Dabei ist zu beachten, dass im Mittel über alle Messungen sowohl der Erwartungswert für den Ort des ersten als auch der für den Ort des zweiten Teilchens verschwinden, denn für jedes Mal, wo ich das erste Teilchen oberhalb des Nullpunkts gemessen habe, gibt es natürlich auch ein Mal, wo ich es unterhalb des Nullpunkts gemessen habe. Damit wird auch das zweite Teilchen im Mittel mal nach oben und mal nach unten gezogen.
Betrachtet man aber beide Messungen gemeinsam, dann verschwindet der Wert nicht mehr – das ist ganz analog zu der Situation beim hamronischen Oszillator vom letzten Mal, wo ich x2 betrachtet habe (und nur deshalb habe ich das letztes Mal so ausführlich diskutiert).
Die Werte der Ortsmessungen der beiden Teilchen an den benachbarten Raumpunkten hängen also zusammen, sie sind korreliert.
Ja, hier bin ich ein bisschen ungenau: Zum einen darf man das so wohl nur im Heisenbergbild schreiben, wo die Operatoren zeitabhängig sind und die Zustände nicht. Zum anderen muss man sich natürlich fragen, wie genau man so eine Messung realisieren will, bei der man nicht die Position des einen oder anderen Teilchens selbst misst, sondern nur ihre Korrelation
(insbesondere bei geladenen Teilchen, wo eine Messung des Feldwertes an einem Punkt ja keinen Sinn ergibt) – mit etwas Trickserei sollte sich das aber über ein Verschränkungsexperiment wie bei einem Quantenradierer lösen lassen.
Auch dies können wir wieder direkt auf unsere Feldtheorie übertragen. Entsprechend gilt jetzt auch, dass der Vakuumerwartungswert
⟨0| φ(y,t>0) φ(x,t=0) |0⟩
nicht verschwindet.
Dazu eine kleine Rechnung. Unser Term, der die Ortsänderung des Feldes enthält, war ja
Ich schreibe das mal als Finite Differenz in einer Dimension:
Man erkennt, dass hier zum einen ein Term zum Massenterm hinzukommt, zum anderen gibt es in der Mitte den echten Kopplungsterm. Der führt dazu, dass φ an einem Ort für das φ am anderen Ort wie ein Quellterm wirkt, denn Quellterme haben ja gerade die Form Jφ.
Auf diese Weise sieht man direkt, dass das Feld an einem Ort eins am benachbarten Ort erzeugen kann. (Auch dieses Argument habe ich nirgends gefunden, falls es falsch sein sollte, korrigiert mich.)
An dieser Überlegung war eigentlich nichts, was nur für zwei Punkte gilt – man kann sie letztlich genauso für ein System aus mehreren Punkten anstellen und dann auch für unendliche viele Punkte, also die ganze Raumzeit. Wie genau sich dann “benachbarte” Punkte beeinflussen, hängt natürlich davon ab, was wir genau betrachten, aber am Prinzip wird sich nichts ändern. Die Schlussfolgerung hier gilt also auch für den Vakuumzustand eines echten Quantenfeldes.
Obwohl im Vakuum also das Feld im Mittel immer verschwindet, sind die Feldwerte an benachbarten Raumzeitpunkten miteinander korreliert. Man bezeichnet den Feld-Erwartungswert, den ich gerade hingeschrieben habe, deswegen auch gern als “Korrelationsfunktion”.
Diese Korrelationsfunktion macht deutlich, dass das Vakuum ein ziemlich kompliziertes Gebilde ist – an jedem Raumzeitpunkt habe ich eine “Wellenfunktion” für die Feldwerte, die um den Nullpunkt zentriert ist, aber diese Wellenfunktionen sind für benachbarte Raumzeitpunkte auch noch miteinander korreliert.
Man kann übrigens darüber streiten, ob diese Korrelationsfunktion wirklich eine Eigenschaft des Vakuums selbst ist – ohne Messung des Feldes, die ja das Vakuum beeinflusst, würde ich davon ja nie etwas sehen. Ich habe das eine Weile per mail mit Bob Klauber diskutiert, dessen Ansichten zum Vakuum ihr in Kapitel 10 seines bald erscheinenden Buches nachlesen könnt (freundlicherweise habe ich eine Vorab-Kopie des Kapitels bekommen – das Buch ist auf jeden Fall ein Muss, schaut auf die Internetseite, um euch zu überzeugen). Bob findet es aus diesem Grund wenig erhellend, die Korrelationsfunktion als Eigenschaft des Vakuums anzusehen. Ich finde es dagegen sinnvoll, weil ich genauso beim harmonischen Oszillator den Erwartungswert ⟨0| x2 |0⟩ als Eigenschaft des Grundzustandes ansehen würde.
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