auch wenn man “größer” schon sinnvoll definiert hat).

     Weiterhin sind mit den Peano-Axiomen tatsächlich die natürliche Zahlen definiert, wie sie die Mathematiker verwenden. Wenn du eine andere Definition verwendest, sind Kommunikationsschwierigkeiten nicht verwunderlich. Du kannst ja mal deine Definition der natürlichenZzahlen posten, wenn du möchtest.

230. #230 Realistischer

     12. Oktober 2013

     @StefanL
     #171, letzter Term: |{0,…,n|=1 — ist nur wahr für n=0.
     #172, Ind.Hyp.: |{0,…,n|=1 (n>0) — ist, zusammen mit Ihren wiederholten Nachfragen, ein starker Indizienbeweis für Ihre mangelnde Mathematik-Kompetenz.
     @sebi
     Was ist dann die Nachfolger-Funktion beim Peano? Das +1? Falls ja, dann war das was Sie vorhin gepostet haben aber kompletter Unsinn. Falls nein: was denn sonst? Denn eine eindeutige 1:1 Abbildung muss es geben, ansonsten werden eben doch nicht die natürlichen Zahlen definiert sondern irgendwas abstraktes…
     @Basilius
     Falls Sie es noch nicht bemerkt haben: Rückzugsgefechte werden hier von den anderen geführt — deren Scheitern beweist allerdings nicht dass meine Meinung richtig ist, sondern, die würden allesamt keine Logik-Prüfung bestehen wenn man ihnen nicht vorher die Antworten zum auswendig lernen gibt.

231. #231 sebi

     12. Oktober 2013

     @Realistischer: Die Operation +1 ist mit üblicher Definition der Addition tatsächlich genau die Nachfolgeoperation, mit deren Hilfe die natürlichen Zahlen in der Darstellung wie man sie gewöhnlich kennt konstruiert werden. Inwiefern das von mir gepostete Unsinn ist, weiß ich allerdings nicht. Definiere doch einfach mal die “Größe” einer Zahl, wenn du darauf Bezug nehmen willst.

232. #232 Realistischer

     12. Oktober 2013

     @sebi
     Sie sagten: “Es ist auch noch keine Ordnungsrelation definiert. Es gibt einfach nur zu jeder Zahl einen Nachfolger, und dieser Nachfolger ist immer eine Zahl, die ungleich einer ihrer Vorgänger ist.”
     Jetzt aber sagen Sie, die Nachfolgeoperation ist +1, woraus sich selbstverständlich ergibt 0<1<2<3… und somit eine totale Ordnung. Kurzum: Sie reden kompletten Unsinn!

233. #233 PDP10

     12. Oktober 2013

     @Realistischer:

     “Die natürlichen Zahlen sind ja auch als Folge definiert”

     Das ist falsch. Aber das hat dir sebi ja schon erklärt.

     “denn die Nachfolge-Funktion vom Peano bildet eine linear wachsende Folge.

     Sowas wie eine Nachfolge-Funktion gibt es nicht. Ein Operator ist keine Funktion.

     Diese Folge hat keine oberste Schranke, oder anders gesagt, jede beliebig große Schranke die man annimmt kann überschritten werden. Die Folge geht also gegen unendlich – in der Große der Elemente, aber ebenso der Länge der Folge.

     Auch falsch. Die Länge der Folge ist unendlich. Das bedeutet aber genau nichts für die Grösse der Elemente.
     Das die beliebig gross werden ist nicht dasselbe wie “unendlich gross” werden.

     D.h. es gibt in dieser Folge Zahlen welche unendlich weit vom Startpunkt, der Null, entfernt sind. Wenn die Entfernung eines Elements der Folge von der Null unendlich ist, dann ist dieses Element aufgrund des linearen Wachstums auch unendlich groß.

     Wolfgang Pauli würde sagen: “This ist not even wrong …”

     “Übrigens gibt es von den unendlich großen Elementen in der Folge auch wieder beliegig viele. Unendlichkeit ist eben keine Zahl, sondern eine Eigenschaft — welche, wie ich meine, auch natürliche Zahlen aufweisen können.”

     This is even more wrong than not even wrong.

     Du benutzt die Begriffe beliebig wie es dir passt ohne sie verstanden zu haben.

     Nochmal: Lies eine gute Einführung in die Mathematik!
     R. Courants Buch “Was ist Mathematik” zB.
     Dann blamierst du dich auch nicht mehr mit deinem Kindergartengehabe bei solchen Diskussionen.

234. #234 rolak

     12. Oktober 2013

     Pauli würde sagen: “This ist not even wrong …”

     Komm, PDP10, fangen wir ne kleine Metadiskussion an, ist vielleicht zielführender als der Versuch einer direkten Kommunikation mit dieser Personifikation der Verstocktheit (u’know: Einer? Hunderte!).
     Gesagt hat das wohl Pauli – hat es allerdings auch nicht gesagt, denn obgleich der Spruch allgemein in Englisch gebracht wird, war sein Schöpfer deutschsprachig.
     Du stellst übrigens eine illusionäre Forderung:

     Lies .. !

     Es sei denn, Du verstehst unter ‘Lesen’ das egal-wie-Umsetzen wahrgenommener Textmuster in abstrakte Begriffe, bekannt als ‘Worte’, ‘Sätze’, ‘Bedeutung’ uvam. Das darin inbegriffene Aschenputtel-Lesen (was mir passt behalt ich, was mir nicht passt überseh ich) möchte ich aber ausdrücklich ausschließen. Ok, das Hirn sehnt sich als Typ1-Fehler-Maschine nach Zustimmung, ‘falsch’-Entscheidungen dauern länger, sind also härter erarbeitet. Afaik sogar in der für ‘Abscheu’ bis ‘Ekel’ zuständigen Abteilung des Brägen – was übrigens ‘bullshit’ so hübsch treffend macht: Du riechst es bevor Du es erkennst. Deswegen ist für mich das Erfassen von (wie sich dann iwann immer sicherer herausstellt) Schwachsinnstexten oder -clips auch eher schwierig, wird typischerweise in Etappen vorgenommen. Falls allerdings, wie bei J.Random crank und quack üblich, schön weit vorne Prokrustes die Triage des Inputs übernimmt, dann kannst Du Dir tatsächlich einbilden, ohne rosa Brille die nackte Wahrheit zu schauen. Selbst mit geschlossenen Augen.

235. #235 Basilius

     Monogatari

     12. Oktober 2013

     @Realistischer

     Falls Sie es noch nicht bemerkt haben: Rückzugsgefechte werden hier von den anderen geführt

     Nee, das habe ich tatsächlich nicht bemerkt. Mir kommt es immer noch
     Aber machen Sie ruhig weiter, wenn es Ihnen Spaß macht Sich hier vor allen zum Affen zu machen.
     ^_^

236. #236 Basilius

     Monogatari

     12. Oktober 2013

     Uppsi! Auf’s Knöpfle gekommen…
     Der mittlere Satz hätte vollständig lauten sollen:
     Mir kommt es immer noch genau umgekehrt vor.

237. #237 StefanL

     12. Oktober 2013

     @Realistischer

     #171, letzter Term: |{0,…,n|=1 — ist nur wahr für n=0.
     #172, Ind.Hyp.: |{0,…,n|=1 (n>0) — ist, zusammen mit Ihren wiederholten Nachfragen, ein starker Indizienbeweis für Ihre mangelnde Mathematik-Kompetenz.

     Neben Abschreibkompetenz ( |{ 0,…,n}| ) sollte man bei derartigen Behauptungen allerdings in der Lage sein, erklären zu können warum bei vollständiger Induktion eine Induktionshypothese, die nichts weiter ist als die durch eine wahre Anfangsbedingung (|{0}|= 1) etablierte fortgeschriebene Annahme, die ja bei der vollständigen Induktion als “wahr” angenommen wird und nur als Basis für die tatsächliche Beweisableitung, nämlich den Schritt auf n+1, dient, irgendeiner weiteren expliziten Verifizierung bedürfen sollte (da läßt sich sicherlich was zu in jedem Buch zu Grundlagen der Mathematik finden; alternativ → Bernoulli-Ungleichung). Ferner enzieht sich mir in der Tat inwiefern das Anzweifeln des “letzten Schritts” in #171, der nichts anderes ist als eben die Nutzung der ( ohne weitere Beweisnotwendigkeit für “wahr” erachteten) Induktionshypothese ( und wieder unabhängig von ihrem Inhalt, der ja final durch die Korrektheit der Ableitung der Korrektheit für n+1 erfolgt ) jetzt ein Kompetenzargument hinsichtlich Ihres Verständnisses der Grundlagen der mathematischen Beweisverfahren, hier insbesondere der vollständigen Induktion, sein soll.
     So leid es mit tut aber damit ist ein ggfs. vorhandener Fehler nicht erkannt worden.

238. #238 sebi

     12. Oktober 2013

     @Realistischer: “Jetzt aber sagen Sie, die Nachfolgeoperation ist +1, woraus sich selbstverständlich ergibt 0<1<2<3… und somit eine totale Ordnung. Kurzum: Sie reden kompletten Unsinn!"

     Und wo kommt diese Ordnungsrelation "<" jetzt wieder her? Wohl nicht aus den Peano-Axiomen. Bleiben wir doch elementar und du sagst mir erst mal, wie die die "Größe" einer Zahl sauber definierst. Von mir aus auch nur, wann eine Zahl "größer" als eine andere Zahl ist.

239. #239 PDP10

     13. Oktober 2013

     “Falls Sie es noch nicht bemerkt haben: Rückzugsgefechte werden hier von den anderen geführt

     Nee, das habe ich tatsächlich nicht bemerkt. Mir kommt es immer noch”

     BASILIUS! Also wirklich!

