Bei der Fourier-Reihe, die wir uns hier angeguckt haben, war die Funktion, die wir in Wellen zerlegt haben, periodisch. Im Allgemeinen ist das natürlich nicht der Fall – auch nicht-periodische Funktionen kann man in Wellen zerlegen. Dann allerdings muss man nicht bloß – wie oben – Wellen verwenden, deren Frequenzen ganzzahlige Vielfache voneinander sind, sondern beliebige Wellen.
Um eine isolierte Rechteckfunktion (also eine mit nur einem einzigen Rechteck, das sich nicht periodisch wiederholt) wie diese hier
aus ebenen Wellen zusammenzubasteln, braucht man jetzt alle möglichen Frequenzen:
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By Omegatron – Own work, CC BY-SA 3.0, Link
Im Beispiel seht ihr, dass man hier gerade die ganzzahligen Frequenzen (hier mit x bezeichnet) nicht braucht – da ist die Funktion Null, aber alle anderen Frequenzen leisten einen Beitrag.
Vielleicht ist euch bei diesem letzten Schritt ein bisschen unbehaglich – unendlich viele Funktionen zusammensetzen, geht das überhaupt? Man kann sich das anschaulich machen, wenn man ein bisschen um die Ecke denkt. Normalerweise sind wir es gewohnt, eine Funktion dadurch anzugeben, dass wir ihren Wert an jedem Punkt festlegen, also zum Beispiel zu sagen f(x) = x+1, so dass wir für jeden Punkt x nach dieser Vorschrift den Wert berechnen können. Das habt ihr vermutlich alle in der Schule so gelernt und findet es nicht besonders schwierig, euch zu überlegen, dass dann wohl f(2)=3 ist und f(-0.8)=0.2.
Man kann sich aber auch vorstellen, dass man die Funktion f(x) aus unendlich vielen Einzelfunktionen “zusammenstückelt”, die alle nur an einem Punkt ungleich Null sind. Die sehen zum Beispiel so aus:
Es gibt für jeden Punkt des Raumes eine Funktion (ich nenne sie mal h – weil die Funktion am richtigen Punkt “hier” schreit), die nur genau an diesem Punkt von Null verschieden – nämlich gleich 1 – ist, an allen anderen Punkt ist sie aber Null. Es gibt also eine Funktion h2, die eben nur bei x=2 von Null verschieden ist, eine weitere Funktion h-0.8, die bei -0.8 den Wert 1 hat und so weiter.
Unsere Funktion f(x) können wir aus diesen einzelnen Funktionen zusammensetzen, der Anteil der Funktion h2 ist gerade gleich 3 (weil die Funktion f(x) bei 2 den Wert 3 hat, und nur diese h-Funktion kann das regeln) und so weiter. Wir addieren all die unendlich vielen h-Funktionen auf, jede mit ihrem passenden Wert, und heraus kommt wieder unsere Anfangsfunktion f(x). Das sieht etwa so aus:
Das ist natürlich unglaublich umständlich, aber es zeigt, dass man sich auch “ganz normale” Funktionen eigentlich immer aus unendlich vielen Einzelfunktionen zusammengesetzt vorstellen kann.
Wer will kann das in Formeln schreiben (da bin ich allerdings etwas schlampig – Mathematiker werden sagen, sehr schlampig – denn eigentlich müsste ich dann statt der h-Funktionen die berühmten Diracschen Deltafunktionen nehmen (danke an Bjoern für den Hinweis, ich dachte, ich kann mich drum rumschummeln), aber ich wollte hier nichts über Dinge wie Integrationsmaße schreiben):
Bei der Fouriertransformation gibt man jetzt die Funktion nicht dadurch an, dass man sagt, wie ihr Wert an jedem Punkt x ist (also wie groß der Beitrag der h-Funktionen ist), sondern dadurch, dass man angibt, wie groß der Beitrag von Funktionen ist, die wie Wellen aussehen, das ist eigentlich alles.
Das sieht dann in Formeln ganz ähnlich aus:
Dabei muss man aufpassen – häufig wird noch ein Vorfaktor 1/2π oder 1/√(2π) eingebaut, das macht jeder etwas anders.
Im Zusammenhang mit der Quantenmechanik habe ich diese Transformation übrigens auch schon mal kurz erklärt.
Man kann übrigens statt in ebene Wellen zu zerlegen (die den Nachteil haben, dass sie im ganzen Raum ausgebreitet sind) auch andere Funktionen verwenden – ein modernes Beispiel ist die “Wavelet”-Analyse.
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