Seit einiger Zeit treibt sich ein Video durchs Internet. Es stammt von den eigentlich sehr guten Leuten vom Numberphile-Videoblog und erklärt, wie man die Summe aller natürlichen Zahlen berechnet. Also das Ergebnis von 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + … Und überraschenderweise wird dort behauptet, dass Ergebnis dieser unendlichen Summe wäre gleich -1/12. Das klingt absurd. Wie kann eine unendliche Summe positiver ganzer Zahlen plötzlich negativ sein? Und natürlich ist es auch absurd. Die Summe aller natürlichen Zahlen ist nicht gleich -1/12.
Das Video selbst wurde mittlerweile schon über eine Million mal aufgerufen. Und als dann auch noch der prominente Wissenschaftsblogger Phil Plait darüber schrieb und das Ergebnis “most astonishing math” nannte, waren sehr viele Leute davon überzeugt, dass diese Rechnung wirklich korrekt ist: Dass wir nicht intuitiv verstehen, warum die Summe aller natürlichen positiven Zahlen ein negativer Bruch ist, läge eben daran, dass wir die Unendlichkeit nicht intuitiv verstehen.
Irgendwo da hinten muss die Unendlichkeit sein!
Die Unendlichkeit ist knifflig – aber trotzdem ist die Rechnung falsch. Das haben zum Beispiel der Mathematiker Mark Chu-Carroll in seinem Blog “Good Math, Bad Math” oder auch Thilo Küssner vom “Mathblog” ausführlich erklärt.
Um die Sache kurz zusammen zu fassen: Die Summe aller natürlichen Zahlen hat kein endliches Ergebnis und schon gar kein negatives. Es gibt kein Ergebnis im eigentlichen Sinn, denn diese unendliche Zahlenreihe ist divergent, das heißt sie wächst ständig weiter. Es gibt auch konvergente Reihen. Die Summe von 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … ist zum Beispiel nicht unendlich, sondern schlicht und einfach 2. Denn es gibt zwar unendlich viele Zahlen die hier aufsummiert werden; diese Zahlen werden aber auch immer kleiner und kleiner und jeder weitere Beitrag immer weniger relevant für das Endergebnis.
Aber die Reihe aller natürlichen Zahlen konvergiert nicht. Es gibt allerdings verschiedene mathematische Techniken, mit der man so einer Reihe einen bestimmten Wert zuweisen kann. Berechnet man zum Beispiel die sogenannte Ramanujan-Summe von 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … dann erhält man am Ende tatsächlich -1/12. Das ist aber eben nicht die eigentliche Summe aller natürlichen Zahlen. Die existiert nicht. Das wurde im Video von Numberphile leider nicht ausführlich erklärt und viele Leute haben sich von der Absurdität des Ergebnis einfach mitreißen lassen, ohne genauer darüber nachzudenken (unter anderem übrigens auch Spiegel Online).
Dabei ist die Unendlichkeit schon faszinierend genug! Da muss man nicht auch noch mit solchen komischen Geschichten Eindruck schinden. Zu diesem Thema ist gerade kürzlich erst ein sehr schönes animiertes Ted-Ed-Video veröffentlicht worden. Es demonstriert das klassische Beispiel von “Hilberts Hotel” (aber auch wer das schon kennt sollte es sich trotzdem ansehen – die Sache mit den Primzahlen am Schluss kannte ich zum Beispiel noch nicht) und zeigt, dass die Unendlichkeit tatsächlich ziemlich komisch ist!
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