240. #240 PDP10

     13. Oktober 2013

     Sorry … bei der Vorlage konnte ich nicht anders 🙂

241. #241 Basilius

     Monogatari

     13. Oktober 2013

     @PDP10
     Macht nix. Dadurch, daß ich auf mein Touchpad gekommen bin und den Kommentar unabsichtlich abschickte ist er ja immerhin lustiger geworden.
     ^_^

242. #242 Realistischer

     13. Oktober 2013

     @StefanL
     Grandios! So viele wichtige Namen usw. untergebracht, so viel “Kompetenz” dargestellt — aber jeder der es sehen will sieht wie dumm Sie sind, wie offensichtlich fehlerhaft Ihre Formeln sind.

     Irgendiw ein Musterbeispiel für die anderen im Forum. Reden was von der korrekten Verwendung von Begriffen, tun es aber selber auch nicht – es ist immer nur eine Ausrede für’s nicht wahrhaben wollen. So offensichtlich, so billig, so schlecht. Mit einem Wort: Rückzugsgefechte.

     Ihr seid mir ein viel zu dummes Milieu, mit euch kann man nicht über Mathematik reden, ihr verwendet das nur wie andere ein iPad oder Markenkleidung: als Statussymbol, als Zeichen davon was ihr nicht alles “wisst” und wer ihr nicht aller “seid”. Blöd seid ihr.

243. #243 sebi

     13. Oktober 2013

     Damit dürfte die Sache wohl endgültig durch sein. Viel Erfolg noch auf deinem weiteren lebensweg, (Un-)Realistischer.

244. #244 Adent

     13. Oktober 2013

     Lol, ja wie blöd wir doch alle sind, alle ausser Realistischer…

245. #245 PDP10

     13. Oktober 2013

     @Realistischer:

     “Ihr seid mir ein viel zu dummes Milieu, mit euch kann man nicht über Mathematik reden, ihr verwendet das nur wie andere ein iPad oder Markenkleidung: als Statussymbol, als Zeichen davon was ihr nicht alles “wisst” und wer ihr nicht aller “seid”.”

     Dir ist noch nicht der Gedanke gekommen, dass es einfach so sein könnte, dass viele Leute die hier posten das studiert haben – zumindest als Nebenfach?

     Ich zB…. 5 Semester lang 4 SWS Vorlesungen + 4 SWS Übungen + jede Woche einen Übungszettel lösen …
     Ich habe zwar inzwischen mehr darüber vergessen als du je gelernt hast … aber für ein paar Grundbegriffe reichts noch.

     Hast du ernsthaft geglaubt, dass alle Leute hier ihre Mathekenntnisse aus der Wikipedia haben?

246. #246 JaJoHa

     13. Oktober 2013

     @Realistischer
     Ähm, er hat nur gesagt, was er benutzt hat. Sollte man machen, wenn man verstanden werden will. Genauso wie man in einem Kochrezept die Zutaten usw angeben sollte.
     Das viele Sätze einen eigenen Namen haben ist nun mal so, gibt es auch in der Chemie und der Physik. Entweder man weiß das auswendig, oder man schlägt nach.
     Übrigens ist das sogar eher eine Hilfe, dadurch kann man auch einfacher danach suchen und sich informieren. Damit kannst du seine Rechnung nachvollziehen und Fehler finden, sofern sie existieren. Oder man fragt nach.

247. #247 PDP10

     14. Oktober 2013

     @rolak:

     Oh, habe dein Post jetzt erst gesehen … hübscher kleiner Wikipedia Artikel über Paulis Satz 🙂

     Aber eine Metadiskussion zu führen, macht hier glaube ich keinen Sinn mehr ….
     Realistischer ist schon so voll meta Alta .. mehr meta geht echt nich!

248. #248 Realistischer

     14. Oktober 2013

     @StefanL u.a.
     Wie geht der Induktionsbeweis? Man zeigt dass (1.) etwas für 0 gilt, und dass es, wenn es (2.) für ein beliebiges aber fixes n gilt, es (3.) auch für n+1 gilt. Daraus folgt dann, dass es für alle n gilt.
     Gefragt war nach |{0,…,n}|=1
     Also 1.: |{0,…,0}|=|{0}|=1 — passt.
     Dann 2.: |{0,…,n}|=1 — kann widerlegt werden duch bspw. den Fall n=1, weil |{0,…,1}|=1 falsch ist.
     Fertig. Beweis erbracht, dass es nicht für alle gilt.

     Wozu also braucht der StefanL die “Grundlagen der Mathematik” und den Bernoulli? Zur Ablenkung, es soll keiner merken wie komplett blöd er ist. Wieso macht ihr alle mit? Weil ihr auch so blöd seid. Einer hat’s trotzdem gemerkt — egal, der wird einfach rausgemobbt, und alles ist wieder gut.

249. #249 StefanL

     14. Oktober 2013

     @#248 Wie erklärst Du Dir denn die Frage: “Was könnte denn da jetzt nicht stimmen?”( ref. #171) wenn es so einfach wäre? Das offensichtlich die Aussage in einem nicht einelementigen(oder endlichen) Universum so nicht stimmen kann ist doch gar nicht die Frage, sondern warum eine legitime Beweistechnik ein solches Ergebnis liefert.
     Und Deine Recherche zu (2 & 3) “wenn es für ein beliebiges aber festes n gilt…” trifft es ja nicht ganz:
     1. A(0)
     2.
     Zur Übersetzung ein Zitat aus der Liste allseits beliebter lesenswerter Artikel:
     Soll die Formel A(n) für alle natürlichen Zahlen n ≥ m bewiesen werden, dann genügen dazu zwei Beweisschritte:
     1. der Induktionsanfang: der Beweis von A(m)
     2. der Induktionsschritt: der Beweis der Induktionsbehauptung A(n+1) mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung A(n) und n ≥ m. (Mit m=0 als Normalfall.)
     ..und das heißt nicht “wenn es für ein beliebiges aber fixes n gilt und dies wäre erst zu verifizieren”, sondern dies ist die Induktionsvoraussetzung die durch den Induktionsanfang A(0) etabliert ist. Und warum stört Dich da die Bernoulli Ungleichung als Beispiel? Da zeigst Du ja auch nicht für die Gültigkeit bevor der Schritt auf n+1 legitimiert würde oder etwa doch? Dann kommen wir wieder zu einem endlichen Universum/Ultrafinitismus…

250. #250 Realistischer

     14. Oktober 2013

     @StefanL
     Und welches Ergebnis liefert nun diese Beweistechnik? Dass [{0,…,n}|=1 für alle n gilt? Für endliche oder auch unendliche Mengen? Oder was ganz anderes?

251. #251 StefanL

     14. Oktober 2013

     Zu #250… Ja.

252. #252 PDP10

     15. Oktober 2013

     “Zu #250… Ja.”

     Der war ein ganz klein wenig gemein … 🙂

253. #253 PDP10

     15. Oktober 2013

     “Wozu also braucht der StefanL die “Grundlagen der Mathematik” und den Bernoulli? Zur Ablenkung, es soll keiner merken wie komplett blöd er ist.”

     @Realistischer:

     Wenn du hier nochmal jemdand als blöd bezeichnest, der nur freundlich versucht, dir was zu erklären, fängst du dir eine!

     Also benimm dich!

254. #254 Realistischer

     15. Oktober 2013

     @StefanL
     Also keine Antwort. Wie zu erwarten war.
     @PDP10
     Der StefanL versucht nichts zu erklären, sieht man doch.

255. #255 StefanL

     15. Oktober 2013

     @PDP10 ( …ein ganz klein wenig gemein…
     Ja, stimmt schon eine geziemendere Erwiederung auf #242 und #248, die ja nicht ganz so sachlich waren und eine gewisse persönliche Note tragen – manche mögen dazu auch”im Ton vergriffen” sagen, hätte bspw. folgendes sein können:
     Hmm – viele wichtige Namen…, so wie Karl-Theodor von und zu Kompetenz oder der nicht verwandte oder verschwägerte Edmund Kompetenz?
     (Nebenbemerkung: wenn jemand “1,2, viele,..” zählt, ist dann metaphorisch “nicht bis 3 zählen” überhaupt allegorisch konsistent?)
     Realistischer ist der Milieutreffer zu Unterhaltungen über Unendlichkeit und Mathematik dann wohl hier zu finden…

256. #256 StefanL

     15. Oktober 2013

     @Realistischer
     zu “Antwort” siehe hier. Aber Du willst doch wohl nicht einen germanistischen Nebenschauplatz eröffnen, oder?
     #250: Hängt von Deinem Standpunkt ab. Als Ultrafinitist erübrigt sich Für endliche oder auch unendliche Mengen? zweifelos.
     Nicht jede endliche Menge ist notwendig identisch zu einem {0,…,n}. Ein einelementiges Universum bleibt natürlich als Alternative.
     Sofern keine Konsistenzverletzung vorliegt sagt das Ergebnis |{0,…,n}|=1 für alle natürliche Zahlen und damit auch für . Welches wiederum folgerichtig ist wenn die Existenz (den üblichen Definitione/axiomatischen Einführungen) der (Menge der) natürlichen Zahlen nicht angenommen wird.
     Oder was ganz anderes? U.a. kann da eine Möglichkeit sein das Induktionsprinzip prinzipiell ab zu lehnen ( siehe dazu auch schon frühere Bemerkungen zum Unendlichkeitsaxiom).

257. #257 Realistischer

     15. Oktober 2013

     @StefanL
     Tut mir leid aber ich kann Iherer “Antwort” keine Aussage entnehmen, ausser vlllt. der dass Sie sich nicht festlegen wollen, oder der dass das Ansichtssache sei.
     Geht alles am Sinn von mathematischen Beweisen vorbei, aber Sie könnten sicherlich wieder mit einem aufbeglasenen Nichts gut erklären warum das schon korrekt sei.

258. #258 StefanL

     15. Oktober 2013

     @Realistischer
     Es bedarf keines weiteren Beweises Ihrer Unkenntnis darob was denn natürliche Zahlen sind.

