Habt ihr eure Steuererklärung für 2012 schon abgegeben? Wenn nicht, und falls ihr vorhabt, das Finanzamt zu betrügen, dann passt jetzt gut auf. Das gilt auch, wenn ihr Wahlen fälschen wollt oder plant, eure wissenschaftlichen Arbeiten mit erfundenen Daten aufzupeppen. Denn bei all dem müsst ihr auf jeden Fall Benfords Gesetz berücksichtigen!

Benfords Gesetz beschreibt eine interessante und überraschende Eigenschaften von Zahlen. Ende des 19. Jahrhunderts blätterte der Astronom und Mathematiker Simon Newcomb durch die Logarithmentafeln. Damals gab es noch keine Taschenrechner und wenn man den Logarithmus einer Zahl berechnen wollte, dann musste man in einem Buch voller Tabellen nachschlagen. Newcomb fiel dabei auf, dass die vorderen Seiten im Buch stärker abgenutzt waren als die hinten. Die Leute schienen also wesentlich öfter Zahlen nachzuschlagen, die mit einer “1” beginnen anstatt Zahlen, die mit einer “9” anfangen. Da Zahlen mit einer “1” am Anfang nun aber nicht irgendwie prinzipiell wichtiger sind als andere Zahlen, musste das bedeuten, dass die “1” als Anfangszahl häufiger war. Und genau so ist es auch. Hat man eine große Menge an Zahlen, die einen großen Bereich abdecken, dann ist die “1” als Anfangszahl deutlich häufiger. Newcomb hat diese Erkenntnisse auch publiziert, aber erst als der Physiker Frank Benford das ganze 1938 nochmal neu entdeckt und veröffentlicht hatte, wurde die Sache einigermaßen bekannt.

Wenn man genauer darüber nachdenkt, ist das auch irgendwie logisch. Nicht jede Zahl hat ein eigenes Symbol. Und da wir große Zahlen aus kleinen Zahlen zusammensetzen und die “1” die kleinste Ziffer ist, ist die Chance sie zu treffen, auch größer. Zwischen “1” und “9” taucht jede Ziffer gleich oft auf. Zwischen “1” und “19” steht die Ziffer 1 aber in mehr als der Hälfte aller Fälle am Anfang!

Schön anschaulich erklärt das dieses schöne Video von numberphile:

Wenn eine Menge an Zahlen tatsächlich auf natürliche Art und Weise zustanden gekommen ist, dann wird die Ziffer “1” häufiger am Beginn zu finden sein. Wer aber trickst und sich irgendwelche Zahlen ausdenkt, kann so überführt werden. Ein Beispiel dafür könnt ihr hier nachlesen.

Und ich muss mich jetzt um meine Steuererklärung kümmern…

Kommentare (31)

  1. #1 Thilo
    28. Januar 2013

    Hättest Du den Artikel genauso geschrieben, wenn Du noch von der öffentlichen Hand bezahlt würdest? 🙂

  2. #2 jEN
    28. Januar 2013

    Zu dem Thema gab’s auch mal eine schöne Quarks & Co-Folge :): http://www.wdr.de/tv/quarks/sendungsbeitraege/2006/1017/010_zahlen.jsp

  3. #3 Florian Freistetter
    28. Januar 2013

    @Thilo: “Hättest Du den Artikel genauso geschrieben, wenn Du noch von der öffentlichen Hand bezahlt würdest?”

    ?? Ich seh da jetzt nix, was man nicht schreiben sollen dürfte – egal wer bezahlt.

  4. #4 Ingo Leschnewsky
    28. Januar 2013

    Müsste ich mir die Zahlen ausdenken, würde ich natürlich das mir bereits bekannte Gesetz berücksichtigen. Aber ich schreibe sie ja nur ab…

  5. #5 Gerry
    28. Januar 2013

    Gute Idee für alle die sich Zahlen ausdenken müssen.

    Als Selbstständiger brauchst Du das ja nicht, schließlich kannst Du in einem recht weit gesteckten Rahmen festlegen was zu deinen Betriebsausgaben gehört.

    Ohne jetzt Steuerberatung betreiben zu wollen (für die ich noch nicht mal die Genehmigung hätte): Deine Bücher sind entweder Fachbücher oder “Konkurrenzbeobachtung”. Handy und Apps dienen natürlich der Mehrung deines Marktwertes und Ausflüge wie der nach Tautenburg sind ja auch betrieblich veranlasst, schließlich bloggst Du darüber…

  6. #6 Florian Freistetter
    28. Januar 2013

    @Gerry: “Als Selbstständiger brauchst Du das ja nicht, schließlich kannst Du in einem recht weit gesteckten Rahmen festlegen was zu deinen Betriebsausgaben gehört.”

