Um diese Effekte zu berechnen, muss man einigen mathematischen Aufwand treiben. (Das haben Pauli und Fierz in einer ersten Rechnung schon in den 30er Jahren getan, die wurde dann von Gupta, Feynman und anderen später verfeinert und noch genauer analysiert. Was man im einzelnen tut ist, dass man sich zunehmend höhere Ordnungen anguckt: Erst hat man quadratische Terme im Gravitonfeld, dann koppelt das Graviton daran, das gibt kubische Terme, an die koppelt es auch wieder usw. Am Ende muss man ne unendliche Reihe aufsummieren – ich gebe zu, dass ich mir das nicht im Detail angeguckt habe sondern mal glaube, dass das am Ende mathematisch richtig rauskommt.)
Wenn man diesen Aufwand betreibt, dann kommt am Ende aber tatsächlich auf der linken Seite der Gleichung genau der Einstein-Tensor heraus. Die Einsteinschen Feldgleichungen lassen sich also aus unserer Theorie der QG herleiten. Über die Frage, wie das Feldbild, das wir hier in der QG verwenden, und das Bild der Raumzeitkrümmung, das man ja gern bei der Beschreibung der ART verwendet, zusammenpassen, habe ich mir hier, hier und hier Gedanken gemacht. Kurz gesagt erlauben die Gleichungen beide Interpretationen. Feynman sagt dazu in den “Lectures on Gravitation”
[t]he fact ist that a spin-2 field has this geometrical interpretation; this is not somethign readily explainable – it is just marvelous.
[Tatsache ist, dass ein Spin-2-Feld diese geometrische Interpretation hat; das ist nichts, was sich einfach erklären lässt – es schlicht wundervoll.]
Unsere Theorie des masselosen Spin-2-Teilchens, das an die Masse oder Energiedichte koppeln soll, führt also direkt zu den Einsteinschen Feldgleichungen.
Weinbergs Wunder-Theorem
Tatsächlich hätten wir die Forderung, dass unser Spin-2-Teilchen an die Energiedichte (oder Masse) koppeln soll, nicht einmal gebraucht. Es gibt ein ziemlich verblüffendes Theorem von Steven Weinberg, das folgendes aussagt: Wenn es ein masseloses Spin-2-Teilchen gibt, das eine Wechselwirkung vermittelt, dann muss dieses Teilchen zwangsläufig an den EIT koppeln und ist deswegen quasi automatisch das Graviton. Es kann deshalb auch nicht ohne weiteres zwei unterschiedliche masselose Spin-2-Teilchen in unserem Universum geben.
Ich will hier gar nicht so tun, als würde ich den Beweis des Theorems echt verstehen – letztlich beruht es aber darauf, die Forderungen der speziellen Relativitätstheorie, die uns ja sagt, wie Dinge in unterschiedlichen Bezugssystemen aussehen müssen, auszunutzen um daraus Eigenschaften von Austauschteilchen abzuleiten. (Das Theorem macht übrigens auch Aussagen über Austauschteilchen mit anderem Spin. Teilchen mit Spin 1 wie das Photon kann es mehrere geben (gibt es ja auch, auch die Gluonen der starken Kernkraft sind Spin-1-Teilchen), aber jedes dieser Teilchen muss an eine Größe koppeln, die selbst eine Erhaltungsgröße ist (so wie die elektrische Ladung). Aus der Quantentheorie folgt also quasi direkt die Ladungserhaltung.)
Nebenbemerkung: Stringtheorie und Gravitonen
O.k., manchmal muss man auch zugeben, dass man sich geirrt hat – was ich hiermit tue. ich habe vor längerer Zeit mal hier auf dem Blog geschrieben, dass ich das Statement der Stringtheoretikerinnen, ihre Theorie würde ein Spin-2-Teilchen und deshalb die Gravitation vorhersagen, für überzogen halte, weil ja nicht klar sei, dass das Spin-2-Teilchen das Graviton sein muss (und nicht irgendein anderes Spin-2-Teilchen). Als ich das geschrieben habe, kannte ich das Weinberg-Theorem noch nicht – danach muss ein masseloses Spin-2-Teilchen an den EIT koppeln und wirkt damit wie ein Graviton. In diesem Sinne sagt die Stringtheorie also tatsächlich die Gravitation vorher.
Bevor die Stringtheoretikerinnen jetzt aber anfangen zu triumphieren sage ich gleich dazu, dass das meine Meinung von der Theorie nur wenig ändert – denn die Stringtheorie sagt einen ganzen Haufen Teilchen vorher, die alle bisher nicht beobachtet wurden (beispielsweise ein ganzes Sammelsurium an supersymmetrischen Teilchen). Wenn ich eine Theorie bastle, die ein Dutzend Teilchen vorhersagt, von denen eins die Eigenschaften des Gravitons hat, die anderen aber bisher nicht beobachtet wurden (wobei man diese fehlenden Beobachtungen mit einigem Aufwand erklären muss), dann ist der Triumph so groß nicht.
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