Das Zwillingsparadoxon der Speziellen Relativitätstheorie (kurz SRT) führt ja immer gern zur Verwirrung. Das liegt nicht nur daran, dass es auf den ersten Blick unserer Intuition widerspricht, sondern vermutlich auch, dass ganz verschiedene Erklärungen des Paradoxons kursieren, die auch nicht alle wirklich zusammenpassen.

Das “Paradoxon”

Gleich vorneweg: Das Zwillingsparadoxon trägt seinen Namen nicht zu Recht – an ihm ist nichts paradox, auch wenn es auf den ersten Blick so aussehen mag. Hier nochmal in Kurzform die Idee des Paradoxons:

Die beiden Zwillingsschwestern (oder gleichaltrigen Freundinnen) Teresa und Serena müssen sich leider voneinander verabschieden: Während Teresa auf der Erde bleibt, macht sich Serena auf eine Reise nach Alpha Centauri, mehr als vier Lichtjahre von der Erde entfernt. Sie nutzt ein Hochgeschwindigkeitsraumschiff, das mit 80% der Lichtgeschwindigkeit unterwegs ist. Bei Alpha Centauri angekommen, winkt sie einmal den dort wohnenden Aliens, stellt fest, dass es ihr dort doch nicht gefällt, und macht sich auf den Rückweg zur Erde.

Bei derartig hohen Geschwindigkeiten kommt es laut SRT zum Phänomen der Zeitdilatation: Teresa sieht Serena verlangsamt, für sie sieht es so aus, als würde die Zeit für Serena langsamer laufen, so dass Serena auch langsamer altert. Da in der SRT aber Bewegungen immer nur relativ sind, sieht auch Serena Teresa verlangsamt, für sie sieht es so aus, als würde Teresa langsamer altern. Wenn Serena auf der Erde ankommt, sollte also Teresa erwarten dass sie selbst älter ist als Serena, aber umgekehrt sah Serena ja auch Teresa immer verlangsamt, sie sollte also erwarten, dass Teresa jünger ist als sie. Aber spätestens, wenn sich die beiden wieder direkt gegenüberstehen, sollte hoffentlich eindeutig zu entscheiden sein, wer nun älter ist.

Dieser scheinbare Widerspruch ist das sogenannte Zwillingsparadoxon. Um es gleich vorwegzunehmen: Die Situation ist in der Tat nicht symmetrisch, und es ist Teresa (die auf der Erde geblieben ist), die am Ende älter ist, während Serena jünger bleibt.

The Bad

Gelegentlich (beispielsweise bei dieser “Lernhelfer”-Seite – ich hab da mal ne Nachricht hinterlassen…) liest man folgende Erklärung des Zwillingsparadoxons: Um bei Alpha Centauri umzukehren, muss Serena beschleunigen. (Soweit richtig) Diese Beschleunigung benötigt eine Kraft – Serena wird in Ihren Sessel gepresst. (Auch richtig) Diese Kraft erscheint Serena wie eine Schwerkraft, sie kann beim In-den-Sessel-Gedrückt-werden  nicht ohne Weiteres unterscheiden, ob sie durch ein Schwerefeld gedrückt wird oder durch die Beschleunigung, auch wenn sie natürlich weiß, dass sie gerade ihre Raketen gezündet hat. (Immer noch richtig) Weil diese Beschleunigung also äquivalent zu einer Schwerkraft ist, kann man das Zwillingsparadoxon nur dann auflösen, wenn man die SRT zu einer Theorie verallgemeinert, die auch die Schwerkraft enthält, also zur Allgemeinen Relativitätstheorie.

Diese letzte Erklärung ist leider falsch. Die SRT hat überhaupt keine Probleme damit, beispielsweise die Zeitdilatation zu beschreiben, die auf eine Beobachterin wirkt, die gerade beschleunigt – das ist sogar vergleichsweise einfach. (Wer’s genau wissen will: Der Dilatationsfaktor ist zu jedem Zeitpunkt gegeben durch die momentane Geschwindigkeit, man muss also bei einer sich ändernden Geschwindigkeit lediglich aufintegrieren.) Nur Beschleunigungen, die durch die Schwerkraft zu Stande kommen, lassen sich mit der SRT nicht erfassen, alle anderen schon. (Das liegt daran, dass es laut ART eigentlich gar keine Schwerkraft gibt – wenn ihr mehr darüber wissen wollt, klickt rechts bei den Artikelserien, da gibt es sehr viele Artikel zur ART, die das erklären. Oder ihr geduldet euch bis kurz vor Weihnachten…) Ein anderes schönes Beispiel, wie die SRT Beschleunigungen korrekt berücksichtigt, findet ihr hier bzw. hier.

Dass die Erklärung mit der ART nicht funktioniert kann man übrigens auch auf eine ganz andere Weise sehen. Die SRT stammt aus dem Jahr 1905, erst 1907 hat Einstein die Logik des Äquivalenzprinzips erkannt, wonach sich eine gleichförmige Beschleunigung und ein Schwerefeld nicht unterscheiden lassen, und dann dauerte es bis 1915, bis die ART fertig war. Würde die Erklärung stimmen, dann hätten die Physikerinnen also 10 Jahre lang eine Theorie akzeptiert die in sich widersprüchliche Aussagen macht. Auch wenn manche Leute ja seltsame Ideen davon haben, wie Physikerinnen denken und glauben, dass die gesamte Physik mal eben schnell durch eine pensionierte Elektroingenieurin im Alleingang revolutioniert werden kann, die nie Physik studiert hat (ja, solche mails habe ich jede Menge in meinem Archiv) – mit der Realität hat das nicht viel zu tun. (Und falls ihr hier in den Kommentaren wieder einmal irgendwelche unsinnigen “Widerlegungen” der Relativitätstheorie posten wollt, lasst es einfach.) Eine Theorie, die derart eklatante innere Probleme mit sich bringt, hätte sicherlich niemand akzeptiert. Das Zwillingsparadoxon sollte sich innerhalb der SRT lösen lassen.

The Ugly

Kommen wir zu den Erklärungen, die zumindest richtig sind. Man kann schlicht und einfach die Gleichungen der SRT nehmen (in diesem Fall die sogenannten Lorentz-Transformationen) und die Sache einfach Schritt für Schritt nachrechnen. Die Rechnung findet ihr (mit einem kleinen Extra-Aufenthalt am Zielplaneten) ausführlich beispielsweise bei Relativitätsprinzip.info. (Dass ich diese Rechnung hier unter der Überschrift “Ugly” anführe, ist natürlich keine Kritik an Joachim Schulz, seiner Internetseite oder seinem Blog. Der weiß auch, dass man das intuitiver erklären kann, hat sich aber trotzdem netterweise die Mühe gemacht, mal alles formelmäßig auseinanderzudröseln.) Heraus kommt in der Tat, dass – in unserem Beispiel – Teresa am Ende älter ist als Serena. (Wer Zahlen mag: Bei 80% Lichtgeschwindigkeit und einer Entfernung von 4,3 Lichtjahren nach Alpha Centauri sind für Serena insgesamt nur 6,4 Jahre vergangen, für Teresa dagegen 10,8.)

Warum ich diese korrekte Herleitung mit dem Wort “ugly” belege? Weil ich das bloße Nachrechnen von Formeln immer wenig intuitiv finde – oft folgt man dem mathematischen Formalsimus, sieht am Ende ein Ergebnis, hat aber keine wirkliche Inuition gewonnen, was da eigentlich passiert.

Interessant ist an der Herleitung aber folgendes: Da ist tatsächlich von Beschleunigungen die Rede, die aber als unendlich schnell angenommen werden. Serena würde also bei Alpha Centauri ihre Geschwindigkeit sofort umkehren. (In der Rechnung ist tatsächlich noch ein Zwischenaufenthalt drin, der tut aber nix zur Sache.)

Man könnte also meinen, dass es tatsächlich die Beschleunigungen sind, die für den Unterschied der beiden Zeitabläufe verantwortlich ist. Das ist auf den ersten Blick auch sehr plausibel: Serena muss ja die Düsen ihres Raumschiffs zünden, wird dabei in ihren Sessel gedrückt etc. wie oben schon beschrieben. Aber ist das wirklich so? Dazu können wir uns ein kleines Gedankenexperiment ausdenken: Nehmen wir an, Serena wäre eine künstliche Intelligenz, ein Computerprogramm, das auf einem Supercomputer abläuft. (Und ja, ich nehme hier an, dass ein Computer ein Bewusstsein haben könnte – spielt für die Physik keine Rolle, macht die Sache aber anschaulicher.) Stellen wir uns einen zweiten, baugleichen Supercomputer vor, der sich auf einem Raumschiff befindet, das von einem entfernten Stern Richtung Erde unterwegs ist und zeitgleich mit Serena bei Alpha Centauri ankommt. Serena überträgt jetzt ihr Computerprogramm (ihr Bewusstsein) per Funk auf diesen anderen Computer. Dabei vergeht für sie keine Zeit, Zeit vergeht für sie nur auf den beiden Wegstrecken nach Alpha Centauri und zur Erde. Altert jetzt plötzlich ihr Bewusstsein anders, weil es nicht beschleunigt wurde? Nehmen wir an, Serena kopiert ihr Bewusstsein – Serena 1 wurde mit einem Funksignal übertragen, Serena 2 dagegen kehrt ihr Raumschiff zeitgleich um. Es wäre schon ziemlich seltsam, wenn für beide die Zeit vollkommen unterschiedlich vergehen würde und Serena 1 plötzlich irgendwie einen Zeitsprung macht. (Laut Wikipedia ist eine ähnliche Überlegung unter dem Namen “Drei-Brüder-Ansatz” bekannt.)