259. #259 Albrecht Storz

     Mannheim

     15. Oktober 2013

     Leider ist diese Diskussion wie die ganze Rezeption der Mengenlehre in der Öffentlichkeit von massiver Ungenauigkeit oder Unkenntnis geprägt. Die Aussage: “es gibt verschiedene Arten von Unendlichkeit” ist für sich genommen reiner Unsinn. Es “gibt” nur dann verschiedene Arten von Unendlichkeiten, wenn man zuerst einmal annimmt, dass es eine Zahl gibt, die die Anzahl der natürlichen Zahlen beschreibt (nach Cantor die Kardinalzahl aleph_0). Leider zählt diese “Zahl” oder die damit verbundene Annahme, es gäbe eine Menge aller natürlichen Zahlen, heute zu einem unhinterfragten Allgemeingut. Und die Frage, warum es eine Menge geben soll, die X viele Elemente hat, aber kein X-tes Element, wird nicht gestellt, wird als primitiv angesehen, oder ist in bestimmten Kreisen schlicht verpönt.
     Also: es “gibt” nur dann verschiedene Arten von Unendlichkeiten, wenn man bestimmte, nicht selbstverständliche Axiome als wahr annimmt. Wenn man aber z. B. das Axiom of Infinity (AoI) als unintuitiv ablehnt, “gibt” es nur genau eine Art von Unendlichkeit, nämlich die unendliche.
     Übrigens ist die moderne Mengenlehre mit z.B. dem ZFC-Axiomensystem von einer Reihe von Paradoxien geprägt, die man nur mühsam wegerklären kann (insbesondere Skolem, ZFC hat ein abzählbares Modell, damit ist die Aussage, es gäbe unterschiedliche Arten von Unendlichkeit selbst bei Annahme des AoI vom “Blickwinkel” abhängig)

260. #260 volki

     15. Oktober 2013

     @ Albrecht Storz:

     die die Anzahl der natürlichen Zahlen beschreibt (nach Cantor die Kardinalzahl aleph_0). Leider zählt diese “Zahl” oder die damit verbundene Annahme, es gäbe eine Menge aller natürlichen Zahlen, heute zu einem unhinterfragten Allgemeingut.

     Also in einer Vorlesung zur Mengenlehre nicht. Da werden meistens solche Dinge diskutiert.

     das Axiom of Infinity (AoI) als unintuitiv ablehnt, “gibt” es nur genau eine Art von Unendlichkeit, nämlich die unendliche.

     Das ist falsch. Ohne Unendlichkeitsaxiom kann man nicht entscheiden ob es unendliche Mengen gibt oder nicht. Aber sobald es eine unendliche Menge gibt gibt es zwei unterschiedlich mächtige Mengen. (Die Potenzmenge einer Menge ist immer mächtiger als die Menge selbst)

     (insbesondere Skolem, ZFC hat ein abzählbares Modell, damit ist die Aussage, es gäbe unterschiedliche Arten von Unendlichkeit selbst bei Annahme des AoI vom “Blickwinkel” abhängig)

     Ich empfehle das Buch von Manin, A course in mathematical logic, Kapitel II, § 7. Dort wird das Paradoxon von Skolem schön erklärt.

261. #261 Albrecht Storz

     Mannheim

     15. Oktober 2013

     @ volki

     Ich habe einige schöne Erklärungen zum Thema gelesen. Ich empfehle, neben dem Lesen schöner Erklärungen, das Selber-Denken.

262. #262 Albrecht Storz

     Mannheim

     15. Oktober 2013

     Oh Pardon, ich habe das kursiv Geschriebene in #260 nicht als Antwort erkannt.

     volki: “Das ist falsch. Ohne Unendlichkeitsaxiom kann man nicht entscheiden ob es unendliche Mengen gibt oder nicht. Aber sobald es eine unendliche Menge gibt gibt es zwei unterschiedlich mächtige Mengen. (Die Potenzmenge einer Menge ist immer mächtiger als die Menge selbst)”

     Was war denn genau falsch? Was soll denn entschieden werden, wenn es nichts zu entscheiden gibt? Leider wird der Mengenbegriff meist völlig naiv gebraucht und dann mit dem axiomatischen Mengenbegriff verwürfelt. Klar, wenn jemand glaubt, dass es eine Zahl gibt, die die Anzahl der natürlichen Zahlen angibt, sollte er sich nicht wundern, wenn aus dieser Annahme auch noch die Existenz größerer Anzahlen folgt.

     Ich habe nur auf folgendes hingewiesen: unterschiedliche “Arten von Unendlichkeit” sind nur im Rahmen eines zwar weithin anerkannten, aber nicht selbstverständlichen, und nicht für jeden denknotwendigen System erklärbar. Jeder, der von transfiniten Zahlen spricht sollte darauf hinweisen und nicht den Eindruck erwecken, wie wenn das allgemein gültige, unbestreitbare, wissenschaftliche Erkenntnisse seien die unabhängig von willkürlichen Annahmen wären.

263. #263 Basilius

     Monogatari

     15. Oktober 2013

     Werter Herr Albrecht Storz,
     ich kann leider nicht umhin zu sagen, daß ich Ihr bisheriges Auftreten als ziemlich arrogant betrachte. Möchten Sie ernsthaft über die Artikelthematik diskutieren oder lieber bloß stänkern? Falls ersteres, dann empfehle ich einen etwas kultivierteren Umgangston.
     0_0

264. #264 PDP10

     15. Oktober 2013

     “Ich habe einige schöne Erklärungen zum Thema gelesen. Ich empfehle, neben dem Lesen schöner Erklärungen, das Selber-Denken.”

     Hmmm … das ging schnell …

     Pulver schon verschossen und den Übergang zur Bemerkung, dass Referenzen angeblich nichts bedeuten weil man ja alles selber denken könnte in Lichtgeschwindigkeit geschafft ….

     Ich hatte gehofft, das man jetzt mal mit mehr Substanz diskutieren könnte als mit Realistischer.

     Aber mehr als “Ihr habt alle genausowenig Ahnung wie … ähm … Alle? Ausser ich natürlich!” wars dann doch nicht.

     Schade eigentlich ….

265. #265 volki

     16. Oktober 2013

     @Albrecht Storz:

     Oh Pardon, ich habe das kursiv Geschriebene in #260 nicht als Antwort erkannt.

     Ja, da habe ich nicht aufgepasst 🙁

     Was war denn genau falsch?

     Falsch war, dass aus dem Unendlichkeitsaxiom folgt, dass es nur ein unendlich gibt. Lehnt man das Unendlichkeitsaxiom ab, dann kann man nicht entscheiden ob es überhaupt unendliche Mengen gibt. Aber sobald es eine unendliche Menge S gibt, dann gibt es auch deren Potenzmenge P(S). Und dann gibt es zwar eine Injektion von S nach P(S) aber nicht umgekehrt, das heißt P(S) ist mächtiger oder salopp gesagt P(S) ist ein anderes unendlich.

     Zu meinem Zitat bzgl. dem Paradoxon von Skolem. Die beste Erklärung dazu ist die angegebene Textstelle im Buch von Manin. Dort wird das auf ca. 4 Seiten sehr schön dargestellt warum dieses Paradoxon nicht im Widerspruch zur Mengenlehre steht. Da ich mir nicht anmaße es besser oder kürzer als Manin erklären zu können ,verweise ich auf diese Textstelle. Wer den Satz von Skolem-Löwenheim versteht bzw. den Gödelschen Vollständigkeitssatz wird kein Problem haben in diesem Standardwerk zur mathematischen Logik eine Erklärungen zum Paradoxon von Skolem nachzulesen.

     Leider wird der Mengenbegriff meist völlig naiv gebraucht und dann mit dem axiomatischen Mengenbegriff verwürfelt.

     Habe ich das irgendwo gemacht?

266. #266 volki

     16. Oktober 2013

     @Albrecht Storz:

     Mein Satz weiter oben:

     dann kann man nicht entscheiden ob es überhaupt unendliche Mengen gibt

     Heißt genauer ausgedrückt, dass es sowohl Modelle der Mengenlehre (Mengenlehre ohne Unendlichkeitsaxiom) gibt ohne unendliche Mengen und Modelle mit unendlichen Mengen. Das heißt, dass das Unendlichkeitsaxiom unabhängig von den anderen Axiomen ist.

267. #267 Albrecht Storz

     Mannheim

     16. Oktober 2013

     @volki zu #265

     volki: “Falsch war, dass aus dem Unendlichkeitsaxiom folgt, dass es nur ein unendlich gibt.”
     Wer hat das behauptet? Ich auf jeden Fall nicht.

     volki: “Lehnt man das Unendlichkeitsaxiom ab, dann kann man nicht entscheiden ob es überhaupt unendliche Mengen gibt.”
     Wie kommst Du denn darauf? Die axiomatische Methode ist nicht die einzige Methode des Erkenntnisgewinns. Dies ist ein typischer Fehler: nur in seinen Kategorien denken und diese Kategorien bei den anderen stillschweigend voraussetzen. Merke bitte: die natürlichen Zahlen waren schon unendlich, als die axiomatische Methode noch nicht einmal erfunden war. Außerdem gibt es keine unendlichen Mengen nur unendliche Klassen. Wer will diese Behauptung von mir jetzt widerlegen?

     volki:”Zu meinem Zitat bzgl. dem Paradoxon von Skolem. Die beste Erklärung dazu ist die angegebene Textstelle im Buch von Manin. Dort wird das auf ca. 4 Seiten sehr schön dargestellt warum dieses Paradoxon nicht im Widerspruch zur Mengenlehre steht.”
     Sicher gibt es Leute, die der Meinung sind, alles zum Thema Skolem wäre geklärt. Aber es gibt auch Stimmen, die hier eine schwebende Diskussion sehen. Etwa:
     https://plato.stanford.edu/entries/paradox-skolem/
     Und ich habe nie Behauptet, dass hier eine Antinomie vorläge. Tatsache bleibt, dass ZFC ein abzählbares Modell besitzt, innerhalb dessen überabzählbare Mengen existieren sollen. Von außen betrachtet sind diese überabzählbaren Mengen aber abzählbar. Also was ist nun wahr?

     Zu Deinem letzten Punkt: Habe ich das Dir persönlich vorgeworfen?

