Beim letzten Mal haben wir überlegt, wie das Vakuum aussehen würde, wenn unser Universum nur ein Punkt wäre. Das allerdings ist eine so schlechte Näherung, dass sie nicht mal die allertheoretischsten TheoretikerInnen zufrieden stellen würde. Deswegen betrachten wir jetzt ein viiieeeel realistischeres Universum, nämlich eins, das aus zwei Punkten besteht. Aber von dort aus ist es nur ein kleiner Schritt zum ganzen Universum…
Wir haben jetzt also ein Feld, das an zwei Punkten existiert. In der Feldtheorie geht ja die Änderung des Feldes von Ort zu Ort in die Energie ein, wir bekommen also einen zusätzlichen Effekt, wenn das Feld an den beiden Punkten nicht denselben Wert hat. (Formelmäßig ist dieser Beitrag proportional zum Quadrat der Differenz.)
Nehmen wir auch hier wieder den harmonischen Oszillator, das hat ja an einem Punkt auch gut geklappt. Wir haben jetzt zwei davon, die miteinander über eine weitere Feder verbunden sind:
Ich nenne den linken mal A und den rechten B.
Schreibt man sich hierfür die Formel für die Energie hin, dann ergibt sich ein Ausdruck proportional zum Quadrat des (vertikalen) Abstands zwischen den beiden: (xA – xB)2. (Die anderen Energieterme vom letzten Mal bleiben unverändert.)
Wenn die beiden Massenpunkte genau im Gleichtakt schwingen, dann merken sie nichts von der sie verbindenden Feder. Schwingen sie dagegen im Gegentakt, dann beeinflussen sie sich gegenseitig. Habe ich einen Massenpunkt in der Ruhelage und lenke den anderen aus, dann wird er den anderen Massenpunkt in dieselbe Richtung ziehen und umgekehrt von diesem zurückgezogen werden.
Jetzt versuchen wir uns anschaulich zu machen, was passieren wird,wenn wir zur Quantenmechanik übergehen (man kann die Gleichungen für zwei gekoppelte Oszillatoren auch vollständig lösen, aber das ist ziemlich gruselig – mir reicht hier ein bisschen qualitatives Argumentieren). Im Grundzustand (ja, jetzt sind wir wieder beim Vakuum) werden beide Teilchen im Mittel wieder in der Ruhelage sein (der Erwartungswert des Ortes ist für beide Null), aber durch die Feder zwischen ihnen wird sich die Breite der Wellenfunktion jeweils ein bisschen ändern – wie genau, soll mir hier egal sein:
Wenn ich jetzt eine Ortsmessung für eins der Teilchen mache, dann “kollabiert seine Wellenfunktion” – mit anderen Worten, es hat jetzt wirklich eine bestimmte Position, hier mal mit einem Wellenpaket dargestellt:
Wegen der Kopplung der beiden Teilchen zieht dieses Wellenpaket jetzt am Nachbarteilchen – dessen Grundzustand wird sich etwas in dieselbe Richtung verschieben. Umgekehrt wird das eben gemessene Teilchen stärker zur Nulllage zurückgezerrt, als es ohne das zweite Teilchen der Fall wäre.
Nach kurzer Zeit dürfte sich die Situation etwa so darstellen (Achtung: Alle Bilder sind hier nur qualitativ zu verstehen, ich habe das nicht berechnet):
Wenn wir jetzt, einen Moment später, die Position des zweiten Teilchens messe, dann wird der Erwartungswert hierfür nicht mehr genau bei Null liegen, sondern etwas nach unten verschoben sein, weil das erste Teilchen bei A das zweite ja nach unten zieht.
Es ist also
⟨0| x(A, t=0) |0⟩ = 0,
der Erwartungswert für eine Positionsmessung zur Zeit t=0 beim Teilchen A ist Null. (Bei einer einzigen Messung kann ich aber natürlich einen Wert ungleich Null finden.)
Würde ich nur zu einem späteren Zeitpunkt am Ort B eine Ortsmessung machen, wäre der Erwartungswert auch Null:
⟨0| x(B, t>0) |0⟩ = 0
Mache ich aber zwei Messungen an den beiden Punkten nacheinander, dann ist entsprechend
⟨0| x(B, t>0) x(A, t=0) |0⟩ ≠ 0
weil die erste Messung die zweite beeinflusst.
Dabei habe ich wieder die Erwartungswert-Schreibweise verwendet. (Bitte beachten, dass die Messgrößen immer von rechts nach links zu lesen sind; die Messung zur früheren Zeit steht rechts von der Messung zur späteren Zeit. Das ist eine Konvention, die der Tatsache geschuldet ist, dass es sich hier mathematisch um Operatoren handelt. An dieser Stelle könnt ihr das einfach so hinnehmen, wir schauen uns das später vielleicht noch einmal genauer an – wer weiß, wohin diese Serie noch führt.)
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