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Sternengeschichten Folge 281: Fraktale Dimensionen

Wie lang ist die Küste von Großbritannien? Das klingt nach einer dummen Frage. Immerhin ist Großbritannien ja ein ziemlich großes, ziemlich stabiles Ding. Eine Insel, und keine Wolke oder sonst irgendein flüchtiges Objekt. Eine Insel hat eine Küste, die einmal rundherum geht und diese Küste muss eine bestimmte Länge haben.

Aber manchmal sind dumme Fragen nicht dumm und einfache Dinge komplizierter als man denkt. Die Küstenlänge von Deutschland wird zum Beispiel je nach Quelle mal mit 1200 Kilometer und mal mit 2389 Kilometer angegeben. Die Länge der Grenze von Österreich wird vom CIA World Factbook mit 2524 Kilometer angegeben, vom österreichischen Bundesamt für Eich- und Vermessungswesen dagegen mit 2706 Kilometer. Immerhin ein Unterschied von 182 Kilometer! Das liegt natürlich an unterschiedlichen Meßmethoden, Definitionen und verwendeten Datenbanken. Aber es weist trotzdem auf ein viel fundamentaleres Phänomen hin.

Ein Phänomen, das so interessant ist, dass der Mathematiker Benoît Mandelbrot im Jahr 1967 immerhin einen wissenschaftlichen Aufsatz mit dem Titel “How Long Is the Coast of Britain?” darüber veröffentlich hat. Darin beschreibt er den Prozess, mit dem man die Küstenlänge von Großbritannien bestimmen kann. Normalerweise würde man sich dazu einfach eine Landkarte nehmen oder noch besser, ein sehr genaues Satellitenfoto der Insel. Dann nimmt man ein Lineal, und misst einfach nach. Mit dem Maßstab der Aufnahme kann man dann die am Foto gemessene Länge leicht in die reale Küstenlänge umrechnen. Nur: Die Auflösung des Fotos ist begrenzt. Gehen wir mal davon aus, dass wir nur ein sehr ungenaues Bild haben und darauf keine Details zu sehen sind, die kleiner als ein Kilometer groß sind. Bei unserer Messung würden wir dadurch zwangsläufig alle Buchten, Fjorde und Unregelmäßigkeiten verpassen, die unter diese Schwelle fallen. Wenn die Küste von Großbritannien irgendwo einen kleinen Knick macht, der aufgrund der geringen Auflösung am Foto nicht zu sehen ist, dann würden wir dort einfach eine gerade Linie messen. Unsere gemessene Küstenlinie ist dann natürlich kürzer als die reale Küste. Wir brauchen ein genaueres Bild! Wenn wir jetzt eines haben, dass eine Auflösung von 10 Metern hat, können wir die Länge viel genauer messen. Mit dieser Auflösung wird die gemessene Küstenlänge deutlich größer sein als zuvor bei der Auflösung von 1000 Metern. Aber wir werden immer noch viele kleine Details verpassen und hätten wir ein Bild mit einer Auflösung von einem Meter benutzt, dann wäre die gemessene Länge noch größer.

Anders gesagt: Wie lang die Küste von Großbritannien ist, hängt vom Maßstab ab, den man verwendet. Das ist in gewissen Sinn natürlich immer noch eine dumme Aussage. Natürlich ändert sich die Geografie der Insel nicht, je nachdem wie ich sie betrachte. Die ist immer gleich. Und natürlich hat die Küste einer Insel keine fixe, klar definierte Länge. Und sie ist schon gar nicht unendlich lang. Denn das würde ja aus dem folgen, was ich gerade erklärt habe. Je kleiner der Maßstab ist, den man benutzt, desto länger wird die gemessene Küste – und ist der Maßstab irgendwann wirklich winzig, nähert sich die gemessene Länge einem unendlich großen Wert an. Aber die Küste von Großbritannien ist eben weder unendlich lang noch kann man eine eindeutige Länge bestimmen. Da gibt es Gezeiten, die mal mehr und mal weniger Land wasserfrei lassen; es gibt Wellen und spätestens wenn man zu sehr, sehr kleine Skalen geht, macht es keinen Sinn mehr, von einer fixen Länge zu besprechen. Dann reicht es schon, wenn jemand am Strand einen Kieselstein mit dem Fuß wegkickt um die Küstenlänge zu verändern.