     Zu den anderen Reaktionen: tut mir Leid, wenn ich hier die typischen Reaktionen in solchen Foren beobachten muss. Man sollte besser immer sein Licht unter den Scheffel stellen und unterwürfigst die Platz- äh Forenhirsche in ihrem Dünkel beschmeicheln. Nein Danke.

268. #268 StefanL

     16. Oktober 2013

     @Albrecht Storz

     volki: “Lehnt man das Unendlichkeitsaxiom ab, dann kann man nicht entscheiden ob es überhaupt unendliche Mengen gibt.”
     Wie kommst Du denn darauf? Die axiomatische Methode ist nicht die einzige Methode des Erkenntnisgewinns.

     Das es noch weitere Methoden zum Erkenntnisgewinn geben mag, mag ja sein – aber was hat das mit der Frage ob “Unendlichkeit” existiert oder nicht zu tun? Oder anders gefragt: welche “Erkenntnis” darüber kann denn wie sonst gewonnen werden?
     Das Beispiel “die natürlichen Zahlen waren schon unendlich, als die axiomatische Methode noch nicht einmal erfunden war.” trifft doch so auch nicht zu – beim Zählen zu keinem Ende zu kommen als “unendlich” zu bezeichnen ist nicht axiomatisch? ( War da nicht auch eine vorhergehende Bemerkung zu “naivem Umgang” mit Objektbegriffen?)… Selbst Euklids Beweis das es keine größte Primzahl gibt läßt sich ja rekursiv-konstruktiv auffassen. Und das

     Außerdem gibt es keine unendlichen Mengen nur unendliche Klassen. Wer will diese Behauptung von mir jetzt widerlegen?

     widerspricht jetzt wo “Das heißt, dass das Unendlichkeitsaxiom unabhängig von den anderen Axiomen ist.” ?
     Und zu Skolem ( respektive Vollständigkeitssatz): Warum tun sich die philosophischen Ansätze denn jedesmal so schwer damit, dass in den Geltungsdomänen syntaktische Korrektheit gleichbedeutend mit semantischer Korrektheit ist – d.h. Versuche über semantische Bedeutungsinterpretationen (2. Order Logik mindestens) in unserem Sprach- und Wortgebrauch sind gar nicht hinreichend zielführend. Und syntaktisch ist es eine einfach Antwort auf die Frage nach der Existenz einer entsprechenden Bijektion. ( Ach ja und “nur Unendlich”: die Klasse besitzt eine echte Unterklasse gleicher Mächtigkeit. Und das sollte dann schon machbar sein, gezeigt zu werden, wenn man derartige Behauptungen aufstellt ).
     Schon lustig – da wird sich auf das Unendlichkeitsaxiom eingeschossen aber fleißig AC benutzt….

269. #269 Albrecht Storz

     16. Oktober 2013

     PS:

     #265 volki: “Aber sobald es eine unendliche Menge S gibt, dann gibt es auch deren Potenzmenge P(S).”

     Auch diese Aussage ist falsch oder zumindest nur halbwahr. Die Potenzmenge einer unendlichen Menge muss ausdrücklich durch ein Axiom gesichert werden (Potenzmengenaxiom), genauso, wie die Existenz einer unendlichen Menge mit einem Axiom (AoI) gesichert werden muss. (siehe Axiome ZF od. ZFC)
     Genau dieser Art von Aussagen, in denen Dinge als unabhängige Tatsachen dargestellt werden, die aber in Wahrheit nur behauptet werden können, wenn sie so definiert, per Axiom gefordert, postuliert, eben behauptet werden, prägen diese Art von Fehlinformation über die axiomatische, aber naiv vermittelte Mengentheorie.
     Merke: innerhalb eines Axiomensystems ist genau nur das wahr, was das Axiomensystem als wahr definiert.

     Unendliche Mengen, Potenzmengen von unendlichen Mengen uva sind genau nur dann existent, wenn sie als existent eingeführt werden. Nicht darauf hinzuweisen, aber dennoch wie selbstverständlich über solche Entitäten zu sprechen, grenzt an Fehlinformation oder beruht auf mangelndem Verständnis.

270. #270 StefanL

     16. Oktober 2013

     @Albrecht Storz
     Vielleicht ist es bislang nicht aufgefallen aber in der gesamten bisherigen Diskussion ist immer wieder Bezug genommen worden auf ZF, ZFC, CH, GCH, AC, UA, PA… ( ja sogar auf Freiling’s axiom of symmetry).
     Das heißt stets auf definierte Rahmenbedingungen – und da ist es nunmal äußert dünn wenn “das kann auch anders sein” die einzige Antwort auf “wie soll es denn sein?” ist. Aber – und da scheinen wir uns einig zu sein – mangelndes Verständnis kann als Erklärung fungieren.

271. #271 volki

     16. Oktober 2013

     @Albrecht Storz

     Auch diese Aussage ist falsch oder zumindest nur halbwahr. Die Potenzmenge einer unendlichen Menge muss ausdrücklich durch ein Axiom gesichert werden (Potenzmengenaxiom), genauso, wie die Existenz einer unendlichen Menge mit einem Axiom (AoI) gesichert werden muss.

     Wenn man in der Mathematik von Mengenlehre redet, meint man üblicherweise ZF oder ZFC. Also ich rede gewöhnlich von ZFC und gebe gewöhnlich explizit an, wenn ich das Auswahlaxiom ausschließe. Von was redest du?

     Zu deinem Link: Ich habe im Moment zu wenig Zeit um mir das genau durchzulesen. Aber gleich vorweg ich bin kein Philosoph und werde auch keine philosophische Diskussion hier führen.

     Von außen betrachtet sind diese überabzählbaren Mengen aber abzählbar. Also was ist nun wahr?

     Das hängt vom Modell der Mengenlehre ab das du zur Beschreibung verwendest. Sprichst du von der Meta-Ebene (hier so wie in Skolem’s Paradoxon) ausgesehen dann ist alles abzählbar. Befindest du dich im Modell gibt es überabzählbare Mengen, weil dir im Modell die Möglichkeiten dazu fehlen gewisse Mengen abzuzählen, bzw. eine Bijektion zu finden. Von außen hast du aber die Möglichkeit abzuzählen, so wie du schon richtig bemerkt hast, also wo ist das Problem?

     Unendliche Mengen, Potenzmengen von unendlichen Mengen uva sind genau nur dann existent, wenn sie als existent eingeführt werden. Nicht darauf hinzuweisen, aber dennoch wie selbstverständlich über solche Entitäten zu sprechen, grenzt an Fehlinformation oder beruht auf mangelndem Verständnis.

     ZF und ZFC machen das aber, was du verlangst und üblicherweise versteht man unter Mengenlehre die ZF- oder ZFC-Mengenlehre.

     Interpretiere ich das richtig, dass dir einfach ZF und ZFC nicht gefallen und du lieber eine andere Beschreibung der Mengenlehre hättest? Wenn ja was passt dir daran nicht?

272. #272 Albrecht Storz

     16. Oktober 2013

     #268 StefanL: “Das Beispiel “die natürlichen Zahlen waren schon unendlich, als die axiomatische Methode noch nicht einmal erfunden war.” trifft doch so auch nicht zu – beim Zählen zu keinem Ende zu kommen als “unendlich” zu bezeichnen ist nicht axiomatisch?”
     Nein, ist es nicht. Und was bedeutet denn “unendlich” anderes als “endlos”? Glaubst Du etwa, wie viele naive Mengentheoretiker, dass “unendlich” ein Umfang, eine Zahl ist? Das ist tatsächlich der Hauptirrtum bei der ganzen Sache.

     #268 StefanL: “Selbst Euklids Beweis das es keine größte Primzahl gibt läßt sich ja rekursiv-konstruktiv auffassen.”
     Und daraus folgt was?
     Mit axiomatischer Methode meine ich natürlich die heutige Auffassung davon, wie sie etwa von Hilbert angestoßen wurde.

     Was Du mit dem Passus:

     <<>>

     ausdrücken willst, ist mir völlig schleierhaft. Wieso bringst Du diese zwei Aussagen zusammen?

     Auch Deine weiteren Ausführungen sind mir zu wirr und vage um damit etwas anfangen zu können.

     #270 StefanL: “Das heißt stets auf definierte Rahmenbedingungen – und da ist es nunmal äußert dünn wenn “das kann auch anders sein” die einzige Antwort auf “wie soll es denn sein?” ist.”
     Du unterstellst mir hier etwas, nämlich dass ich eine Antwort auf die Frage “wie soll es denn sein?” geben wollte. Habe ich das irgendwo behauptet?

     Diese Art von Diskussion ist sehr seltsam. Man soll sich für das verteidigen, was man in den Köpfen anderer Leute auslöst. Aber das ist nicht mein Bier. Ich wiederhole hier nochmal meine Grundaussagen:

     – Die Rede von verschiedenen Arten von Unendlichkeit ist unsinnig, solange man nicht erklärt, dass diese verschiedenen Unendlichkeiten nur in einem ganz bestimmten Rahmenwerk auffindbar sind, und zwar in einem Rahmenwerk, dass völlig willkürlich angelegt ist und für das keine Denknotwendigkeit existiert – im Gegensatz etwa zur Rede von verschiedenen Automarken – oder was auch immer. Der häufig erweckte Eindruck, verschiedene Unendlichkeiten seien denknotwendig, ist einfach nur grottenfalsch.

     – In der axiomatischen Methode, bei Verwendung etwa von ZFC, muss 1. die unendliche Menge axiomatisch gefordert werden, und 2. muss die Potenzmengen unendlicher Mengen axiomatisch gefordert werden. Anders gesagt wird zuerst axiomatisch eingeführt dass es verschiedene Unendlichkeiten geben solle, um dann plötzlich, Trara, verschiedene Unendlichkeiten aus dem Hut zu ziehen, wie der Zauberer das Karnickel. Beides ist vorher schon hineingesteckt worden und daher beides kein Wunder und keine Überraschung – zumindest für den, der den Trick durchschaut.

