Bisher haben wir in dieser Serie Krümmungen angeguckt, die analog zur Krümmung der Erdoberfläche waren: Winkelsummen im Dreieck waren größer als 180°, Kreise hatten einen Überschussradius. Es gibt aber auch eine andere Möglichkeit: Die negative Krümmung.

Falls Euch die genauen Details der Krümmung nicht so schrecklich interessieren, könnt ihr euch damit begnügen, kurz die Bilder anzugucken (damit bekommt ihr eine Idee, was negative Krümmung ist) und dann direkt unten zum Warnhinweis springen.

Wieder mal ein Dreieck
Als erstes werfen wir noch einmal einen Blick auf das Dreieck aus dem letzten Teil:

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Der Abstand zwischen zwei Breitengraden (hier für jeweils 15° aufgetragen), also in senkrechter Richtung im Bild, war dabei immer gleich, der zwischen zwei Längengraden änderte sich, je weiter man nach Norden kam, aber war wiederum nicht vom Breitengrad abhängig (alle horizontalen Linien auf derselben Höhe haben denselben Wert).

Als nächstes machen wir jetzt die Sache ein bisschen komplizierter: Wir ändern auch den Abstand zwischen den Breitengraden, je weiter wir nach Norden gehen, aber so, dass der Abstand immer größer wird:

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Je weiter ihr im Bild nach “Norden” geht, desto enger rücken nach wie vor die Längengrade zusammen; doch gleichzeitig vergrößert sich der Abstand zwischen den Breitengraden immer mehr. Auch hier sind beim selben Wert des Breitengrades jeweils alle Abstände gleich groß, das ganze ist also immer noch recht gleichmäßig.

Auch in diesem Fall kann man, genauso wie beim letzten Mal, die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten suchen. Verbindet man beispielsweise (wie im Dreieck auf der Landkarte der Erde oben) zwei Punkte auf dem gleichen Breitengrad, dann ist der kürzeste Weg wiederum nicht der, der auf dem Breitengrad läuft. Gehen wir etwas nach Norden, dann verkürzt sich der Abstand wieder, auf der anderen Seite ist der Umweg nach Norden aber auch “teurer”, weil sich die vertikalen Abstände im Bild nach Norden hin immer weiter vergrößern. Dankenswerterweise gibt es aber Formeln für die Geodäten in dieser Situation (siehe unten), so dass es mir (mit ein bisschen Spielerei mit gnuplot) schließlich gelungen ist, ein ähnliches Dreieck wie für die Erdkugel auch in diese neue Landkarte einzuzeichnen:

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Auf den ersten Blick sieht es ganz ähnlich aus wie das Dreieck auf der Erdkugel, aber die Winkel sind alle etwas spitzer geworden. Misst man die Winkelsumme korrekt nach, so stellt man fest, dass sie kleiner als 180° ist.

Der Raum dieser Landkarte ist also auch gekrümmt, aber anders als die Kugel. Man spricht auch von einer negativen Krümmung. Dabei ist die Winkelsumme kleiner als 180°, nicht größer. Zu einer Geodäten gibt es durch einen benachbarten Punkt nicht bloß eine Parallele, sondern gleich unendlich viele.

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Aber ich geb’s zu: Das ist etwas unanschaulich, wenn man nur auf die Karte schaut. Die durch die Karte dargestellte gekrümmte Fläche lässt sich allerdings (mit einigen Hindernissen) als Fläche im dreidimensionalen Raum darstellen. So sieht diese Fläche aus:
Es handelt sich um die berühmte Pseudosphäre, über die unser Topologie-Experte Thilo schon mehrfach berichtet hat, nämlich in seiner Topologie-Serie Folge IL, Folge LIV und Folge LV, weil sie eine Darstellung der sogenannten hyperbolischen Geometrie erlaubt.

