Trägheitskräfte

Bisher haben wir Beschleunigungen ignoriert und alles hinreichend langsam gemacht. Was passiert, wenn man ein Objekt wirklich beschleunigt? Nehmen wir mal an, ihr seid irgendwo im Weltall und habt einen Stein, der am Anfang ruht, den ihr dann aber wegschleudert. Der Stein hat am Ende eine Geschwindigkeit, weil ihr ihn beschleunigt habt. Zur Geschwindigkeit gehört auch eine Bewegungsenergie (die Formel E=(1/2) mv² habt ihr vielleicht mal in der Schule gelernt). Wenn der Stein hinterher eine Bewegungsenergie hat, aber vorher nicht, dann muss die irgendwo her gekommen sein.

Auf den Stein wirken aber ja – von eurer Wurfkraft abgesehen – keine anderen Kräfte? Wurde also am Stein Arbeit geleistet? Wenn ja, gegen welche Kraft?

Hier können wir wieder Newtons 2. Gesetz zu Rate ziehen, diesmal anders interpretiert als sonst. F=m a, Kraft ist Masse mal Beschleunigung. Wenn wir den Stein beschleunigen, dann arbeiten wir in diesem Fall gegen die Trägheit des Steins an (ihr erinnert euch, nach Newton 1 ist immer eine Kraft im Spiel, wenn etwas beschleunigt wird, ansonsten ist die Geschwindigkeit wegen der Trägheit konstant – ja, auch hier wieder nur, solange ihr nicht in der Allgemeinen Relativitätstheorie seid…). Man kann hier also die Trägheit genau so als Kraft auffassen wie wir es sonst mit anderen Kräften gemacht haben.

Wenn man das tut, dann ist die Gesamtkraft auf ein Objekt übrigens immer Null – bisher haben wir gesagt: Masse mal Beschleunigung ist gleich der Summe aller auf das Objekt wirkenden Kräfte. Aber wenn wir Masse mal Beschleunigung selbst als Kraft betrachten, dann ist die Summe aller Kräfte eben immer Null. Manchmal ist das nützlich – in der Werkstoffmechanik verwendet man so eine Logik zum Beispiel, um Probleme, in denen Trägheitskräfte auftreten, mathematisch analog zu solchen zu beschreiben, in denen die Trägheit keine Rolle spielt. Meist ist diese Betrachtungsweise nicht so praktisch – wenn alle Kräfte immer Null sind, ist das ziemlich langweilig. Wie so oft in der Physik muss man sich eben immer fragen, was man eigentlich betrachten will.

Richtungen

Jede, die schon mal bei einem Umzug mitgeholfen hat (oder wie einst Sisyphos, einen Stein einen Berg hochgerollt hat – ich hoffe, ich darf mir euch beim Lesen des Blogs auch als einen glücklichen Menschen vorstellen…), weiß, dass es deutlich anstrengender ist, eine Kiste in der 4. Stock zu heben als sie einfach nur geradeaus zu tragen. Und auch etwas geradeaus zu tragen ist vor allem deswegen anstrengend, weil unsere Muskeln eben immer Energie verbrauchen, wenn sie eine Kraft ausüben. Packt man eine schwere Last z.B. auf einen Wagen, dann kann man sie mit deutlich weniger Anstrengung schieben oder ziehen (deswegen war die Erfindung des Rades ja auch ne tolle Sache, auch wen sie dann die Notwendigkeit von Straßen mit sich brachte). Und wenn die Reibung sehr gering ist, dann kann man Objekte mit sehr wenig Kraft ziemlich weit bewegen – merkt man beispielsweise auf einem gut gebügelten Snookertisch, wo bereits ein sehr sanfter Stups mit dem Queue ausreicht, um die Kugel ziemlich weit zu bewegen.

Nimmt man unsere Formel “Arbeit ist Kraft mal Weg” aber wörtlich, dann müsste man hier sehr viel Arbeit leisten – den es wirkt ja die ganze Zeit die Gewichtskraft auf unser Objekt, während wir sie entlang eines Weges bewegen. Aber bewege ich ein Objekt horizontal, muss ich anscheinend trotzdem keine Arbeit gegen die Gewichtskraft leisten. Hebe ich dagegen etwas hoch, sieht die Sache ganz anders aus.

Entscheidend ist also nicht nur die Größe der Kraft und des Weges, sondern auch die Richtung der beiden. Steht die Kraft senkrecht auf dem Weg (Gewichtskraft nach unten, Weg horizontal), dann muss ich keine Arbeit leisten, geht dagegen der Weg nach oben und die Kraft nach unten (beim Hochheben des Steins), dann wird Arbeit geleistet. (Geht der Weg nach unten und die Kraft auch, dann beschleunigt die Kraft den Stein – das ist dann wieder ein Fall, wo man den Begriff der Trägheitskraft sinnvoll verwenden kann – in dem Fall leistet die Gewichtskraft Arbeit gegen die Trägheit des Steins und beschleunigt diesen.)

Die Größen Kraft und Weg haben auch eine Richtung, die wir in unsere Gleichung einbauen müssen. Arbeit wird nur gegen den Teil der Kraft geleistet, der in Richtung des Weges liegt. Ist der Weg horizontal, dann ist der Anteil der Gewichtskraft in Richtung des Weges Null, ist er vertikal, ist er 1 (oder 100%), schiebt oder zieht ihr das Gewicht eine schiefe Ebene hinauf (wie einst Sisyphos), dann könnt ihr den Anteil mit Hilfe von Sinus und Cosinus ausrechnen, wie in diesem Bild

 

Rastav tezine na kosini
By Ilevanat (Own work) [CC BY-SA 3.0], via Wikimedia Commons

G ist die Gewichtskraft, die Anteile t und n gehen in Richtung der Ebene (tangential) und senkrecht dazu (normal).