     – Leider glauben heute viele Menschen, die mit Mathematik in Berührung gekommen sind, sie wüssten über diesen Themen-Komplex bescheid und staunen gerne über das ach so tolle 2. Diagonalargument von Georg Cantor ohne die Materie auch nur annähernd zu durchdringen. Das fängt damit an, dass die Annahme einer unendlichen Menge als selbstverständlich angesehen wird. Naiv gesehen ist diese Annahme unproblematisch. Aber eben nur unter dieser naiven Sichtweise. Aus dieser naiven Sichtweise kann man aber nicht plötzlich in die axiomatische hopsen und eben das Karnickel präsentieren.

     Falls Du gegen eine dieser drei Aussagen etwas einzuwenden hast, bitte gerne. Darüber können wir diskutieren. Skolem weiter zu diskutieren hat m. E. in so einem Rahmen keinen Zweck. Das Thema ist einfach zu komplex wenn noch keine gemeinsame Grundlage mit Nomenklatur, Bezugsrahmen, etc. existiert.

273. #273 Albrecht Storz

     16. Oktober 2013

     Der Passus zwischen den <> ist leider verloren gegangen. Es war gemeint

     #268 StefanL:
     “Und das
     Außerdem gibt es keine unendlichen Mengen nur unendliche Klassen. Wer will diese Behauptung von mir jetzt widerlegen?
     widerspricht jetzt wo “Das heißt, dass das Unendlichkeitsaxiom unabhängig von den anderen Axiomen ist.” ?”

274. #274 Albrecht Storz

     16. Oktober 2013

     @volki zu #271:

     Du versuchst hier etwas als selbstverständlich darzustellen, was nicht selbstverständlich ist. Soweit ich das sehe ist dies keine Mathediskussionsgruppe. Einfach zu behaupten die Voraussetzung von ZF oder ZFC wäre selbstverständlich mag cool erscheinen, ist es aber nicht.

     Auf Deine Frage hin, von was ich rede, kann ich nur antworten: von Logik auf der Basis denknotwendiger Voraussetzungen wie etwa der Existenz der Zahlen 1, 2, 3, …

     Zu Skolem: ich möchte auch keine philosophische Diskussion führen. Ich habe nur darauf hingewiesen, dass noch nicht endgültig festgestellt wurde, wie überabzählbare Mengen im Zusammenhang mit dem Skolem- Paradoxon zu verstehen sind. Die Diskussion ist noch im Fluss und es gibt fünf, sechs verschiedene Ansätze dazu. Mehr ist hier von mir nicht dazu zu sagen.

     Interessanter Weise siehst Du kein Problem darin, wenn auf der einen Seite apodiktisch von verschiedenen Unendlichkeiten gesprochen wird, auf der anderen Seite aber diese Unendlichkeiten auf einer gewissen Ebene doch wieder gleich sind. Nun, wenn es einem egal ist ob etwas gleich oder verschieden ist, über was soll man dann weiter streiten …

275. #275 StefanL

     16. Oktober 2013

     @Albrecht Storz (#274)
     Soweit ich das sehe ist dies keine Mathediskussionsgruppe.
     LOL – und deswegen ist fachfremdes Geschwurbel kein Geschwurbel? Wir kokettieren doch nicht etwa mit mathematischem Unwissen?

276. #276 StefanL

     16. Oktober 2013

     @Albrecht Storz
     Welche Methode zum Erkenntnisgewinn über “Unendlichkeit” gibt es denn nun sonst noch?
     Diese Frage einfach unschuldig überlesen?

     Ach – “unendlich” bedeutet “endlos” , aber irgendetwas als “endlos” anzunehmen ist nicht axiomatisch? ( dazu eben auch Euklid)

     Und da war sie wieder die Bemerkung zum naiven Begriffsgebrauch: “naive Mengentheoretiker”.

     Merke bitte: die natürlichen Zahlen waren schon unendlich, als die axiomatische Methode noch nicht einmal erfunden war. […]
     Mit axiomatischer Methode meine ich natürlich die heutige Auffassung davon, wie sie etwa von Hilbert angestoßen wurde.

     Ja- danke für dieses Gespräch über genaue Ausdrucksweise und gut das wir nicht über Geometrie sprechen.

     Was Du mit dem Passus:
     <>
     ausdrücken willst, ist mir völlig schleierhaft. Wieso bringst Du diese zwei Aussagen zusammen?

     Oh, die eigenen Zeilen vergessen #267?

     volki: “Lehnt man das Unendlichkeitsaxiom ab, dann kann man nicht entscheiden ob es überhaupt unendliche Mengen gibt.”
     Wie kommst Du denn darauf? Die axiomatische Methode ist nicht die einzige Methode des Erkenntnisgewinns. Dies ist ein typischer Fehler: nur in seinen Kategorien denken und diese Kategorien bei den anderen stillschweigend voraussetzen. Merke bitte: die natürlichen Zahlen waren schon unendlich, als die axiomatische Methode noch nicht einmal erfunden war. Außerdem gibt es keine unendlichen Mengen nur unendliche Klassen. Wer will diese Behauptung von mir jetzt widerlegen?

     Also: wie siehts aus ( Eine Klasse ist unendlich wenn sie eine echte Teilklasse gleicher Mächtigkeit umfaßt) – zeig doch mal ein Modell zu der gemachten Existenz Behauptung über Klassen…

     …Auch Deine weiteren Ausführungen sind mir zu wirr und vage um damit etwas anfangen zu können.
     Och – schade; nach der Verlinkung eines Artikels aus plato.stanford.edu zu Skolem hatte ich tatsächlich gehofft mal einen brauchbaren Kommentar aus der Philosophenecke zu den Hauptsätzen der Prädikatenlogik 1.Ordnung oder zu AC zu bekommen.

     #270 StefanL: “Das heißt stets auf definierte Rahmenbedingungen – und da ist es nunmal äußert dünn wenn “das kann auch anders sein” die einzige Antwort auf “wie soll es denn sein?” ist.”
     Du unterstellst mir hier etwas, nämlich dass ich eine Antwort auf die Frage “wie soll es denn sein?” geben wollte. Habe ich das irgendwo behauptet?

     Diese Art von Diskussion ist sehr seltsam. Man soll sich für das verteidigen, was man in den Köpfen anderer Leute auslöst. Aber das ist nicht mein Bier.

     LOL – wo beziehe ich denn die inhaltlichen Aussagen in #270 auf eine persönliche Ebene – das sind doch nur Feststellungen zu dem Verlauf dieses Kommentarstranges.( ..da könnte man ja glatt an das Bellen getroffener Karnivoren denken…)
     Doppel LOL da passt ja dann auch

     Das Thema ist einfach zu komplex wenn noch keine gemeinsame Grundlage mit Nomenklatur, Bezugsrahmen, etc. existiert.

     hervorragend hinein. Auf welcher Basis wennn nicht auf Prädikatenlogik erster Stufe soll “Skolem” denn diskutiert werden?

     – Die Rede von verschiedenen Arten von Unendlichkeit ist unsinnig, solange man nicht erklärt, dass diese verschiedenen Unendlichkeiten nur in einem ganz bestimmten Rahmenwerk auffindbar sind, und zwar in einem Rahmenwerk, dass völlig willkürlich angelegt ist und für das keine Denknotwendigkeit existiert

     Starke These – und wie begründet?

     – In der axiomatischen Methode, bei Verwendung etwa von ZFC, muss 1. die unendliche Menge axiomatisch gefordert werden, und 2. muss die Potenzmengen unendlicher Mengen axiomatisch gefordert werden. Anders gesagt wird zuerst axiomatisch eingeführt dass es verschiedene Unendlichkeiten geben solle, um dann plötzlich, Trara, verschiedene Unendlichkeiten aus dem Hut zu ziehen, wie der Zauberer das Karnickel.

     Ja da sind wir dann doch beim Verständnis gelandet. Gibt es eine “Menge” so hat diese Menge “Teilmengen”. Und diese können zu einer “Menge der Teilmengen” zusammengefasst werden. Das hat gar nichts mit “Unendlichkeit ” zu tun sondern nur damit , dass dieses Objekt der Zusammenfassung von allen Teilmengen einer Menge wieder eine Menge ergibt. Und wenn schon Formulierungsfetischismus: wenn ZFC verwendet wird braucht UA und/oder “Potenzmenge” nicht mehr gefordert werden, das steckt da schon drin – außer es wird von einem ganz, gaaanz anderem ZFC gesprochen.

     und zu Deiner dritten These:
     Was bitte soll die “naive Sichtweise” sein und wo spielt beim 2.ten Cantorschen Diagonalargument die “Unendlichkeit” eine Rolle ( Verständnis – Du erinnerst Dich?)? Bezogen auf die reellen Zahlen sagt es doch nur wenn die reelen Zahlen (in (0,1)) gemäß einer 1:1 Beziehung zu den natürlichen Zahlen gelistet werden, so ließe sich so eine (reelle) Zahl gewinnen (Vielleicht eine Bemerkung zur Dezimalentwicklung reeler Zahlen deinerseits dazu?), die nicht in der Liste ist. Für endliche Listen irgendwie trivial und im nicht-endlichen Fall eben eine Aussage zu den reellen Zahlen und ihrer Vergleichbarkeit mit den natürlichen Zahlen … und da, um eines Deiner Argumente aufzugreifen, vor-Hilbert, über PA und damit als (bis auf Isomorphie) eindeutiges Modell der natürlichen Zahlen (ohne ZFC).

277. #277 Realistischer

     16. Oktober 2013

     A propos: Unendlichkeit gibt es auch ohne dass man extra ein Axiom dafür einführen muss. Jeder Prozess ohne Ende (so wie das z.B. die Folgenbildung gemäß Peano ist) ergibt eine endlose Wiederholung und führt somit in die Unendlichkeit.
     Endscheidend dabei: man erreicht in dem Prozess niemals das, was man als Grenzwert oder sonstwie charakterisiert – und deshalb weis man dass keines der je erreichbaren Ergebnisse das Endergebnis ist.
     Irgendwelche Axiome hin oder her, es kann garnicht anders sein als dass eine Endlosschleife kein Ende hat und auch kein Endergebnis bringt sondern man diesbezüglich bestenfalls über Konvergenz, Divergenz oder Eskalationen sprechen kann.
     Wenn man sich z.B. die Potenzmengenbildung überlegt, ist klar dass diese ebenfalls endlos ist, die Potenzmenge daher auch unendlich. Die Eskalation ist aber eine andere, statt O(n) geht’s mit O(2^n) in die Unendlichkeit. “Verschiedene Unendlichkeiten” würde ich das deswegen nicht nennen.