Mandelbrot ging es auch um etwas anderes. Er betrachtete in seiner Arbeit eine mathematische Gleichung, die der englische Physiker Lewis Fry Richardson entdeckt hatte. Die Länge einer geografischen Grenze ist gleich einer Konstante M multipliziert mit dem bei der Messung verwendeten Maßstab hoch (1-D). Und dieses “D” ist es, worauf es ankommt. Wäre die Grenze eines Landes zum Beispiel eine gerade Linie, dann spielt es keine Rolle, welchen Maßstab man verwendet. Stellen wir uns ein Land vor, dessen Grenze ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 100 Kilometern ist. Wenn wir eine Auflösung von 100 Kilometern verwenden, dann würden wir eine Grenzlänge von 400 Kilometern messen. Daran ändert sich aber auch nichts, wenn wir die Auflösung immer genauer machen. Die Länge bleibt immer gleich und in Richardsons Formel entspricht das einem Wert von D, der gleich 1 ist. Je komplizierter die Form der Grenze aber wird, je verschachtelter und in sich verschlungener, desto größer ist der Einfluss des bei der Messung verwendeten Maßstabs. Und desto größer wird der Wert für D in der Formel.

Je nachdem wie genau man schaut wir die Küste von Großbritannien länger... (Bild: Prokofiev, CC-BY-SA 3.0)

Je nachdem wie genau man schaut wir die Küste von Großbritannien länger… (Bild: Prokofiev, CC-BY-SA 3.0)

Dieses D ist das, was Mandelbrot später als “fraktale Dimension” bezeichnet hat. Über Dimensionen habe ich ja schon in Folge 267 der Sternengeschichten ausführlich gesprochen. Vereinfacht gesagt bezeichnet man damit die Menge an unterschiedlichen Richtungen im Raum. In unserem normalen Raum sind das drei Dimensionen. In einer Ebene gibt es zwei Dimensionen und auf einer Linie nur eine. Dort kann ich vor und zurück gehen, aber nicht rauf oder runter oder links bzw. rechts. Und deswegen bezeichnen wir eine Linie auch als eindimensionales Objekt. Das gilt auch für Linien, wie zum Beispiel die Küstenlinie von Großbritannien. Es ist eine Linie und so wie jede Linie sollte ihre geometrische Dimension gleich eins sein. Das ist sie natürlich auch – aber Mandelbrot fand einen Weg, wie man auch anders darüber nachdenken kann.

Die eindimensionale Linie einer Küste wie die von Großbritannien ist so sehr in sich selbst verschlungen und verschachtelt, dass sie bei bestimmter Betrachtung nicht mehr nur Eigenschaften einer Linie zeigt, sondern auch Eigenschaften einer Fläche. Man kann sich das so vorstellen, als wolle man ein Blatt Papier mit einem einzelnen Bleistiftstrich komplett anmalen. Selbst wenn man den Stift nie absetzt, kann man sich eine Linie denken, die sich so sehr hin und her windet und so sehr verschachtelt ist, dass am Ende das ganze Blatt voll gemalt erscheint. In der Realität ist ein Bleistiftstrich natürlich auch keine eindimensionale Linie sondern ein ausgedehnter, zweidimensionaler breiter Strich. Aber zumindest anschaulich ist es genau das, was Mandelbrot betrachtet hat: Manche Linien sind so komplex, dass sie Eigenschaften von Flächen annehmen und das zeigt sich an ihrer Dimension.

Zumindest dann, wenn man Dimension so auffasst, wie Richardson das mit seiner Formel getan hat. Denn die misst genau das, was ich gerade beschrieben habe. Für ein Land mit exakt geraden Grenzlinien ist es egal, welchen Maßstab man verwendet und die Konstante D, die “Dimension” der Linie, beträgt eins. Je komplexer die Grenze aber wird, desto mehr nähert sich der Wert von D der Zahl 2 an, als der Dimension, die wir einer Fläche zuschreiben. Für die Küstenlinie von Großbritanien kam Richardson so auf einen Wert von 1,25.