Aber keine Sorge, ich habe nicht vor, hier jetzt ausführlich vorzurechnen, wie Sinus und Cosinus funktionieren, es geht hier ja ums physikalische Verständnis. (Das ist vermutlich eine der größten Hürden für alle, die Physik lernen, egal ob in der Schule oder an der Uni: man muss meist einerseits die Physik und ihre Ideen lernen, aber andererseits auch noch jede Menge Mathe lernen und anwenden. Und oft wird das so vermischt, dass man gar nicht mehr weiß, ob das, was man gerade tut, nun eigentlich Physik oder Mathe ist. Das es auf dem Blog aber keine Prüfungen oder so gibt, kann ich mich voll auf die Physik und ihre Konzepte konzentrieren.) Trotzdem seht ihr hier, wie Konzepte aus der Mathematik (im Beispiel die Winkelfunktionen Sinus und Cosinus) sich in der Physik einschleichen (Ein zweites Beispiel kommt gleich).

Für’s Verständnis wichtig ist, dass eben keine Arbeit geleistet wird, wenn die Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkt. Wenn sich zum Beispiel ein Planet um die Sonne bewegt, dann wirkt die Gravitationskraft der Sonne immer senkrecht zur Bewegungsrichtung des Planeten, die Sonne leistet also keine Arbeit:

Von https://www2.astro.psu.edu/~mce/A010/lectures/lect07.html

Bild verlinkt von dieser Seite.

Der Planet wird trotzdem ständig beschleunigt, weil er ja die Richtung seiner Geschwindigkeit ändert. Er fällt quasi auf die Sonne zu, aber weil er gleichzeitig auch immer nach vor fliegt, fällt er sozusagen immer vorbei. Das schauen wir uns vielleicht ein anderes Mal an.

Also: Arbeit ist Kraft mal Weg ist so zu interpretieren, dass Kraft und Weg parallel zueinander sein müssen. Mathematisch erfasst man das dadurch, dass man Kraft und Weg als Größen schreibt, die eine Richtung haben, also als Vektoren. Kennzeichnet man durch Fettdruck oder durch Pfeile über den Buchstaben:

W = F ⋅ s

Die Arbeit ist kein dagegen Vektor, sondern eine ganz handelsübliche Zahl.
Integrale

Arbeit ist Kraft mal Weg ist eine nützliche Gleichung. Manchmal aber ändert sich die Kraft, während wir den Weg zurücklegen. Stellt euch zum Beispiel vor, ihr wollt eine Rakete in eine weit entfernte Umlaufbahn um die Erde schicken, beispielsweise in 36000 Kilometer Höhe, um dort einen Satelliten abzusetzen. Dazu müsst ihr wissen, wie viel Energie sie braucht, damit ihr den Treibstoff berechnen könnt. Die Anziehungskraft der Erde nimmt mit zunehmendem Abstand immer weiter ab. (Außerdem kommt noch hinzu, dass die Rakete immer leichter wird, weil sie Treibstoff nach hinten ausstößt, aber das ignoriere ich mal.) Was nützt uns die Formel, wenn sich die Kraft entlang des Weges ständig ändert?

Wir können das Problem ganz pragmatisch angehen: Betrachten wir ein kleines Stück des Weges, beispielsweise von einem Kilometer Länge. Auf diesem kleinen Stück ändert sich die Kraft, die auf die Rakete wirkt, nicht nennenswert. Wir können die Arbeit, die auf diesem Stück geleistet wird, also mit unserer üblichen Formel berechnen, wir müssen nur kenntlich machen, dass es sich um die Arbeit auf einem kleinen Stück des Weges handelt, nicht um die ganze Arbeit. Das tun wir, indem wir für den Weg statt s das Formelzeichen ds verwenden, wobei das “d” uns sagen soll, dass es sich um ein kleines Stückchen handelt, ds ist also nicht zu lesen als Produkt “d mal s”, sondern als ein einzelnes Objekt. Man könnte dafür auch ein neues Formelzeichen einführen, aber diese Schreibweise mit dem kleinen “d” ist praktisch, weil man sich dann nicht so viele Formelzeichen merken muss. Wir berechnen jetzt die Arbeit für das Wegstück ds und nennen dieses Stück Arbeit entsprechend dW. Die Formel sieht dann ganz ähnlich aus wie eben:

dW = F ds

Dabei habe ich auf den Fettdruck für die Vektoren verzichtet – die Rakete fliegt genau senkrecht von der Erde weg, also brauchen wir uns über die Richtungen keine Gedanken zu machen.

Die neue Formel hat allerdings einen kleinen Schönheitsfehler: Es ging ja darum, dass sich das F ändert, je nachdem, wo wir auf dem Weg von der Erdoberfläche zur Umlaufbahn sind. Das sollte man in der Formel auch sehen können. Wir schreiben deswegen besser F(s), weil das F vom Weg abhängt. (Achtung: wir schreiben nicht F(ds), denn ds ist ja gerade ein kleines Wegstück, auf dem sich F nicht ändert.)

Wir haben dann für die Arbeit auf unserem Wegstück

dW = F(s) ds

Wobei der Weg von der Erdoberfläche bis zur Umlaufbahn geht und aus lauter kleinen Stücken ds zusammengesetzt wird.

Um die gesamte Arbeit vom Boden bis zur Umlaufbahn zu bekommen, müssen wir jetzt alle diese einzelnen Beiträge dW für jedes Wegstück addieren. Wenn ich s mal von 0km bis 36000 km laufen lasse, dann haben wir also

W = F(0km) ⋅ 1km + F(1km) ⋅ 1km + … + F(36000km) ⋅ 1km

(Strenggenommen müsste ich hinten F(35999km) schreiben, weil das letzte Wegstück von 35999km bis 36000km geht.)

