Chaos ist cool! Nein, nicht die Unordnung bei euch zuhause in der Küche. Das ist einfach nur Schlamperei und kein Chaos 😉 Ich spreche vom wissenschaftlichen Chaos und um das wirklich zu durchblicken, sofern das bei so einem Phänomen überhaupt geht, braucht man jede Menge Mathematik. Damit habe ich mich schon früher im Blog (Einleitung, Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4) und meinem Podcast (Folge 93) beschäftigt. Da aber vielleicht nicht jeder Lust auf eine lange Auseinandersetzung mit komplizierter Mathematik hat, gibt es seit kurzem meine “Best of Chaos”-Serie, in der ich einfach ein paar meiner chaotischen Lieblingsphänomene vorstelle. Ich habe schon über den “seltsamen Attraktor” gesprochen, dessen Seltsamkeit mich jedes Mal aufs Neue fasziniert. Und beim letzten Mal habe ich von der noch seltsameren Verdoppelung der Perioden erzählt, mit der auch die heutige Folge zu tun hat.

Denn jetzt wird das Chaos universal!

Ein Feigenbaum! Aber um den gehts nicht... (Bild: Gide, CC-BY-SA 3.0)

Ein Feigenbaum! Aber um den gehts nicht… (Bild: Gide, CC-BY-SA 3.0)

Eine kurze Zusammenfassung: Das Phänomen der Verdoppelung der Perioden hat man in den 1970er Jahren entdeckt, als man untersuchen wollte, wie sich die Population von Lebewesen im Laufe der Zeit verändert. Man ging davon aus, dass die äußeren Umstände (Nahrungsangebot, Feinde, etc) dafür sorgen, dass sich früher oder später ein Gleichgewichtszustand einstellt und die Größe der Population dann gleich bleibt. Stattdessen hat man festgestellt, dass bei einer Veränderung der Stärke der äußeren Einflüsse etwas anderes passiert: Zuerst gibt es tatsächlich ein normales Gleichgewicht. Ab einer gewissen Stärke wechselt die Größe der Population aber plötzlich zwischen zwei Werten hin und her! Wird der Einfluss noch stärker, dann springt die Größe zwischen vier Werten; danach wechselt sie zwischen 8 Werten hin und her; dann zwischen 16, dann 32, und so weiter. Die Perioden verdoppeln sich immer weiter, bis irgendwann das komplette Chaos ausbricht.

Das allein ist schon seltsam genug und ein Verhalten, dass nicht nur bei der Untersuchung von Populationsgrößen auftritt, sondern immer dann, wenn ein System chaotisch wird. Noch seltsamer (ja ich weiß, dieses Wort verwende ich oft – aber das Chaos IST eben sehr seltsam…) war aber das, was der amerikanische Physiker Mitchell Feigenbaum bei seiner Untersuchung der Periodenverdoppelung entdeckt hat. Ihr erinnert euch noch an das Bild von der logistischen Gleichung vom letzten Mal? So sieht es aus:

Man sieht hier auf der y-Achse die Größe der Population und auf der x-Achse den Wachstumsparameter, also die Zahl, die in dem Modell die Stärke der äußeren Einflüsse angibt. Zuerst zeigt das Diagramm nur eine einfach Linie; die Populationsgröße nimmt also einen Gleichgewichtszustand ein. Dann spaltet sie sich in zwei Äste auf, die dann vier Äste bilden, und so weiter: Das ist die Periodenverdoppelung auf das Chaos folgt, bei der die Linie in eine Wolke aus ungeordneten Punkten übergeht.