Nachtrag, in der Hoffnung, noch deutlicher zu machen, wo das Problem der Beschleunigung steckt: Nehmen wir an Serena fliegt auf dem Hinweg mit einem der Brüder mit (dem, der nach Alpha Centauri unterwegs ist), auf dem Rückweg mit dem anderen, der zur Erde fliegt. (Bruder 1 bleibt die ganze Zeit auf der Erde.) Zu jeder Zeit geht ihre Uhr gleich der Uhr des jeweiligen Bruders, bei dem sie an Bord ist. Die gesamte für sie verstrichene Zeit ist auf jedem der beiden Schiffe gleich der Zeit, die für den jeweiligen Bruder vergeht – in beiden Fällen sind es 3,2 Jahre, zusammen 6,4. Die gesamte für sie verstrichene Zeit ist also exakt gleich der Zeit, die man erhält, wenn man jeweils die Zeiten aufaddiert, die sie mit den Brüdern verbracht hat. Trotzdem sollen wir irgendwie argumentieren, dass es die Beschleunigung beim Übersetzen von einem Schiff aufs andere war, die dafür verantwortlich ist, dass für sie nicht die 10,8 Jahre von Teresa vergehen?

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Kommentare (87)

  1. #1 Markweger
    4. Juli 2018

    Das ist doch Schöne an der Relativitätstheorie.
    Selbst die Experten kommen nach 100 Jahren immer noch zu unterschiedlichen Erklärungen.
    Aber in ein paar hundert Jahren wird man sich geeinigt haben. Es ist überhaupt nichts zu erklären, so wenig wie beim ptolemäischen Weltbild halt auch.

  2. #2 Bbr1960
    4. Juli 2018

    Klar ist, dass „The Bad“ überflüssig ist, da das Problem innerhalb der SRT gut lösbar ist. „The Bad“ ist außerdem schlecht, weil sie den spontanten Wechsel nicht beschreiben kann. Aber ist die Erklärung deshalb auch falsch? Wenn man mit der ART ausrechnet, welche Zeitverschiebung dieses „gefühlte“ Gravitationsfeld erzeugt, müsste man doch zum selben Ergebnis kommen. Schließlich sind die Theorien ja konsistent. So nach dem Motto „warum einfach, wenn‘s auch umständlich geht“.

  3. #3 MartinB
    4. Juli 2018

    @Markweger
    Das Problem ist wie so oft, dass Versuche, physikalische Theorien und ihre Konsequenzen anschaulich zu erklären, oft nicht so gut funktionieren, wenn man nicht sehr genau aufpasst.

    @Bbr1960
    Ja, die Erklärung ist insofern falsch, weil Beschleunigungen ja irrelevant sind, wie das Beispiel mit dem Bewusstseinstransfer oder mit den drei Brüdern zeigt. Natürlich kommt man trotzdem zum richtigen Ergebnis, wenn man es durchrechnet (so steht’s ja auch bei Wiki in dem beschleunigungs-Beispiel, das könnte man sicher auch auf den ART-Formalismus übertragen), aber es geht am Kern der Sache schlicht vorbei. Entscheidend ist in diesem Fall die Interpretation der Gleichungen, die Gleichungen selbst sind unstrittig.

  4. #4 MartinB
    4. Juli 2018

    @Bbr1960
    Wntscheidend istt, dass die Rechnung im Formalismus der ART nichts neues enthält – man braucht sie nicht, um das Problem zu lösen, aber genau das behauptet ja z.B. die zitierte Internetseite.

  5. #5 Tox
    5. Juli 2018

    Naja, Kern der Sache ist, dass Serena das Bezugssystem wechselt, bzw. dass ihr System nicht während des gesamten Flugs ein Inertialsystem ist. Das ist gleichbedeutend damit, dass sich ihre Geschwindigkeit bezüglich eines Inertialsystems während des Flugs ändert. Für physikalische Objekte sind Änderungen der Geschwindigkeit stets mit Beschleunigungen verbunden. Also sind, solange Serena ein physikalisches Objekt ist, Beschleunigungen sehr wohl relevant.

    Bei den drei Brüdern bin ich mir nicht sicher, ob ich verstanden habe, worin eigentlich das vermeintliche Paradoxon bestehen soll. Beim klassischen Zwillingsparadoxon ist das vermeintliche Paradoxon doch, dass aus der Sicht jedes Zwillings die Schwester langsamer altert, so dass man (falls beide gleichwertige Beobachterinnen sind) durch Wechsel der Beobachterin unterschiedliche Resultate für den Altersvergleich am Ende erhält. Bei den drei Brüdern hat man weder den Altersvergleich am Ende noch mehrere Beobachter die die Situation (vermeintlich) unterschiedlich beschreiben würden.

  6. #6 Abdul Alhazred
    5. Juli 2018

    Zur Bezeichnung “Paradoxon”. wikipedia sagt:

    “Ein Paradoxon (…) ist eine Feststellung, die anscheinend zutrifft, doch dem allgemein Erwarteten, der herrschenden Meinung oder Ähnlichem zuwiderläuft oder beim üblichen Verständnis der betroffenen Gegenstände bzw. Begriffe zu einem Widerspruch führt. Die Analyse von Paradoxien kann zu einem tieferen Verständnis der betreffenden Gegenstände bzw. Begriffe oder Situationen führen, was den Widerspruch im besten Fall auflöst.”

    Passt doch. Dass Zwillinge ungleich alt sein sollen, widerspricht der allgemeinen Erwartung, eine Analyse der Situation führt zu einem tieferen Verständnis und löst den (vermeintlichen) Widerspruch auf. Ich hab nie verstanden, wieso immer mal wieder gesagt wird, das Zwillingsparadoxon trage seinen Namen zu Unrecht – bitte nicht “Paradoxon” mit “Antinomie” verwechseln!

  7. #7 MartinB
    5. Juli 2018

    @Tox
    Eigentlich dachte ich,ich hätte das erklärt – wie gesagt, stell dir vor, Serena würde ihr Bewusstsein übertragen. Dann wirken keine Kräfte, trotzdem nimmt sie weniger Zeit wahr. Der “Wechsel des Bezugssystems” bedeutet schlicht, dass Serenas Weltlinie einen Knick aufweist – die damit möglicherweise verbundenen Beschleunigungen sind letztlich irrelevant.
    Ist im Raum übrigens genauso: Um erst nach Norden, dann nach Osten zu gehen, muss ich ja auch beschleunigen, um die Richtung zu wechseln. Trotzdem würden wir nicht sagen, dass diese Beschleunigungen der Grund dafür sind, dass der Umweg länger ist.
    Hmm, das sollte ich vielleicht oben noch einbauen.

    @Abdul Alhazred
    Ich verstehe Paradoxon immer als Widerspruch (die zweite Variante der Wiki-Definition). Auf jeden Fall trägt das Paradoxon seinen Namen wirklich nicht zu recht – nur bei sehr naiver Anwendung der Regeln der SRT kommt man ja zu einem Widerspruch, das “Paradoxon” ist eher eine Denkfalle, man kann leicht in die Irre geführt werden, wenn man nicht genau aufpasst, aber das ist auch alles.

  8. #8 schlappohr
    5. Juli 2018

    Ich erkläre mir das Zwillingsparadoxon auf andere Weise. Ich gehe dabei von einem Denkmodell aus, von dem ich zum ersten mal in Brian Greenes Buch “Der Stoff aus dem der Kosmos ist” gelesen habe (wir haben darüber vor längerer Zeit hier schon einmal diskutiert, Florian hat das Buch auch rezensiert).
    Greene sagt, dass sich alles im Universum immer mit Lichtgeschwindigkeit durch die Raumzeit bewegt, aber diese Bewegung verläuft zum größten Teil entlang der Zeitachse. Ein ruhender Körper bewegt sich sozusagen also mit Lichtgeschwindigkeit durch die Zeit.
    Wenn sich der Körper hingegen durch den Raum bewegt, bekommt der Geschwindigkeitsvektor eine Komponente in Raumrichtung, aber der Betrag bleibt gleich (nämlich c), sodass die Komponente in Zeitrichtung kleiner wird. Im Extremfall einer Bewegung mit Lichtgeschwindigkeit durch den Raum wird die Zeitkomponente des Bewegungsvektors Null, wie es z.B. bei Photonen der Fall ist.