Das Wegstück ist immer 1km, und die Kraft nehmen wir immer am Anfang des Wegstücks, weil sie sich über das Wegstück ja nicht nennenswert ändert. (Aber beim nächsten Stück nehmen wir dann den neuen Wert der Kraft am neuen Ort.) Natürlich machen wir einen kleinen Fehler bei dieser Annahme, weil die Kraft ja nicht ganz genau konstant ist. Wir können, wenn uns das stört, das Wegstück einfach kleiner machen (dann werden es natürlich mehr Wegstücke), beispielsweise könnte jedes ds 1 Meter statt ein Kilometer sein. Dann haben wir allerdings nicht mehr 36000 Summanden, sondern 36 Millionen. Oder wir nehmen gleich einen zentimeter oder noch kleinere Wegstücke.

Weil das dann zwar immer genauer, aber auch immer unübersichtlicher wird, haben sich die Mathematikerinnen was Praktisches einfallen lassen, nämlich eine Kurzschreibweise. Wir summieren über lauter Wegstücke und zwar immer F(s)ds? Das schreiben wir dann einfach als

W =∫ F(s) ds

Die Schlangenlinie vorn, die an ein langgezogenes S (wie “Summe”) erinnern soll, ist das berühmte und gefürchtete Integralzeichen. Mathematisch kann man da viele komplizierte Dinge tun, um solche Integrale dann auszurechnen – aber von der Idee hier ist das, was man tut, eigentlich ziemlich simpel: Man berechnet das Produkt aus F und s, wenn F sich abhängig vom Weg ändert.
Unsere Formel ist allerdings noch nicht ganz vollständig – wir müssen ja noch sagen, über welche Strecke wir die Arbeit ermitteln wollen. Das schreibt man ans Integral ran, etwa so:
 W= \int_{0km}^{36000km} F(s) \,\mathrm{d}s
Das Integral geht also von 0km nach 36000km, und die Größe, die sich so ändert, ist die, die das kleine “d” davor hat, also der Weg s. (Im korrekten mathematischen Formelsatz wie hier nimmt man für dieses besondere d ein aufrecht gedrucktes, während Formelzeichen ansonsten ja kursiv sind.)

In Physikbüchern findet ihr fast immer irgendwelche Formeln, in denen Integrale drinstecken. Vielleicht fandet ihr die bisher sehr abschreckend, aber sie zu lesen ist eigentlich nicht so schwer: In jedem Integral steckt irgendwo ein Formelzeichen mit einem “d” davor, das ist die Größe, die sich ändert, und alles, was davor steht, darf von dieser Größe abhängen. Man braucht – na klar – ein bisschen Übung, um solche Formeln schnell richtig zu interpretieren, aber prinzipiell ist an so einem Integralzeichen nichts fürchterlich Geheimnisvolles dran.

Fazit

Alles in allem seht ihr auch heute wieder, dass eine einfache Gleichung es ganz schön in sich hat. Zum einen gab es doch mehr zu interpretieren, als man vielleicht auf den ersten Blick dachte, zum anderen kann man aber an einer so einfachen Gleichung schon sehen, warum sich komplexe Mathematik-Konzepte wie Sinus, Cosinus oder gar Integrale in die Physik einschleichen. Lasst euch bloß nicht von fies aussehenden Formeln ins Bockshorn jagen – und vor allem: versucht immer, den Unterschied zwischen den physikalischen Ideen und den mathematischen Tricks zu ihrer Berechnung im Auge zu behalten.

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Kommentare (42)

  1. #1 uwej
    Nordstadt
    7. März 2016

    “Die Arbeit, die wir beim Hochheben leisten, leisten wir gegen die Schwerkraft.”

    Was, wenn es keine “Schwerkraft” gäbe – wie formuliert man dann (für eine Schulklasse) einen solchen Satz am besten?

  2. #2 MartinB
    7. März 2016

    @uwej
    Naja, für ne Schulklasse würde ich nicht unbedingt die allg. RT verwenden, um Schwerkraft zu erklären…
    Wenn man das aber doch will, dann muss man eben sagen:
    Newton I wird ersetzt durch “Objekte, auf die keine Kräfte wirken, laufen entlang von Geodäten, also den “geradesten” Bahnen, die es in einer gekrümten Raumzeit geben kann.”
    Um sie von der Geodäten wegzubewegen, muss man sie entsprechend nach Newton 2 beschleunigen. (Also auch, um sie z.B. auf konstanter Höhe zu halten wie in dem von dir verlinkten Text ja auch als Beispiel beschrieben bei dem Bild mit dem Strichmenschen).

    Ob das unbedingt anschaulicher ist, weiß ich nicht, aber korrekt ist es.

    Alternativ kann man auch das Modell des stürzenden Raums verwenden, das ist aber insofern gefährlich, weil es Missverständnisse provoziert:
    https://scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2015/01/02/raumzeitstaub/?all=1

  3. #3 Ingo
    7. März 2016

    Wie bekomme ich das Integral den letztendlich wieder Weg?
    W =∫ F(s) ds

    Gravitationsgesetz (Newton): F = ( G * m1* m2) / (r^2)
    G = Gravitationskonstante = 6.67408 * 10^-11 (m^3)/(kg*(s^2))
    m1 = Masse der Erde = 5,972 * 10^24 kg
    m2 = Masse der Rakete = 1kg (Ich ignoriere in Wirklichkeit die Masse der Rakete, da sehr klein im Vergleich mit der Erdmasse, und 1kg ist einfacher zu rechnen)
    r = Entferung der Massen voneinander
    Bei Hoehe 0km gild: r=6371000m=Erdradius=Entfernung vom Erdmittelpunkt.

    Damit ist die Gewichtskraft meiner 1kg-Rakete bei Hoehe 0km demnach:
    F = ( G * m1* m2) / (r^2) = ( 6.67408*10^-11 kg * 5,972*10^24 kg * 1kg) / (6371000m ^2) = 9,89.. N
    Das entspricht der Gewichtskraft von 1kg bei Erdbeschleunigung. Da die Erdbeschleunigung tatsaechlich auf der Erdoberflaeche tatsaechlich laut Wikipedia = 9,819..N (bei 1kg Masse) ist, scheine ich bishierhin richtig zu liegen.

