QFT für alle: Wir quantisieren Felder

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Von MartinB / 8. November 2011 / 73 Kommentare / Seite 5 von 5 / Auf einer Seite lesen

Falls ihr schnell einen Überblick über die ganze Serie sucht, den findet ihr hier.

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Kommentare (73)

#1 Günter Düsterhus
8. November 2011

Es ist gut , da sich mal jemand darum Gedanken macht. Aber angenomen unsere
Mathematik reicht nicht aus unser Universum zu beschreiben.
Einsteins Universum sagt immer etwas aus wie homogen isotrop.
Aber , angenommen die Vackuum Feinman Strucktur ist nicht
homogen. Vieleicht gibt es doch etwas wie den Äther.
Universum(unseres) proportional zu (Energie ,Impulstensor).Raumvolumen
proportional (Erzeugungsoperatoren) Vakuumphotonendichte.
Die Quantenfeld Quantechromomechanik wäre nur ein kreuseln am der
Oberfläche einer Hyperstruktur. Sollte eine Raumvolumen- Stellarmasse-
Abhängigkeit existieren , würden Raumsonden sollten sie Sonnennähe verlassen
wie Voyager ihre Traktorien verlassen.Ähnlich wie beim zerreissen von Monden
könnte man davon ausgehen das weit genug entfernt vom Erzeuger (Sonne-
Jupiter) ein Objekt mit Energie Impulsverteilung ausserhalb des
Masseschwehrpunkts (Starkes EM Feld) einen Gradienten im Gradienten
erzeugen. Durch die dann auftretende beschleunigung entsteht neuerRaum
mehr vor als hinter dem Ertzeuger. Günter Düsterhus iJdH 2011
#2 Günter Düsterhus
8. November 2011

Es ist gut , da sich mal jemand darum Gedanken macht. Aber angenomen unsere
Mathematik reicht nicht aus unser Universum zu beschreiben.
Einsteins Universum sagt immer etwas aus wie homogen isotrop.
Aber , angenommen die Vackuum Feinman Strucktur ist nicht
homogen. Vieleicht gibt es doch etwas wie den Äther.
Universum(unseres) proportional zu (Energie ,Impulstensor).Raumvolumen
proportional (Erzeugungsoperatoren) Vakuumphotonendichte.
Die Quantenfeld Quantechromomechanik wäre nur ein kreuseln am der
Oberfläche einer Hyperstruktur. Sollte eine Raumvolumen- Stellarmasse-
Abhängigkeit existieren , würden Raumsonden sollten sie Sonnennähe verlassen
wie Voyager ihre Traktorien verlassen.Ähnlich wie beim zerreissen von Monden
könnte man davon ausgehen das weit genug entfernt vom Erzeuger (Sonne-
Jupiter) ein Objekt mit Energie Impulsverteilung ausserhalb des
Masseschwehrpunkts (Starkes EM Feld) einen Gradienten im Gradienten
erzeugen. Durch die dann auftretende beschleunigung entsteht neuerRaum
mehr vor als hinter dem Ertzeuger. Günter Düsterhus iJdH 2011
#3 rolak
8. November 2011

‘gestählt’, das klingt so… nach Abhärtetraining 😉
)(verziertes abo))
#4 Günter Düsterhus
8. November 2011

Es ist gut , da sich mal jemand darum Gedanken macht. Aber angenomen unsere
Mathematik reicht nicht aus unser Universum zu beschreiben.
Einsteins Universum sagt immer etwas aus wie homogen isotrop.
Aber , angenommen die Vackuum Feinman Strucktur ist nicht
homogen. Vieleicht gibt es doch etwas wie den Äther.
Universum(unseres) proportional zu (Energie ,Impulstensor).Raumvolumen
proportional (Erzeugungsoperatoren) Vakuumphotonendichte.
Die Quantenfeld Quantechromomechanik wäre nur ein kreuseln am der
Oberfläche einer Hyperstruktur. Sollte eine Raumvolumen- Stellarmasse-
Abhängigkeit existieren , würden Raumsonden sollten sie Sonnennähe verlassen
wie Voyager ihre Traktorien verlassen.Ähnlich wie beim zerreissen von Monden
könnte man davon ausgehen das weit genug entfernt vom Erzeuger (Sonne-
Jupiter) ein Objekt mit Energie Impulsverteilung ausserhalb des
Masseschwehrpunkts (Starkes EM Feld) einen Gradienten im Gradienten
erzeugen. Durch die dann auftretende beschleunigung entsteht neuerRaum
mehr vor als hinter dem Ertzeuger. Günter Düsterhus iJdH 2011
#5 Bjoern
8. November 2011

Wow, tolle Erklärung – auf die Art hab’ ich’s auch noch nie gesehen! 🙂

Nur kurz dazu:

Man spricht hier nach wie vor von einem Pfadintegral – das ist wieder verwirrend, denn es sind ja im Moment keine Pfade, über die wir summieren, sondern Feldkonfigurationen. Eigentlich sollten die Dinger also “Feldkonfigurationsintegrale” heißen…

Hm, Bücher, die es sauber machen, sprechen von “Funktionalintegralen”, soweit ich mich erinnere. Müsste ich aber auch noch mal nachlesen…

Ach ja: mit welchem Programm hast du eigentlich diese hübschen Wellen-Bildchen gemacht?
#6 MartinB
9. November 2011

@Günter Düsterhus
Mal eben so annehmen kann man viel, das hat aber mit Physik nichts zu tun. Physik ist das Ableiten konkreter Vorhersagen aus Annahmen und deren Überprüfung. Siehe auch hier
https://www.scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2011/08/buchersommer-r-feynman-the-character-of-physical-law-wie-man-neue-gesetze-findet.php

@Björn
Nein, so hatte ich das vorher auch noch nie gesehen – bin ich neulich beim Joggen drüber gestolpert als ich mich fragte, wie man eigentlich im Pfadintegralformalismus stationäre Lösungen berechnet.

Ja, die Objekte selbst heißen auch oft Funktionalintegrale, aber global spricht man doch bei QFT von entweder kanonischer Quantisierung oder Pfadintegralmethode.

Die Bildchen sind mit gnuplot mit pm3d-Option und animiert mit gifsicle (da merkt man gleich, dass ich aus der steinzeit komme – Kein Klickibunti-Kram sondern schön konsolebasiert…)
#7 AndreasM
9. November 2011

Sehr interessant.
Existieren nur die stationären Lösungen oder sind das diejenigen Lösungen, die hinreichend konstant miteinander interagieren, dass wir sie in grösserem räumlichen und zeitlichen Rahmen registrieren können (ohne dass sie im statistischen Rauschen untergehen) ?
#8 MartinB
9. November 2011

@AndreasM
Ebene Wellen sind die stationären Lösungen der KG-Gleichung. Es gibt natürlich noch andere, nicht-stationäre Lösungen, beispielsweise sich ausbreitende Wellen bzw. Wellenpakete, die kann man aus den stationären Lösungen zusammensetzen. Ebene Wellen sind ja insofern unrealistisch, als sie über den gesamten Raum gleichmäßig ausgebreitet sind.

Dafür und für die Wechselwirkung zwischen Objekten bietet sich aber eine andere Betrachtungsweise an, die dann in den nächsten Teilen drankommt.
#9 Johannes
9. November 2011

Wiedermal ein schöner und verständlicher Beitrag. Ich hab nur nochmal eine Frage zur Lagrangefunktion. Hat diese eine Anschauliche Interpretation, was diese ‘misst’? Integriert man sozusagen über alle möglichen Änderungen der Feldkonfiguration?

greatz Johannes
#10 Fossilium
10. November 2011

Hi Martin,
von welchen “Wellen” sprichst Du (die nur gequantelte Energien “haben”/”transprtieren”) ? Den Lösungen der Klein Gordon Gleichung ? Mathematischen Grössen ? Oder physikalische Wellen – in welchem Medium, dem “Vakuum-Äther” ?

Das ist mir nicht klar.

Dass der “Zustand” eines einzelnen Teilchens ausserhalb jeder Wechselwirkung durch eine nebelhafte mathematische Grösse (“Wellenfunktion”) “beschrieben” wird, kann ich noch akzeptieren. Aber wenn Du ein “Feld” als wechselwirkendes “Medium” qantisiert, muesstes Du dann nicht zunächst beschreiben, was Du unter einem Feld verstehst ?

Und was unter “Wechselwirkung” ?

Oder wird das Feld – was immer das ist – erst durch “Quanten” erzeugt ? Ist es ein Wirkungsfeld – die Abstraktion auf höchster Stufe für raum- und zeitumgreifende “Wirkungen” schlechthin ? Die dann periodisch “wirken” – wie eine “Wirkungswelle” ?