    Ok, nehmen wir an, Theresa und Serena beginnen bei Punkt A in der Raumzeit ihr Experiment. Serena steigt in ihr Raumschiff und fliegt weg, Teresa bleibt auf der (als ruhend angenommen) Erde. Das Experiment endet am Raumzeitpunkt B mit Serenas Rückkehr.
    Abgesehen von ihrer geringfügigen Eigenbewegung (mit dem Bus zur Arbeit etc.) bewegt sich Theresa laut Greene fast vollständig mit Lichtgeschwindigkeit entlang der Zeitachse von A nach B. In Serenas Bezugssystem hingegen hat der Vektor eine massiv große Komponente in Raumrichtung, wodurch die Komponente in Zeitrichtung kleiner wird. Serena legt daher in der Zeitrichtung eine kleinere Strecke zurück als Theresa, daher vergeht für sie subjektiv weniger Zeit auf ihrer Reise von A nach B. Erkauft hat sie sich dies mit einer Bewegung durch den Raum.

    Ich weiß nicht, ob diese Erklärung einen Sinn ergibt, aber mit Greenes Denkmodell wird es für mich sehr verständlich. Insbesondere zeigt sich hier, dass es vollkommen unsinnig ist, Raum und Zeit als zwei unabhängige Größen zu betrachten.

  9. #9 roel
    5. Juli 2018

    @Schlappohr Ich versteh deine Erklärung so, dass wenn sich alles mit Lichtgeschwindigkeit bewegt. der Lichtstrahl, dann doppelte Lichtgeschwindigkeit haben müsste. Und das geht nicht.

  10. #10 schlappohr
    5. Juli 2018

    @roel:

    Nein, ein Lichtstrahl besteht aus Photonen, die haben keine Eigenzeit, also nur eine Bewegung durch den Raum mit Lichtgeschwindigkeit.

  11. #11 MartinB
    5. Juli 2018

    @schlappohr
    Ich habe diese Erklärung schon öfter gehört, kann damit aber nicht so viel anfangen – ich hake immer an der Frage, wie man sich “durch die Zeit bewegt” – die Änderung der Zeit mit der Zeit, so wie Bewegung im Raum die Änderung der Zeit mit dem raum ist?
    Dann muss man auch wieder unterschiedliche Bezugssysteme angucken (denn für Serena ist es ja Teresa, die verlangsamt ist), und dann finde zumindest ich es einigermaßen wenig intuitiv.
    Zumal das auch nicht wirklich zu den Gleichungen passt, wo man ja eher die Vierergeschwindigkeit angucken würde, aber deren Zeitkomponente wird ja für bewegte Objekte größer, nicht kleiner. Raum und Zeit gehen in die Länge eines Vektors ja mit unterschiedlichen Vorzeichen ein, das passt mit der Greene-Erklärung nicht so gut zusammen.

    @roel
    Ich glaueb, man muss hir aufpassen, von welcher Zeit man redet – in schlappohrs Erklärung ist die Eigenzeit des Objekts gemeint, und die gibt es für ein Photon nicht.

  12. #12 roel
    5. Juli 2018

    @Schlappohr und MartinB

    “Eigenzeit” hatte ich nicht gelesen. Sorry.

  13. #13 schlappohr
    5. Juli 2018

    @MartinB

    ja, ich habe das zugegeben nicht im Detail durchdacht, aber mit dieser Erklärung erscheint es mir intuitiv irgendwie verständlich, wenn man Greenes Modell einmal voraussetzt. Was Bewegung durch die Zeit bedeutet, müsste man sicher noch genauer definieren, das hat Greene leider auch nicht gemacht. Das ist das Problem mit dieser Art von Büchern: Wenn es zu sehr ans Eingemachte geht, hören sie auf.
    Aber wird in der SRT die Zeitkoordinate nicht auch mit der Lichtgeschwindigkeit c multipliziert und bekommt dadurch die Einheit einer Länge? Angenommen, man multipliziert die Zeit t mit c und erhält daraus eine Strecke l. Wenn diese Strecke mit der Geschwindigkeit c zurückgelegt wird, dauert das genau t. Bei halber Lichtgeschwindigkeit dauert es 2t usw. Das wäre doch eine Defintion der Bewegung durch die Zeit?

  14. #14 schlappohr
    5. Juli 2018

    @roel

    Mein Fehler. Ich habe Eigenzeit gemeint aber nicht geschrieben.

  15. #15 MartinB
    5. Juli 2018

    “Das ist das Problem mit dieser Art von Büchern”
    Aber das ändert sich ja bald, muhaha :-)

    Deine Definition mit der Zeitkoordinate verstehe ich nicht so ganz – welche Zeitkoordinate (oder besser Zeitspanne) willst du denn nehmen? Wenn z.B. für mich der Lorentzfaktor gleich 2 ist, ich also relativ zu dir um 50% verlangsamt bin, dann bewege ich mich ja nicht mit halber Lichtgeschwindigkeit – die Zeitdilatation ist ja nicht linear. Oder ich habe deine Konstruktion nicht verstanden

  16. #16 Michael
    5. Juli 2018

    Es ist nicht schwer das “Zwillingsparadoxon” zu verstehen. Hier ist eine gute Erklärung, die man sehr leicht nachvollziehen kann:

    http://www.av8n.com/physics/twins.htm

  17. #17 roel
    5. Juli 2018

    @MartinB “Aber das ändert sich ja bald, muhaha”

    Ich bin gespannt!

  18. #18 Tox
    5. Juli 2018

    @MartinB
    Die Variante mit der Bewusstseinsübertragung halte ich für problematisch, weil z.B. nicht klar ist (jedenfalls nicht mir), ob während der Übertragung (die ja nicht instantan passieren kann) ein Bewusstsein existiert. Überhaupt halte ich es für fraglich ob es sinnvoll ist ein so komplizieres Konzept wie Bewusstsein hier ins spiel zu bringen. Der Effekt tritt ja auch bei simpler unbelebter Materie auf.

    Desweiteren sage ich ja nicht, dass die Beschleunigungen “der Grund” für den Effekt sind. Sondern nur, dass es den Effekt für physikalische Objekte ohne Beschleunigungen nicht gibt, da es ohne Beschleunigungen keine Änderungen der Geschwindigkeit und damit keine Knicke in der Weltlinie gibt. Daher würde ich Beschleunigungen nicht als irrelevant betrachten.

  19. #19 MartinB
    5. Juli 2018

    @Tox
    Aber wie schon gesagt, wir betrachten auch im Raum Beschleunigungen als irrelevant obwohl ich meine Richtung im Raum auch nur ändern kann, wenn ich beschleunigt werde.
    Oder in der Geometrie von Raum und Raumzeit ausgedrückt: Eine Linie mit Knick ist was anderes als eine gerade Linie, vollkommen egal, wodurch der Knick zu stande kommt. Dass ein materielles Objekt den Knick nur machen kann, wenn es beschleunigt, ist zwar korrekt, aber für die Geometrie egal.

    @MIchael
    Sagt die Erklärung dort was anderes als meine hier?

  20. #20 Michael
    5. Juli 2018

    @MartinB

    Kann ich nicht sagen, da ich Ihren Beitrag nicht gelesen haben.

  21. #21 Michael
    5. Juli 2018

    Edit: haben > habe

  22. #22 MartinB
    5. Juli 2018

    @Michael
    Eigenwillige Art, auf nem Blog zu kommentieren, ohne in den Text zu schauen, den man kommentiert.

    @Tox
    Noch ein Nachtrag, der auch nochmal das mit den drei Brüdern klarer macht, hoffe ich: Nehmen wir an Serena fliegt auf dem hinweg mit einem der Brüder mit, auf dem Rückweg mit dem anderen. Zu jeder Zeit geht ihre Uhr gleich der Uhr des jeweiligen Bruders, bei dem sie an Bord ist. Die gesamte für sie verstrichene Zeit ist auf jedem der beiden Schiffe gleich der Zeit, die für den jeweiligen Bruder vergeht – in beiden Fällen sind es 3,2 Jahre, zusammen 6,4.

    Die gesamte für sie verstrichene Zeit ist also exakt gleich der Zeit, die man erhält, wenn man jeweils die Zeiten aufaddiert, die sie mit den Brüdern verbracht hat. Trotzdem sollen wir irgendwie argumentieren, dass es die Beschleunigung beim Übersetzen von einem Schiff aufs andere war, die dafür verantwortlich ist, dass für sie nicht die 10,8 Jahre von Teresa vergehen?

    Ergibt für mich nicht wirklich viel Sinn, das so zu sehen.