    Ich hab zum Glück eine sehr kompetente Steuerberaterin die sich für mich um diesen ganzen Quatsch kümmert. Ich kann diesen Steuerkram sowas von nicht leiden – das ist schon fast eine körperliche Abneigung. Müsste ich eine Steuererklärung selbst machen, würde ich wohl im Krankenhaus landen…

  7. #7 inukm
    28. Januar 2013

    In Bezug auf den Scienceblogs-Link:
    Dort gibt es im letzten Kommentar einen Hinweis, dass dieses Benford-Gesetz eben gerade nicht fuer die meisten “irdischen” Probleme (Steuer, Wahlen, …) anwendbar sei, da die Datenmenge nicht ausreiche.
    Zitat: “Daher sind bei Benfordanalysen auf der Erde, die Probleme bei Daten wittern, recht oft die Benfordanalysen das Problem und nicht die Daten.”

    Ich kann das mathematisch nicht beurteilen, aber vielleicht kannst du, Florian, noch etwas dazu schreiben?

  8. #8 Jeeves
    28. Januar 2013

    “Ich kann diesen Steuerkram sowas von nicht leiden – das ist schon fast eine körperliche Abneigung.”
    .
    Wetten: Hier gibt’s wohl niemand, dem’s anders geht?!

  9. #9 philip
    28. Januar 2013

    wette verloren; manche machen das sogar – freiwillig – zu ihrem beruf

  10. #10 Liebenswuerdiges Scheusal
    28. Januar 2013

    @philip

    Nur weil mir kein Schmäh zu billig und keine Wuchtl zu grob ist:

    Der überzeugte Masochist wird Steuerberater.
    Der überzeugte Sadist wird Zahnarzt.

  11. #11 nachgefragt
    28. Januar 2013

    Nachdem man sich nun einig zu sein scheint, das die Wahlen im Iran gefälscht waren, und man dies messerscharf mit der schnöden Mathematik beweisen will, meine Frage:

    Hat man sich auch mal die Mühe gemacht, die Wahlergebnisse im Rest der Welt unter die Lupe zu nehmen ?

    Möglicherweise ergeben sich da ganz gräuliche und verwunderliche Ergebnisse 😉

  12. #12 someone
    29. Januar 2013

    Irgendwie gefällt mir gerade, dass das verlinkte Video 139.048 Views hat 😉

  13. #13 Silava
    29. Januar 2013

    Ha! Ich habe gerade Benfords Gesetz bewiesen, weil: Mein einziges Video, das ich jemals auf YouTube hochgeladen habe hat exakt 1078 Views!
    Nein, im Ernst. Ist Benfords Gesetz nicht eine ganz simple Folge wenn Zahlen negativ-exponentiell verteilt sind?

  14. #14 Dietmar
    29. Januar 2013

    “Wie schön!”, dachte ich beim Sehen des Videos gerade. Doch, ich kann Mathematiker verstehen.

  15. #15 StrangerInAStrangeLand
    29. Januar 2013

    Als kleiner Lesetipp zu Thema: “Freakonomics” von Levitt & Dubner. Levitt is ein Ökonom, der mit statistischen Methoden verschiedene “Alltagsthemen” untersucht, u.a. geht es um Beweise für schummelnde Lehrer und Sumoringer. Sehr unterhaltsam zu lesen (zumindest im englischen Original, ich weiß nicht wie gut die deutsche Übersetzung ist).

  16. #16 Engywuck
    29. Januar 2013

    @silava: auch da muss man erstmal draufkommen 🙂

    @nachgefragt: das kannst Du ganz leicht selber durchführen, die Ergebnisse der Wahlen (zumindest ab Landtagswahl) stehen im Internet. Beipsiel: http://www.bundeswahlleiter.de/de/bundestagswahlen/BTW_BUND_09/ergebnisse/bundesergebnisse/index.html

    Mit den erreichten Stimmenzahlen (Erst- wie Zweitstimmen, ab 1 Stimme) gibt’s hier 51 Werte, von denen die Anzahlen der ersten Ziffern sich wie folgt verteilen:
    1: 15 (29,4% / 30,1%)
    2: 7 (13,7% / 17,6%)
    3: 10 (19,6% / 12,5%)
    4: 7 (13,7% / 9,7%)
    5: 3 (5,9% / 7,9%)
    6: 5 (9,8% / 6,7%)
    7: 1 (2,0% / 5,8%)
    8: 1 (2,0% / 5,1%)
    9: 2 (3,9% / 4,6%)
    Die 3, 4 und 6 tauchen häufiger als nach Benford auf, 1 stimmt etwa und der Rest seltener. Für nur 51 Werte dennoch recht genau passend.