Man kann das Konzept auf eine andere Art leichter verstehen. Stellen wir uns vor, wir haben eine exakt gerade Linie, die genau einen Meter lang ist. Und ein Quadrat, das eine Länge von einem Meter hat. Wie viele Quadrate brauchen wir, um die Linie komplett damit zu bedecken? Genau eines natürlich. Jetzt halbieren wir die Länge des Quadrates – wie viele Quadrate brauchen wir nun? Genau doppelt so viele, nämlich zwei. Dritteln wir die Länge, brauchen wir drei Quadrate; wird sie geviertelt, brauchen wir vier – und so weiter. Die Anzahl der zur Überdeckung benötigten Quadrate steigt linear mit der Verkleinerung der Länge. Das gleiche Spiel können wir jetzt aber auch mit einer sehr verschachtelten Linie machen. Dann passiert das gleiche, was ich vorhin schon zur Messung der Küste Großbritanniens erzählt habe. Je kleiner wir die Quadrate machen, desto mehr davon brauchen wir auch hier, um die gesamte Linie zu bedecken. Aber weil die Linie hier eben sehr viel mehr Details hat, steigt die benötigte Anzahl nicht mehr linear, sondern viel stärker. Im Extremfall – der Linie, mit der wir ein komplettes Blatt Papier vollgemalt haben, steigt die Anzahl nicht mehr linear, sondern quadratisch. Soll heißen: Wenn wir ein Blatt Papier mit einem Quadrat komplett bedecken wollen, dann reicht auch hier ein Quadrat, sofern es so groß ist wie das ganze Blatt. Halbieren wir die Seitenlänge des Quadrats, brauchen wir dann aber nicht zwei davon, sondern vier wenn wir alles abdecken wollen. Und vierteln wir die Länge, sind nicht vier, sondern 16 Quadrate nötig – und so weiter. Mathematisch gesehen kann man das mit einer Formel wie der von Richardson aufschreiben, bei der eine Zahl D auftaucht, die im linearen Fall gleich 1 ist und im quadratischen Fall gleich 2. Oder anders gesagt: D entspricht der Dimension des Objekts das wir betrachten und so wie wir es erwarten ist dann auch hier die Dimension einer geraden Linie gleich 1 und die einer Ebene bzw. Fläche gleich 2.

Aber, und das ist die nette Idee von Mandelbrot, wer sagt denn, das man nicht auch Zahlen betrachten kann, die zwischen 1 und 2 liegen? Wer sagt denn, dass eine Dimension immer eine ganze Zahl sein kann? Spielt man das Spiel mit der Überdeckung mit der Linie, die die Küste von Großbritannien darstellt, dann erhält man als Ergebnis eben weder 1 noch 2, sondern etwas dazwischen. Solche Dimensionswerte, die keine ganzen Zahlen sind, hat Mandelbrot “fraktale Dimensionen” genannt und es gibt für sie jede Menge Anwendungen.

Zum Beispiel immer dann, wenn man eine Möglichkeit sucht, um die Form von Dingen zu beschreiben. Etwa die Form von Einschlagskratern. Wenn die frisch sind, dann sind die Grenzen der Krater sehr klar und scharf und sehr komplex. Je länger ein Krater existiert, desto stärker kann die Erosion wirken und die vielen Details verschwinden. Bestimmt man also die fraktale Dimension der Linie, die einen Einschlagskrater begrenzt, dann ist sie um so größer, je jünger der Krater ist. Die fraktale Dimension kann aber auch verwendet werden, um Sonnenflecken zu beschreiben oder die Form von kosmischen Staubteilchen. Sie spielt eine Rolle, wenn man die Dynamik von Himmelskörpern verstehen will – und das waren jetzt nur ein paar der astronomischen Anwendungen.