    Mein Parameter fuer das Integral ist “s”
    s=Strecke der Rakete seit dem Start von der Erdoberflaeche
    Fuer meine Formel brauche ich aber “r” (die Entfernung der Rakete vom Erdmittelpunkt), daher addiere ich den Erdradius:
    r = s + Erdradius = s + 6371000m

    Damit ergibt sich die Funktion:
    F(s) = ( G * m1* m2) / ( (s+Erdradius)^2)
    G, m1, m2 und Erdradius sind bekannt.
    F(s) = ( 6.67408*10^-11 kg * 5,972 * 10^24 kg * 1kg) / ((s+6371000m) ^2)

    Diese Funktion muss ich nun irgendwie in das Integrall hineinfummeln.

    Aber ich mache zunaechsteinmal Pause und betrachte die Funktion mit einen Funktionsplotter
    https://www.mathe-fa.de/de (dort muss ich den Parameter allerdings “x” nennen,- sonst versteht der Plotter die Formel nicht
    f(x)=((6.67408*10^-11)*(5.972*10^24)*1)/((x+6371000)^2)
    Man bekommt ein schoenes Bild wie sich die Gewichtskraft die auf die Rakete wirkt ueber die Entfernung veraendert.

    Nun googel ich nach einen Integralkalkulator und finde https://www.integralrechner.de/
    Dort gebe ich die Formel ein. In den Optionen kann ich die untere Grenze (0m) und die obere Grenze (36000000m – soviel soll die Rakete steigen) ein.
    Jetzt passiert Magie, und ich bekomme als Ergebnis:

    5.315417585720527⋅10^7 Joule = 53 MegaJoule (sagt man das so ?)

    Ich habe keine Ahnung ob das gerechnete Richtig ist,- ich habe auch keine Ahnung wie genau der Integralrechner meine Funktion dort hineingefummelt hat. Wie rechnet man denn nun ein Integral aus?

  4. #4 Ingo
    7. März 2016

    Die Einheiten waren oben falsch angegeben.
    Einheiten aus der Formel:
    F = ( G * m1* m2) / (r^2)

    ((m^3)/(kg*(s^2)) * kg * kg) / (m^2) =
    (m^3 * kg * kg) / (kg * s^2 * m^2) =
    (m * kg ) / (s^2) = N
    Die Definition der Einheit Newton ist tatsaechlich (kg*m)/s^2 -> Richtig

    Aber Wie komme ich nun durch meine Integralfunktion auf Joule
    Joule = (kg * m^2) / (s^2)

    Integralfunktion von irgendwas mit Newton -> Joule ??

    Ich habe das Integral ja nicht selber ausgerechnet, sondern nur das Internet befragt.

  5. #5 MartinB
    7. März 2016

    @Ingo
    Guckst du z.B. hier:
    https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/physik-abitur/artikel/energie-und-arbeit-im-gravitationsfeld
    Der Trick ist, einfach die integralgrenzen passend zu wählen, dann spart man sich die fiese Summe im Nenner.

  6. #6 uwej
    7. März 2016

    “Naja, für ne Schulklasse würde ich nicht unbedingt die allg. RT verwenden, um Schwerkraft zu erklären…”

    Warum eigentlich nicht? Das berühmte Zitat hierzu, rekursiv wie GNU, ist durchaus unanschaulich und macht unmittelbar klar, warum selbst ein Dreikörperproblem keine analytische Lösung kennt. Das ist mit Newton weniger offensichtlich.

    Trotzdem tauchen Fragen auf.

    “Das bedeutet, daß in einem genügend großen Raumbereich, in dem keine Masse ist, die Raumzeit euklidisch wird, obgleich es einen Referenzraum, schon gar einen euklidischen, eigentlich nicht gibt?”
    Julius, 15 Jahre

    Die Schüler fragen das, weil sie “wissen wollen, gegenüber welcher Raumzeit die Raumzeit durch die ‘Anwesenheit’ von Masse gekrümmt sei”.

  7. #7 Ingo
    7. März 2016

    @MartinB #5
    Die Summe im Nenner war garnicht mein Problem.
    Mein Problem ist, dass ich nicht mal ansatzweise Ahnung habe ob ich richtig liege, und ich Integral-rechnerrei komplett vergessen habe.
    Ich wuesste nicht, wie ich ueber meine Funktion das Integral ausrechnen koennte.
    Ich habe einfach nur die Formel blind irgendwo ins Internet eingegeben, und gehofft das kein Quatsch rauskommt.

  8. #8 Ingo
    7. März 2016

    *seufts*
    Ich habe das alles alles vergessen:

    https://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/integralrechnung.html

  9. #9 Ingo
    7. März 2016

    Irgendwie glaube ich meinem ausgerechneten Quatsch nicht.

    Hier …
    https://de.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%B6%C3%9Fenordnung_(Energie)
    … steht:

    41,9 MJ = Freiwerdende Energiemenge bei Verbrennung von 1 kg Rohöl (Öleinheit – ÖE)

    Ich habe aber ausgerechnet dass ich nur 53 MJ fuer meine Rakete brauche.
    Es kann ja nicht sein, dass ich nur etwas mehr als 1kg Rohoel brauche, um meine Rakete auf 36000km hochzubekommen.

  10. #10 MartinB
    7. März 2016

    @Ingo
    Der Artikel den ich verlinkt habe, rechnet das doch genau vor. Danach braucht man 2,8GJ/1000kg für ne erdnahe Umlaufbahn.

    Und dein Problem ist natürlich, dass du 1kg nach oben bekommen willst und dafür 1kg Treibstoff brauchst – deine Nutzlast ist also gleich Null.
    Ich glaube, drüben bei WasGeht gibt es auch mehr Infos zur Raketengleichung usw., wo das aufgedröselt wird.