Ich meine, dass bei der Beschreibung solcher fundamentaler Prozesse die Begriffe zunächst geklärt werden müssen. Das Wort “Welle” kommt in Deinem Beitrag ständig vor, aber Du setzt ein Verständnis dieser Welle beim Leser voraus, die kaum gegeben sein dürfte.

Bitte als konstruktive Kritik verstehen. Nur die hilft weiter.

Grüsse Fossilium
#11 MartinB
10. November 2011

@Johannes
Eine anschauliche Interpretation der Lagrangefunktion gibt es in der klassischen Physik meines Wissens nicht. In der Quantentheorie ist sie genau die Drehgeschwindigkeit des Wahrscheinlichkeitsamplitudenpfeils, das ist das Anschaulichste, was ich anzubieten habe.

Siehe auch diesen alten Text (da geht’s um Wirkung, aber das hängt ja eng zusammen):
https://www.scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2010/08/ist-die-klassische-physik-anschaulich-teil-2-wirkung.php

@Fossilium
Welle bedeutet zunächst mal alles, was so aussieht wie die Welle, die ich oben gezeichnet habe. Wie man die Amplitude dieser Welle interpretiert. hängt vom Zusammenhang ab: Ich habe ja viel mit dem Gummituch gearbeitet, da sollte doch Welle eigentlich halbwegs anschaulich sein.
Wenn man an echte Elementarteilchen denkt, dann ist das Quadrat der Auslenkung der Welle die Energiedichte oder Intensität. In der Elektrodynamik ist die Welle selbst der Wert des Potentials bzw. die Stärke des elektrischen oder magnetischen Feldes (das ist davon abhängig, wie man die Welle beschreiben möchte, beides geht).

Insofern ist die Antwort auf deine erste Frage: Alles drei ist richtig.

“Oder wird das Feld – was immer das ist – erst durch “Quanten” erzeugt”
Nein, denk wieder an das Gummituch – wenn das nur dünn und leicht genug wäre, dann würde und müsste man es auch mit den Mitteln der QFT beschreiben. Die Quanten folgen aus der Forderung, dass ich eine periodische Lösung suche, sie sind in der QFT nicht fundamental, sondern kommen als Ergebnis raus.

Den Begriff “Wellenfunktion” solltest du im Rahmen der QFT nicht unbedingt verwenden – man quantisiert Felder, aber die Felder sind keine Wellenfunktionen, das habe ich im letzten Beitrag diskutiert. Man kann die Wellenfunktion aus dem Feld wieder extrahieren, aber das habe ich bisher nicht mal ansatzweise diskutiert.

Ein Medium brauchen Wellen nicht – das ist eine überholte Vorstellung.

Begriffe wie “Wechselwirkung” sind hier deswegen noch etwas nebulös, weil ich noch gar nicht erklärt habe, wie Wechselwirkungen in der QFT überhaupt passieren – im Moment reicht noch ein halbwegs anschauliches Bild: Wechselwirkung ist alles, was keine einfache Wellenausbreitung ist.
#12 Johannes
10. November 2011

@martin: mit eine mathematisch anschaulichen interpretation, wie du sie gegeben hast kann ich gut leben.
Welche Bedeutung haben nun die beiden Terme für Felder? Wie in einem vorherigem Artikel als Differenz der kinetischen und potentiellen Energie ergibt für mich keinen Sinn mehr, da ich keine Ahnung habe, was die kinetische Energie eines Feldes sein soll. Oder entspricht diese der Enegie, welche durch die ‘Auslenkung’ entsteht? Was wäre dann in diesem Fall die potentielle Energie?

greatz Johannes
#13 MartinB
10. November 2011

@Johannes
Da du anscheinend genügend von Mathematik verstehst: Es ist einfach das Quadrat der zeitlichen bzw. räumlichen Ableitung (wegen der Relativitätstheorie hängen die beiden Terme natürlich zusammen). Mit etwas gutem Willen kann man die zeitliche Änderung als kinetische Energie interpretieren, und die räumliche Änderung als potentielle Energie – das ist zumindest beim Gummituch sinnvoll, wo die zeitlich Änderung der Auslenkung ja die Geschwindigkeit ist und die räumlche Änderung etwas über die Dehnung des Tuchs aussagt.
#14 Johannes
10. November 2011

Ok, also ist die Wirkung im Endeffekt die Gesammtenergie, welche im Feld steckt integriert über das Zeitintervall [0,T] zu einer gegebenen Feldkonfiguration. Damit ist mir auch die Dimension von hquer klar.
Garantiert mir die Definition eines Feldes, dass die Energie immer eine Reelle Zahl ist? Oder liegt das daran, dass nur Felder auftreten, die nur reelle Werte annehmen? (Ein Feld ist für mich eigentlich nur eine (stetig differenzierbare) Abbildung M -> X für eine Mannigfaltigkeit M und (beliebige?) Menge X. Wobei sich mir nun die Frage stellt, was genau misst unser Feld?

Johannes
#15 Johannes
10. November 2011

Noch eine Frage, wenn aufgrund der Relativitätstheorie Raum und Zeit zusammenhängen, warum darf ich dann für S(\Phi) getrennt darüber integrieren?
#16 MartinB
10. November 2011

@Johannes
Gute Frage. Es gibt zwei Antworten:
Zum einen tue ich das ja gar nicht, ich schreibe die Koordinaten ja nur hintereinander – genauso wie ich bei einem räumlich Integral auch dx dy dz schreiben darf, obwohl ich die durch Rotation vermischen könnte.

Zweite (und vermutlich bessere) Antwort: Wichtig ist nur, dass die Zeitkoordinate so gewählt ist, dass ich zu jedem t=const eine raumartige Hyperfläche betrachte, also alle Punkte, die “gleichzeitig” sein sollen, zueinander raumartig sind (d.h., es kann nie ein Signal von einem zum anderen kommen). Dann ist das Ganze immer noch Invariant (auch wenn eine Welle in einem anderen Inertialsystem anders aussieht).

Hoffe, das war jetzt nicht zu abgehoben – ist immer schwer zu wissen, was Ihr Leser schon mitbringt. Wenn’s unverständlich war, einfach dazusagen, dann erklär ich’s nochmal anders.
#17 Johannes
10. November 2011

Zur ersten habe ich eine Anmerkung:
Jede ‘Verwischung’ von x,y,z durch eine Rotation kann durch einen Basiswechsel in eine ‘Verwischungsfreie’ Form gebracht werden.
Wende ich dieses Argument aber auf (t,x,y,z) an, so wiederspricht es der Aussage, dass Raum und Zeit zusammenhängen. (An dieser Stelle würde es auch Probleme mit der Metrik geben, Stichwort Signatur. Da alle Raumkoordinaten das selbe Vorzeichen haben ist dieser Fall möglich).

Bei der zweiten Antwort habe ich Probleme mit der Hyperfläche, wodurch ist diese definiert. Aus der Bedingung t=constant muss diese in den Raumdimensionen liegen.
Oder muss ich das so verstehen, dass ich zu einer Zeit t und zwei verschiedenen Punkten X,Y jeweils eine Hyperfläche bekomme.
Bedeutet raumartig hier isomorph zu R^3, oder im mehr mathematischem Sinne isomorph zu einem euklidischen Raum ( beliebiger Dimension)?

Johannes
#18 MartinB
10. November 2011

@Johannes
“Wende ich dieses Argument aber auf (t,x,y,z) an, so wiederspricht es der Aussage, dass Raum und Zeit zusammenhängen.”
Äh – nein? Mit einer passenden Lorentztransformation geht das. Schau dir vielleicht nochmal die Raumzeitdiagramme aus dem ersten Teil über RT an – ein Integral dxdt entspricht einer bestimmten Fläche in so einem Diagramm. Wie sich diese Fläche aus x und t zusammensetzt, ändert sich mit dem Bezugssystemwechsel, aber die Fläche bleibt dieselbe.

“Aus der Bedingung t=constant muss diese in den Raumdimensionen liegen.”
Genau – deswegen ja “raumartig”. Nimm auch wieder ein Raumzeitdiagramm zur Hand, dann sind die Hyperflächen (in 1+1 Dimensionen) die Linien mit konstantem t. Und ja, die sind immer isomorph zum R^3 – ich habe mich mit “Hyperfläche” vielleicht etwas zu umständlich ausgedrückt, liegt vermutlich daran, dass man das auch in der Allgemeinen RT so macht, wo man ne komplizierte Metrik haben kann.

Jetzt klarer?
#19 Johannes
10. November 2011

Habe ich das korekt verstanden, dass die Lorentztransformation einer Drehung der Achsen in dem Raumzeitdiagrammen entspricht? Dann sehe ich, warum der Wert des Integrals invariant bleibt.
Bedeutet “nie ein Signal von einem zum anderen kommen” dass, wenn es doch möglich wäre, dieses Signal mit Überlichtgeschwindigkeit ‘übertragen’ werden müsste?

