Unsere Welt ist nicht statisch. Dinge ändern sich mit der Zeit. Das sollte natürlich auch für quantenmechanische Objekte wie die Wellenfunktion gelten, die wir uns heute angucken. Damit das nicht so trocken wird, habe ich extra für Euch ein paar exklusive Animationen vorbereitet. Viel Mathematik werde ich diesmal nicht benutzen, sondern lieber versuchen, Euch ein “Gefühl” dafür zu vermitteln, wie zeitabhängige Wellenfunktionen aussehen.
Wie schon im zweiten Teil schauen wir wieder auf das beliebte Kastenpotential – unser Elektron ist also in einen Kasten der Länge L fest eingesperrt, drinnen ist seine potentielle Energie überall gleich groß, nämlich V(x)=0.
Die Energieniveaus im Kasten und die zugehörigen Wellenfunktionen hatten wir ja schon in dieser Grafik gesehen:
Was hier gezeichnet ist, ist der räumliche Anteil der Wellenfunktion ψ(x). Die Wellenfunktion hängt aber auch von der Zeit ab. Die zeitabhängige Wellenfunktion Ψ(x,t) ist nun eine komplexe Zahl, also eine, die einen Real- und einen Imaginärteil hat. Das ist mathematisch erstmal kein großes problem, physikalisch dagegen schon, denn es zeigt, dass man Ψ selbst niemals messen kann: Messwerte können schlecht komplexe Zahlen sein.
Bevor wir uns über die Interpretation der Wellenfunktion mehr Gedanken machen, will ich erst einmal konkret zeigen, wie zeitabhängige Wellenfunktionen aussehen. In unserem Kastenpotential ist die zeit- und ortsabhängige Wellenfunktion für eine Energie E gegeben durch die Formel
Ψ(x,t) = ψ(x) exp(-i E t / ħ)
Dabei ist ψ der räumliche Anteil, den wir ja schon kennen, und E ist die zugehörige Energie der Wellenfunktion, die wir ja im zweiten Teil berechnet haben. ψ(x) wird also mit einer e-Funktion multipliziert, die wir im letzten Teil kennengelernt haben. Das Argument der e-Funktion ist rein imaginär (hat die Form i multipliziert mit einer reellen Zahl). Auch ψ(x) ist eine reelle Zahl.
Wie wir letztes Mal gesehen haben, bedeutet das, dass der zeitunabhängige Funktionswert ψ(x) in der komplexen Ebene gedreht wird, und zwar an allen Ort x gleich. Statt das mit vielen Worten zu erklären, hier eine kleine Animation, die das anschaulich machen soll (die Bilder habe ich mit dem Programm scilab erstellt, eine Art frei verfügbare Version von Matlab, und dann mit dem guten alten gifsicle animiert)
Die schwarze Linie ist die x-Linie, auf der sich unsere Wellenfunktion befindet. Nach rechts ist der Realteil aufgetragen, nach oben der Imaginärteil. Unser Wellenberg rotiert in der komplexen Ebene, aber an allen Orten genau gleich.
Letztes Mal hatten wir ja gesehen, das man jede komplexe Zahl schreiben kann als z exp(ix). Das x-Argument der e-Funktion nennt man manchmal auch die “Phase” der Zahl. In unserer Wellenfunktion für den Kasten ist die Phase nicht ortsabhängig, sondern überall gleich.
Wir können dasselbe Spiel auch mit einer Wellenfunktion mit höherer Energie spielen, hier die Wellenfunktion zum nächsthöheren Energiezustand:
Wie man sieht, rotiert sie deutlich schneller – genau viermal so schnell, weil ja ihre Energie auch viermal so hoch ist.
Zugegebenermaßen ist diese Dreherei zwar hübsch anzuschauen, aber letztlich doch ziemlich langweilig, weil die Phase eben nicht vom Ort abhängt.
Interessanter wird es, wenn wir kompliziertere Zustände angucken. Die können wir leicht bekommen: Ist nämlich Ψ1 eine Wellenfunktion mit der Energie E1 und Ψ2 eine Wellenfunktion mit der Energie E2, dann ist auch ihre Summe eine zulässige Lösung der Schrödingergleichung. (Allerdings nicht, wie man denken könnte, mit der Energie E1+E2.)
Wir können also die Summe unserer beiden Wellenfunktionen oben bilden. Dann kommt das hier heraus:
Schon ganz hübsch, oder? Wenn man die Animation mit den beiden oben vergleicht, dann erkennt man, wie die Überlagerung dazu führt, dass sich die Welle spiralförmig um die Achse windet.
Noch hübscher (und wirrer) wird es, wenn man die ersten vier Funktionen überlagert:
(Merkt man irgendwie, dass mir das Spielen mit scilab Spaß macht?)
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