    @uwej
    “Warum eigentlich nicht? ”
    Weil ich denke, dass man für viele Alltagsprobleme mit dem Bild der Schwerkraft deutlich leichter eine Lösung findet. Ist immer gut, alle möglichen Modelle parat zu haben – wir erklären ja auch erst mal klassische Mechanik.

    “Die Schüler fragen das, weil sie “wissen wollen, gegenüber welcher Raumzeit die Raumzeit durch die ‘Anwesenheit’ von Masse gekrümmt sei”.”
    Ja, und da sieht man dann auch, dass die ART eben nicht so leicht zu verstehen ist, weil man bei einem gekrümmten Raum eben automatisch denkt, der raum müsse sich in irgendwas krümmen. In meiner Serie habe ich das ja mit den Landkarten zu erklären versucht.
    Ich weiß übrigens nicht, welches Zitat du meinst, und wie man in der ART sofort sehen soll, dass im Newtonschen Grenzfall das 3-Körper-Problem nicht lösbar ist, sehe ich auf Anhieb auch nicht.

  11. #11 Ingo
    7. März 2016

    @MartinB #10
    > Und dein Problem ist natürlich, dass du 1kg nach oben
    > bekommen willst und dafür 1kg Treibstoff brauchst

    Mittlerweile war mir das auch aufgefallen, dass ich fuer die Rakete nur 1kg eingesetzt hatte, und damit natuerlich die Gewichtskraft viel zu klein ist um realistische Werte zu bekommen.
    Nachdem ich andere Werte eingesetzt hatte wurden die Zahlen auch vernuenftig.
    Deinen verlinkten Artikel hatte ich erst spaeter glesen.
    Es war nun fuer mich seit langen dass erste mal ueberhaupt mit Physik-Formeln in Kontakt zu sein.
    Daher habe ich einen gewissen Anfaenger-Stolz ueberhaupt die richtige Formel/Funktion gefunden zu haben und scheinbar korrekt eingesetzt zu haben.
    Ich bitte dafuer um Nachsehn 🙂

  12. #12 Name auf Verlangen entfernt
    7. März 2016

    “Das bedeutet, daß in einem genügend großen Raumbereich, in dem keine Masse ist, die Raumzeit euklidisch wird, obgleich es einen Referenzraum, schon gar einen euklidischen, eigentlich nicht gibt?”
    Julius, 15 Jahre

    Die Schüler fragen das, weil sie “wissen wollen, gegenüber welcher Raumzeit die Raumzeit durch die ‘Anwesenheit’ von Masse gekrümmt sei”.

    Da bahnt sich eben der gesunde Menschenverstand einen Weg zur Wahrheit: eindrucksvoll!

  13. #13 MartinB
    8. März 2016

    @Ingo
    Nachsehen? Nein, ich finde das ziemlich beeindruckend, wenn jemand so was versucht, und du bist ja auch recht weit gekommen.
    Ich wollte mit meinem letzten Kommentar vor allem darauf hinweisen, dass das größte Problem bei Raketen eben ist, dass die Energie, die man braucht, um 1kg nach oben zu bekommen, in der gleichen Größenordnung liegt wie die Energie, die in 1kg Treibstoff steckt – einen großteil des Treibstoffs verbraucht eine Rakete am Anfang dafür, den anderen Treibstoff nach oben zu bringen.

  14. #14 Karl-Heinz
    8. März 2016

    @Ingo

    Abgesehen davon, dass dein Testkörper von 1 kg in der Höhe von 36.000 Km eine Endgeschwindigkeit von 0 m/s hat. Das Zeug kommt jedenfalls wieder runter 😉

  15. #15 MartinB
    8. März 2016

    @Karl-Heinz
    Das wird auf der von mir verlinkten Seite auch vorgerechnet – die kinetische Energie ist sogar höher als die potentielle.

  16. #16 uwej
    8. März 2016

    @10, MartinB

    “weil man bei einem gekrümmten Raum eben automatisch denkt, der raum müsse sich in irgendwas krümmen”

    Danke für die Antwort.

    So wie oben habe ich es nicht gemeint. Ich wollte andeuten, daß die (wahrscheinlich naive) Frage im Raum steht, ob, wenn man von Krümmung spricht, als Relation etwas weniger oder mehr Gekrümmtes heranziehen muß. Ein leere flache Raumzeit, die nicht universal Henne und Ei zugleich sein soll, ein Art Äther in der Abwesenheit von Masse, existiert aber sui generis offenbar nicht.

    Die Frage war also nicht, ob in einer höheren Dimension gekrümmt, sondern ob relativ zu etwas in der gleichen Dimension gekrümmt.

    Das Zitat übrigens war, daß die Masse dem Raum sagt, wie er sich zu krümmen hat und der Raum der Masse sagt, wie sie sich zu bewegen hat. Und weil dies eine kräftefreie Rekursion ist, schien es offensichtlich, daß Mehrkörperprobleme analytisch nicht zugänglich sind, stimmt vielleicht auch nicht, aber sind ja noch keine Professoren.

  17. #17 MartinB
    8. März 2016

    @uwej
    “sondern ob relativ zu etwas in der gleichen Dimension gekrümmt.”
    Naja, relativ zu ungekrümmt halt 😉
    Was ich damit sagen will ist, dass du feststellst, ob der Raum gekrümmt ist, wenn du z.B. einen kreis malst und das Verhältnis Radius zu Umfang bestimmst (so wie im 2. Teil der Artikelserie mit dem Sonnenradius). Eine Krümmung kann man innerhalb des gekrümmten Raums (oder raumzeit) direkt nachweisen, wenn man entsprechende Größen misst. So wie auch eine Ameise auf der Erdoberfläche z.B. messen könnte, dass die Winkelsumme im Dreieck größer als 180° ist, auch wenn sie sich nur in der Oberfläche bewegen und nie nach oben schauen kann.

    “Und weil dies eine kräftefreie Rekursion ist, schien es offensichtlich, daß Mehrkörperprobleme analytisch nicht zugänglich sind”
    Das ist ein unzulässiger Schluss, denke ich. Die Tatsache, dass es eine Rückkopplung gibt, heißt meiner Ansicht nach nicht zwingend, dass man das Problem nicht analytisch lösen kann.