Fraktaler Romanesco (Bild: Jon Sullivan, public domain)

Fraktaler Romanesco (Bild: Jon Sullivan, public domain)

In der Mathematik ist die fraktale Dimension noch viel wichtiger. Hier braucht man sie, wenn man sich mit Chaostheorie beschäftigt; oder wenn man Computerprogramme schreiben will, die automatisch real aussehende Landschaften konstruieren. Denn die Küstenlinien sind nicht die einzigen in der Natur auftauchenden Objekte, die fraktale Eigenschaften haben. Das trifft auch für die Form von Wolken zu – oder zum Beispiel auch für Blumenkohl oder Romanesco. Gerade bei diesem Gemüse sieht man es besonders gut. Betrachtet man einen kleinen Teil des Romanesco – eine der Sproßen (heißen die Sproßen? Keine Ahnung…) – dann sieht der kleine Ausschnitt so aus wie das große Ganze. Und wenn man das Ding noch näher betrachtet, dann sieht der kleinere Ausschnitt wieder so aus wie der große. Das Phänomen nennt man “Selbstähnlichkeit” und es ist quasi das, was Fraktale so besonders macht. Wenn man das gleiche Ausmaß an Komplexität findet, egal wie genau man hin sieht, dann ist es kein Wunder, wenn man mit simpler Geometrie nicht mehr weiter kommt sondern ein neues Konzept braucht. In der Natur ist das Ausmaß an möglichen Stufen der Vergrößerung begrenzt. Irgendwann betrachte ich dann keinen Romanesco mehr, sondern nur noch Zellen, Moleküle und Atome. Aber in der puren Welt der Mathematik kann man Objekte konstruieren, die wahrhaft selbstähnlich sind, und bei denen man bis in alle Ewigkeit tiefer und genauer hinsehen kann, und trotzdem immer das gleiche Ausmaß an Komplexität findet. Aber das ist ein Thema für eine andere Folge der Sternengeschichten.

Kommentare (20)

  1. #1 regow
    Graz
    13. April 2018

    Der Romaneso-Karfiol ist auch noch unter dem Aspekt der Muster- bzw. Strukturbildung in der Natur interessant. Die meisten Biologen glauben ja, mit der Genetik in der Tasche, hätten sie alles abgeklärt. Dass für die Strukturbildung aber auch rein physikalische Mechanismen verantwortlich sein könnten, hat ja schon Allan Turing mit seine reaction-diffusion Gleichung vermutet.

  2. #2 Mars
    13. April 2018

    und so tricki ist es ja nicht immer:

    “”Für ein Land mit exakt geraden Grenzlinien ist es egal, welchen Maßstab man verwendet ….””
    … und da haben wir in Afrika und USA einige davon – zumindest teillängen.

    ja, auf der karte ist – oder besser: scheint – das dann einfach, aber auch die karte muss eingemessen werden, und das ist dann wieder 3-dimensional
    also so oder so … ganz einfach ist da nix
    weshalb der streit am gartenzaun leider nie zu vermeiden ist.
    grüssle

  3. #3 Bullet
    13. April 2018

    In meinem Kopf ist gerade etwas kaputtgegangen. Ich hab das Bild natürlich gesehen, bevor ich den Text durchgelesen hab, und ich war 318% sicher, daß das Bild eine Computergrafik ist, die Fraktalmathematik mit Gemüse verbindet.

  4. #4 stone1
    13. April 2018

    @Bullet
    Nö, das Gemüse gibts wirklich. Ist AFAIR eine Mischung aus Karfiol und Brokkoli. Und schmeckt auch so.

  5. #5 hmann
    13. April 2018

    Die Idee der fraktalen Dimension ist geradezu genial.
    Wenn wir davon ausgehen, dass man die Dimension auch als Eigenschaft des Raumes ansehen kann, mathematisch abstrahiert als D= 3, dann drängt sich der ketzerische Gedanke auf, was wäre , wenn D= 2,99999…
    Das würde auch erklären, warum die Masse den Raum verändern, in diesem Fall verkleinern kann.
    Masse proportional zu Volumen proportional zu r³.
    Bei r hoch 2,99999 würde das Volumen jedesmal ein wenig kleiner und die Masse auch oder vielleicht auch nicht, was wiederum als Berechnungsgrundlage für die Schwarzen Löcher genommen werden kann. (Phantasie off) Die Dichte nimmt dann logischerweise dramatisch zu, was auch nicht im Widerspruch zu den Schwarzen Löchern stände.