  23. #23 MartinB
    5. Juli 2018

    PS: Habe das mal in den Haupttext übernommen, ich hoffe, das macht das Problem noch etwas deutlicher.

  24. #24 Michael
    5. Juli 2018

    @ MartinB

    Eigenwillig hin oder her, wenn ich darf, dann möchte noch ein Buch von Taylor & Wheeler zum Thema empfehlen:

    Spacetime Physics : Introduction to Special Relativity

  25. #25 Bbr
    5. Juli 2018

    @MartinB bgzl. #11

    Ich bin hier mal auf eine Seite gestoßen, wo alles auf der Grundlage erklärt wird, dass man sich in der Raumzeit immer mit c bewegt.

    https://www.relativity.li/de/epstein/lesen

    So richtig weiß ich nicht, was ich davon halten soll. Was dahinter steckt ist natürlich, dass die Norm der Viergeschwindigkeit=c ist.

    Zumindest die “Herleitung” der Lorentztransformation aus dem Epstein-Diagramm ist aber ein klassischer Zirkelschluss, da man ja die Lorenztranformation braucht, um zur Norm der Vierergeschwindigkeit zu kommen.

  26. #26 MartinB
    5. Juli 2018

    @Bbr
    Ja klar, die Norm der Vierergeschwindigkeit ist c, aber bei der bewegten beobachterin ist die Nullkomponente ja gamma*c, also größer als c, deswegen passt das ja gerade nicht zu dem Bild. (Muss so sein, weil ja räumliche nd zeitliche Komponente mit umgekehrtem Vorzeichen eingehen, wenn also ne Raumkomponente dazukommt, muss die Zeitkomponente größer werden, damit die Länge c bleibt.)

    Wo genau steht denn dazu was in dem Epstein-Buch? Auf die schnelle hab ich das nicht gefunden.

  27. #27 Tox
    5. Juli 2018

    @MartinB

    Aber wie schon gesagt, wir betrachten auch im Raum Beschleunigungen als irrelevant obwohl ich meine Richtung im Raum auch nur ändern kann, wenn ich beschleunigt werde.

    Auch im Raum würde ich Beschleunigungen nicht als irrelevant betrachten, eben genau deshalb weil es ohne sie keine Richtungsänderungen gibt.

    Eine Linie mit Knick ist was anderes als eine gerade Linie, vollkommen egal, wodurch der Knick zu stande kommt.

    Selbstverständlich. Davon wie die Beschleunigung zustande kommt rede ich ja auch nicht. Ich sage nur dass der Effekt nicht auftritt, wenn es keine Beschleunigung gibt. Vielleicht verstehen wir unter “irrelevant” unterschiedliche Dinge? Ich finde es jedenfalls seltsam, eine Sache irrelevant zu nennen, wenn der zu betrachtende Effekt ohne diese Sache nicht auftritt.

    Die gesamte für sie verstrichene Zeit ist also exakt gleich der Zeit, die man erhält, wenn man jeweils die Zeiten aufaddiert, die sie mit den Brüdern verbracht hat. Trotzdem sollen wir irgendwie argumentieren, dass es die Beschleunigung beim Übersetzen von einem Schiff aufs andere war, die dafür verantwortlich ist, dass für sie nicht die 10,8 Jahre von Teresa vergehen?

    Hier verstehe ich das “trotzdem” nicht. Was genau widerspricht sich hier? Und den Ausdruck “dafür verantwortlich sein” finde ich auch problematisch. Es gibt eine ganze Reihe von Bedingungen, die erfüllt sein müssen, damit der Effekt auftritt. Das Vorhandensein einer Beschleunigung ist eine davon. Ich würde keine einzelne als für den Effekt verantwortlich bezeichnen.

    Was genau wollen wir eigentlich erklären? Wie oben angedeutet, ging ich davon aus, dass der wesentliche interessante Punkt beim Zwillingsparadoxon ist, dass die Situation eben nicht symmetrisch zwischen Teresa und Serena ist, obwohl man das vielleicht zunächst wegen des Relativitätsprinzips erwarten könnte. Und die Symmetrie wird eben genau durch die Beschleunigung gebrochen.

    Wie wäre es mit folgender Erweiterung: Eine weitere Schwester/Freundin setzt sich in eine Kiste mit undurchlässigen Wänden (wie Einsteins Fahrstuhl) und wird dann zufällig entweder von Serena mit auf die Reise genommen oder bleibt bei Teresa zu Hause. Am Schluss wird die Kiste geöffnet und sie soll entscheiden, ob sie bei Teresa oder Serena war. Anhand der Beschleunigung kann sie diese Unterscheidung treffen (und wenn sie nicht weiß, wie weit Serenas Zwischen-Reiseziel entfernt ist, ist das auch die einzige Möglichkeit).

    Daraus würde ich folgern, dass es genau die Beschleunigung ist, die die Symmetrie bricht. Und daher würde ich die Beschleunigung als relevant für den zu erklärenden Effekt betrachten.

    Wie wäre es mit folgender “Kompromissformulierung”: Der Effekt tritt ohne Beschleunigungen nicht auf, aber für das Verständnis des Effekts und eine (näherungsweise) Berechnung ist es nicht notwendig, die Beschleunigungen detailiert zu kennen (statt des vollen Beschleunigungsprofils a(t) reicht die Gesamtänderung der Geschwindigkeit Δu).

  28. #28 roel
    5. Juli 2018

    @Michael Ich empfehle dir eine Rechtschreibprüfung.

  29. #29 MartinB
    5. Juli 2018

    @Tox
    “Was genau widerspricht sich hier?”
    Wenn sie mit Bruder 2 fliegt, vergeht für sie dieselbe zeit wie für Bruder 2, nämlich 3,2 Jahre. Wenn sie mit Bruder 3 fliegt ebenfalls. In der Summe vergehen für sie also 6,4 jahre, die Summe der zeit, die für die Brüder vergeht. Wie sie von Bruder 2 zu Bruder 3 gekommen ist, spielt offensichtlich keine Rolle (solange es schnell genug ging), weil ihre Uhr immer exakt synchron zu einer der Brüder-Uhren ist und weil die für sie vergangene Zeit exakt gleich der Summe der Zeit der beiden Brüder ist.

    Ich verstehe nicht, wie man da argumentieren soll, dass “eigentlich” wie für Teresa 10,8 Jahre vergangen wären, und dass es die Beschleunigung ist, die dafür sorgt, dass es nicht so ist. Tut mir Leid, ich verstehe die Logik wirklich schlicht nicht.

    “Und die Symmetrie wird eben genau durch die Beschleunigung gebrochen.”
    Die Symmetrie wird dadurch gebrochen, dass eine Weltlinie eine gerade Linie ist, die andere nicht. Dass eine person, die versucht dieser Weltlinie zu folgen, dafür beschleunigen muss, ist in meinen Augen genauso unerheblich, wie es unerheblich ist, dass ich beschleunigen muss, wenn ich erst nach Norden und dann nach Osten gehe. Ist der Weg erst nach Norden dann nach Osten länger als der direkte Weg, weil ich einmal beschleunigen muss? Oder ist es einfach die Geometrie des Raums, die das bewirkt?

  30. #30 H.H.Voynich
    Nordrhein-Westfalen - Hilden
    5. Juli 2018

    @Tox:
    “Der Effekt tritt ohne Beschleunigungen nicht auf […]”

    Tut er aber.
    Wir können doch zwei (bzw. drei) baugleiche Uhren nehmen, die über einen Sender und Empfänger verfügen und einen Datenspeicher, in welchem sie regelmäßig ihren eigenen und den von der jeweils anderen Uhr empfangenen Zeitstempel loggen.
    U1 bleibt hier, U2 fliegt zu Proxima, wo sie sehr dicht an U3 vorbeifliegt, welche mit gleichem Geschwindigkeitsbetrag in entgegengesetzte Richtung – Ziel:Erde – unterwegs ist.
    Zum Zeitpunkt der Begegnung synchronisiert sich U3 anhand U2, was sicherlich instantan möglich sein sollte.
    Außerdem sendet U2 ihr gesamtes Log an U3, was nicht instantan passieren muss, da die gespeicherten Daten sich ja nicht mehr ändern.
    Danach kann man doch sagen, daß U3 den Zustand von U2 vollständig übernommen hat?

    U3 erreicht dann die Erde, und wir können die beiden Logs ansehen.
    Bei U1 sieht das etwa so aus (links der eigene Zeitstempel, rechts der empfangene):

    1 – 0,8
    2 – 1,6
    3 – 2,4
    4 – 3,2
    5 – 4
    6 – 4,8
    7 – 5,6
    8 – 6,4
    9 – 7,2
    10 – 8

    Das Log von U3 sieht hingegen so aus:

    1 – 0,8
    2 – 1,6
    3 – 2,4
    4 – 3,2
    5 – 7,6
    6 – 8,4
    7 – 9,2
    8 – 10

    In diesem Szenario kam keine Beschleunigung vor, das Phänomen bleibt aber das selbe.