  18. #18 uwej
    8. März 2016

    Kann man also ungestraft behaupten, daß alle Dreiecke, die eine Winkelsumme um 180° haben, als “klein” zu kategorisieren sind, während “große” Dreiecke eine Winkelsumme 180° haben und streng genommen gar keine (Ideen von durch nichts beeinflussten) Dreiecke mehr sein können?

    Bedeutet relativ ungekrümmt etwas anderes als relativ klein?

    Der “unzulässige” Schluß klingt ohne weitere Ahnung oder Erläuterung in der Tat voreilig, zugegeben – was sagt aber die Theorie dazu, woran es liegt, daß es kein zielführenderes Verfahren geben könne, als derartige Fragestellungen numerisch zu lösen?

  19. #19 MartinB
    8. März 2016

    @uwej
    Sorry, den ersten teil habe ich nicht verstanden.
    Nimm als Beispiel die Erdoberfläche: wenn du nen dreieck auf der Erde (als perfekte Kugel angenommen) malst, dessen Kanten sehr klein sind, dann ist die Winkelsumme ziemlich genau 180°. Wenn du dagegen ein Dreieck vom Nordpol bis zum Äquator malst, dann kannst du drei rechte Winkel um Dreieck haben. Daran kannst du sehen, dass die Erdoberfläche gekrümmt ist. Die Krümmung ist überall gleich und konstant, aber lokal ist die Oberfläche immer flach. (Genauso wie man in der ART lokal immer ein frei fallendes Bezugssystem finden kann.)

    “was sagt aber die Theorie dazu, woran es liegt, daß es kein zielführenderes Verfahren geben könne, als derartige Fragestellungen numerisch zu lösen?”
    Zum einen müsste nach der Logik ja schon das Zweikörperproblem unlösbar sein, oder?
    Es gibt einen Beweis, warum das 3-Körper-Problem nicht analytisch lösbar ist, aber ich habe mir den nie angeschaut, weil ich die Frage nicht so schrecklich interessant finde.

  20. #20 Karl-Heinz
    8. März 2016

    @MartinB

    Das wird auf der von mir verlinkten Seite auch vorgerechnet – die kinetische Energie ist sogar höher als die potentielle.

    Ich weiß.
    Ich wollte nur unterstreichen, dass der Testkörper von 1 kg zurück auf die Erde kommt und jemanden verletzen könnte 😉

  21. #21 JoJo
    8. März 2016

    @uwej:

    Das Zitat übrigens war, daß die Masse dem Raum sagt, wie er sich zu krümmen hat und der Raum der Masse sagt, wie sie sich zu bewegen hat.

    Wirklich? Wheelers Originalzitat lautet: “Spacetime tells matter how to move; matter tells spacetime how to curve.”

    Krümmung der Raumzeit ist grundsätzlich von Raumkrümmung – bzw. Krümmung des raumartigen Anteils der Raumzeit – zu unterscheiden!

    Beispiel: Ein Stein an der Erdoberfläche, der sich 1 Sekunde im freien Fall bewegt und sich von t=0, x=0 zu t=1, x=1 bewegt. In ART-Sprech bewegt sich der Stein auf einer Geodäten maximaler Eigenzeit. Das ist bis auf relativistische Korrekturen eine Wurfparabel. Die kürzeste Verbindung zwischen x=0 und x=1 – also die Geodäte minimalen Abstands im Raum – ist jedoch die gerade Strecke von x=0 nach x=1 und eben keine Parabel.

    Und weil dies eine kräftefreie Rekursion ist,

    Es ist keine “Rekursion” sondern eine eindrückliche Verbalisierung der Einschein’schen Feldgleichungen.

  22. #22 uwej
    9. März 2016

    “Sorry, den ersten teil habe ich nicht verstanden.”

    Ich verstehe. Die Aussage war, daß in realiter nur ein relativ kleines Dreieck die Winkelsumme 180° haben kann: Wenn ich auf der Erde ein Dreieck zeichnen möchte, das die Winkelsumme ~180° hat, muß es “klein” sein. Z.B. ein gleichschenkliges Dreieck mit gegen Null gehender Seitenlänge, sonst macht sich die notwendig zu erwartende Krümmung des (nicht leeren) Raumes bemerkbar. “Große” Dreiecke erfüllen die Winkelsumme qua Größe hingegen nicht – mir erschien das folgerichtig. Ich wollte keine semantische Spielerei betreiben.

  23. #23 MartinB
    9. März 2016

    @uwej
    Achso, dann sind wir uns soweit ich sehe einig.

  24. #24 klaus
    13. März 2016

    Arbeit ist Kraft mal Weg und Arbeit ist Drehmoment mal Drehwinkel und daher ist Drehmoment Arbeit je Drehwinkel, also Nm/rad oder J/rad oder J/° oder Nm/° und daher ist Drehmoment niemals Nm.

  25. #25 Karl-Heinz
    13. März 2016

    Beim einem Hebel habe ich Hebellänge und Kraft, also Nm. Es muss sich bei einem Gleichgewicht ja nix bewegen. Im Gegensatz zur Arbeit steht bei einem Drehmoment die Hebelänge und die Kraft senkrecht aufeinander!!!