     Aber o.k., das waren jetzt schon wieder nur meine eigenen Gedanken, ganz sicher ganz schlecht weil nicht mittels Verweis auf Berühmtheiten definiert und allein deswegen schon Grund genug das schlecht zu machen. Mir egal, vllt. gibt’s ja Leser die es trotzdem interessant finden, und die anderen können mir eh wurscht sein.

278. #278 Albrecht Storz

     16. Oktober 2013

     Also jetzt wirst Du albern StefanL. Nein, ich habe nicht die eigenen Zeilen vergessen. Diese Art von Ton kann nur dazu angelegt sein, weitere Diskussionen zu ersticken. Deine LOLs und Doppel-LOLs- geschenkt. Auf so eine Kindergartengeplärre gehe ich gewiss nicht mehr ein.
     Ziel erreicht, hoffentlich bist Du stolz auf Dich.

279. #279 Basilius

     Monogatari

     16. Oktober 2013

     @Albrecht Storz
     Kannst gerne weg bleiben. Ich habe den Eindruck, wie wenn Du sowieso gar nicht ernsthaft diskutieren willst, sondern Dir mehr daran gelegen ist die Diskussion zu stören und andere zu Beleidigen.
     Kann ich drauf verzichten.
     Gehab’ Dich wohl.

280. #280 StefanL

     16. Oktober 2013

     @Albrecht Storz
     Meine Frage aus dem ersten meiner Kommentare (#268) zu Deinem Einstieg ist immer noch nicht beantwortet (gänzlich ohne LOL; und die Nachfrage dazu auch nicht):

     volki: “Lehnt man das Unendlichkeitsaxiom ab, dann kann man nicht entscheiden ob es überhaupt unendliche Mengen gibt.”
     Wie kommst Du denn darauf? Die axiomatische Methode ist nicht die einzige Methode des Erkenntnisgewinns.

     Das es noch weitere Methoden zum Erkenntnisgewinn geben mag, mag ja sein – aber was hat das mit der Frage ob “Unendlichkeit” existiert oder nicht zu tun? Oder anders gefragt: welche “Erkenntnis” darüber kann denn wie sonst gewonnen werden?

     Alsdenn weiter mit #272 …

     Falls Du gegen eine dieser drei Aussagen etwas einzuwenden hast, bitte gerne. Darüber können wir diskutieren.

     und dann

     – Die Rede von verschiedenen Arten von Unendlichkeit ist unsinnig, solange man nicht erklärt, dass diese verschiedenen Unendlichkeiten nur in einem ganz bestimmten Rahmenwerk auffindbar sind, und zwar in einem Rahmenwerk, dass völlig willkürlich angelegt ist und für das keine Denknotwendigkeit existiert

     Starke These – und wie begründet?

     (auch ohne LOL) einfach ignoriert…
     Kein Wunder, dass zu

     Außerdem gibt es keine unendlichen Mengen nur unendliche Klassen. Wer will diese Behauptung von mir jetzt widerlegen?

     Also: wie siehts aus ( Eine Klasse ist unendlich wenn sie eine echte Teilklasse gleicher Mächtigkeit umfaßt) – zeig’ doch mal ein Modell zu der gemachten Existenz Behauptung über Klassen…

     ( ebenfalls ohne LOL) nichts kommt und ein selbstgesetzter link auf einen Artikel in plato.stanford.edu mit “ich möchte auch keine philosophische Diskussion führen.”(Was denn sonst?) unterlegt wird. (kein LOL spare ich mir jetzt)

     Und zum Doppel-LOL(wenn das keinen herzhaften Lacher wert ist…): Auf welcher Basis wenn nicht Prädikatenlogik 1.Stufe willst Du denn “Skolem” ( der von Dir eingebracht wurde!) sonst diskutieren?

     Einen hätte ich noch:
     #259 Übrigens ist die moderne Mengenlehre mit z.B. dem ZFC-Axiomensystem von einer Reihe von Paradoxien geprägt, die man nur mühsam wegerklären kann (insbesondere Skolem, […]
     #267 Und ich habe nie Behauptet, dass hier eine Antinomie vorläge.
     Zitat Duden ( Nomenklatur und so)
     – Paradoxie: paradoxer Sachverhalt; etwas Widersinniges, Widersprüchliches.
     – Antinomie: Widerspruch eines Satzes in sich oder zweier Sätze, von denen jeder Gültigkeit beanspruchen kann

     Auf so eine Kindergartengeplärre gehe ich gewiss nicht mehr ein.

     Sauber aus der Affäre gezogen oder wie?
     Du armes Opfer, Deine Koketterie mit Deinem halbgaren Kindergartenunwissen zur Mathematik wird einfach nicht gewürdigt…und so unfair – ich bin doch nicht mal der einzige der Deine Kommentare liest.

281. #281 volki

     17. Oktober 2013

     @Albrecht storz

     Du versuchst hier etwas als selbstverständlich darzustellen, was nicht selbstverständlich ist. Soweit ich das sehe ist dies keine Mathediskussionsgruppe. Einfach zu behaupten die Voraussetzung von ZF oder ZFC wäre selbstverständlich mag cool erscheinen, ist es aber nicht.

     Hier in diesem Diskussionsstrang wird über Mathematik diskutiert. Und es ist nunmal in der Mathematik “common sense” dass ZF bzw. ZFC die Grundlagen der Mengenlehre sind. Dir gefällt nicht, das Unendlichkeitsaxiom nicht. Gut das Unendlichkeitsaxiom ist unabhängig von den anderen ZF-Axiomen. Aber nur mit endlichen Mengen zu arbeiten nennt man üblicherweise Kombinatorik 😉 Dir gefällt nicht dass Leute die nicht mindestens Mathematik und speziell Mengenlehre studiert oder sich damit eingehend beschäftigt haben über Mengenlehre reden, ok. Da bin definitiv nicht deiner Meinung. Ich als Mathematiker bin sehr froh über solche Artikel von Florian, in denen dem interessierten Laien Mathematik näher gebracht wird. Und keine Angst falls aus mathematischer Sicht hier etwas falsch oder schlecht dargestellt wird beschwere ich mich auch.

     Zu Skolem: ich möchte auch keine philosophische Diskussion führen. Ich habe nur darauf hingewiesen, dass noch nicht endgültig festgestellt wurde, wie überabzählbare Mengen im Zusammenhang mit dem Skolem- Paradoxon zu verstehen sind.

     Hast du den verlinkten Artikel genau gelesen da steht unter Conclusion:

     We close this entry with a brief recap of two of the main points that we’ve tried to emphasize. First, from a purely mathematical standpoint, there’s no conflict between Cantor’s Theorem and the Löwenheim-Skolem Theorems.

     Also selbst dort wie gesagt vom mathematischen Standpunkt aus ist alles gesagt. Gut philosophisch mag es da noch Fragen geben, aber ich bin kein Philosoph und will auch nicht philosophisch über Unendlichkeit diskutieren.

     Zu deinem 2. Punkt in #272. Es ist absolut nicht selbstverständlich, dass aus der Existenz von Potenzmengen+ Existenz unendlicher Mengen, unterschiedliche, unendliche Mächtigkeiten gibt. Dazu hat Cantor erst sein Diagonalverfahren erfinden müssen, den Begriff Mächtigkeit definieren usw. Und das war wohl eine der größeren Errungenschaften der Mathematik des 19. Jahrhunderts.

282. #282 Adent

     17. Oktober 2013

     Als Kommentar eines mathematischen Laien möchte ich ergänzen, daß ich Albrecht Storz allein von seinem Auftreten hier als Crank bezeichnen würde. Er kommt hier in den Thread und behauptet ohne Belege (was ja gerade in der Mathematik unabdinglich ist) viele Leute, die hier diskutierenden eingeschlossen hätten ein naives Verständnis der Mengenlehre.
     Nun kann man über das Wort naiv als Beleidigung streiten, ich empfinde es aber als zumindest höchst abwertend.
     Daraufhin kommt Gegenwind, der im Gegensatz zu Storzens Ergüssen belegt wird und was passiert?
     Die übliche Reaktion eines Cranks, beleidigtes Fauchen (weiterhin keine Belege) und die Ankündigung sich nicht beleidigen zu lassen bzw. bei solchen Kindergartenspielen nicht mitzumachen.
     Ganz großer Auftritt Herr Storz, was glauben sie wie sowas bei Nicht-Mathematikern ankommt?

283. #283 Alderamin

     17. Oktober 2013

     @Adent

     Scheint ihm ja öfters so zu gehen, siehe letzter Absatz in #267. Muss dann natürlich an den anderen Foristen liegen, klar, ist ja sonst keiner da…

284. #284 Spritkopf

     17. Oktober 2013

     Scheint ein besonders bei den Mathe-Crackpots beliebtes Thema zu sein. Erinnert sich noch jemand an den Crank bei Ulrich Berger?

285. #285 StefanL

     17. Oktober 2013

     @volki
     Aber nur mit endlichen Mengen zu arbeiten nennt man üblicherweise Kombinatorik 😉
     Nicht nur endliche, diskrete Mengen(Strukturen) bitte – eine Gemeinsamkeit mit “der” Zahlentheorie. 😉
     Dabei ist sicherlich zusätzlich festzuhalten, dass weder Kombinatoriker noch Zahlentheoretiker mit Finisten identisch sind.

286. #286 volki

     17. Oktober 2013

     @StefanL

     Ja da gebe ich dir vollkommen recht. Ich wollte es auch nur möglichst kurz auf den Punkt bringen darum auch das 😉 am Ende meines Satzes.

