Warum gibt es eigentlich keine halben Elektronen? Oder viertel Photonen? Wenn wir Elementarteilchen mit Feldern beschreiben, warum sehen wir dann bei Experimenten trotzdem Teilchen, und keine Felder?
Mit den Mitteln, die wir uns bisher mühsam erarbeitet haben, können wir diese Frage schon beantworten. Dazu müssen wir jetzt endlich das tun, worum es in dieser Serie ja eigentlich geht: Unsere Felder müssen quantisiert werden.
Im Moment haben wir noch eine ganz klassische Theorie eines Feldes, das wir durch die Klein-Gordon-Gleichung beschreiben. Anschaulich können wir das Feld als die Auslenkung einer Gummimembran interpretieren. Um dieses Feld mit den Mitteln der Quantenmechanik zu behandeln, gehen wir genauso vor wie beim Pfadintegral in der Quantenmechanik: Dort war es ja so, dass wir die Wahrscheinlichkeitsamplitude für ein Ereignis dadurch ausrechnen konnten, dass wir alle denkbaren Wege (deswegen ja “Pfadintegral”) betrachtet haben, für jeden Weg seine Amplitude berechnet und dann alles passend aufsummiert haben. Ich zitiere mich mal wieder selbst:
1. Ihr sucht alle denkbaren Pfade W für das Elektron.
2. Für alle Pfade W macht ihr jetzt folgendes:
2a Ihr zerlegt jeden Pfad in viele kleine Wegstückchen.
2b Für jedes Wegstückchen berechnet ihr, um wieviel sich der Amplitudenpfeil auf diesem Stückchen dreht. (Das macht ihr mit der Lagrangefunktion)
2c alle diese Drehwinkel aufaddiert (die Pfeile multipliziert) geben euch die Amplitude für diesen Pfad W
3. Alle diese Amplituden zählt ihr zusammen und bekommt so die Amplitude für den Gesamtprozess.
In der Quantenfeldtheorie geht es jetzt ganz genauso:
Wir betrachten jetzt allerdings nicht mehr Wege eines Teilchens, denn wir haben ja kein Teilchen, sondern ein Feld. Also betrachten wir alle denkbaren Feldkonfigurationen, die zu dem Ereignis führen, das uns interessiert (wir machen das gleich konkreter, keine Sorge), und zwar im Verlauf der Zeit. Für jede dieser Konfigurationen berechnen wir wieder die Wirkung und daraus die Amplitude, summieren alles auf und bekommen die Gesamtamplitude für das Ereignis, das uns interessiert.
Man spricht hier nach wie vor von einem Pfadintegral – das ist wieder verwirrend, denn es sind ja im Moment keine Pfade, über die wir summieren, sondern Feldkonfigurationen. Eigentlich sollten die Dinger also “Feldkonfigurationsintegrale” heißen – aber Physiker sind ja dafür bekannt, dass sie eine Größe erst in einem Zusammenhang definieren, dann die Bedeutung bis zur Unkenntlichkeit erweitern und verändern, dabei aber den Namen beibehalten.1
1 Und das absolut verwirrende ist, dass man nachher diese Feldkonfigurationen oft über Feynman-Diagramme berechnet, die dann wieder aussehen wie graphische Darstellungen von Pfadintegralen. Dazu kommen wir aber noch.
Um ein Gefühl dafür zu bekommen, was herauskommt, wenn wir von unserer klassischen Feldtheorie zu einer Quantenfeldtheorie gehen, schauen wir noch einmal auf die klassischen Lösungen. Das waren ja ebene Wellen so wie diese hier:
Sie sind Lösungen der zugehörigen Wellengleichung (der Klein-Gordon-Gleichung). In der klassischen Physik können wir diese Lösungen auch über das Prinzip der kleinsten Wirkung berechnen. Das sieht für ein klassisches Feld – ganz analog zu einem Teilchen – so aus: Nehmt an ihr kennt den Anfangszustand φ(x, t=t0) – das ist also der Wert des Feldes überall zur Zeit t0 – und den Endzustand φ(x, t=t1). Das Feld wird in der Zeit dazwischen diejenigen Werte annehmen, bei denen die gesamte Wirkung (also aufaddiert von t0 bis t1) den kleinsten Wert annimmt. (Bei einem Teilchen nimmt das Teilchen denjenigen Pfad, der die kleinste Wirkung hat, aber hier haben wir jetzt nicht mehr einfach Pfade, sondern Feldkonfigurationen.)
Und woher bekamen wir nochmal die Wirkung? Dazu mussten wir zu jeder Zeit die Lagrangefunktion berechnen (das habe ich im vorletzten Teil mit den hübschen Bildchen erklärt) und alle diese Werte aufaddieren (integrieren, um genau zu sein).
Können wir nun also eine ebene Welle als Lösung auch in der QFT bekommen?
Kommentare (73)