  26. #26 Karl-Heinz
    13. März 2016

    @klaus

    kleiner mathematischer Zusammenhang
    ——————————————————–
    W … geleistete Arbeit
    M … Drehmoment
    F … Kraft
    L … Hebellänge
    b … Bogenlänge
    α … Winkel mit dem gedreht wird

    α = b/L
    M=F*L

    W = M*α = (F*L)(b/L) = F*b

  27. #27 klaus
    13. März 2016

    @Karl-Heinz

    Gut, dann berechne einmal einheitenrichtig, welche Arbeit hierbei umgesetzt wird:

    Drehmoment: 3 Nm
    Drehwinkel: 30°

  28. #28 Karl-Heinz
    13. März 2016

    @klaus

    Radiant hat als Einheitenzeichen rad
    Als Dimension aber L/L =1

    M … Drehmomentenvektor = (0,0,3 Nm)
    α[rad] … Drehwinkelvektor = (0,0, 3*pi/18)
    W … Arbeit (Skalar)

    α[rad]= α[°]*pi / 180 = 30*pi/180 = 3*pi/18
    W = M* α = 9*pi/18 [Nm]

  29. #29 MartinB
    13. März 2016

    @klaus
    Was versuchst du hier zu zeigen oder zu argumentieren?

  30. #30 Karl-Heinz
    13. März 2016

    @MartinB

    Vielleicht ist Klaus ein genervter Mechanik-Lehrer einer Klasse, in der die Schüler einfach nicht einsehen, dass für die Berechnung der Arbeit bei einer Drehbewegung W = M*α der Winkel α in Radianten zu nehmen ist 😉

  31. #31 klaus
    13. März 2016

    @Karl-Heinz

    “α[rad]= α[°]*pi / 180 = 30*pi/180 = 3*pi/18”

    Deine Einheitengleichung ohne Faktoren ergibt:

    rad = °
    ° = 1

    Das ist ebenso Mist wie dein falsches Ergebnis!

  32. #32 Karl-Heinz
    13. März 2016

    @Klaus
    Du bist sehr pingelig. Wenn ich die Einheiten aus der Definition des Drehmomentes herleite kommt Radiant nicht vor. Ein Drehmoment hat mal zunächst mit einem Winkel nichts zu tun.

  33. #33 klaus
    13. März 2016

    @Karl-Heinz

    ” Wenn ich die Einheiten aus der Definition des Drehmomentes herleite kommt Radiant nicht vor. Ein Drehmoment hat mal zunächst mit einem Winkel nichts zu tun.”

    Ob ein Radiant vorkommt ist unerheblich. Aber es kommt in der Einheit irgend ein Winkel vor! Weil ein Drehmoment etwas mit Drehung zu tun hat und Drehungen beinhalten automatisch irgendetwas winkelähnliches. Ob man auf einen Vollkreiswinkel bezieht oder oder auf Frad oder Radiant ist unerheblich. Aber der Bezug muß in der Drehmomenteinheit genannt werden!

    Dann ergibt sich:

    Nm/rad * rad = Nm

    Nm/° * ° = Nm

    Nm/U * U = Nm

    Mit Zahlen:

    3 Nm/rad * 5 rad = 15 Nm

    3 Nm/° * 5° = 15 Nm

    3 Nm/U * 5 U = 15 Nm

    Und genauso geht es mit Leistungen:

    3 Nm/rad * 5 rad/s = 15 Nm/s = 15 W

    3 Nm/° * 5°/s = 15 Nm/s = 15 W

    3 Nm/U * 5 U/s = Nm/s = 15 W

    Dagegen gelingt dies niemals:

    3 Nm * 5°/s = 15 Nm°/s = keine Leistung!

  34. #34 Karl-Heinz
    13. März 2016

    @Klaus

    Ich habe eine kleine Denksportaufgabe für dich.
    Wenn du die Funktion sin(α) in eine Reihe zerlegst,
    wie gehst du dann mit den Radianten um?
    ———————————————————————-
    Winkel α in Radianten

    sin(α) = α /1! – α^3/3! + α^5/5! – α^7/7! + …
    ———————————————————————-

    In etwas so ?!
    [rad] – [rad]^3 + [rad]^5 …

    Na dann, viel Vergnügen *lol*

  35. #35 Karl-Heinz
    13. März 2016

    @Klaus

    Achtung Klaus, jetzt kommt ein praxisorientierter Teil
    für Praktiker.
    ———————————————————————-
    Im Internationalen Einheitensystem (SI) ist Radiant der besondere Name für die dimensionslose, kohärente, abgeleitete SI-Einheit m/m. Er ist also eine Hilfsmaßeinheit und kann in Rechnungen einfach durch 1 ersetzt werden, d. h. 1 rad = 1

  36. #36 klaus
    14. März 2016

    @Karl-Heinz

    [rad/rad] – [rad/rad]^3 + [rad/rad]^5

    Habe mich gut vergnügt.

    Dein rad^3 ist also Unsinn. Das Argument von sin(a) ist NICHT a rad sondern a rad/rad! Ebenso ist deine Hilfseinheitsbehauptung Unsinn. Dein m/m Argument zeigt nur, daß du gar nicht weißt, wovon du sprichst.

    Das rad ist definiert und zwar als derjenige WINKEL, bei dem die Länge des Kreisbogens mit der Länge des Kreisradius übereinstimmt und dieser so definierte WINKEL hat die Kenzeichnung “rad”. Beim oftmals als Argument gebrachte m/m=1 kürzt sich nur teilweise etwas weg, da in Wirklichkeit das Verhältnis von BogenLÄNGE/RadiusLÄNGE dasteht und sich nur die LÄNGE dabei wegkürzt. Die Bedeutungen kürzen sich nicht weg und es bleibt die VerhältniszahlBEDEUTUNG für den WINKEL rad als derjenige WINKEL übrig, wo Bogenlänge/Radiuslänge = 1 oder Bogenlänge gleich Radiuslänge oder Bogen gleich Radius ist immer noch übrig! Egal, ob der Bogen und Radius in Schneckensekunden, Lichtsekunden oder Daumenbreiten angegeben werden!

    Ansonsten könnte man auch behaupten, m oder kg oder Äpfel seien nur eine Hilfseinheiten.

    Jeder Winkel hat eine Einheit, Ansonsten gäbe es nicht die verschiedenen Bezeichnungen für Winkel. Diese Winkelbezeichnungen rad, °, gon, ´, ´´, _, mil oder was auch immer haben dieselbe Wertigkeit wie kg, m, s, A, Socken, Bananen und Äpfel und sind mit ihrer jeweiligen DEFINITION vollidentisch. Dies ist unabhängig davon, was in der jeweiligen Definition drinsteht.