  31. #31 MartinB
    5. Juli 2018

    @H.H. Voynich
    Das ist ja genau die Idee hinter dem 3-Brüder-Szenario.

  32. #32 MartinB
    5. Juli 2018

    @Tox
    Vielleicht liegt es auch daran, dass wir etwas unterschiedliches unter dem zu verstehenden Effekt verstehen:
    Du sagst: “Für das Zwillingsparadoxon ist entscheidend, dass eine Person einer Weltlinie mit Knick folgt, und das geht nicht ohne Beschleunigung.”
    Ich sage “Für das Zwillingsparadoxon ist entscheidend, dass eine Linie in der Raumzeit, die einen Knick hat, insgesamt eine kürzere Eigenzeit hat als eine gerade Linie. Du hast natürlich recht, dass eine *Person* die einer solchen Linie folgen will, dazu beschleunigen muss, aber es ist nicht die Beschleunigung, die für die Länge der Linie verantwortlich ist (was ja auch die 3-Brüder-Variante zeigt), sondern schlicht die Geometrie der Raumzeit.”

  33. #33 H.H.Voynich
    5. Juli 2018

    @MartinB: genau.
    Ich wollte es noch mal in eigenen Worten formulieren, um mich (und Tox) davon zu überzeugen, dass das Phänomen auch ohne Beschleunigung auftritt.
    Habe es eigentlich schon zu kompliziert gemacht: Sender, Empfänger und Log sind nicht nötig, um den Effekt zu demonstrieren.

  34. #34 Bbr1960
    5. Juli 2018

    @MartinB: Der interessante Teil des Epstein-Buchs fängt bei 4.2 an.

    Was mich etwas stört ist die verwendete Sprache mit „Mythos“ und „Dogma“. In der Naturwissenschaft hat man Postulate und keine Dogmen. Und die grundlegenden Postulate der STT sind numal das Relativitätsprinzip und die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. Was er als „Dogma“ bezeichnet ist daraus herleitbar.

    Wie auch immer: Ich finde Minkowsi-Diagramme alles andere als anschaulich. Erklärungen, die mit kürzesten Wegen in der Raumzeit arbeiten, sind zumindest für mich viel besser.

  35. #35 Tox
    5. Juli 2018

    @MartinB

    Ich verstehe nicht, wie man da argumentieren soll, dass “eigentlich” wie für Teresa 10,8 Jahre vergangen wären,

    Das argumentiere ich doch gar nicht. Ich wüsste auch gar nicht was das heißen soll. (Vielleicht: “Wie viel Zeit wäre für Serena vergangen, wenn sie nicht umgekehrt wäre aber trotzdem zur Erde zurückkehrt?” Solange wir im simplen Minkowski-Raum sind, wiedersprechen sich die beiden Teile, so dass die Frage nicht sinnvoll ist.)

    Die Symmetrie wird dadurch gebrochen, dass eine Weltlinie eine gerade Linie ist, die andere nicht.

    Woran erkennst du, ob eine Weltlinie gerade ist? Doch gerade daran, ob entlang ihr keine Beschleunigung wirkt. (Oder formaler ausgedrückt: Ihre Tangente wird parallel transportiert.)

    Für das Zwillingsparadoxon ist entscheidend, dass eine Linie in der Raumzeit, die einen Knick hat, insgesamt eine kürzere Eigenzeit hat als eine gerade Linie.

    Wieder stellt sich die Frage, woran du den Knick und das gerade sein erkennst, wenn nicht durch die Beschleunigung. Man könnte natürlich sagen “eine Linie in der Raumzeit ist gerade, wenn sie eine Geodäte ist”. Aber dann wird die Aussage zur Tautologie. Geodäten sind ja gerade dadurch definiert, dass sie (lokal) extremale Länge haben.

    … aber es ist nicht die Beschleunigung, die für die Länge der Linie verantwortlich ist (was ja auch die 3-Brüder-Variante zeigt), sondern schlicht die Geometrie der Raumzeit.

    Da ist wieder dieses “verantwortlich sein”…

    Sobald man für eine noch unbestimmte Kurve in der Raumzeit für jeden Wert im Parameterintervall die Beschleunigung festgelegt hat, hat man damit auch die Länge der Kurve festgelegt. Ich weiß nicht ob das eine ausreichende Verantwortlichkeit ist.

    @H.H.Voynich
    Wie ich bereits oben in Kommentar #5 schrieb, sehe ich in dieser Form das vermeintliche Paradoxon nicht. Denn es gibt ja ganz offensichtlich keine zwei unterschiedlichen Standpunkte die vermeintlich gleichwertig sind aber zu unterschiedlichen Vorhersagen führen.

  36. #36 Tox
    5. Juli 2018

    @H.H.Voynich (#33):
    Wir scheinen unterschiedliche Dinge unter “dem Phänomen” zu verstehen. Könntest du mir deine Definition des Phänomens in der Drei-Brüder-Situation mitteilen und am besten auch, warum dies vermeintlich ein Paradoxon ist?

  37. #37 H.H.Voynich
    5. Juli 2018

    @Tox:
    Offenbar gibt es verschiedene Ansichten darüber, was eigentlich das “Paradox” sei.
    In #6 fand Abdul Alhazred es m.E. schon paradox, dass Zwillinge plötzlich unterschiedlich alt sind. Darin liegt aber nicht das Problem, das ließe sich auch anders erreichen. Zum Beispiel vergeht laut ART die Zeit für den Zwilling langsamer, der sich in einem stärkeren Gravitationsfeld befindet. Da sind sich aber alle Beobachter einig darüber, wessen Uhr langsamer geht – also kein Paradox.
    Anders in der SRT: die besagt, dass die “bewegte” Uhr langsamer geht.
    Nun kann aber jeder Beobachter mit gleichem Recht den Standpunkt vertreten, selbst zu ruhen, so dass es der andere sein muss, dessen Uhr langsamer geht als die eigene – also der andere am Ende der Jüngere sein müsste. Es sieht so aus, als wäre die Situation symmetrisch – bis sich die beiden treffen und feststellen, wer von beiden nun wirklich älter ist.
    Wäre die Situation wirklich symmetrisch, dann müsste jetzt jeder der beiden sehen können, dass der jeweils andere weniger gealtert ist. Was offensichtlich nicht sein kann.

  38. #38 Tox
    5. Juli 2018

    @H.H.Voynich
    Ok, exakt das verstehe ich auch unter dem Zwillingsparadoxon.

    Aber das passiert doch bei den drei Brüdern nicht. Es gibt dort keine zwei Beobachter die sich zweimal treffen und somit keinen Uhrenvergleich entlang zweier Wege durch die Raumzeit. Es gibt stattdessen drei Beobachter, die sich paarweise jeweils einmal treffen und dabei Information austauschen.

  39. #39 H.H.Voynich
    6. Juli 2018

    @Tox:
    Also würdest Du mir bei meinem obigen Satz widersprechen:
    “Danach kann man doch sagen, daß U3 den Zustand von U2 vollständig übernommen hat?”

    Denn für das Phänomen sollte es ja unerheblich sein, ob U2 selbst zurück reist, oder ob eine 100%ige Kopie von ihr das tut …?

  40. #40 Tox
    6. Juli 2018

    @H.H.Voynich
    Der Satz stimmt dann, wenn du “Zustand” so definierst, dass die Geschwindigkeit durch die Raumzeit (bezüglich eines beliebigen Koordinatensystems) nicht Teil des Zustands ist. Denn diese wird ja offensichtlich nicht kopiert.

    Ich würde daher U3 nicht als 100%ige Kopie von U2 betrachten.

  41. #41 MartinB
    6. Juli 2018

    @Tox
    “Woran erkennst du, ob eine Weltlinie gerade ist? Doch gerade daran, ob entlang ihr keine Beschleunigung wirkt. (Oder formaler ausgedrückt: Ihre Tangente wird parallel transportiert.)”
    Richtig. Aber wie das 3-Brüder-Modell zeigt, kann man ja dieselbe Linie als aus zwei Weltlinien zusammengesetzt denken und bekommt denselben Effekt. Nicht jedes geometrische Gebilde in der Raumzeit muss ja eine Weltlinie sein. Das ist das, was ich in #32 sagen wollte.
    Natürlich kannst du argumentieren, dass ich dazu dann bereits die Tatsache als Grundlage nehme, dass die Geodäte die Linie maximaler Eigenzeit ist – aber das ist ja auch genau das, was ich argumentiere: Meiner Ansicht nach ist es am anschaulichsten und intuitivsten, wenn man die Geometrie als Basis nimmt (deswegen ja auch der Text mit Anna Meise und Teresa Mite), statt sich mit irgendwelchen Lorentz-Trafos oder ähnlichem rumzuärgern.
    Und in dieser Betrachtungsweise ist die Linie, die Serena zurücklegt, schlicht eine Linie, die aus zwei geraden Stücken besteht. Dass diese Linie länger ist, liegt schlicht an der Geometrie.