287. #287 PDP10

     18. Oktober 2013

     @Adent, bzw All:

     “Er kommt hier in den Thread und behauptet ohne Belege (was ja gerade in der Mathematik unabdinglich ist) viele Leute, die hier diskutierenden eingeschlossen hätten ein naives Verständnis der Mengenlehre.”

     Bei Storzens Postings kam mir immer wieder der Begriff “naiv” bekannt vor …

     Das lustige dabei ist nämlich (Achtung: privat Witz! …), dass das beste Buch, dass ich bisher über Mengenlehre gelesen habe ausgerechnet “Naive Mengenlehre” heisst. (von Paul Halmos)

     Disclaimer:
     Ich habe Mathe nur im Nebenfach studiert und kann daher natürlich nicht in den lichten Höhen in denen sich Herr Storz bewegt, mithalten.
     Aber die Koinzidenz fand ich schon lustig 🙂

288. #288 Albrecht Storz

     19. Oktober 2013

     Was man hier nicht sehen will:

     In #265 behautet volki: „Falsch war, dass aus dem Unendlichkeitsaxiom folgt, dass es nur ein unendlich gibt.“

     Das habe ich nie behauptet. Auf meine Anmerkung dazu kam keinerlei Reaktion.

     Volki weiter: „Lehnt man das Unendlichkeitsaxiom ab, dann kann man nicht entscheiden ob es überhaupt unendliche Mengen gibt.“

     Jeder, der sich einigermaßen mit der Materie auskennt weiß, dass man nicht innerhalb ZF argumentieren und gleichzeitig das Unendlichkeitsaxiom, das Bestandteil von ZF ist, ablehnen kann. Also ist spätestens an dieser Stelle klar, dass wir hier nicht ZF oder ZFC voraussetzen, sondern generell im Rahmen einer Axiomatik sprechen in der dieses oder jenes Axiom angenommen oder eben nicht angenommen werden kann. Dies hätte übrigens schon von meinem ersten Posting an klar sein können, in dem ich die Annahme des Unendlichkeitsaxioms in Frage stellte. Insofern ist die Behauptung von StefanL in #270 unnütz, es wäre schon vorher immer wieder auf ZF und ZFC Bezug genommen worden. In #271 sagt volki aus, er setze immer ZF oder ZFC voraus, und diese wäre selbstverständlich. Dies ist unsinnig, wenn man die Voraussetzbarkeit des Unendlichkeitsaxioms diskutiert, wie oben hoffentlich deutlich wurde.

     Volki weiter in #265: „Aber sobald es eine unendliche Menge S gibt, dann gibt es auch deren Potenzmenge P(S).“

     Auch diese Aussage ist nur so zu verstehen, dass wir _über_ ZF reden, und nicht _in_ ZF argumentieren. Da vorher schon über die Annahme des Unendlichkeitsaxioms gesprochen wurde („Lehnt man das Unendlichkeitsaxiom ab …“) kann hier nicht einfach alle anderen ZF-Axiome vorausgesetzt werden. Die Aussage „Aber sobald es eine unendliche Menge S gibt, dann gibt es auch deren Potenzmenge P(S).“ gilt eben nur dann, wenn man zum Unendlichkeitsaxiom auch das Potenzmengenaxiom annimmt. Darauf habe ich hingewiesen.

     I#276 von StefanL:
     „Ja da sind wir dann doch beim Verständnis gelandet. Gibt es eine “Menge” so hat diese Menge “Teilmengen”. Und diese können zu einer “Menge der Teilmengen” zusammengefasst werden. Das hat gar nichts mit “Unendlichkeit ” zu tun sondern nur damit , dass dieses Objekt der Zusammenfassung von allen Teilmengen einer Menge wieder eine Menge ergibt. Und wenn schon Formulierungsfetischismus: wenn ZFC verwendet wird braucht UA und/oder “Potenzmenge” nicht mehr gefordert werden, das steckt da schon drin – außer es wird von einem ganz, gaaanz anderem ZFC gesprochen.“

     Der Passus deutet auf genau das Missverständnis hin, das ich versuchte zu vermeiden: Ja, bei endlichen Mengen gibt es deren Potentmengen ohne dass diese durch ein Axiom gefordert werden müssten. Aber genau dies ist bei unendlichen Mengen anders, und genau dafür muss ein extra Axiom, das Potenzmengenaxiom eingeführt werden. Wer diese Zusammenhänge nicht kennt, sollte hier ganz ruhig sein.
     Dass wir eben nicht ZFC verwendet haben, sondern über die Berechtigung dessen Axiome, darauf habe ich hoffentlich schon ausreichend hingewiesen.

     Volki weiter in #265:: „Zu meinem Zitat bzgl. dem Paradoxon von Skolem. Die beste Erklärung dazu ist die angegebene Textstelle im Buch von Manin. Dort wird das auf ca. 4 Seiten sehr schön dargestellt warum dieses Paradoxon nicht im Widerspruch zur Mengenlehre steht.“

     Richtig. Ich habe nie behauptet, dass Skolem im Widerspruch zur Mengelehre steht. Im Rahmen der Philosophie der Mathematik wird bei einem Widerspruch von einer Antinomie gesprochen. Eine Antinomie liegt genau dann vor, wenn innerhalb eines Systems eine Aussage _und_ deren Gegenteil abgeleitet werden kann. Im Gegensatz dazu wird von einer Paradoxie gesprochen, wenn uns ein Ergebnis paradox vorkommt. Ein Paradoxon muss aber keine Antinomie sein. Dies scheint dem StefanL nicht bekannt zu sein, oder wie soll man seinen Kommentar in #280 deuten:
     „Einen hätte ich noch:
     #259 „Übrigens ist die moderne Mengenlehre mit z.B. dem ZFC-Axiomensystem von einer Reihe von Paradoxien geprägt, die man nur mühsam wegerklären kann (insbesondere Skolem, […]“
     #267 „Und ich habe nie Behauptet, dass hier eine Antinomie vorläge.“
     Zitat Duden ( Nomenklatur und so)
     – Paradoxie: paradoxer Sachverhalt; etwas Widersinniges, Widersprüchliches.
     – Antinomie: Widerspruch eines Satzes in sich oder zweier Sätze, von denen jeder Gültigkeit beanspruchen kann“

     Dies ist nur eine kleine Auswahl von Fehlern und Widersprüchen, die hier von volki und StefanL aufgehäuft wurden, die sie aber sicher nicht als solche erkennen werden, da ihnen offensichtlich jede Spur von Selbstkritik fehlt.

     Es sei hier noch vermerkt, dass ich ausdrücklich Skolem nicht diskutieren wollte, dies wurde mit Bemerkungen wie
     #276: „Och – schade; nach der Verlinkung eines Artikels aus plato.stanford.edu zu Skolem hatte ich tatsächlich gehofft mal einen brauchbaren Kommentar aus der Philosophenecke zu den Hauptsätzen der Prädikatenlogik 1.Ordnung oder zu AC zu bekommen.“
     „Doppel LOL da passt ja dann auch
     „Das Thema ist einfach zu komplex wenn noch keine gemeinsame Grundlage mit Nomenklatur, Bezugsrahmen, etc. existiert.“
     hervorragend hinein. Auf welcher Basis wennn nicht auf Prädikatenlogik erster Stufe soll “Skolem” denn diskutiert werden?“

     und #280: „( ebenfalls ohne LOL) nichts kommt und ein selbstgesetzter link auf einen Artikel in plato.stanford.edu mit “ich möchte auch keine philosophische Diskussion führen.”(Was denn sonst?) unterlegt wird. (kein LOL spare ich mir jetzt)
     Und zum Doppel-LOL(wenn das keinen herzhaften Lacher wert ist…): Auf welcher Basis wenn nicht Prädikatenlogik 1.Stufe willst Du denn “Skolem” ( der von Dir eingebracht wurde!) sonst diskutieren?“

     #281: „Also selbst dort wie gesagt vom mathematischen Standpunkt aus ist alles gesagt. Gut philosophisch mag es da noch Fragen geben, aber ich bin kein Philosoph und will auch nicht philosophisch über Unendlichkeit diskutieren.“

     Was bitte ist daran ungehörig, dass ich auf einen als seriös geltenden Artikel hingewiesen habe, in dem auf Unklarheiten bei der Auffassung von Skolems Paradoxon hingewiesen wird, aber weiterhin darum bitte, dieses Thema nicht zu vertiefen? Warum wird dann darauf herumgeritten. Zumal letztzitierter Kommentar von volki genau auf dasselbe hinausläuft. Ich wiederhole: Ich habe nur darauf hingewiesen, dass es in Zusammenhang mit der modernen Mengenlehre noch Fragen gibt, die noch nicht ausdiskutiert wurden.

     Diese Unsägliche „Diskussion“ kann gewiss nicht in vollem Umfang aufgearbeitet werden. Auf eines weise ich nur noch hin: „Naive Mengenlehre“ ist ein gängiger Ausdruck für eine nicht vollständig axiomatisierte Benutzung von Mengen. Die Anfänge der Mengenlehre werden oft mit dem Ausdruck belegt. Und genau die naive Annahme von beliebigen Mengen hat zum Paradoxon von Russell geführt. Die Erkenntnis daraus war, dass nicht alles, was nach Menge aussieht im axiomatischen Sinn als solche genutzt werden darf.

     Zu der Aussage von Adent in #282: „Daraufhin kommt Gegenwind, der im Gegensatz zu Storzens Ergüssen belegt wird und was passiert? …“

     Nun, bitte wo sind denn die Belege dieser Gegenwind-Auslöser? Meine einzige Aussage die für jeden, der sich mit Mengenlehre ausreichend beschäftigt hat, nicht offensichtlich sein mag, ist die Aussage, dass durch das Skolem-Paradoxon noch einige Frage ungeklärt sind. Diese Aussage habe ich durch eine seriöse Quelle belegt. Wo aber sind denn die Belege derer, die den Gegenwind erzeugt haben? Da muss ich mich jetzt fragen: was versteht Adent unter einem Beleg? Meinem Verständnis eines Beleges nach, sehe ich keinen einzigen. Interessant, dass Adent, ohne jeden Beleg, genau das Gegenteil behauptet.