    Wenn mlsw als Winkel genannt wird, den ich als denjenigen Winkel definiert habe, welcher sich beim Umwickeln meiner Kaffeetasse mit meinem königlichen linken Socken ergibt, dann ist diese Winkeleinheit in der Rechnung mitzuführen! Ein mlsw hat dann die Bedeutung von 2,4 Vollkreisen oder 15,08 rad oder 864° und damit ist auch das Drehmoment von 1 Nm/mlsw exakt definiert!

    Dann kann auch gerechnet werden, wie hoch die Leistung eines Motors ist, welcher 3 Nm/mlsw * 5 rad/s leistet. Das sind dann

    3 Nm/mlsw * 5rad/s = 3 Nm/mlsw * 5 rad/s * 1mlsw/ 15,08rad = 0,995 Nm/s = 0,995 W

    Entsprechend kann auch ein Drehmoment als 3 Nm/7rad angegeben werden. Wenn die Winkelgeschwindigkeit dann 720 °/s beträgt ergibt sich dann eine Leistung von

    3 Nm/7rad * 720°/s = 3 Nm/7rad * 720°/s * pi rad /180° = 5,39 Nm/s = 5,39 W

    Die Definition des Drehmoments IST daher wie anfangs behauptet “Arbeit je Drehwinkel” oder “Leistung je Winkelgeschwindigkeit” und daher muß die Bezugswinkeleinheit im Drehmoment genannt sein. Die Einheit für das Drehmoment ist also niemals Nm oder J.

    Diese Aussage ist unabhängig davon, was andere glauben und behaupten, richtig!

  37. #37 MartinB
    14. März 2016

    @klaus
    Ich habe nach wie vor keine Ahnung, was du hier willst oder warum du meinst, die Kommentarspalte dieses Blogartikels sei ein sinnvoller Ort, um darüber zu reden, wie die Einheit rad funktioniert. Bitte entweder mal klar in ein zwei Sätzen sagen, was du eigentlich erreichen willst oder aufhören hier zu posten.

  38. #38 klaus
    14. März 2016

    @MartinB
    “Was versuchst du hier zu zeigen oder zu argumentieren?”

    Da du gerade dabei bist, eine Grundlage der Physik darzulegen, nämlich Arbeit, habe ich die “andere” Arbeit gleich mit angegeben, damit du dich beim nächsten Artikel mit der Überschrift “die-gleichungen-der-physik-drehmoment-ist-kraft-mal-hebelarm” nicht versehentlich lächerlich machst und in die Kategorieschublade Claus Turtur mit hinzugelegt wirst.

    Der schaffte es nämlich bereits, der Vakuumenergie ein paar Nanowatt mit rund 100 W Leistungseinsatz zu entlocken. In Anbetracht der von ihm behaupteten Vakuumenergie von 10^29 J/m³ ist das natürlich ein mäßiges Ergebnis, was dieser Prof. Claus Turtur der Welt mit seinem Raumenergiekonverter zeigte.

    Allerdings zeigt seine Rechnerei, daß der gute Prof. Claus Turtur die Einheit des Drehmoments ebensowenig kennt wie seine professoralen Kollegen, die ihn deshalb theoretisch auch nicht widerlegen können.

    Bei korrekter Rechnung ergibt sich nämlich als Ergebnis, daß im Raum sogar 10^29 Jrad/m³ enthalten sind und das ist tatsächlich seeeeehr viel Blödsinn, den man noch anzapfen kann!

    Prof. Claus Turtur hat aber noch weiter geforscht. Zwischenzeitlich scheint er theoretisch nachgewiesen zu haben, daß daß der Blödsinnsgehalt des Quantenvakuums gar 10^112 Jrad/m³ beträgt, wie ich gerade nach kurzer Recherche festgestellt habe (https://www.quantumenergie.de/2012/12/04/neuer-vortrag-von-prof-dr-claus-turtur-zu-seinem-raumenergiekonverter/).

    Und soooooooo viel Quantenvakuumblödsinn könntest du bestimmt nicht mehr vollständig entkräften. Selbst wenn du 99,9999% zu entkräften schaffst, bleiben immer noch unerklärbare 0,0001% oder 10^106 Jrad/m³ Blödsinnsgehalt übrig und das ist eine wirklich sehr schwerwiegende Menge! Deshalb mein pingeliger, aber ganzliebgemeinter Tip.

  39. #39 MartinB
    14. März 2016

    @klaus
    Was jetzt die Definition des Drehmoments mit Herrn Turtur zu tun hat, erschließt sich mir nicht. Hat aber anscheinend hier auf dem Blog wirklich nichts verloren, such dir bitte ein anderes Forum, wo du deine Vorstellungen diskutieren kannst.

  40. #40 DocDuck
    16. Dezember 2016

    Hallo Martin,
    vielen Dank für die vielen tollen Artikel.
    Da ich gerade die Artikelserien durchlese, fällt mir auf, dass ein Link am Ende der letzten Seite eines Artikels zur ersten Seite des nächsten Artikels der selben Serie sehr nützlich wäre.
    Liebe Grüße

  41. #41 MartinB
    17. Dezember 2016

    @DocDuck
    Danke.
    Ja, das mit den Links wäre nur immer extra-Arbeit, weil ich dann die alten Artikel immer nochmal editieren müsste, meist bin ich dazu zu faul (früher hab ich’s mal gemacht…).
    Du kannst aber ja immer über die Serien-Seite alles finden.

  42. […] eine Energie von z.B. 1000Joule speichert, kann damit für 1000Joule Arbeit leisten, also (wegen “Arbeit ist Kraft mal Weg”) beispielsweise ein Objekt 10 Meter gegen eine Kraft von 100 Newton bewegen (wenn das Objekt 10kg […]