    Man kann übrigens auch daran sehen, dass diese Argumentation schlüssiger ist, weil sie auch für raumartige Abstände funktioniert, wo die Linien gar keine Weltlinien sein können, die Situation ist da ja ansolut symmetrisch (bis auf den Vorzeichenwechsel bei der Raum- und Zeitkomponente).

  42. #42 Tox
    6. Juli 2018

    @MartinB

    Aber wie das 3-Brüder-Modell zeigt, kann man ja dieselbe Linie als aus zwei Weltlinien zusammengesetzt denken und bekommt denselben Effekt.

    Wie ich bereits schrieb, bin ich der Meinung, dass man im Drei-Brüder-Modell nicht exakt denselben Effekt hat. Jedenfalls gibt es meiner Ansicht nach dort die eigentliche “Paradoxie” des Zwillingsparadoxons nicht.

    Und ob man nun einen Bereich der Kurve hat, in dem eine Beschleunigung vorliegt, oder einen Punkt in dem die Kurve nicht differenzierbar ist, spielt meiner Meinung nach keine wesentliche Rolle. Jede stetige Kurve die nur an endlich vielen Stellen nicht differenzierbar ist lässt sich schließlich beliebig genau (bezüglich einer passenden Norm) durch glatte Kurven approximieren.

    Nicht jedes geometrische Gebilde in der Raumzeit muss ja eine Weltlinie sein.

    Selbstverständlich. Ich habe nie gegenteiliges behauptet.

    Und in dieser Betrachtungsweise ist die Linie, die Serena zurücklegt, schlicht eine Linie, die aus zwei geraden Stücken besteht. Dass diese Linie länger ist, liegt schlicht an der Geometrie.

    Aber selbst wenn man die Definition einer “geraden Linie” als gegeben annimmt, hat man allein durch die Feststellung, dass Serenas Kurve aus zwei geraden Linien zusammengesetzt ist noch nicht den entscheidenden Unterschied zwischen Serenas und Teresas Kurven erfasst. Denn auch Teresas Kurve lässt sich in zwei gerade Linien zerlegen. Entscheidend ist, dass bei Teresa die beiden Teilwege die selben Richtungen/Geschwindigkeiten haben und bei Serena nicht.

    Dein “Ein Umweg hat eine andere Länge als direkte Weg” klingt für mich nach einer Null-Aussage, die den eigentlichen Effekt nicht erklärt.

    In der geometrischen Beschreibungsweise ist für mich ist der entscheidende Punkt beim Zwillingsparadoxon die Frage warum Teresas Weg der direkte Weg und Serenas Weg ein Umweg ist (wenn man einen “Umweg” für zeitartig getrennte Endpunkte als Weg definiert, der kürzer als der direkte Weg ist).

  43. #43 MartinB
    6. Juli 2018

    @Tox
    “Und ob man nun einen Bereich der Kurve hat, in dem eine Beschleunigung vorliegt, oder einen Punkt in dem die Kurve nicht differenzierbar ist, spielt meiner Meinung nach keine wesentliche Rolle. ”
    Dem stimme ich zu. Die Tatsache, dass das keine Rolle spielt, kann man aber zumindest als Hinweis darauf werten, dass das, was da genau am Knick passiert, für das Ergebnis unerheblich ist.

    “Entscheidend ist, dass bei Teresa die beiden Teilwege die selben Richtungen/Geschwindigkeiten haben und bei Serena nicht.”
    Natürlich, Aber das lässt sich für die Linien doch in jedem Koordinatensystem eindeutig herausfinden, genau wie in der gewöhnlichen Geometrie der Ebene. Es ist in jedem KS eindeutig klar, ob drei Punkte auf einer (geraden) Linie liegen oder nicht. Ist im Raum doch genauso.
    “In der geometrischen Beschreibungsweise ist für mich ist der entscheidende Punkt beim Zwillingsparadoxon die Frage warum Teresas Weg der direkte Weg und Serenas Weg ein Umweg ist”
    Würdest du das in der Geometrie der Ebene auch so sehen – warum ist der Weg entlang der Katheten eines Dreiecks ein Umweg gegenüber dem Weg entlang der Hypothenuse? Ist das nicht eine fundamentale Eigenschaft der Geometrie der Ebene (Dreiecksungleichung)? In der Geometrie ist das doch ein Axiom für jede Abstandsfunktion – fundamentaler geht’s doch eigentlich nicht.

  44. #44 Tox
    6. Juli 2018

    @MartinB

    Die Tatsache, dass das keine Rolle spielt, kann man aber zumindest als Hinweis darauf werten, dass das, was da genau am Knick passiert, für das Ergebnis unerheblich ist.

    Für mich sieht das so aus als würde man sagen “das elektrische Feld einer Punktladung ist das selbe wie das elektrische Feld im Vakuum, denn das was da genau an diesem einen Punkt passiert, ist für das Ergebnis unerheblich”. Die Beschleunigung verschwindet nicht, nur weil man sie in einem Delta-Peak versteckt.

    Aber das lässt sich für die Linien doch in jedem Koordinatensystem eindeutig herausfinden,

    Wirklich in jedem Koordinatensystem geht das nur indem man sich genau den einen Punkt mit dem Knick ansieht und feststellt, dass die Kurve dort nicht differenzierbar ist.

    Es ist in jedem KS eindeutig klar, ob drei Punkte auf einer (geraden) Linie liegen oder nicht.

    Selbstverständlich ist dies eindeutig klar. Aber ich sehe keine Methode dies festzustellen, die nicht die “Beschleunigung” entlang einer glatten Kurve, oder eine Nicht-Differenzierbarkeit einer Kurve mit Knick, oder den Vergleich der Länge zweier Kurven verwendet. Und letzteres führt zu einer Tautologie (“die längere Kurve ist die längere Kurve”).

    Würdest du das in der Geometrie der Ebene auch so sehen – warum ist der Weg entlang der Katheten eines Dreiecks ein Umweg gegenüber dem Weg entlang der Hypothenuse?

    Das ist meiner Ansicht nach eine andere Frage. Beim Zwillingsparadoxon hat man zwei Kurven in der Raumzeit mit den selben Endpunkten und es wird “physikalisch” beschrieben, wie diese Kurven konstruiert werden. Teresa bleibt auf der Erde, Serena reist nach Alpha Centauri und zurück. Es wird aber z.B. in der Problembeschreibung nicht direkt gesagt, dass Teresas Weg gerade ist und damit der längste Weg mit diesen Endpunkten. Beim Dreieck in der Ebene setzt du implizit voraus, dass die Hypothenuse eine gerade Linie und damit der kürzeste Weg zwischen ihren Endpunkten ist.

  45. #45 MartinB
    6. Juli 2018

    @Tox
    “Die Beschleunigung verschwindet nicht, nur weil man sie in einem Delta-Peak versteckt.”
    Stimmt schon, habe auch ne Weile gezögert, ob ich das schreiben soll. Die Tatsache, dass Serenas Gesamtlänge genau gleich der Summe der beiden Teillängen ist, ohne (oder mit beliebig wenig) Einfluss durch den “Knick” zeigt für mich aber schon, dass der Knick letztlich egal ist (und das wäre bei der Punktladung ja nict so).

    “Das ist meiner Ansicht nach eine andere Frage. ”
    Und das scheint der Knackpunkt für uns zu sein: Für mich ist das exakt dieselbe Frage.

    Würdest du auch im Raum sagen, dass man den Knick einer Linie nur herausfinden kann “indem man sich genau den einen Punkt mit dem Knick ansieht und feststellt, dass die Kurve dort nicht differenzierbar ist.”?

    Wenn nein, wo ist der Unterschied?

    ” Es wird aber z.B. in der Problembeschreibung nicht direkt gesagt, dass Teresas Weg gerade ist und damit der längste Weg mit diesen Endpunkten”
    Na klar wird das gesagt – Teresa ist stationär, also ist ihre Weltlinie zwangsläufig ne Gerade.

    “oder den Vergleich der Länge zweier Kurven verwendet. Und letzteres führt zu einer Tautologie (“die längere Kurve ist die längere Kurve”).”
    Vielleicht ist das ganze eine Frage, was man als fundamental ansieht: Ich versuche ja in diesem Artikel zu zeigen, dass man, wenn man die Geometrie der Raumzeit als fundamental ansieht, das Zwillingsparadoxon genau so erklären kann wie die Dreiecksungleichung im Raum. In der Geometrie ist die Dreiecksungleichung auch der Startpunkt jeder EEntfernungsdefinition – da könntest du beim Dreieck also letztlich genauso argumentieren.

  46. #46 Tox
    6. Juli 2018

    @MartinB:

    Würdest du auch im Raum sagen, dass man den Knick einer Linie nur herausfinden kann “indem man sich genau den einen Punkt mit dem Knick ansieht und feststellt, dass die Kurve dort nicht differenzierbar ist.”?