Bleibt mir nurnoch eine offene Frage, was genau ‘misst’ das gegebene Feld eigentlich?
#20 Johannes
10. November 2011

sorry für die Rechtschreibfehler, meine Tastatur harkt 😉
#21 rolak
10. November 2011

^^so eine Tastatur braucht mein Nachbar für seinen Rasen…
#22 MartinB
10. November 2011

@Johannes
“Habe ich das korekt verstanden, dass die Lorentztransformation einer Drehung der Achsen in dem Raumzeitdiagrammen entspricht?”
Bingo. Kann man sogar formal hintricksen, indem man Rotatiionsmatritzen mit sinh statt sin schreibt:
https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_Hyperbolicus_und_Kosinus_Hyperbolicus#Lorentz-Transformation

“Bedeutet “nie ein Signal von einem zum anderen kommen” dass, wenn es doch möglich wäre, dieses Signal mit Überlichtgeschwindigkeit ‘übertragen’ werden müsste?”
Nochmal Bingo, genau so isses, das genau bedeutet “raumartig”.

“Bleibt mir nurnoch eine offene Frage, was genau ‘misst’ das gegebene Feld eigentlich?”
Siehe oben die Antwort an Fossilium: Im Moment die Auslenkung eines Gummituchs oder – wenn’s physikalischer sein soll und eher mit Quantenteilchen zu tun haben soll – die Wurzel der Energiedichte. Hängt aber auch mit der Wahrscheinlichkeit (Wellenfunktion) in der Qm zusammen, die ist ja etwas ähnliches (da wo die wahrscheinlichkeit hoch ist, würde ich statistisch eine höhere Energie messen). Wie gesagt, bleibt hier alles bewusst etwas vage – konkret wird es dann, wenn man echte Prozesse berechnet, und das kommt erst noch. Einen Vorgeschmach kannst du dir hier abholen:
https://www.scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2010/10/wie-funktionieren-feymandiagramme.php
#23 Fossilium
10. November 2011

Hi Martin,
Danke für die ausführliche Antwort. Ich weiss, dass die physiakalische Deutung des mathematischen Formalismus schwer ist – aber gerade darauf kommt es an. Man hat nämlich den Eindruck, dass die QED und QFT zwar zu richtigen Ergebnissen kommt, weil die Mathematik (= konzentrierte Darstellung der Gesetzmässigkeiten) stimmt, aber dass hier physikalischer HokusPokus betrieben wird, nach dem Motto: man rechnet ein bisschem mit nebulösen Grössen, und plötzlich zieht man das Kaninchen aus dem Hut, nämlich das richtige Ergebnis. Die Freude darüber verhindert, sich mit dem physikalischen Inhalt der erfolgreichen Mathematik in aller Tiefe auseinanderzusetzen. Wir hatten ja schon mal den Anfang einer Diskussion über den Zusammenhang zwischen Energie und Wirkung. Energie, Impuls und Wirkung hängen nach meiner Meinung ganz eng zusammen. Wirkung ist deshalb so wichtig, weil wir ja nur Wirkungen beobachten – keine Felder, Teilchen, Energien, nur die Wirkung von “Etwas” beobachten wir – und schliessen nur aus der Wirkung darauf, was das Etwas “ist” (im Rahmen des Modells), z.B. ein Teilchen, oder ein Feld. Ich denke, das Wirkung das Ursprüngliche ist, das Feld gibt nur das quantitataive Mass der Wirkung in Raum und Zeit wieder. Kannst Du Dich mit solchen Überlegungen anfreunden – oder ist Dir das zu spekulativ ?
Grüsse Fossilium
#24 MartinB
11. November 2011

@Fossilium
“Die Freude darüber verhindert, sich mit dem physikalischen Inhalt der erfolgreichen Mathematik in aller Tiefe auseinanderzusetzen.”
Du traust uns Physikern echt wenig zu, muss ich mal so sagen. Physikalische Inhalte sind natürlich immer der Kern – ist ja auch in dieser serie so, in der ich letztlich sehr wenig Mathematik betreibe. Es dauert hier etwas, bis wir bei “greifbaren” Ergebnissen ankommen, aber so ziemlich alles, was ich hier schreibe, ist in jedem Schritt physikalisch-experimentell gesichert. Ich fokussiere hier auf den absoluten Kern der QFT – Seitenüberlegungen und Experimente, die all diese Gedanken bestätigen, kommen dabei vielleicht zu kurz. Das liegt aber auch daran, dass wir momentan in den etwa 10 Teilen der Serie gerade mal etwa 20-30 Seiten eines typischen QFT-Buchs abgehandelt haben. In einer Handvoll Teilen werden wir hoffentlich b ei Feynmangraphen ankommen und bei Vakuumfluktuationen und dann gibt’s auch direkte experimentelle Bestätigung.

Es ist natürlich prinzipiell denkbar, dass der QFT eine ganz andere Theorie zugrunde liegt und dass unser Formalismus in Wahrheit eine ganz andere Interpretation hat – so wie in der klassischen Physik das Prinzip der kleinsten Wirkung auch ein netter Formalismus war, aber seine Interpretation letztlich unverstanden. Ich halte das durchaus für möglich (zumal der mathematische Formalismus durchaus seine Tücken hat) – darüber zu spekulieren, wie das sein könnte, ist aber etwas für’s stille Kämmerlein, solange man keine halbwegs konkreten Ideen dafür hat; wilde Spekulationen aufstellen ist dafür zu leicht.

“weil wir ja nur Wirkungen beobachten”
Kannst du mir mal ein konkretes Beispiel nennen, wann du zuletzt eine Wirkung (also eine Größe der Einheit Energie mal Zeit) beobachtet hast? Wirkung ist nämlich einer der Begriffe, für die es im Physikstudium nie gute Beispiele gibt, weil man eigentlich nie eine Wirkung direkt als Observable hat. Oder verwechselst du den Alltagsbegriff Wirkung (alles, was etwas bewirkt) mit dem physikalischen Begriff (eine Observable mit der Einheit Energie mal Zeit) – das ist hier mein Eindruck.

“Ich denke, das Wirkung das Ursprüngliche ist, das Feld gibt nur das quantitataive Mass der Wirkung in Raum und Zeit wieder.”
Das klappt in dieser einfachen Form nicht – schon deswegen nicht, weil eine Wirkung eine skalare Größe ist (also eine Zahl an jedem Raumpunkt); für z.B. das Photonenfeld allein braucht man aber schon 4 Zahlen pro Raumpunkt (den Vierervektor für’s Potential). Die Wirkung kann also nicht die fundamentalste Größe sein, weil dafür Freiheitsgrade fehlen.
#25 Johannes
11. November 2011

Wenn das Feld “die Wurzel der Energiedichte” angibt, wie sieht die Einheit aus? Energie-Quadrat pro Raumzeit?
Und ist die Vorstellung als Änderung der Energie an jedem Raumzeitpunkt sinnvoll?

greatz Johannes
#26 MartinB
11. November 2011

@Johannes
“wie sieht die Einheit aus? ”
Wurgs. Da verheddert man sich immer so leicht, weil man immer die ganzen hs und cs wieder einbauen muss. Am einfachsten ist es vielleicht beim em-Potential, da ist ja das Feld direkt der Vierervektor (φ/c,A), also ist die Einheit Vs/m, was man bestimmt irgendwie vereinfachen kann.

“Und ist die Vorstellung als Änderung der Energie an jedem Raumzeitpunkt sinnvoll?”
Sieht man vielleicht am besten am Gummituchbeispiel: Da hängt die Lagrangedichte direkt mit der Energie zusammen, nicht mit deren Änderung.

Irgendwie lustig – in meiner Anschauung mache ich mir eigentlich nie viele Gedanken darüber, was man sich konkret unter dem Feld selbst vorstellen soll (was vielleicht auch an der Verwirrung mit Wellenfunktion/Feld liegt), solange ich am Ende weiß, was passieren soll (also z.B., welche Wechselwirkung ich beschreiben will). Ich denke vielleicht noch mal drüber nach, ob ich das für euch noch klarer machen kann.

Ich vermute ganz stark, dass alles verständlicher wird, wenn die nächsten zwei Teile fertig sind, da sieht man nämlich, wie so ein Feld eine Wechselwirkung beschreibt; im Moment habe ich ja nur langweilige ebene Wellen.
#27 Johannes
11. November 2011

Meine Anschauung baue ich sozusagen rückwerts auf von dem was ich verstehe. In meinem Fall ausgehend von der Drehung der Vektoren damit ist der letzte Schritt ist damit die Lorentzdichte und deren Zusammenhang mit dem Feld.