Feigenbaum hatte nun nachgesehen, wo genau die Periodenverdoppelungen stattfinden. Ich lade euch wieder ein, euch selbst ein kleines Computerprogramm zu schreiben, dass die logistische Gleichung berechnet bzw. dieses Online-Programm zu nutzen um selbst die Werte des Wachstumsparameters R zu bestimmen, bei denen die Periodenverdoppelungen eintreten. Feigenbaum hat das jedenfalls gemacht: Die erste Verdoppelung fand statt, als R=3 war. Die zweite Verdoppelung passiert, wenn R = 3.4494897… ist. Die dritte Verdoppelung auf vier Äste findet bei R = 3.5440903… statt. 16 Äste gibt es bei R = 3.5644073… und 32 bei R = 3.5687594…

Was ist daran so besonders? Feigenbaum hatte diese Rechnungen angestellt und damals nur einen simplen Taschenrechner zur Verfügung. Es war viel Arbeit, auf diese Weise die jeweils nächsten Verdoppelungspunkte zu berechne. Er verfiel auf die Frage, ob er vielleicht stattdessen irgendwie vorhersagen könnte, wo die nächste Verdoppelung stattfinden würde? Zuerst fiel ihm auf, dass die Zahlen immer näher zusammen rücken, sie konvergieren, wie man in der Mathematik dazu sagt. Sie scheinen auf einen konkreten Grenzwert zuzustreben. Feigenbaum hatte Ahnung von Mathematik und wusste, wie man so einen Grenzwert berechnet. Wer es wissen möchte – mit dieser Formel:

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Kommentare (12)

  1. #1 Sebastian
    Göttingen
    18. Februar 2015

    Dazu kam erst kürzlich eine sehr interessante Dokumentation auf ServusTV: http://www.servustv.com/at/Medien/Kosmos-im-Chaos

    Auch Mandelbrots Fraktale sind dort Thema.

  2. #2 Florian Freistetter
    18. Februar 2015

    @Sebastian: “Auch Mandelbrots Fraktale sind dort Thema.”

    Ja, die kommen dann in der nächsten Folge. Anscheinend brauchts doch bunte Bilder, damit die Leute sich für das Thema interessieren… dieser und auch der letzte Teil der Best of Chaos Serie waren ja bis jetzt nicht so der große Hit, was die Leseraktivität angeht. Dabei finde ich gerade die Universalität EXTREM faszinierend.

  3. #3 Thomas Zipproth
    Mindelheim
    18. Februar 2015

    Hat eigentlich Periodenverdopplung / Bifurkation mathematisch etwas mit den Symmetriebrüchen bzw. spontanen Symmetriebrüchen in der Physik zu tun? Es gibt im Internet einiges dazu zu finden, z.B. im englischen “Symmetry breaking” Wikipedia Artikel, aber der grundsätzliche Zusammenhang ist mir nicht ganz klar.

  4. #4 Steppenwolf
    Aachen
    18. Februar 2015

    Hmm…
    Könnte Feigenbaum nicht auch ein gutes Argument gegen Sheldrakes “Morphologische Resonanz” sein ?

  5. #5 Florian Freistetter
    18. Februar 2015

    @Steppenwolf: Ich glaube, es braucht nicht solche Geschütze, den Morphologie-Kram von Sheldrake zu widerlegen…

  6. #6 CM
    18. Februar 2015

    Anscheinend brauchts doch bunte Bilder, damit die Leute sich für das Thema interessieren… dieser und auch der letzte Teil der Best of Chaos Serie waren ja bis jetzt nicht so der große Hit, was die Leseraktivität angeht.
    Dann bin ich nicht representativ – aber dennoch interessiert. Und es dürfen gerne auch so schöne Formeln sein, wie in diesem Post ;-).

  7. #7 schlappohr
    20. Februar 2015

    Ist jetzt ein bisschen off-topic, aber vielleicht doch interessant:
    Angeregt durch Deinen Artikel über Seltsame Attraktoren habe ich wenig gesucht und dabei auf den Peter-De-Jong-Attraktor gestoßen (siehe z.B. http://physik.li/beispiele/PeterDeJong/index.htm). Das hat mich sehr fasziniert, also habe ich ein C-programm geschrieben, dass eine große Zahl (z.B. 1000) solcher Fraktale berechnet und dabei einen der Parameter (a) immer um einen kleinen Wert inkrementiert. Die Ergebnisse werden als Einzelbilder gespeichert und die hinterher zu einem kurzen Film zusammengesetzt (so viel zum Thema bunte Bilder… aber es sieht einfach genial aus, sogar als Graustufen.)

