Falls ihr immer noch verwirrt seid, hier noch einmal die Analogie zum Elektron: Dort hatten wir ja Amplituden angeguckt, zum Beispiel A(Q,x) – die Amplitude dafür, dass das Elektron, wenn zu einer bestimmten Zeit bei Q startet, zu einer späteren Zeit bei x landet. Jetzt gucken wir Amplituden der Art A(φ1(x), φ2(x)) an – die Amplitude dafür, dass unser Feld, wenn es bei t=0 durch φ1(x) beschrieben ist, zur Zeit t=T durch φ2(x) beschrieben werden kann. Und dann betrachten wir den Spezialfall, dass φ1=φ2 ist, nämlich genau gleich einer ebenen Welle, und nehmen an, dass die Amplitude dafür exakt gleich 1 ist, das Feld also keine andere Wahl hat als nach Ablauf von T wieder denselben Wert zu haben. (Warum man das annehmen darf, ist eine andere Geschichte, wir gucken hier erstmal, was daraus folgt…)
Jetzt können wir etwas erstaunliches feststellen: In unsere Lagrangefunktion (und damit auch in die Wirkung) geht ja die Änderung von φ ein. Mache ich φ ein bisschen größer, dann ändert sich die Lagrangefunktion entsprechend. (Falls ihr euch nichts unter einer Vergrößerung von φ vorstellen könnt, denkt noch mal an unsere Gummituch-Theorie: Da war φ die Auslenkung. Eine Vergößerung von φ bedeutet also, dass die Berge und Täler entsprechend höher werden. In einer Theorie mit Elementarteilchen hängt φ mit der Intensität oder Energie zusammen – die ist gleich φ2.)
Damit wird auch die Wirkung um diesen Faktor größer und damit auch der Drehwinkel unseres Amplitudenpfeils. Der war vorher gleich 1 (zeigte also genau nach rechts), aber jetzt ist er größer geworden und zeigt deshalb nicht mehr nach rechts, sondern vielleicht nach schräg oben rechts. Diese “aufgeblasene” ebene Welle ist also keine Lösung, sie ist nicht perfekt periodisch, denn der Amplitudenpfeil ist nicht mehr exakt 1.
Vergrößern wir den Wert von φWelle weiter, dann vergrößert sich unsere Wirkung auch weiter – der Amplitudenpfeil zeigt jetzt vielleicht nach links). Vergrößern wir sie noch weiter, dann zeigt der Pfeil nach schräg links unten, dann nach unten.
Moment! Wenn wir φWelle noch ein bisschen mehr vergrößern, dann zeigt der Amplitudenpfeil wieder genau nach rechts und hat damit den Wert 1. Dazu muss der Amplitudenpfeil-Winkel genau eine zusätzliche Umdrehung machen. Dann haben wir wieder eine Lösung, bei der die Gleichung von oben gilt.
Was bedeutet das?
In der klassischen Physik gilt für eine Wellengleichung wie unsere Klein-Gordon-Gleichung, dass wir jede Lösung mit einer beliebigen Zahl multiplizieren können – sie bleibt eine Lösung. Egal ob wir sie um 10% vergrößern, oder 23% oder was auch immer, Lösung bleibt Lösung.
In der Quantenfeldtheorie dagegen ist das nicht so: Auch wenn Wellenlänge und Frequenz der Welle passen, ist sie nur dann eine Lösung, wenn sie eine bestimmte Größe hat. Mit anderen Worten: Unsere Lösungen können nur bestimmte Werte annehmen.
Welche Werte sind das?
Eben haben wir unsere Lösung immer weiter vergrößert, um neue Lösungen zu finden. Wir können sie natürlich umgekehrt auch verkleinern, allerdings nicht beliebig weit.
Betrachtet noch einmal die Wirkung S, die ja den Drehwinkel angibt. Beim Elektron hatten wir gesehen, dass für einen typischen Pfad des Elektrons der aus der Wirkung resultierende Pfeil viele Milliarden Umdrehungen macht, weil S meist viel größer ist als ħ.
Nehmen wir an, es wären für unser φWelle genau 10 Milliarden Umdrehungen des Pfeils. Da eine Umdrehung (in Winkeleinheit “Radian”) genau einem Wert von 2π entspricht, wäre also
Wenn wir unser φWelle um einen Faktor 10 verkleinern, verkleinert sich unsere Wirkung um den Faktor 100 (weil φ in die Wirkung quadratisch eingeht – das könnt ihr im fiesen Formelteil vom vorletzten Mal nachschlagen oder mir einfach glauben), also auf
(Da stehen jetzt also 100 Millionen.)
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