Mir ist auch aufgegangen, warum ich Probleme mit der Drehung im Zusammenhang mit der Raumzeit hatte. Eine Drehung ist für mich eine Element der Gruppe SO(n) (bzw. SU(n)) und nicht ein Elment der Lorentzgruppe.

greatz Johannes
#28 MartinB
11. November 2011

@Johannes
Die Drehung war ja auch nur ne Analogie, sorry, dass das nicht klar war.
#29 Fossilium
11. November 2011

“Oder verwechselst du den Alltagsbegriff Wirkung (alles, was etwas bewirkt) mit dem physikalischen Begriff (eine Observable mit der Einheit Energie mal Zeit) – das ist hier mein Eindruck.”

Ja, ich setze den gleich. Also der Begriff Wirkung in der Alltagssprache, dafür, dass etwas eine Wirkung hervorruft, zum Beispiel, dass das Sonnenlicht eine Oberfläche spürbar erwärmt, die “Wirkung” des Sonnenlichts, diesen Begriff setze ich mit dem im Lagrange Integral verwendeten Wirkungsbegriff gleich.
Bist Du tatsächlich der Meinung, dass das verschieden ist ? In den Jahrhunderten, in denen Physik betrieben wurde, wurden alle physikalischen Begriffe von Erfahrung und Intuition ausgehend in unglaublicher Schärfe und Präzision, mit klaren Definitionen erarbeitet. Begriffe sind die Symbole, mit denen wir Erfahrungen ordnen. Ich kann mir nicht vorstellen, dass man nun einen so wichtigen Begriff wie die Wirkung dahernimmt, um ihn schlampig und ohne Prüfung und Diskussion mit dem ansonsten präzisen Ordnungssystem der Physik in einer fundamentalen Gleichung zu verwenden – oder dass Plack ihn einfach so aus der Luft gegriffen hat. Das scheint mir sehr unwahrscheinlich. Abgesehen davon, wer hindert uns daran, ihn zu verwenden. Er hat doch eine klare Definiton: es ist das Mass, in dem der Energieumsatz über die Zeit gemessen wird.
Insofern beobachtest Du tatsächlich nur Wirkungen. Oder hast Du schon mal ein Photon beobachtet ? Nein – nur das Ende der Wirkungskette, bei dem ein Photon am Anfang der Kette die erste Wirkung auslöste. Aus der Wirkungskette schliesst Du gedanklich darauf: das war ein Photon. Das ist aber ein Gedankenschluss, keine Beobachtung im Sinne des Wortes.
Im Übrigen kannst Du hier sehen: wie soll ich Dich und Deinen Beitrag verstehen, wenn wir die Begriffe nicht klären. Was für die Wirkung gilt, gilt auch für Feld und Welle.
Natürlich kann man viel verlangen, wenn man selbst keine Beiträge schreibt.
Daher nichts für Ungut.
Grüsse Fossilium
#30 MartinB
11. November 2011

@Fossilium
“Bist Du tatsächlich der Meinung, dass das verschieden ist ?”
Natürlich ist es das. Die Sonne hat eine Strahlungs*leistung* (etwa 1,2kW/m^2). Wenn die Sonne für eine bestimmte Zeit auf deine Haut “einwirkt” und du einen Sonnebrand bekommst, dann liegt das an der Leistung mal Zeit, also an der eingestrahlten Energie. Es ist in meinen Augen nicht sinnvoll möglich, für diesen Fall eine Größe zu definieren, die die Einheit “Wirkung” hat. Falls du eine Idee hast, schieß los.

“In den Jahrhunderten, in denen Physik betrieben wurde, wurden alle physikalischen Begriffe von Erfahrung und Intuition ausgehend in unglaublicher Schärfe und Präzision, mit klaren Definitionen erarbeitet. ”
Das meinst du nicht ernst, oder? Was passiert ist, ist, dass Physiker vage verstandene Alltagsbegriffe wie “Arbeit” oder “Wirkung” oder “Impuls” genommen haben und sie dann mit einer präzisen physikalischen Definition versehen haben, das stimmt. Aber was nicht passiert ist, ist, dass die Physiker sich auch nur einen Deut darum geschert hätten, ob das, was bei dieser Definition am Ende herauskommt, noch irgendwie zu den Alltagsbegriffen passt.

Deswegen beschwere ich mich ja immer über die begriffliche Schlampigkeit der Physiker – sie sind gut darin, eine Größe präzise zu definieren, aber sauschlecht darin, dieser Größe den richtigen Namen zu geben.

“Er hat doch eine klare Definiton: es ist das Mass, in dem der Energieumsatz über die Zeit gemessen wird. ”
Nein, das ist eine Leistung bzw. Energie, je nachdem, was du mit “über die Zeit” und “Umsatz” meinst. Ich zitiere mal Wikipedia
“Die Wirkung ist eine physikalische Größe mit der Dimension Energie mal Zeit oder Impuls mal Weglänge. Der Begriff bezeichnet nicht, wie im allgemeinen Sprachgebrauch, die Auswirkung einer Ursache.”

Also: Jede physikalische Größe, die diese Einheit hat, heißt eine “Wirkung”. Völlig egal, ob da etwas “wirkt”. Und völlig egal, ob die jeweiligen Größen mit dieser Einheit irgend etwas miteinander zu tun haben.

Genauso heißt alles, was die Einheit Meter hat, eine Länge. Wenn ich aber die Dichte von Eisen (7800kg/m^3) durch die Masse meines Fahrrads teile, davon den Kehrwert nehme und daraus die dritte Wurzel ziehe, kommt als Größe eine Länge heraus -das ist aber nicht die Länge von irgendwas sinnvollem.

“Oder hast Du schon mal ein Photon beobachtet ? Nein – nur das Ende der Wirkungskette”
Wie gesagt, du benutzt wirkung falsch.

“wie soll ich Dich und Deinen Beitrag verstehen, wenn wir die Begriffe nicht klären.”
Das Problem ist zum Teil, dass du meine Definitionen der Begriffe nicht akzeptierst, sondern deine Alltagsvorstellungen mit reinbringst. Sieht man hier am Beispiel Wirkung sehr deutlich.

Ich sage ja ganz klar, was man sich im Moment in dieser Serie unter dem Feld vorstellen soll: Die Auslenkung eines Gummituchs. (Und das ist nicht so abstrus, wie man denken könnte, denn wenn man Schwingungen in Kristallen betrachtet, kann man die auch mit der QFT beschreiben.) Manchmal mache ich schon den Exkurs zu Feldern aus der E-Teilchenphysik.

Und eine Welle ist eine Auslenkung des Gummituchs, die so aussieht wie in dem Bild oben.
#31 Bjoern
11. November 2011

@MartinB:

Genauso heißt alles, was die Einheit Meter hat, eine Länge. Wenn ich aber die Dichte von Eisen (7800kg/m^3) durch die Masse meines Fahrrads teile, davon den Kehrwert nehme und daraus die dritte Wurzel ziehe, kommt als Größe eine Länge heraus -das ist aber nicht die Länge von irgendwas sinnvollem.

Hm, also ich kenne das so, dass man da nur sagt: “diese Größe hat die Dimension einer Länge” – nicht, dass man sagt “diese Größe ist eine Länge”. (daher stammt wohl auch unser Verständigungsproblem neulich beim Thema Wirkungsquantum)
#32 MartinB
12. November 2011

@Bjoern
Ja, aber das macht man doch nicht konsequent, oder? Bei “Wirkung” bin ich mir z.B. nicht so sicher, s.u. (Wenn mein Fahrrad aus Eisen wäre, wäre die berechnete Größe sogar ne sinvolle Länge, nämlich die Länge eines massegleichen Würfels 🙂 Zum Glück habe ich aber nen Alu-Rahmen.)

@Fossilium
Mir ist ein schönes Beispiel für “Wirkung” im physikalischen Sinne eingefallen.
Wirkung ist ja einheitentechnisch auch Impuls mal Länge.
Stell dir vor, du willst beim Billard eine Kugel einlochen. Dazu triffst du sie mit mit der weißen Kugel mit einer bestimmten Geschwindigkeit und überträgst einen bestimmten Impuls. Im Alltagssprachgebrauch würde man jetzt sagen, die weiße Kugel übt in diesem Moment eine bestimmte Wirkung aus.

Den Impuls der weißen Kugel hast du mit deinem Queue auf die Weiße übertragen. Die läuft jetzt mit diesem Impuls von der Queuespitze bis zum zu lochenden Ball. Je weiter die Strecke ist, die die Weiße zu laufen hatte, desto größer ist die Größe Impuls mal Strecke=Wirkung, obwohl am Ende genau dasselbe passiert. Vielleicht kann man in diesem Sinne sagen, dass eine Wirkung eine Art “Transportgröße” ist. Was eine “Wirkung” aber nicht ist, ist das, was wir uns umgangssprachlich darunter vorstellen.
#33 Bjoern
12. November 2011

@MartinB:

Ja, aber das macht man doch nicht konsequent, oder?

