Eine ebene Welle ist ja periodisch; die Welle sieht nach Ablauf einer Periodendauer wieder genauso aus wie am Anfang – das könnt ihr an der Animation oben gut erkennen.
In der Quantenfeldtheorie berechnen wir Wahrscheinlichkeitsamplituden – die nichts anderes als kleine Pfeile sind. Wir fragen uns jetzt also, was die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür ist, dass eine ebene Welle zur Zeit t=0 in eine identische ebene Welle zur Zeit t=T übergeht, wobei T genau die Periodendauer der Welle ist, also die Zeit, nach der sie gleich aussieht. Wenn ebene Wellen nach wie vor eine Lösung sein sollen, dann muss die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür logischerweise exakt den Wert 1 haben, sonst hat sich was geändert. Das schreibe ich wieder so:
A( Ebene Welle bei t=0, Ebene Welle bei t=T) =1
Wohlgemerkt, die Amplitude muss eins sein, nicht nur die Wahrscheinlichkeit, denn sonst wäre die Situation eben nicht genau periodisch.
Diese Amplitude setzt sich aus lauter Beiträgen der unterschiedlichen Feldkonfigurationen zusammen, jede von ihnen mit ihrer Wirkung gewichtet.
Wir müssen jetzt also alle denkbaren Konfigurationen angucken, die zur Zeit t=0 und t=T wie unsere ebene Welle aussehen. Das ist natürlich unsere ebene Welle selbst, aber auch so etwas wie das hier:
oder auch so etwas
Nehmen wir uns eine dieser Konfigurationen heraus und betrachten sie etwas genauer. Als erstes berechnen wir jetzt wieder dieselbe Größe wie beim vorletzten Mal, die Lagrangefunktion L, die die räumliche und zeitliche Änderung beinhaltet. L hat zu jedem Zeitpunkt zwischen t=0 und t=T an jedem Ort x einen bestimmten Wert. Alle diese Werte addieren (integrieren) wir auf und das Ergebnis ist die Wirkung.
Inzwischen seid ihr ja so formel-gestählt, dass ich die Formel hier ruhig hinschreiben kann, ohne dass ihr gleich wegklickt (und ich erkläre sie natürlich auch in Worten). Sie sieht so aus:
In Worten: Die Wirkung S für eine bestimmte Feldkonfiguration φ (die von Ort und Zeit abhängt) berechnet sich, indem man die Lagrangefunktion L aus φ berechnet, und zwar für alle Orte x und alle Zeiten t (von t=0 bis t=T, das steht am Integral) und alles aufaddiert (integriert).
Zu unserer Feldkonfiguration φ gehört also ein Wert der Wirkung. (Sprachliche Anmerkung: Mit “Feldkonfiguration” meine ich hier das gesamte Feld im betrachteten Zeitintervall, nicht nur das Feld zu einer bestimmten Zeit.) Und genau wie beim Pfadintegral für ein einzelnes Elektron gehört jetzt dazu ein Amplitudenpfeil. Der hat die Länge 1 und einen Drehwinkel, der gerade gleich der Wirkung ist. Das können wir schreiben als
Ich habe hier mal wieder das ħ eingebaut.
Die Gesamtamplitude dafür, dass aus einer ebenen Welle zur Zeit t=0 eine ebene Welle zur Zeit t=T wird, bekommen wir jetzt, indem wir alle diese Pfeile addieren:
Das ist genau die gleiche Formel wie für das Elektron, nur jetzt mit Feldern φ. Dabei darf ich auf der rechten Seite nur solche Feldkonfigurationen nehmen, die tatsächlich zur Zeit t=0 und t=T einer ebenen Welle entsprechen, genau wie ich beim Elektron nur solche Pfade betrachten durfte, bei denen das Elektron am Anfang und Ende am richtigen Ort ist (beispielsweise bei Q und x).
Nehmen wir jetzt einmal an, wir haben tatsächlich folgendes berechnet: Die Amplitude dafür, dass eine ebene Welle φWelle(x,t=0) in eine identische ebene Welle φWelle(x,t=T) übergeht, ist exakt gleich 1. (Dabei muss das Feld in der Zeit zwischen t=0 und t=T, wo wir es nicht beobachten, nicht wie eine ebene Welle aussehen – alle denkbaren Konfigurationen tragen zur Gesamtamplitude bei.) Also nochmal, weil man sich leicht verwirren lässt: Zu zwei bestimmten Zeiten beobachten wir unser Feld, und da soll es eine ganz bestimmte ebene Welle φWelle(x) sein. Wir nehmen jetzt an, dass für genau diese Welle die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür, zur Zeit T wieder genau so auszusehen, gleich 1 ist. Dann verhält sich das Feld (wenn wir es beobachten) wie eine ebene Welle.
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