  6. #6 hmann
    13. April 2018

    Nachtrag #5
    Und es kann auch nicht ausgeschlossen werden, dass D konstant ist, sondern abhängig von der Masse (Phantasie on)

  7. #7 lueki01
    13. April 2018

    “…eine der Sproßen (heißen die Sproßen?…)
    Heißt das nicht “Sprossen”? So was kenne ich nämlich auch von Gemüse ect, aber “Sproßen” ? Oder ist da wirklich was anderes gemeint?
    —————————————–
    Gruß aus dem schönen Rheinland
    Rolf
    (sehr interessierter Laie,ansonsten mit dem Thema weder verwandt noch verschwägert)

  8. #8 PDP10
    13. April 2018

    @Bullet:

    In meinem Kopf ist gerade etwas kaputtgegangen. Ich hab das Bild natürlich gesehen, bevor ich den Text durchgelesen hab, und ich war 318% sicher, daß das Bild eine Computergrafik ist, die Fraktalmathematik mit Gemüse verbindet.

    Muss nicht kapput …

    Da hat jemand den Kontrast bei Photoshop so hochgedreht, dass das einigermaßen künstlich aussieht.

    Aber ich kann dir versichern, dass ich so Teile schon ab und zu in meinem Supermarkt um die Ecke gesehen habe.
    Da sehen die natürlich nicht so Computergraphik-Mässig aus, sondern eher ganz normal, äh … Grün?
    Aber schmecken tun die trotzdem ganz gut.

  9. #9 Fluffy
    14. April 2018

    OMG
    Karfiol? Das ist doch eine österreichiche Verballhornung von Blumenkohl.
    Grün ist der Broccoli.
    Worum geht’s eigentlich?
    Österreich hat eine fracktahle diemennsiohn von 0,9

  10. #10 Captain E.
    14. April 2018

    Tja, ich nenne den Romaneco oder Türmchenkohl auch schon mal ganz gerne “Mathematikerkohl” ob seiner interessanten fraktalen Gestalt. Die Verwandschaft zum Blumenkohl und Broccoli ist natürlich eine enge.

  11. #11 tomtoo
    14. April 2018

    Es gibt auch Künstler. Nicht nur die schnöde Wissenschaft. ; )
    https://m.youtube.com/watch?v=TTpbP5BVtiA

  12. #12 kereng
    Hamburg
    14. April 2018

    Die Fahrradwege haben eine deutlich höhere fraktale Dimension als die Straßen daneben.

  13. #13 Fluffy
    14. April 2018

    Räume mit Dimensionen kleiner 3 haben Löcher, Schwarze Löcher sozusagen.

  14. #14 Daniel Rehbein
    Dortmund
    14. April 2018

    Fraktale waren ja der Hype der 80er. Mit dem Aufkommen der Heimcomputer, die Programmierbarkeit von Algorithmen und farbige Graphik in die Haushalte brachten, hatte man zunächst angefangen, als Demonstrationsobjekte Biorhythmus-Kurven zu zeigen.

    https://de.wikipedia.org/wiki/Biorhythmus_(Mantik)

    Kurz danach kamen dann die Fraktale, und die Erklärung der gebrochenen Dimensionen erfolgte meist anhand der Küstenlinie Großbritanniens, wo man bei der Längenmessung an den Steilklippen letztlich bis in die Anordnung der Atome und Moleküle hineingeht. Ich erinnere mich noch, daß ich das einen Schulfreund erklärt habe, und dessen Mutter stand dabei und sagte “Welch ein Quatsch! Ich würde mit einem Hubschrauber die Küste abfliegen, dann hätte ich doch die Länge”.

    In der Erklärung von Florian ist mir allerdings ein Satz aufgestoßen: “Ist der Maßstab irgendwann wirklich winzig, nähert sich die gemessene Länge einem unendlich großen Wert an”. Bzw. die Begründung: “Und sie ist schon gar nicht unendlich lang. Denn das würde ja aus dem folgen, was ich gerade erklärt habe”.

    Erklärt wurde allerdings lediglich, daß der Wert für die Länge bei immer genauerer Betrachtung immer größer wird, nicht jedoch, daß er unendlich groß wird. Ein Wert, der immer größer wird, muß nicht zwingend gegen Unendlich gehen, er kann sich auch immer weiter an einen Grenzwert annähern.