Hm, ich kann mich spontan an kein Beispiel aus der Fachliteratur erinnern, wo es nicht konsequent gemacht worden wäre…

Wenn mein Fahrrad aus Eisen wäre, wäre die berechnete Größe sogar ne sinvolle Länge, nämlich die Länge eines massegleichen Würfels.

Ja, aber andererseits hat z. B. im Gaußschen Einheitensystem die Kapazität eines Kondensators auch die Dimension einer Länge. Würde da wirklich irgendjemand sagen, dass das wirklich eine Länge ist?

Bei “Wirkung” bin ich mir z.B. nicht so sicher, s.u.

In deinem Billard-Beispiel wäre doch die Wirkung einfach die Differenz aus kinetischer und potentieller Energie (also Lageenergie) der weißen Kugel, mal der Zeit, die sie rollt. (nehmen wir zur Vereinfachung mal an, dass die Geschwindigkeit konstant bleibt) Da kommt doch sicher nicht dasselbe heraus, wie wenn man ihren Impuls mit der Strecke, die sie zurücklegt, multipliziert! (sieht man schon daran, dass die Lageenergie ja nicht eindeutig definiert ist, sondern vom Nullniveau der Höhe abhängt) Du würdest in diesem Beispiel also zwei Größen, die nicht nur unterschiedlich definiert sind, sondern auch noch unterschiedliche Werte annehmen, beide als Wirkung bezeichnen?!
#34 rolak
12. November 2011

<OT>
Gib es zu, Bjoern, das cgs-Beispiel hast Du nur deswegen gebracht, weil dessen si-Einheit an MartinBs Beispiel gemahnt 🙂
</OT>
#35 MartinB
12. November 2011

@Bjoern
Ich dachte immer,der Begriff “Wirkung” sei älter als das Konzept der Lagrangefunktion (ich erinnere mich düster, den Begriff “Wirkung” in der Schule gelernt zu haben genauso wie “Kraftstoß”, mit der Bemerkung, dass man beides selten braucht). Aber anscheinend habe ich das falsch erinnert (oder falsch gelernt):
https://physics.stackexchange.com/questions/5800/what-is-the-historical-origin-of-the-term-action

“Da kommt doch sicher nicht dasselbe heraus, wie wenn man ihren Impuls mit der Strecke, die sie zurücklegt, multipliziert!”
Hm, den Potentialnullpunkt darf ich ja frei wählen, zumindest in der klassischen Physik (am Ende zählen ja immer nur Ableitungen). Setze ich also V=0, ist die Wirkung t mv^2/2, der Impuls ist mv, die zurückgelegte Strecke ist vt, bis auf nen Faktor 1/2 ist also Impuls mal Strecke gleich (handelsüblicher) Wirkung. War mir vorher auch nicht klar.

Was den Kondensator angeht – da ist die Kapazität doch Fläche durch Abstand (bei nem Plattenkondensator), sagt also etwas über die Geometrie aus. Finde ich gar nicht so sinnlos.

Ehrlich gesagt, ein gutes Beispiel dafür, dass in der Fachliteratur nicht zwischen einer Dimension und der entsprechenden Größe sauber getrennt wird, habe ich gerade nicht parat. So oder so geht’s mir hier in der Diskussion aber eher darum, davor zu warnen, physikalische Begriffe irgendwie mit ihrem Alltags-Pendant zu verwechseln.

Und dann bin ich noch beim Googeln über das hier gestolpert:
https://www.eine-weibliche-physik.de/ewp5-physik/ewp54-wirkung/ewp54_wirkung.html
(Warnung: Je nach Persönlichkeit Gefahr von Lachkrämpfen oder Löchern in der Tischplatte)
#36 Bjoern
12. November 2011

@Martin:

Was den Kondensator angeht – da ist die Kapazität doch Fläche durch Abstand (bei nem Plattenkondensator), sagt also etwas über die Geometrie aus. Finde ich gar nicht so sinnlos.

Dass es was über die Geometrie aussagt, bestreite ich ja auch nicht – nur, dass es eine Länge ist…
#37 MartinB
12. November 2011

@Bjoern
Naja, man kann schon eine sinnvolle geometrische Konstruktion malen, in der das die Länge ist. Nehmen wir einen quadratischen Pkattenkondensator, dann haben wir
a*a/d

a/d ist der tangens des Winkels eines Dreickes mit Ankathete d und Gegenkathete a. Zeichne das auf, mit a vertikal links und d horizontal unten. Dann zeichnest du einen Kreis mit Radius a um die linke obere Ecke des Dreiecks und da, wo der Kreis die Hypothenuse des Dreiecks schneidet, ist die Länge a*a/d.
Sagt etwas über das Verhältnis von a und d in echten Längeneinheiten (was sinnvoll ist, weil beim Skalieren eines Plattenkondensators die Kapazität sich ändert).

Letztlich gebe ich dir aber recht – nicht jede Größe der Einheit Meter ist unbedingt ne Länge, das habeich ja selbst oben mit dem Fahrrad-Beispiel argumentiert. Trotzdem habe ich Zweifel, dass man immer so sauber zwischen Längen und Größen mit der Dimension einer Länge unterscheidet, deswegen ja meine Warnung an Fossilium, sich nicht zu sehr an Begriffe und Einheiten zu klammern.
#38 Johannes
12. November 2011

Da hängt die Lagrangedichte direkt mit der Energie zusammen, nicht mit deren Änderung.< \blockquote>
Für mich ist die Lagrange Funktoin die Differenz aus kinetischer Energie und potenzieller Energie. Eine Dichte (einer gegebenen Funktion) ist dann die Ableitung dieser Funktion (nach einer geeigneten Variablen). Also ist die Lagrangedichte für mich die Funktion, welche Integriert (in diesem Fall wohl über die Raumzeit) die Lagrange-Funktion ergibt. Desshalb geht fü mich an keiner Stelle die Energie direkt ein.
An welcher Stelle steckt hier mein Veständnis/Denk-Fehler?

greatz Johannes
#39 Johannes
12. November 2011

kann man Kommentare editieren/löschen? mir ist ein blockquote verrutscht.
hier nocheinmal leserlich:

Da hängt die Lagrangedichte direkt mit der Energie zusammen, nicht mit deren Änderung.

Für mich ist die Lagrange Funktoin die Differenz aus kinetischer Energie und potenzieller Energie. Eine Dichte (einer gegebenen Funktion) ist dann die Ableitung dieser Funktion (nach einer geeigneten Variablen). Also ist die Lagrangedichte für mich die Funktion, welche Integriert (in diesem Fall wohl über die Raumzeit) die Lagrange-Funktion ergibt. Desshalb geht fü mich an keiner Stelle die Energie direkt ein. An welcher Stelle steckt hier mein Veständnis/Denk-Fehler?

greatz Johannes
#40 MartinB
13. November 2011

@Johannes
Bin nicht sicher, ob ich dich verstehe.
Für ein Punktteilchen ist die Lagrangefunktion die Differenz aus kinetischer und potentieller Energie.
Für ein Kontinuum ist die Lagrangedichte die Differenz aus kinetischer und potentieller Energiedichte.
Die Lagrangefunktion ist das räumliche Integral darüber (und damit selbst nicht Lorentz-invariant), die Wirkung ist das raum-zeitliche Integral, die ist Lorentzinvariant.
In jedem Fall geht die Energie bzw. Energiedichte direkt ein.
#41 Johannes
13. November 2011

Du hast mich nicht ganz verstanden, aber mein Ansatz war auch nicht richtig. Von den Begriffen entspricht mein Ansatz am ehesten denen von Wahrscheinlichkeitsverteilung und Wahrscheinlichkeitsdichte.
Was genau ist die Energiedichte eines Feldes? Ich vermute hier ist mein Verständnispoblem.
#42 MartinB
13. November 2011

@Johannes
Energiedichte eines Feldes? Beispiel Gummituch: Wir dehnen das Tuch, dann haben wir im Tuch eine bestimmte (potentielle) Energie gespeichert. Die Energiedichte ist einfach Energie pro Volumen (oder beim Tuch pro Fläche).
Diese Größe hat den Vorteil, dass man sie für jeden Punkt definieren kann, aber natürlich ist der Energiegehalt eines Punktes immer infinitesimal, weil der ja keine Ausdehnung hat. Wenn du Mathematiker bist, ist das analog zu Wahrscheinlichkeit/Wahrscheinlichkeitsdichte.
#43 BjörnS
19. März 2012

Hallo erstmal,

ich bin gerade auf dieses Blog gestoßen und diese Artikel-Serie gefällt mir besonders gut. Ich bereite mich gerade auf meine Prüfung in QFT vor und muß mir den Pfadintegralformalismus noch aneignen. Dabei bleibt das Gesamtbild, aufgrund der formalistischen Details, bisweilen auf der Strecke. Deshalb bin ich auch ziemlich begeistert, hier lesen zu können worum es unterm Strich überhaupt geht.