Hier habe ich ein ähnliches Dreieck wie oben auf meiner Landkarte in das Pseudosphärenbild von Wikipedia eingezeichnet:

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Basierend auf einem Bild von Claudio Rocchini – Own work, CC BY 2.5, Link

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Falls jemand wissen will, wie ich das Bild oben berechnet habe: Auf Wolfram Alpha findet man eine Formel sowohl für die Metrik der Pseudosphäre als auch für die Geodäte. Der Abstand auf einer Linie oben entspricht der Wurzel aus der Metrik, da ja ds2=gμνdxμdxν ist. Die angegebene Formel für die Geodäte habe ich genutzt, um für zwei gegebene Koordinatensätze (u1, v1) und (u2, v2) die Konstanen c und k in der Geodätenformel auszurechnen und habe das Ergebnis in gnuplot dargestellt. Als letztes habe ich noch die Koordinaten wie folgt umdefiniert: Eigentlich verbindet das Dreieck die Punkte (1.5, 0) (1.5, 1) und (1,1) im Koordinatensystem von Wolfram Alpha. Ich habe die Abstände mit 1000 multipliziert und als letztes die Achsbeschriftungen so geändert, dass auf der horizontalen Achse aus der 1 eine 45 wird, auf der vertikalen Achse aus der 1 eine 0 und aus der 1.5 eine 45, damit es besser zur Landkarte der Erde passt.

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Kommentare (6)

  1. #1 Christian A.
    30. Januar 2011

    Eh-hehehe. “Wenn man was verstehen will, ein Buch darüber schreiben oder eine Vorlesung halten”. Hast du selber irgendwo geschrieben, und ist doch cool! Zack, auf einmal ergibt das Verständnis wieder Stoff für mehr. Schöne Serie!

  2. #2 MartinB
    30. Januar 2011

    @ChristianA
    Ja, so ist das – wie oft habe ich schon gedacht, ich hätte irgendwas verstanden, und dann beim Erklären gemerkt, dass es doch noch irgendwo hakt. Beim Erklären merkt man halt am besten, wo man ins Schleudern kommt.

  3. #3 binE
    30. Januar 2011

    Ich will mich ja nicht beschweren, aber Pizzabäckerinnen? Soll das andeuten, daß die meisten Pizzabäcker ihre Pizza MIT Koordinatensystem servieren 😉

    Hihi, danke für die wunderbar anschauliche Lehrstunde!

  4. #4 MartinB
    30. Januar 2011

    @binE
    Mal die weibliche Form zu wählen, ist halt so eine Marotte von mir…

  5. #5 binE
    30. Januar 2011

    Stimmt! Bei dir kommen ja auch mal Physikerinnen vor. Hatte ich ganz vergessen…

  6. #6 erik
    31. Januar 2011

    @MB
    „Der richtige Weg, um die Krümmung eines Raums festzustellen, ist, eine der folgenden Methoden anzuwenden: . . . „
    und
    als Überschrift von Teil III.“Wie man RaumZeit krümmt.“

    Ich warte auf die Fortsetzung! Bald müssten wir auf folgendes stossen:
    RaumZeit-Krümmung
    „Die Krümmung von Raum und Zeit wird durch jede Form von Energie, wie etwa Masse, Strahlung oder Druck, verursacht. Diese Größen bilden zusammen den Energie-Impuls-Tensor und gehen in die Einsteingleichungen als Quelle des Gravitationsfeldes ein. Die daraus resultierende krummlinige Bewegung von kräftefreien Körpern entlang von Geodäten wird der Gravitationsbeschleunigung zugeschrieben – in diesem Modell existiert so etwas wie eine Gravitationskraft nicht mehr. In einem infinitesimalen Raumabschnitt (lokale Karte) besitzt das erzeugte Gravitationsfeld stets die flache Metrik der speziellen Relativitätstheorie. Dies wird durch eine konstante Raumkrümmung mit dem Faktor g/c2 beschrieben. Die Krümmung der Weltlinien (Bewegungskurven in der Raumzeit) aller kräftefreien Körper in diesem Raumabschnitt ist gleich.“ (wikipedia)

    Dann müsste folgen:
    “Wie man RaumZeit krümmt.“: Indem „WIR“ Einfluss auf den Energie-Impuls-Tensor nehmen und somit das Gravitationsfeld verändern.
    Warum nur fällt mir folgendes dazu ein?: Lasst uns Nachdenken, wie wir Einfluss auf den Energie-Impuls-Tensor nehmen und das Gravitationsfeld beinflussen können?
    Ist das nicht verantwortungsloses Denken? Schwub-di-wub und Materie ist einfach so weg! Aber nur wenn ich die RaumZeit-Krümmung wieder glattbügle.
    Solch ein Bügeleisen hat aber keiner, nicht war?