  15. #15 Laie
    14. April 2018

    @Daniel Rehbein
    Das ist eine interessante Frage. Wie gross wäre die Küstenlinie, wenn man sich bei der Betrachtung bis an die Planck-Grenze den Atomen genähert hätte?

  16. #16 frater mosses von lobdenberg
    Lopodunum
    15. April 2018

    @stone1: Halt mal Dein Hirn fest: Auch Blumenkohl und Brokkoli lassen sich (bis zu einem gewissen Maßstab) als fraktale, selbstähnliche Strukturen beschreiben. Beim Romanesco fällt’s nur mehr auf. 😉
    Damals™, zur Zeit der großen Fraktalrechnerei, las ich auch das Buch „Fractals Everywhere“ von Michael Barnsley. Danach sah ich dann wirklich überall Fraktale …

  17. #17 frater mosses von lobdenberg
    15. April 2018

    Ach nee, der mit dem kaputten Hirn war ja Bullet. Sorry!

  18. #18 Daniel Rehbein
    Dortmund
    15. April 2018

    An eine Abschätzung, wie lang die Küstenlinie ist, wenn man sich dem Gestein der Klippen auf atomarer Ebene annähert, kann ich mich nicht erinnern. Es ging bei den Erklärungen, die es damals in den 80ern gab, ja nie um konkrete Werte, sondern um eine Veranschaulichung des Sachverhalts (so wie in diesem Blogtext von Florian ja ebenso).

    Von solchen Begriffen wie “Planck-Einheiten” sprach man damals allerdings ohnehin noch nicht. Elementarteilchen- und Quantenphysik waren damals noch nicht so populär wie heute. Die 80er waren ja auch eine Zeit der großen Technik-Feindlichkeit in Deutschland. Bei der Übersetzung englischer Literatur wurde damals “Nerd” noch mit “Trottel” übersetzt. Und die klassische Nerd-Literatur, der Anhalter von Douglas Adams, wurde in Deutschland ja erst in den 90ern zum Kult.

    Für das Verständnis von Fraktalen ist es meiner Ansicht nach aber ohnehin kontraproduktiv, über Planck-Einheiten nachzudenken. Denn dann kommt man in den Bereich der Unschärferelation, und damit endet die immer genauere Betrachtung und somit der Anwachsen der Linienlänge. Fraktale sind aber ein mathematisches Konzept, und in der Mathematik gibt es keine Unschärferelation. In der Mathematik kann man immer tiefer in den Zahlenraum vordringen, da kann man beliebig kleine Abstände von Zahlen wählen.

  19. #19 Laie
    16. April 2018

    Weiss jemand, ob der der Romaneco wenigstens weniger Blähungen als der Blumenkohl/Karfiol verursacht?

    @Daniel Rehbein
    Ja. Ich wollte lediglich auf den Unterschied zur realen Welt hinweisen, und wo dann das mathematische Modell der Fraktale zwangsweise enden muss.

    Die mathematische Berechnungen erlauben, das ist ja das Schöne, unendlich lange Längen, wie sie bei Fraktale nun mal der Fall sind. Eine beliebige Annäherung und nicht endende Selbstähnlichkeit bei Vergrösserung eines Bereichs.

    Die Technikfeindlichkeit ist aus meiner Sicht heute noch gegeben. Nicht in der Benutzung, sondern in der Beschäftigung mit den Mechanismen dahinter, falls ich das Jammern der Wirtschaft um den Facharbeitermangel richtig verstehe.

    Fraktale fand ich schon als Schüler faszinierend, das wird auch in Zukunft so bleiben.

  20. #20 frater mosses von lobdenberg
    Ladenburg
    16. April 2018

    @Daniel Rehbein: Die oben geschilderte fraktale Dimension ist eine Aussage über die Geschwindigkeit, mit der die gemessene Grenzlinie wächst, wenn der Maßstab verkürzt wird. Wenn man annimmt, dass dieser Wert übr die ganze Skala gleich bleibt, müsste man daraus doch eigentlich die Grenzlänge als Funktion der Maßstabslänge berechnen können.

    @Laie: Zumindest bei mir bläht keines von beiden, wenn ausreichend gegart. Je bißfester, desto bläh.

    Schon interessant, was hier so diskutiert wird … 😉