Das führt mich auch gleich zur ersten Verständnisfrage:
Ich hatte bisher die (offenbar falsche) Vorstellung, daß die Energiequanten-Interpretation lediglich der Existenz gebundener Zustände geschuldet ist. Der Tatsache also, daß Elektronen beispielsweise beim Übergang von einem Orbital in ein Anderes ein Photon bestimmter Energie abstrahlen.
Meine Auffassung war nun, daß man durch Einstellung des Potentials im Prinzip Photonen beliebiger Energie erzeugen kann. Dies wiederspricht natürlich der Behauptung in diesem Artikel, daß

“…wir durch Anwendung der Regeln für das Pfadintegral herausbekommen [haben], dass Wellen in dieser Theorie quantisiert sind. Sie können nur bestimmte Energien haben und Energie kann nur in “Paketen” zugefügt oder absorbiert werden.”

Offenbar hab ich noch fundamentale Fehler in meinen Vorstellungen. Wie könnte dieser Wiederspruch aufgeklärt werden?

Danke und Viele Grüße
Björn
#44 MartinB
19. März 2012

@BjörnS
“Meine Auffassung war nun, daß man durch Einstellung des Potentials im Prinzip Photonen beliebiger Energie erzeugen kann.”
Das ist so auch richtig – ich kann die Energieniveaus z.B. eines Elektrons so einstellen, wie es mir passt. Das macht man beispielsweise in Halbleiter-LEDs, da kann man (das ist ziemlich cool, sollte ich vielleicht mal was drüber schreiben) durch geschicktes Mischen die bandlücke zwischen besetzten und unbesetzten Niveaus variieren. Anderes Beispiel sind Farbstofflaser, die kann man sogar stimmen, also die Photonenfrequenz genau einstellen und zum Beispiel ein Spektrum “abfahren”.

Und jetzt sagst du, dass das im Widerspruch zu obiger Aussage steht? Stimmt – und auch wieder nicht. Liegt vielleicht an meiner schlampigen Ausdrucksweise.
Hier betrachte ich ja per Konstruktion Wellen mit einer bestimmten Frequenz, ich habe ja das T vorgegeben. Und dann schlägt die berühmte Gleichung E=hf zu und die Energie für diese Wellen ist quantisiert. Das hindert dich aber nicht daran, eine Welle mit einer etwas anderen Frequenz zu bauen, und in der ist dann auch die Energie entsprechend anders.

Also: Für jede einzelne Frequenz ist die Energie quantisiert. (Wobei man die Sache dann noch wieder verkomplizieren kann, wenn man Überlagerungszustände baut, die aus unterschiedlichen Besetzungszahlen bestehen – wenn ich mich recht entsinne, ist das streng genommen beim Laser der Fall und die photonenzahl ist nicht scharf definiert.)

Es gibt aber Wellen zu jeder Frequenz, so dass ich trotzdem beliebige Energien haben kann.

Ich hoffe, das hilft etwas weiter – ansonsten schön, wenn die Serie beim lernen hilft. (Und am besten gleich weiterempfehlen ;-))
#45 BjörnS
19. März 2012

Super,

danke für die schnelle Antwort, ich muß etwas aufmerksamer lesen. Es geht um die Photonenzahl. Ist mir etwas peinlich, weil die Energiequantisierung ja schon im Grundstudium besprochen wurde. Ich hab mich einfach aus dem Konzept bringen lassen. Deine Antwort hat das wieder entwirrt.

(Z.B. stolpere ich immer wieder über die Tatsache, daß bei der Pfadintegral Quantisierung sowohl der Integrand des Feynman-Kerns bzw. der Amplitude als auch das Feld selbst oszillierende Größen sind. …Ähnlichkeitshemmungen ;-))

Ich muß nochmal nachfragen, sind die beiden Aussagen, daß erstens in der Lagrangedichte keine Ableitungen des Feldes auftreten und zweitens Du hier keine Teilchenbewegung von A nach B betrachtest äquivalent?

Nochmal Danke.

PS: Ich werde Dein blog natürlich weiterempfehlen, ich hab hier noch ein paar Kommilitonen, die auch endlich mal den Abschluß machen müssen. 😉 Und die Art wie Du die Dinge hier erklärst ist perfekt um den Stoff zu motivieren und einzuordnen.
#46 MartinB
19. März 2012

“daß erstens in der Lagrangedichte keine Ableitungen des Feldes auftreten”
Jetzt bin ich verwirrt. Was meinst du? In der Lagrangedichte steht doch immer der Term (d phi)^2 drin – sonst gäb’s ja auch keine Klein-Gordon-Gleichung.

Ich betrachte hier keine Teilchenbewegungen, weil ich ja nur ebene Wellen habe, die räumlich unendlich verschmiert sind. Das ist wie in der QM – mit scharfem Impuls (also eindeutiger Wellenzahl) ist der Ort vollkommen unbestimmt. Deswegen kann sich hier nichts von A nach B bewegen, auch wenn meine Wellen “laufen”.

Laufende Teilchen gibt’s per Wellenpaket – die kommen in der Serie etwas später, es gibt sie auch ausführlich in der Schrödingergleichungsserie erklärt. (Einfach oben auf Artikelserien klicken, da gibt’s den Überblick.)
#47 BjörnS
19. März 2012

Genau, eigentlich steht der kinetische Term immer dabei, nur hier hast Du S(\phi)=\int dt \int dx L(\phi) geschrieben, ich dachte, wir hätten hier keinen Impuls o.ä.

Ich habe die Formel wohl überinterpretiert. Gemeint ist wahrscheinlich S(\phi, d\phi)=\int dt \dx L(\phi, d\phi) ? Im Sinne unabhängiger Variablen \phi und d\phi.

Sorry für das Erbsenzählen 😉
#48 MartinB
20. März 2012

@BjörnS
Ich schreibe hier eigentlich nie phi und d phi als zwei unabhängige Variablen, ich denke, das würde alle verwirren, die mit den Formeln nicht so vertraut sind. (Ehrlich gesagt verwirrt es mich auch immer ein bisschen, dass ich phi und dphi als unabhängig ansehen soll…)
#49 BjörnS
20. März 2012

@MartinB

Wenn ich ehrlich sein soll, mich auch. Ich werde dem nochmal nachgehen. Offenbar hab ich die mathematische Basis des Lagrangeformalismus noch nicht zu hundert Prozent begriffen. Ich melde mich nochmal falls ich da was “anschauliches” finde.
#50 MartinB
20. März 2012

@BjörnS
Ein Blick aufs Pfadintegral (Zee, I.3, Formel 8 und 9) zeigt meiner Ansicht nach aber, dass man im Pfadintegral nur phi variieren muss. Ist im QM-Pfadintegral auch so – da variiert man nur q. Die Variation von phi und d phi kommt im klassischen Grenzfall rein, wenn man ein Extremum sucht. Oder steeh ich gerade völlig auf der leitung?
#51 BjörnS
20. März 2012

@MartinB

Ich hab grad leider keine Literatur vorliegen, aber ich meine mich erinnern zu können, daß zumindest in der QM die Ableitungen (hier nur zeitlich) durch den Grenzübergang N-> undendlich hineinkommt. Wobei N die Zahl der Zeitintervalle bzw. “Doppelspaltebenen” bezeichnet.
Die Ableitung entsteht aus dem differenzenquotienten [x_(n+1)-x_n]/ h, wobei h das zeitintervall beschreiben soll.
Ich hatte bisher das Buch “Feldquantisierung” von Greiner benutzt. Ich werde mir aber mal den Zee ansehen um das zu vergleichen.
#52 MartinB
20. März 2012

@Björn
Nur ganz kurz, muss gleich weg:
Ich glaube, das komm lediglich durch die Minimierungsforderung rein, siehe auch
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Lagrange_equation
Sonst müsste man beim Pfadintegral ja auch immer
Int D phi D dphi schreiben.
#53 BjoernS
20. März 2012

@ MartinB

Ok jetzt hab ich den Zee (erste Ausgabe). Also Du hast recht, daß die Variationen in \phi und \dphi bei der Herstellung der klassischen Situation eine Rolle spielt. Diese “deepest descent” Methode (zusammen mit der Wick Rotation) liefert ja die Begründung, warum wir S minimieren müssen.