    Ja. Sofern du mit “den Knick einer Linie herausfinden” meinst “feststellen, ob eine Kurve an einem bestimmten Punkt einen Knick hat”.

    Na klar wird das gesagt – Teresa ist stationär, also ist ihre Weltlinie zwangsläufig ne Gerade.

    Das ist wohl ein weiterer Unterschied zwischen unseren Ansichten. In dieser Zwangsläufigkeit steckt meiner Meinung nach drin, dass die Beschleunigung eine Rolle spielt. Denn was heißt stationär anderes als dass die Beschleunigung gleich 0 ist.

  47. #47 MartinB
    6. Juli 2018

    @Tox
    Für mich ist der Knackpunkt der: Es gibt gerade und gekrümmte Linien in der Mikowski-Raumziet. Ob eine Linie gerade oder gekrümmt ist, ist eine rein geometrische Frage.
    Einige Linien (die zeitartigen) können auch Weltlinien sein, wenn man sich auf einer zeitartigen Weltlinie bewegt, ist eine Linie genau dann gerade, wenn man sich mit konstanter Geschwindigeit bewegt. Da es aber auch raumartige (oder lichtartige) Linien gibt, sehe ich das Konzept “Beschleunigung” nicht als fundamental an.

    “Ja. Sofern du mit “den Knick einer Linie herausfinden” meinst “feststellen, ob eine Kurve an einem bestimmten Punkt einen Knick hat”.”
    Warum kann ich nicht herausfinden, ob eine Linie einen Knick hat, indem ich an einem punkt ne tangente anlege, von dort aus mit einer Geraden Verlängere und prüfe, ob alle Punkte (in unserem Fall insbesondere der Endpunkt) auf der Linie liegt. Es geht hier ja nicht darum, herauszufinden, wo der Knick ist, sondern nur darum, dass es ein Verfahren gibt, um eindeutig zu entscheiden, ob eine Linie gerade ist. (Insofern meine ich eben nicht “an einem bestimmten Punkt”.)

    Wenn du auf der Autobahn fährst, vor dir ist ein Hügel, wo die ein Stück der Strecke nicht siehst, und danach siehst du die Autobahn in eine andere Richtung weiterlaufen, musst du auch nicht erst zum Hügel fahren um zu wissen, dass die Autobahn einen Knick macht. Wenn Serena bei der Erde in Richtung AC losfliegt, dann weiß sie, dass eine gerade Bahn sie niemals wieder zurück zur Erde führen kann. Wenn sie irgendwann wieder auf der Erde ist, weiß sie sicher, dass sie sich nicht auf einer geraden Weltlinie bewegt hat – egal ob sie während der Beschleunigungsphase bewusstlos war oder sonst etwas. Damit weiß sie, dass sie sich nicht auf einer Linie maximaler Eigenzeit bewegt hat.

  48. #48 Tox
    6. Juli 2018

    @MartinB

    Da es aber auch raumartige (oder lichtartige) Linien gibt, sehe ich das Konzept “Beschleunigung” nicht als fundamental an.

    Naja, für rein zeitartige Kurven ist die Beschleunigung einfach die zweite Ableitung des Ortes nach der Eigenzeit. Das lässt sich leicht auf solche Kurven verallgemeinern, die nirgends lichtartig sind. Und auch im lichtartigen Fall dürfte (wenn ich mich nicht täusche) zumindest die Unterscheidung “Beschleunigung gleich oder ungleich null” wohldefiniert sein.

    Warum kann ich nicht herausfinden, ob eine Linie einen Knick hat, indem ich an einem punkt ne tangente anlege, von dort aus mit einer Geraden Verlängere und prüfe, ob alle Punkte (in unserem Fall insbesondere der Endpunkt) auf der Linie liegt.

    Wie konstruiert man eine solche Tangente, oder allgemeiner: wie konstruiert man eine Gerade? Einfach die Kurve extremaler Länge zwischen zwei festen Endpunkten zu wählen finde ich äußerst unbefriedigend. Zum einen ist das praktisch natürlich nicht realisierbar (man kann schlecht alle überabzählbar vielen Kurven durchgehen), zum anderen ist es nicht lokal. Alternativ kann man die Geodätengleichung lösen, aber das würde ja wieder auf die Beschleunigung führen…

    Wenn du auf der Autobahn fährst, vor dir ist ein Hügel, wo die ein Stück der Strecke nicht siehst, und danach siehst du die Autobahn in eine andere Richtung weiterlaufen, musst du auch nicht erst zum Hügel fahren um zu wissen, dass die Autobahn einen Knick macht.

    Hier geht als Annahme ein, dass sich Licht auf geraden Linien ausbreitet, d.h. unbeschleunigt.

    Wenn Serena bei der Erde in Richtung AC losfliegt, dann weiß sie, dass eine gerade Bahn sie niemals wieder zurück zur Erde führen kann.

    Hier geht als Annahme ein, dass sich die Erde auf einer geraden Linie bewegt (und dass sich nicht identische gerade Linien höchstens einmal schneiden).

  49. #49 MartinB
    6. Juli 2018

    @Tox
    Irgendwie werde ich immer verwirrter:
    “Hier geht als Annahme ein, dass sich Licht auf geraden Linien ausbreitet, d.h. unbeschleunigt.”
    Ja, und davon gehst du doch in der Realität aus. Du kannst meinetwegen auch euklidische Geometrie in der Ebene betreiben, da kannst du auch entscheiden, ob drei Punkte kollinear sind oder nicht.

    Ich versuch’s mal andersrum:
    1. Sind wir uns einig, dass die Frage, ob drei Punkte in der Ebene kollinear sind (ganz normal im euklidischen Raum) beantwortet werden kann, sobald man das Konzept “gerade Linie” definiert hat?
    2. Sind wir uns einig, dass die Definition einer “Geraden” in der ebenen Geometrie fundamental ist? (Siehe Euklids 1. und 2. Axiom von hier:
    https://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Geometrie)

  50. #50 Tox
    6. Juli 2018

    Ja, und davon gehst du doch in der Realität aus.

    Mir ging es darum, dass du in diesem Beispiel Licht verwendest um Geraden zu realisieren. Dass das funktioniert ist meiner Meinung nach keine Trivialität, sondern eine Aussage mit physikalischem Gehalt (und daher experimentell überprüfbar und zu überprüfen).

    1. Sind wir uns einig, dass die Frage, ob drei Punkte in der Ebene kollinear sind (ganz normal im euklidischen Raum) beantwortet werden kann, sobald man das Konzept “gerade Linie” definiert hat?

    Ja, wenn wir z.B. gegeben haben, dass durch zwei unterschiedliche Punkte genau eine Gerade geht, und dass feststellbar ist, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt.

    2. Sind wir uns einig, dass die Definition einer “Geraden” in der ebenen Geometrie fundamental ist?

    Ich bin mir nicht sicher, ob wir uns da einig sind.

    Ja, man kann mit den Euklidischen Axiomen eine Geometrie aufbauen. Und wenn man noch ein paar Axiome dazu nimmt, kann man im Grunde den R^2 mit der üblichen Vektorraumstruktur herleiten. Alternativ kann man mit dem R^2 als Punktemenge starten, definieren was Geraden sind, und dann die Euklidischen Axiome herleiten (bzw. zeigen dass diese erfüllt sind). Beide Herangehensweisen sind also im Prinzip äquivalent. Persönlich würde ich den R^2 als das fundamentalere Objekt ansehen und die Geraden als eine Konstruktion darauf.

  51. #51 MartinB
    6. Juli 2018

    @Tox
    “dass du in diesem Beispiel Licht verwendest um Geraden zu realisieren. ”
    Das spielt für das Beispiel ja keine Rolle, du kannst die Geradheit ja auch anders messen (lineal oder sonstwie).

    ” Persönlich würde ich den R^2 als das fundamentalere Objekt ansehen und die Geraden als eine Konstruktion darauf.”
    Das soll mir recht sein. Wie genau definierst du eine Gerade im R^2? Über eine lineare Beziehung? (Alle Punkte der Form a + s*b, mit a und b Vektoren?)

    Können wir dann mit diesen Definitionen problemlos feststellen, ob drei Punkte auf einer Geraden liegen?

    Wenn ja, warum gilt das deiner Ansicht nach im Minkowski-Raum nicht, wo die Situation bis auf die andere Metrik doch genau identisch ist?

  52. #52 Tox
    6. Juli 2018

    @MartinB

    Das spielt für das Beispiel ja keine Rolle, du kannst die Geradheit ja auch anders messen (lineal oder sonstwie).