    Die entsprechende Auswertung über alle Wahlkreise überlasse ich als Übungsaufgabe dem geneigten Leser 😉

  17. #17 Statistiker
    30. Januar 2013

    Benfords Gesetz stimmt und ist gleichzeitig trivial. Es entspricht jeder exponentiell wachsenden Größe. Alles andere wäre unlogisch.

  18. #18 nachgefragt
    30. Januar 2013

    @Engywuck

    Also muß man aufgrund der Abweichungen bei 3,4, und 6 schlußfolgern, dass diese Wahlergebnisse gefälscht sein müssen.
    Die Übereinstimmungen lassen lediglich darauf schliessen, dass die Fälscher mal was von Benford gehört haben und 1 als häufigstes Vorkommen berücksichtigt haben.
    Zweifellos, um uns mißtrauische Nachrechner hinters Licht zu führen 😉

    Scherz beiseite. Benford könnte höchstens Indizien für eventuelle Betrügereien liefern, allein deswegen vom “Beweis” einer Wahlfälschung zu sprechen, ist unseriös.
    Erst recht auf scienceblogs.

  19. #19 VVizzy
    1. Februar 2013

    @nachgefragt
    Ich sehe das absolut anders. Indizien und Beweise sind in der Realität kaum unterscheidbar – außerhalb der Rechtswissenschaft.
    Bei jedem Indiz genau wie bei jedem Beweis besteht eine Wahrscheinlichkeit, dass der postulierte Sachverhalt eben nicht zutrifft.
    Diese Wahrscheinlichkeit kann im Fall der Anwendung des Benfordschen Gesetzes genauso nahe bei Null liegen wie bei jedem anderen Beweismittel auch! Natürlich wird die Anwendung sicherer je mehr Wahlkreise, Wahlparteien und Wahlgänge man jeweils zusammen betrachtet. Ein weiterer Vorteil: Die Wahrscheinlichkeit von Betrug kann im Gegensatz zu anderen Beweismethoden exakt angegeben werden.
    Nebenbei:
    http://scienceblogs.de/mathlog/2011/05/01/wahlbetrug-in-deutschland/

  20. #20 miesepeter3
    3. Februar 2013

    Außenprüfer (Betriebsprüfer) vom Finanzamt haben zur Feststellung von Schummelversuchen auch eine Software, die nach irgendwelchen mir unbekannten Regeln z.B. Bei Kassenberichten, anhand der Häufigkeitsverteilung der Einnahmensummen eine Schummelei vermuten. Dann erfolgt die Diskussion Prüfer – Unternehmer (bzw. Prüfungsteilnehmer), ob da besondere Sachverhalte vorlagen oder ob der Kassenführer sich die Zahlen aus den Fingern gesogen hat. Hochinteressant sind solche Diskussionen bei Unternehmen, die ein begrenztes Warensortiment zu feststehenden Preisen verkaufen, z.B. Eineuroläden. Habe mich schon mitten in Prüfungen schlapp gelacht über das schon fast hilflose Festhalten an den so tollen Regeln der Software durch die Prüfer. Nicht alle Zufälle und zahlenmäßigen Häufungen sind getürkt, manchmal kümmert sich auch das Leben nicht um solche starren Hilfsmittel und macht, was es will.

  21. #21 Axel
    10. Februar 2013

    Ein Stichwort zum Thema, was ich einfach mal in die virtuelle Runde werfen will: Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest

  22. #22 Mathematiker
    9. August 2014

    Also irgendwie stimmt die Folgerung hinten und vorne nicht.
    Wieso ist 1 die kleinste Zahl? 0, -1 etc sind kleiner. Bitte genauer formulieren.

    “Wenn man genauer darüber nachdenkt, ist das auch irgendwie logisch. Nicht jede Zahl hat ein eigenes Symbol.”
    Eigentlich hat jede Zahl ein eigenes Symbol, sonst könnten wir sie gar nicht von anderen unterscheiden. Dass sich die Syntax einer Zahl aus Konkatenierung einzelner Syntax-Element [0-9] ergibt, macht es nicht weniger eindeutig. De Facto ist die Zahl 123 genau die Zahl 123, keine andere Zahl hat dieses “Symbol”, wie es im Text heißt.