     Nochmal, wo sind meine Kernaussagen widerlegt, die da sind:

     – Die Rede von verschiedenen Arten von Unendlichkeit ist unsinnig, solange man nicht erklärt, dass diese verschiedenen Unendlichkeiten nur in einem ganz bestimmten Rahmenwerk auffindbar sind, und zwar in einem Rahmenwerk, dass völlig willkürlich angelegt ist und für das keine Denknotwendigkeit existiert – im Gegensatz etwa zur Rede von verschiedenen Automarken – oder was auch immer. Der häufig erweckte Eindruck, verschiedene Unendlichkeiten seien denknotwendig, ist einfach nur grottenfalsch.

     – In der axiomatischen Methode, bei Verwendung etwa von ZFC, muss 1. die unendliche Menge axiomatisch gefordert werden, und 2. muss die Potenzmengen unendlicher Mengen axiomatisch gefordert werden. Anders gesagt wird zuerst axiomatisch eingeführt dass es verschiedene Unendlichkeiten geben solle, um dann plötzlich, Trara, verschiedene Unendlichkeiten aus dem Hut zu ziehen, wie der Zauberer das Karnickel. Beides ist vorher schon hineingesteckt worden und daher beides kein Wunder und keine Überraschung – zumindest für den, der den Trick durchschaut.

     – Leider glauben heute viele Menschen, die mit Mathematik in Berührung gekommen sind, sie wüssten über diesen Themen-Komplex bescheid und staunen gerne über das ach so tolle 2. Diagonalargument von Georg Cantor ohne die Materie auch nur annähernd zu durchdringen. Das fängt damit an, dass die Annahme einer unendlichen Menge als selbstverständlich angesehen wird. Naiv gesehen ist diese Annahme unproblematisch. Aber eben nur unter dieser naiven Sichtweise. Aus dieser naiven Sichtweise kann man aber nicht plötzlich in die axiomatische hopsen und eben das Karnickel präsentieren.

     Ich möchte hier noch darauf hinweisen, dass die moderne axiomatische Methode, im Unterschied zu früheren axiomatischen Ansätzen, nicht fordert, dass Axiome unmittelbar einleuchten müssen. Dies bezeichne ich als willkürliche Annahmen. Dass ein gültiges Axiomensystem natürlich auch in der modernen Axiomatik gewisse Anforderungen erfüllen muss, ist in diesem Zusammenhang unerheblich, setzte ich aber als bekannt voraus.

     Ich weise auch noch mal darauf hin, dass bei einer naiven Auffassung die Annahme einer unendlichen Menge selbstverständlich sein mag, schließlich hat man in der Schule schon dauernd von der Menge der natürlichen Zahlen gesprochen. Aber deshalb muss diese Menge nicht selbstverständlich sein und ist es auch nicht. Außerdem ist es eine nachprüfbare Tatsache, dass wenn man ZF ohne spezielles Potenzmengenaxiom annimmt, es keine Stufenfolge der Unendlichkeiten gibt. Anders gesagt: Ohne spezielle Axiome dafür gibt es eben keine Stufenfolge der Unendlichkeiten. Und es ist nun wirklich nicht selbstverständlich, eine Potenzmenge einer unendlichen Menge anzunehmen. Mag zwar Geschmacksfrage sein. Aber darüber kann man nicht im wissenschaftlichen Sinne streiten.

     Ich lasse das jetzt mal so stehen. Mag jeder für sich selbst prüfen, was hier abgegangen ist. Ich kann nur noch eins sagen: Ich vertrete gewiss nicht die Standard-Meinung zu dem Thema. Aber das kann kein Grund sein, insbesondere auch nicht für Personen, die eine wissenschaftliche Ausbildung genießen oder genossen haben, das, was Tatsache ist zu ignorieren und nur nach ihrem Bauchgefühl und der vielleicht verletzten Eitelkeit zu urteilen.

289. #289 PDP10

     19. Oktober 2013

     Mein Lieber Herr @Storz:

     Auch Sie möchte ich freundlich fragen — wie an anderer Stelle jemand anderes – könnten Sie bitte vernünftig, dh. lesbar zitieren?

     Daher Ihre #288?

     Sorry, nicht lesbar …

290. #290 volki

     19. Oktober 2013

     Und jetzt mit richtig gesetzten Kommentaren…

     @Albrecht Storz

     Das habe ich nie behauptet. Auf meine Anmerkung dazu kam keinerlei Reaktion.

     Ok, hast du nicht habe ich falsch interpretiert, aber bitte wenn du das ausschlachten wilsst…

     Jeder, der sich einigermaßen mit der Materie auskennt weiß, dass man nicht innerhalb ZF argumentieren und gleichzeitig das Unendlichkeitsaxiom, das Bestandteil von ZF ist, ablehnen kann.

     Man kann aber sehr wohl ZF – Unendlichkeitsaxiom betrachten. Aber wer bezweifelt denn das Unendlichkeitsaxiom und sagt daraus entsteht Blödsinn?

     Ja, bei endlichen Mengen gibt es deren Potentmengen ohne dass diese durch ein Axiom gefordert werden müssten.

     Glaube ich nicht. Wie beweist du denn in ZF- (Potenzmengenaxiom und Unendlichkeitsaxiom) die Existenz von Potenzmengen? Ich wüßte nicht wie.

     Ich habe nur darauf hingewiesen, dass es in Zusammenhang mit der modernen Mengenlehre noch Fragen gibt, die noch nicht ausdiskutiert wurden.

     Und Skolem ist ein sehr gutes Beispiel, dass dort mathematisch alles geklärt wurde. Da gibt es vom mathematischen Standpunkt aus keine Fragen mehr! Aber offenbar siehst du es doch anders und ich empfehle in diesem Fall wieder das Buch von Manin zu lesen.

     Was bitte ist daran ungehörig, dass ich auf einen als seriös geltenden Artikel hingewiesen habe, in dem auf Unklarheiten bei der Auffassung von Skolems Paradoxon hingewiesen wird, aber weiterhin darum bitte, dieses Thema nicht zu vertiefen?

     Vielleicht weil du es so hin stellst, als seien vom mathematischen Standpunkt noch Fragen offen!

     Die Anfänge der Mengenlehre werden oft mit dem Ausdruck belegt. Und genau die naive Annahme von beliebigen Mengen hat zum Paradoxon von Russell geführt.

     Und auch das ist schon seit 100 Jahren geklärt.

     Zu deinen 3 Punkten:

     1. Punkt ist gklärt da Unendlichkeitsaxiom + Potenzmengenaxiom. Ja, jeder der sich tiefer mit Mengenlehre beschäftigt sollte sich auch mit diesen Axiomen beschäftigen. Um die Idee zu bekommen dass es verschiedene unendliche Kardinalzahlen gibt reicht aber völlig eine “naive” herangehensweise.

     Der häufig erweckte Eindruck, verschiedene Unendlichkeiten seien denknotwendig, ist einfach nur grottenfalsch.

     Nein! Da es reicht die natürlichen Zahlen und die reelen Zahlen als Mengen zu erkennen und zu zeigen, dass es keine Bijektion zwischen ihnen gibt.

     Also zwischen Punkt 2 und 3 sehe ich jetzt nicht den großen Unterschied und bin darauf schon in #281 (letzter Absatz) eingegangen!

     Außerdem ist es eine nachprüfbare Tatsache, dass wenn man ZF ohne spezielles Potenzmengenaxiom annimmt, es keine Stufenfolge der Unendlichkeiten gibt.

     Ja und blöd, dass man ohne Potenzmengenaxiom die Menge der reellen Zahlen nicht als Menge erkennen kann. Vielleicht ist ja darum das Potenzmengenaxiom in ZF enthalten?

291. #291 volki

     19. Oktober 2013

     @PDP10

     Ja da möchte ich mich anschließen. Wäre nicht in den ersten Zeilen mein Name explizit gestanden wäre es ein

     sorry tltr

     geworden.

292. #292 StefanL

     19. Oktober 2013

     @Albrecht Storz

     volki: “Lehnt man das Unendlichkeitsaxiom ab, dann kann man nicht entscheiden ob es überhaupt unendliche Mengen gibt.”
     Wie kommst Du denn darauf? Die axiomatische Methode ist nicht die einzige Methode des Erkenntnisgewinns.

     Nochmal: Welche Methode soll das sein die uns Erkenntnisse über “Unendlichkeit” vermittelt?

     Worin besteht der Unterschied von “Widersprüchlichem” zu “Widerspruch eines Satzes in sich”?

     Und wo ist in
     
     die Kardinalität bedeutsam?

293. #293 PDP10

     20. Oktober 2013

     @StefanL:

     “Nochmal: Welche Methode soll das sein die uns Erkenntnisse über “Unendlichkeit” vermittelt?”

     Hach!

     Wenn ich doch nur jedesmal einen Euro für eben diese Frage bekommen hätte: “Ja welche andere Methode das denn sei, die (hier beliebiges Einsetzen) ….”

     Dann hätte ich jetzt jede Menge Euros … und immer, immer nie eine Antwort bekommen …

     Dieses ständige Geraune von “es könnte ja auch so oder so sein, nicht wahr” (in bedeutungsschwangerem Tonfall) nervt langsam!
     Danach kommt nämlich immer …. genau! Nix!

294. #294 Kleine und große Unendlichkeiten › Die Sankore Schriften › SciLogs - Wissenschaftsblogs

     15. Dezember 2013

     […] Wie groß ist die Unendlichkeit? fragte neulich Florian Freistetter auf Astrodicticum Simplex und stellte ein TED-Video von Denis Wildfogel vor, in dem dieser auf verständliche Weise Georg Cantors Klassifizierung unendlicher Zahlenmengen erklärt. Cantor unterschied zwischen abzählbar unendlichen Mengen (z. B. die Menge der ganzen Zahlen) und überabzählbar unendlich Mengen, die nicht abzählbar sind (z. B. die Menge der reellen Zahlen). […]