Bei der “Variation des Pfadintegrals” weiß ich jetzt nicht recht was gemeint ist. Wir addieren (bzw integrieren) ja lediglich alle möglichen Pfade auf und gewichten sie wenn man so will mit der komplexen e-funktion mit der Wirkung als Phase?

In Kapitel 2 wird die Wirkung als Funktional der Koordinaten S(q) beschrieben, wobei gleichzeitig diese durch \int dt L(q,°q) definiert wird (°q, lies q-punkt). Das ist m.E. etwas widersprüchlich.

In Kapitel 3 wird tatsächlich explizit geschrieben \int D\phi exp(i/h(\int dx L(\phi))).
Im Greiner ist hier das Wirkungsfunktional explizit von q und °q abhängig. Leider unterdrückt er die Argumente im Feldtheoretischen Teil.

Für mich stellt sich aber weiterhin die Frage weshalb L bzw S auch von den Geschwindigkeiten als unabhägige Variablen abhängt.
#54 BjoernS
20. März 2012

@ MartinB

Ok jetzt hab ich den Zee (erste Ausgabe). Also Du hast recht, daß die Variationen in \phi und \dphi bei der Herstellung der klassischen Situation eine Rolle spielt. Diese “deepest descent” Methode (zusammen mit der Wick Rotation) liefert ja die Begründung, warum wir S minimieren müssen.

Bei der “Variation des Pfadintegrals” weiß ich jetzt nicht recht was gemeint ist. Wir addieren (bzw integrieren) ja lediglich alle möglichen Pfade auf und gewichten sie wenn man so will mit der komplexen e-funktion mit der Wirkung als Phase?

In Kapitel 2 wird die Wirkung als Funktional der Koordinaten S(q) beschrieben, wobei gleichzeitig diese durch \int dt L(q,°q) definiert wird (°q, lies q-punkt). Das ist m.E. etwas widersprüchlich.

In Kapitel 3 wird tatsächlich explizit geschrieben \int D\phi exp(i/h(\int dx L(\phi))).
Im Greiner ist hier das Wirkungsfunktional explizit von q und °q abhängig. Leider unterdrückt er die Argumente im Feldtheoretischen Teil.

Für mich stellt sich aber weiterhin die Frage weshalb L bzw S auch von den Geschwindigkeiten als unabhägige Variablen abhängt.
#55 BjoernS
20. März 2012

Ups, entschuldige bitte den doppelten Kommentar.
#56 MartinB
21. März 2012

@Bjoern
Guck die mal die Herleitung in der Wiki-Seite an, die ich oben zitiert habe. Da sieht man meiner Ansicht nach, wie das geht: Zunächst berechnest du das totale Differential des Funktionals, und weil im Funktional Ableitungsterme drinstehen, musst du auch deren partielle Ableitung berücksichtigen. Das ist aber meiner Ansicht nach ausschließlich eine Konsequenz der Minimierungsforderung.
#57 BjörnS
21. März 2012

@Martin

Ok, mach ich. Ich habe aber irgendwie den Faden verloren. Haben wir im Moment noch einen Dissenz?

Meine ursprüngliche Frage war ja, ob man S(q) oder S(q,°q) notieren muß. Oder sind wir dabei zu klären, warum °q als unabhängige Variable gilt?

Viele Grüße Björn
#58 MartinB
21. März 2012

@Björn
Dissenz weiß ich nicht, aber ich zumindest versuche zu argumentieren, warum man in der Wirkung nur L(phi) schreiben darf, im klassischen Grenzfall aber L(phi, dphi) braucht. Das kommt eben durch die Minimierung, denke ich.
Wenn ich ein Quantenfeld (oder eine Teilchentrajektorie q(x,t)) vollständig kenne, dann kann es zwar formal sinnvoll sein, phi und dphi als unabhängig zu betrachten, real ist das aber ja nicht der Fall.
#59 BjörnS
25. März 2012

Also was den klassischen Fall betrifft, so denke ich daß Du recht hast, durch die Variation des Weges eben auch die Geschwindigkeit variiert wird. Es gibt da einen für mich immer etwas verwirrenden Übergang von einem Randwertbroblem (Hamiltonsches Prinzip) in ein Anfangswertproblem (EulerLagrangeGl.).

Bei der Konstruktion des Pfadintegrals meinte ich, ist das etwas anders. Wir gehen bei der Konstruktion ja vom Hamiltonformalismus aus und bestimmen die Übergangsamplitude. Dabei wird über den Phasenraum integriert und schreibt in der Tat \int Dq \int Dp exp(i \int dt p°q-H(p,q))

Das Integral über den Impuls ist dann ein Gaussintegral und führt auf die bekannte Form
\int Dq exp(iS(q)).Ein Integral über den Ortsraum. Wenn man jetzt den klassischen Übergang macht erhält man über die Extremalforderung von S wieder die Notwendigkeit die Variation von °q zu berücksichtigen. Die Integration über den Impuls bereitet mir etwas Kopfschmerzen. Die Impulsvariable wird immer gleich “ausintegriert” und das Ergebnis in eine divergente Normierung gesteckt. Die Normierung hat aber wohl für die meisten Fälle gar keine Bedeutung.

Ich glaube, ich muß mich geschlagen geben. Oben hab ich geschrieben exp(iS(q)). Ich denke °q(t) ist hier nur noch eine von q(t) abhängige Größe.
#60 MartinB
25. März 2012

@BjörnS
Danke für die Erklärungen.

“Ich glaube, ich muß mich geschlagen geben.”
War das hier ein Wettkampf?
#61 BjörnS
26. März 2012

@Martin

“War das hier ein Wettkampf?”
So war es nicht gemeint, nur mußte ich doch meine Auffassung ändern.
#62 MartinB
26. März 2012

@BjörnS
Aber das macht doch eigentlich auch immer Spaß, oder?
#63 BjörnS
27. März 2012

@Martin

Naja, ich sach ma: notwendiges Übel 😉 Aber im Studium ist das ja ohnehin eher die Regel als die Ausnahme, jedenfalls nach meiner Erfahrung.
#64 MartinB
27. März 2012

@BjörnS
Aber irgendwie finde ich immer, es hat auch etwas befriedigendes, wenn man merkt: “Hey, was ich bisher immer für richtig gehalten habe ist falsch, ich muss mal mein Hirn neu verdrahten.”
#65 BjörnS
27. März 2012

Jedenfalls ist es ziemlich effektiv so zu lernen. Auch im Gespräch mit Kommilitonen merkt man sofort wenn man etwas noch nicht begriffen hat. Man stolpert dann bei Erklärungsversuchen sofort wenn man etwas doch nicht richtig begriffen hat.
#66 MartinB
28. März 2012

@BjörnS
Alternativ kann man auch Blogs schreiben 🙂
#67 Lauretta Albornoz
26. Dezember 2015

Good way of telling, and pleasant post to take data regarding my presentation subject, which i am going to deliver in university. fifa 16 hack tool

https://www.annielaibeauty.com/index.php?option=com_k2&view=itemlist&task=user&id=47431
#68 Wellenrauschen
norddeutsche Küste
13. April 2022

Hallo Herr Bäker,
vielen Dank für Ihren Blog!! Ich bin darauf gestoßen, weil ich gerade die die Thematik QFT in dem Buch / Video von Josef Gassner durcharbeite. Da ich nicht Physik studiert habe, fehlten mir dort ein paar Zwischenschritte. Ihr Blogbeitrag hat mir dabei sehr weitergeholfen und mein Verständnis erweitert. Ein paar Fragen hätte ich noch.

Was ich verstanden habe: Ebene Wellen sind eine Forderung der Klein-Gordon-Gleichung für Felder. Diese Wellen müssen eine weitere Bedingung erfüllen: Sie müssen zum Zeitpunkt t=0 und t=T (=eine Periode) in eine identische ebene Welle übergehen. Dazwischen kann es drunter und drüber gehen, das interferiert sich weg. (Analog zum Pfadintegralformalismus der QED.) Was bleibt sind quantisierte Wellenpakete. . Energie geht über Wirkung in den Exponenten phi ein.

