Machen wir φ nochmal um den Faktor 1000 kleiner, bekommen wir
Verkleinern wir φ nochmal um einen Faktor 10, haben wir schließlich
Und jetzt ist Schluss – kleiner können wir φ nicht machen und trotzdem noch eine echt periodische Welle haben, denn einmal ganz herumlaufen muss der Pfeil ja. (O.k., ihr könntet φ=0 setzen, aber das wäre ein bisschen langweilig.)
Es gibt also einen Mindestwert für die Auslenkung unserer ebenen Welle, weniger Auslenkung geht nicht.
Mehr Auslenkung geht aber natürlich – wir können den Pfeil sich ja zweimal herumdrehen lassen statt bloß einmal. Und weil φ in den Drehwinkel quadratisch eingeht, müssen wir dazu φ um √2 größer machen als beim Mindestwert. Oder wir lassen den Pfeil dreimal herumdrehen, dazu vergrößern wir φ um √3. Also: Wenn wir diese “Mindestlösung” haben, dann ist jede Lösung, die um einen Faktor √n größer ist, ebenfalls eine Lösung.
Mit anderen Worten: Unsere Wellen sind quantisiert, sie können nicht beliebige Werte annehmen, sondern nur ganz bestimmte.
Jede solche Welle trägt ja auch Energie – die steckte ja direkt in der Lagrangefunktion drin. Weil φ in die Energie auch wieder quadratisch eingeht, heißt das, die Energie einer ebenen Welle ist immer ein Vielfaches einer “Grundenergie”. Nennen wir diese Energie EG, dann gilt also
E= n EG.
Meist wird das über die Frequenz ω ausgedrückt (wobei ich den Zusammenhang zwischen Energie und Frequenz hier noch nicht gezeigt habe, sondern ihn einfach einsetze):
Die Energie einer Welle kann also nur bestimmte Werte annehmen. (Hinweis für die Expertinnen: Ja, hier fehlt die Nullpunktsenergie. Die kommt hoffentlich irgendwann auch noch dran, aber da man den Energienullpunkt eh frei wählen kann, ist mir das hier auch egal.)
Und was heißt das nun?
Stellt euch als Beispiel eine elektromagnetische Welle vor. Die können wir mit dem Mitteln der QFT beschreiben, genauso wie ich es hier gemacht habe.1 Und ihr seht jetzt, dass so eine elektromagnetische Welle keine ganz beliebigen Energien haben kann, sondern nur ganz bestimmte, eben quantisierte Werte.
1 Die Mathematik wird etwas komplizierter, weil man eigentlich einen Vierervektor braucht, aber das spielt hier keine Rolle und ich erwähne es nur der Vollständigkeit halber.
Wenn jetzt ein Teilchen mit so einer Welle wechselwirkt (beispielsweise ein Elektron), dann kann es eine Energie von ħω aus der Welle absorbieren, oder vielleicht auch 2 ħω (wenn die Welle so viel Energie hat), aber nicht nur ħω/2 – dann wäre der “Rest” der Welle keine Welle mehr. Man kann Energie aus einer elektromagnetischen Welle also nur in Paketen herausholen – eben den Quanten. Obwohl wir mit einer Feldtheorie gestartet sind, in der (nach den Regeln der klassischen Physik) die Felder ganz beliebige Werte annehmen konnten, haben wir durch Anwendung der Regeln für das Pfadintegral herausbekommen, dass Wellen in dieser Theorie quantisiert sind. Sie können nur bestimmte Energien haben und Energie kann nur in “Paketen” zugefügt oder absorbiert werden.
Und diese Pakete bekommen jetzt (für den Fall von elektromagnetischen Wellen) einen speziellen Namen: Wir nennen sie Lichtteilchen oder “Photonen”.
Herzlichen Glückwunsch: Wir haben gerade den Welle-Teilchen-Dualismus wiederentdeckt: Wellen in der Quantenfeldtheorie verhalten sich in vieler Hinsicht wie Teilchen. Warum gerade Wellen so wichtig sind, werden wir ein andernmal noch im Detail sehen, aber wir können jetzt schon einsehen, dass Quantenfelder tatsächlich quantisiert sind – jedenfalls, wenn sie sich als Welle ausbreiten.
Allerdings könnt ihr hier – zu Recht – einwenden, dass so eine ebene Welle ja überall gleichzeitig ist. Teilchen, die sich so richtig von A nach B ausbreiten, bekommen wir so noch nicht. Aber keine Sorge, die Serie ist ja auch noch nicht zu Ende.
Wenn ich es richtig sehe, ist das Argument hier (auch wenn ich es in genau dieser Form noch nie irgendwo gesehen habe) in etwa äquivalent zur Vorgehensweise von Born, Heisenberg und Jordan, beschrieben im Buch von Weinberg. Ich habe es mir in Analogie zur Lösung des harmonischen Oszillators mit dem Pfadintegralformalismus überlegt, aber die Idee scheint mir letztlich dieselbe zu sein. Falls jemand eine Quelle kennt, in der das Argument ähnlich wie hier aufgezogen ist, wäre ich für einen Hinweis dankbar.
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