    Dabei bin ich auf ein seltsames Problem gestoßen: In dem Bereich von 1000 Bildern treten immer wieder “Lücken” auf, wo das Fraktal komplett oder fast komplett verschwunden ist. Es sieht so aus, als würde der Prozess hier schnell in einen sehr viel “kleineren” Attraktor oder einen Punkt hineinlaufen. Dies tritt manchmal bei 10-15 aufeinander folgenden Parameterwerten auf, manchmal nur bei einem einzigen. Die Lage und Anzahl dieser “Fehlstellen” hängt vom Startwert und dem Inkrement ab. Ich hatte ein wenig die Vermutung, dass es sich um Rundungsfehler handelt, die sich unter bestimmten Bedingungen aufschaukeln und den Interationsprozess so stark stören, dass er unsinnige Wert liefert. Aber das erklärt nicht, warum machmal so viele aufeinander folgende Parameterwerte dieses Verhalten zeigen. Kann es tatsächlich sein, dass beim langsamen Verändern eines Parameters so plötzliche Änderungen im Atrraktor auftreten und ein paar Schritte weiter wieder verschwunden sind? Der Autor der o.a. Webseite hat offenbar das gleiche Problem, geht aber nicht näher darauf ein.

    Noch ein paar technische Details, falls es jemanden interessiert: Das ganze läuft auf einem 64Bit-Prozessor mit Linux, die Berechnungen der Einzelbilder werden mit OpenMP auf 6 Cores verteilt und in Double-Precision Arithmetik berechnet (Float führt interessanterweise zu einem massiv schlechteren Ergebnis). Jedes Bild durchläuft 50 Millionen Iterationen. Auf diese Weise dauert die Berechnung von 1000 Bildern immerhin noch ca. 35 Minuten. Das Zusammensetzen zu einem Film ist da nicht mehr der Rede Wert (ca. 1 Minute). Aus 1000 Bildern erhält man bei 30fps ein Video von etwa 30 Sekunden.

  8. #8 Zorro
    20. Februar 2015

    @schlappohr / #7

    Klingt irgendwie faszinierend, aber wo ist der fraktale Film zur Begutachtung?

    Über einen Link zum C – Code (od. ein EXE für den W8.1 Laptop) würden sich hier bestimmt auch einige freuen, evtl. auch in solch einer Form. 🙂

  9. #9 Stefan
    20. Februar 2015

    Hallo Florian,

    kannst Du zum Thema Chaos noch ein Buch empfehlen, dass sich von einem wissenschaftlich leicht vorgebildeten Laien auf diesem Gebiet konsumieren lässt? Es dürfen also ruhig Formeln drin vorkommen 😉 aber es sollte nicht ausschließlich daraus bestehen. Dein Niveau wäre ein schöner Maßstab.

    Falls Du das vorher schon einmal empfohlen hast, reicht natürlich auch ein schneller Link. Danke Dir!

  10. #10 Florian Freistetter
    21. Februar 2015

    @Stefan: “kannst Du zum Thema Chaos noch ein Buch empfehlen, “

    Siehe dazu meine Februar-Buchempfehlungen die nächste Woche erscheinen.

  11. #11 schlappohr
    21. Februar 2015

    @Zorro

    Wo soll ich es hinladen? Video ~100MB, C-Code ca. 200 Zeilen. Mit einem Windows-exe kann ich Dir nicht dienen. Aber auf Linux ist das ganze recht einfach. Du brauchst nur libpng und optional openmp (oder viel Geduld). Den Sourcecode muss ich aber erst noch etwas aufhübschen, den kann ich so niemandem zumuten.

  12. #12 Zorro
    Fraktale Videos hochladen
    21. Februar 2015

    @schlappohr / #11

    Wo soll ich es hinladen?

    z.B. hier für Text und Code mit Verlinkung zu flickr.com für Fotos und Videos bei grösseren Daten, oder doch zu YouTube als eine weitere Möglichkeit?

    P.S.: Die Natur arbeitet wie es scheint noch mit weiteren Gesetzmässigkeiten fraktaler Art.