Meine Fragen:
1) Was ist die genaue Funktion/Aussage der Wahrscheinlichkeitsamplitude? Ist sie übertragen vergleichbar mit dem Bornschen Gesetz? Und was bedeutet da für Felder?
Sie schreiben dazu: „dass die Amplitude dafür exakt gleich 1 ist, das Feld also keine andere Wahl hat als nach Ablauf von T wieder denselben Wert zu haben. (Warum man das annehmen darf, ist eine andere Geschichte, wir gucken hier erstmal, was daraus folgt…)“. Welche „Geschichte“ zwingt hier Feld, dass es keine Wahl mehr hat?
2) Beim (analog zur QFT) Pfadintegralformalismus von bspw. Photonen (Lichtstrahlen) interferieren sich diejenigen möglichen Wege abseits des „klassischen Weges“ (Optik) weg. Es bleibt der „optimierte“ auch „klassisch“ messbare Weg. Was wäre das QFT-Pendant zu diesem optimierten, klassischen Weg der QED? Die ebene Welle mit Amplitude 1 etwa?
3) Den Zeigermechanismus mit dem exp^i*phi ist mir relativ klar. Hier geht die Wirkung (Energie) in den Exponenten ein. Mit jedem 2*pi-fachen der Energie ist die Amplitude wieder 1. Die schreiben „Und jetzt ist Schluss – kleiner können wir φ nicht machen und trotzdem noch eine echt periodische Welle haben, denn einmal ganz herumlaufen muss der Pfeil ja.“Jetzt mal anschulich gefragt: „Dreht“ der Zeiger wie eine „Stoppuhr“ während die Welle des Feldes durchläuft? Ich hätte gedacht, dass eine Welle auch im Minimalzustand 2*pi*h’ durchlaufen kann, oder? Nur 2*pi-fache Energieerhöhungen würden dann ein neues Niveau ermöglichen nach meinem Verständnis.

Wenn Sie mir hier weiterhelfen könnten, wäre das super!
#69 MartinB
14. April 2022

@Wellenrauschen
Ui, da muss ich erstmal selbst meinen 10 Jahre alten Artikel wieder verstehen, hab mich ewig nicht mehr mit QFT beschäftigt.
Zu 1: Ja, die Amplitude ist genau dasselbe. Jeder Feldkonfiguration ist eine Amplitude zugeordnet, und deren Quadrat ist die Wahrscheinlichkeit, diese Konfiguration zu finden. Im Text nehme ich also schlicht an, dass es sicher ist, dass phi2=phi1 ist.
Zu 2: Im Prinzip ja. Hängt sicher davon ab, was genau man für ein teilchen und was genau man für Randbedingungen hat. Ein Photon, das zwischen zwei Spiegeln eingesperrt ist, verhält sich anders als ein, das frei fliegt. Aber generell ist es immer so, dass im Grenzfall “klassik” eben genau das passiert, was man nach der klassischen Physik erwartet. (Bei Photonen ist es etwas kompliziert, weil ein Zustand mit fester Anzahl von Photonen keinem klassischen Zustand entspricht, siehe z.B. den Artikel “Was ist ein Photon”).
Zu 3: Bin nicht ganz sicher, ob ich die Frage richtig verstehe. Die Phase dreht sich mit der Zeit wie ein Zeiger, je größer die Wirkung ist, desto schneller. Aber was ist mit ” Ich hätte gedacht, dass eine Welle auch im Minimalzustand 2*pi*h’ durchlaufen kann, oder?” gemeint. Ist das nicht genau das, was auch im Text steht?
Im letzten Satz sollte es auch nicht “Energie” heißen, oder?
#70 Wellenrauschen
norddeutsche Küste
15. April 2022

@MartinB
Hallo Her Bäker,
vielen Dank für die ausführliche Rückmeldung! Ich habe mir zunächst Ihren Artikel über die Photonen durchgelesen. Ihr Blog ist ja eine wahre Fundgrube!

Ich verstehe die Thematik mit der QFT Quantisierung jetzt besser, analog zur Wellengleichung: Es gibt eine Feldamplitude. Das Quadrat der Feldamplitude entspricht der Wahrscheinlichkeit, eine Konfiguration an einer bestimmten Stelle anzutreffen , und das (normierte?) Integral=1 ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese ebene Feld-Welle auch periodisch zwischen den Punkten phi1 und phi2 läuft und die Klein-Gordon-Gleichung richtig löst. Das lässt sich mit dem Zeigerformalismus ausdrücken: r*e^(i*phi), wobei phi= E*t/h’=S(phi)/h’. Ich habe mir das mal veranschaulicht (ohne den imaginären Teil des Zeigers):
https://www.geogebra.org/m/tkbztb7y

r=1 (reell; phi = 0°) ist der Ort/Zeitpunkt, an dem das Energiequantum auftritt. Die Zeigerumdrehung 2pi (360°) sorgt dafür, dass wir wieder eine relle Zahl r=1 haben: das nächsthöhrere Energiequantum und eine Lösung der Gleichung.

Nochmal zu 3) Wo ich noch ein bisschen „hake“ ist der Zeigerformalismus für die Quantisierung.
Was mir klar ist:
A) Großes E (Energie) lässt den Zeiger schneller rotieren, da der Winkel phi schneller wächst = höhere Frequenz.
B) Die Animation ist Vorstellung der Wirkungsfunktion eines freien Quantenfeldes: Die Zeit geht in die gesamte Wirkung des Quantenfeldes (von phi1 bis phi …) als Faktor ebenso exponentiell ein: In meiner Animation läuft der „Feld-Zeiger“ mit zunehmender Zeit dementsprechend immer schneller (die Sinuskurve läuft immer enger) und bald schon sieht die Sinusfunktion so aus wie „ihr eigenes Integral“. Würde ich das auf das Quantenfeld übertragen, stiege die Energie/Wirkung ja bald ins Unermessliche, oder? Das sieht für mich ein bisschen so aus wie Plancks Ultraviolett-Katastrophe.
Deswegen war meine Frage und erste Vermutung: Eine ebene Feldkonfiguration/Welle mit 2pi h’ Niveau läuft langsamer als eine Welle mit 4pi h’ Niveau, aber beide laufen mit gleichbleibender Frequenz und fangen nicht an, irgendwann „loszurasen“. Das erkläre ich mir so, dass eine frei laufende Konfiguraion/Welle mit gegebener Energie in unendliche viele Perioden (Länge T) mit phi1, phi2, phi3 … unterteilt werden kann, wobei die Eneergie und Zeit ja für jede Periode gleich bleibt.
Allein die gesamte Feldwirkung steigt exponentiell.

Bin ich hier völlig auf dem falschen Dampfer? Würde mich über weiterführende Kommentare freuen!
LG Wellenrauschen
#71 MartinB
16. April 2022

@Wellenrauschen
” Das Quadrat der Feldamplitude entspricht der Wahrscheinlichkeit, eine Konfiguration an einer bestimmten Stelle anzutreffe”
Nein, das ist nicht ganz so einfach, glaube ich. (Das ist sehr verwirrend, weil die üblichen Erklärungen zur QFT mit sowas wie einer Ein-Teilchen-Gleichung anfangen, wo die Feldstärke der Wahrscheinlichkeit entspricht.)
Siehe hier (erster Teil des Artikels)
https://scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2011/11/05/qft-fur-alle-wie-tief-ist-die-diracsee/?all=1

Ich bin mir nicht sicher, ob ich die Animation richtig verstehe, aber ich glaube, sie ist nicht korrekt, e^(i phi) beschreibt ja eine kreisförmige Oszillation, kein exponentielles Wachstum, und ich sehe auch nicht, wo da noch nen zusätzlicher Sinus herkommt. Es ist doch
e^(phi) = cos(phi) + i sin(phi)
#72 Wellenrauschen
norddeutsche Küste
18. April 2022

@MartinB
Hallo Herr Bäker, vielen Dank für die Hinweise! Die Ja, die ein-Teilchen-Lösung ist nur bedingt auf die QFT anwendbar. Ich habe einen Hinweis auf diesen Fehlschluss darüber hinaus auch noch hier gefunden, Seite 8:
https://people.phys.ethz.ch/~mrg/QFT/QFT.pdf
Was meine Animation angeht, habe ich es jetzt wohl verstanden: Ich war der falschen Ansicht, dass SOWOHL Zeit ALS AUCH Energie exponentiell eingehen, also der Zeiger zunehmend schneller dreht. Allerdings wird die Geschwindigkeit des Phasenwinkels auch nach unzähligen Umläufen (wachsendes t=Zeit) nicht zunehmen. Somit bleibt nur das Energieniveau als geschwindigkeitsrelevanter Faktor übrig.
So ist es wohl richtiger: https://www.geogebra.org/classic/nnbtx9yp
Vielen Dank für Ihre Unterstützung und Geduld!
#73 MartinB
19. April 2022

@Wellenrauschen
Gern.
Als Buch über die QFT mag ich übrigens Bob Klaubers “Student Friendly QFT” ganz gern, auch wenn er zum Thema Nullpunktenergie sehr eigene (und mMn falsche) Vorstellungen hat, ist das Buch ansonsten sehr ausführlich und erklärt viele Grundlagen geduldiger als andere.

QFT für alle: Wir quantisieren Felder

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