    Die Begründung, dass Zahlen zwischen 1 und 19 häufiger eine 1 vorne haben, ist ebenfalls für Benford völlig falsch. Die Zahlenmengen auf denen Benford gilt, sind ja nicht auf Teilmengen von [1;19] beschränkt.
    Dass die Zahlen zwischen 1 und 19 öfters eine 1 vorne haben, ist genauso trivial wie, dass die Zahlen 1*10^n eine 1 vorne haben. Oder 4 durch 2 teilbar ist.
    Es ist wie wenn ich sagen würde, in der BRD leben mehr Deutsche, deswegen gibt es mehr Deutsche als alle anderen Bürger auf der Welt.

    Ebenso die Beobachtung, dass man große Zahlen aus kleinen zusammensetzten kann, ist nichtig. Denn das man alle Zahlen aus 1+1+1+1+1+…+1 zusammensetzten kann, ist für den Benford Satz ebenso unwichtig, wie Pfand auf Plastikbecher bei der Party vom Wochenende.

    Algebra glatte 5!

  23. #23 rolak
    9. August 2014

    jede Zahl ein eigenes Symbol

    Nein, Mathematiker, eindeutig nicht. Zahlen-Bildung gehorcht einer formalen Grammatik mit Ziffern und diversen Sonderzeichen als Alphabet (=Sammlung von Symbolen), über dem nach bestimmten Regeln Wörter (=Zahlen) gebildet werden.

    Rest ebenso daneben.

    Unbegründetes Rumpampen glatte 1!

  24. #24 Mathematiker
    9. August 2014

    Jede Zahl ist wohldefiniert eindeutige Syntax Problem ist entscheidbar

    Deal with it

  25. #25 Mathematiker
    9. August 2014

    Nenne mir 2 Zahlen mit gleicher Syntax und unterschiedlicher Semantik im Körper der Komplexen Zahlen

  26. #26 Florian Freistetter
    9. August 2014

    @Mathematiker: Also hast du Benfords Gesetz widerlegt? Kann man deine Publikation dazu auch irgendwo nachlesen?

  27. #27 Mathematiker
    9. August 2014

    Ich habe auf die falschen Aussagen/Erklärungen in deinem Text aufmerksam machen wollen.

    Die nicht vorhandene Einsicht / Ausseinandersetzung mit meinen Argumenten, zeigt nur noch deutlicher, dass dein Verständnis von Bernford’s Law einfach lückenhaft/oberflächlich ist.

    Einfach ein paar Sachen aufzugreifen und in einen Text zu packen, hat nichts mit mathematisch korrekter Formulierung zu tun.

    Wenn man genauer darüber nachdenkt, ist das auch irgendwie logisch. Nicht jede Zahl hat ein eigenes Symbol. Und da wir große Zahlen aus kleinen Zahlen zusammensetzen und die “1″ die kleinste Ziffer ist, ist die Chance sie zu treffen, auch größer. Zwischen “1″ und “9″ taucht jede Ziffer gleich oft auf. Zwischen “1″ und “19″ steht die Ziffer 1 aber in mehr als der Hälfte aller Fälle am Anfang!

    Das paradoxe an Benford’s Law ist doch genau, dass die Zahlen in einem großen Intervall gleich oft vorkommen. Sprich zwischen 1000 und 2000 gibt es nicht mehr Zahlen als zwischen 2000 und 3000 und dennoch kommt 1000 bis 2000 bei vielen realen Sachverhalten signifikant häufiger vor.
    Das hat eben nichts damit zu tun das es zwischen 1 und 20 öfters eine Zahl mit 1 am Anfang gibt. Deswegen ist das auch nicht logisch sondern nur triviales Bla bla.

    Die anderen falschen Formulierungen stehen in dem Post oben drüber.

  28. #28 Mathematiker
    9. August 2014

    PS: Der Gegenbeweis zu meinem Syntax-Post steht noch aus..

  29. #29 Florian Freistetter
    9. August 2014

    @Mathematiker: “Der Gegenbeweis zu meinem Syntax-Post steht noch aus..”

    Und das wird vermutlich auch noch länger so bleiben… Ich will dich ja nicht weiter mit “trivialem Bla bla” nerven.

  30. #30 Mathematiker
    9. August 2014
  31. #31 Florian Freistetter
    9. August 2014

    @Mathematiker: “deal with it”

    Ich fürchte das kann ich nicht. Vermutlich muss ich ScienceBlogs jetzt schließen…

    P.S. Wir können aber auch gerne nochmal von vorne anfangen. Du erklärst in normalen Tonfall und ohne Pöbelei, was dich am Artikel stört und ich antworte dann darauf.