    Es spielt schon eine Rolle. Wenn ich mich richtig erinnere, wolltest du mit dem Beispiel zeigen, wie man eine gegebene Kurve auf “Geradheit” testen kann, ohne auf Änderungen der Geschwindigkeit entlang der Kurve zu testen. Und im Prinzip verschiebst du das Problem nur, indem du die zu testende Kurve mit einer anderen Kurve vergleichst. Dass diese Vergleichskurve aber eine Gerade ist, zeigst du nicht.

    Wie genau definierst du eine Gerade im R^2? Über eine lineare Beziehung?

    Gerne.

    Können wir dann mit diesen Definitionen problemlos feststellen, ob drei Punkte auf einer Geraden liegen?

    Ja. (Wenn die Koordinaten der Punkte bekannt sind.)

    Wenn ja, warum gilt das deiner Ansicht nach im Minkowski-Raum nicht, wo die Situation bis auf die andere Metrik doch genau identisch ist?

    Ich bin mir nicht sicher, ob ich das exakt so behauptet habe.

    Das Problem diesen Kolinearitätstests beim Zwillingsparadoxon direkt anzuwenden ist, dass wir ja die Koordinaten der drei Ereignisse — Start bei der Erde, Wende bei Alpha Centauri, Ankunft an der Erde — benötigen. Es bietet sich natürlich an, die Ortskoordinaten des ersten und dritten Ereignisses identisch zu wählen, aber mit dieser Wahl setzt man ja schon voraus, dass sich Teresa auf einer Geraden bewegt.

  53. #53 Niels
    7. Juli 2018

    @MartinB @Tox
    Ich verstehe euer Problem nicht.

    In der Riemannsche Geometrie ist (vereinfacht zusammengefasst) äquivalent:
    1) Eine Kurve ist die kürzeste Verbindungslinie
    2) Eine Kurve erfüllt die Geodätengleichung (d.h. die “Beschleunigung” ist Null.)

    MartinB, du findet es besonders intuitiv, wenn man sich 1) anschaut, richtig?

    Tox, du bist der Meinung, man müsse dringend [stattdessen? auch?] 2) betrachten, 1) alleine empfindest du als unvollständig zur Beschreibung?

    Wir sind uns schon einig, dass 1) und 2) äquivalent sind und daher beide als Definition für den Geodäten-Begriff verwendet werden können, oder?
    Damit ist weder 1) grundlegender als zwei 2) noch 2) als 1), korrekt?

    Worüber genau seit ihr jetzt unterschiedlicher Meinung?

  54. #54 Niels
    7. Juli 2018

    Nachtrag:

    “Die Beschleunigung verschwindet nicht, nur weil man sie in einem Delta-Peak versteckt.”
    Stimmt schon, habe auch ne Weile gezögert, ob ich das schreiben soll. Die Tatsache, dass Serenas Gesamtlänge genau gleich der Summe der beiden Teillängen ist, ohne (oder mit beliebig wenig) Einfluss durch den “Knick” zeigt für mich aber schon, dass der Knick letztlich egal ist (und das wäre bei der Punktladung ja nict so)Punktladung ja nict so).

    Nö, der Knick ist nicht egal.
    Nach 2) ist er genau der Grund, dass die Kurve die Geodätengleichung nicht erfüllt und damit keine Geodäte sein kann.
    Er ist also absolut entscheidend.

    Man kann aber natürlich auch über die äquivalente Aussage 1) abwägen, ob eine Geodöte vorliegt.
    Dann sind die von dir genannten Aspekte zu prüfen.

    Für mich ist der Knackpunkt der: Es gibt gerade und gekrümmte Linien in der Mikowski-Raumziet. Ob eine Linie gerade oder gekrümmt ist, ist eine rein geometrische Frage.
    Einige Linien (die zeitartigen) können auch Weltlinien sein, wenn man sich auf einer zeitartigen Weltlinie bewegt, ist eine Linie genau dann gerade, wenn man sich mit konstanter Geschwindigeit bewegt. Da es aber auch raumartige (oder lichtartige) Linien gibt, sehe ich das Konzept “Beschleunigung” nicht als fundamental an.

    Wieder das Gleiche.
    Auch raumartige und lichtartige Kurven erfüllen natürlich sowohl 1) als auch 2), wenn sie Geodäten sind.
    Keine der äquivalenten Definitionen kann doch grundlegender sein.
    Der Parameter “Beschleunigung” in 2) hat dann einfach nichts mehr mit dem Bewegungszustands eines Körpers zu tun und sollte anders genannt werden. Dadurch wird aber doch 1) trotzdem nicht grundlegender als 2).

    Wobei das aber selbstverständlich eine “rein geometrische Frage” ist, solange wir nur die Mathematik betrachten. Es geht schließlich den mathematischen Teilbereich der riemannschen Geometrie.

    Experimentell könnte man unterscheiden, dass man für einen Test von 1) die Eigenzeit und für einen Test von 2) die Beschleunigung messen sollte.
    Da beides mathematisch äquivalent ist, ist so eine Abgrenzung aber eigentlich nicht so wahnsinnig weiterführend.
    Für raum- und lichtartige Kurven natürlich erst recht nicht.

    “Ja. Sofern du mit “den Knick einer Linie herausfinden” meinst “feststellen, ob eine Kurve an einem bestimmten Punkt einen Knick hat”.”
    Warum kann ich nicht herausfinden, ob eine Linie einen Knick hat, indem ich an einem punkt ne tangente anlege, von dort aus mit einer Geraden Verlängere und prüfe, ob alle Punkte (in unserem Fall insbesondere der Endpunkt) auf der Linie liegt

    Das kannst du natürlich, allerdings ist das doch ganz exakt ein Test darauf, ob die Linie die Geodätengleichung erfüllt?
    Kann also nicht zeigen, dass 1) gegenüber 2) zu bevorzugen ist?

  55. #55 MartinB
    7. Juli 2018

    @Niels
    “2) Eine Kurve erfüllt die Geodätengleichung (d.h. die “Beschleunigung” ist Null.) ”
    Jein. Denn auch eine raumartige Kruve kann eindeutig als gerade oder gekrümmt gemessen werden, ohne dass da irgendwas beschleunigt.
    “Auch raumartige und lichtartige Kurven erfüllen natürlich sowohl 1) als auch 2), wenn sie Geodäten sind.”
    Aber bei ner raumartigen Kurve ergibt es doch keinen Sinn, von einer Beschleunigung zu reden?

    @Niels und Tox
    Ich versuche nochmal, die Analogie im raum schärfer zu fassen:
    Wir haben ein Dreieck im Raum mit Hypothenuse AB und drittem Punkt C. Wir legen jetzt drei absolut gerade Stahldrähte entlang der drei Seiten und sehen, dass die drähte AC und CB zusammen länger sind als AB. Jetzt nehme ich einen vierten Draht, der so lang ist wie AC und CB zusammen. Ich mache mit der Zange einen Knick in diesen vierten Draht und lege ihn passend auf das Dreieck.
    Niemand würde vermutlich sagen, dass es der Eingriff der Zange war, der dafür sorgt, dass dieser Draht länger ist als AB.

    Die Sprechweise “Die Beschleunigung ist verantwortlich” suggeriert aber in meinen Augen genau das in der Raumzeit – wird ja gern noch mit den Effekten der Beschleunigung illustriert, “Serena wird in ihren Sitz gedrückt” usw. Das wäre dann so, als würde ich sagen: “Dass der Draht ACB länger ist als AB liegt daran, dass ich ihn mit der Zange verbogen habe, das merkt man ja auch daran, dass ich dazu eine Kraft brauche.”

    Das ist vielleicht mein Problem mit dem Begriff der Beschleunigung hier: Beschleunigung erfordert (in der SRT) eine Kraft – wer also sagt, “Ich brauche eine Beschleunigung” sagt, “ich brauche eine Kraft”, und das klingt so, also würde diese Beschleunigung oder Kraft dann irgendwie die Länge der Weltlinie beeinflussen oder verändern. Auch um die Frage zu beantworten, ob eine Linie eine Geodäte ist, brauche ich keine Kräfte oder Beschleunigungen zu messen (mit nem Beschleunigungssensor oder so), ich kann einfach die Punkte auf der Linie geometrisch auswerten. Für mich ist der Begriff “Beschleunigung” eher ein physikalischer Begriff, kein mathematischer.

    Vielleicht seht Ihr das einfach anders oder trennt das weniger strikt, und deshalb sind wir uns in der Interpretation nicht einig.

  56. #56 MartinB
    7. Juli 2018

    PS:
    Wie wäre es denn, wen ich Serena durch ein Lichtsignal ersetze, das bei Alpha Centauri an einem Spiegel reflektiert wird? Würdet ihr dann auch sagen: “Dass die Eigenzeit des Lichtsignals auf dem Weg Erde-AC-Erde gleich Null ist, liegt an der Beschleunigung bei AC” statt “Dass die Eigenzeit des Lichtsignals Null ist, liegt daran, dass es aus zwei Stücken mit Eigenzeit Nullzusammengesetzt ist?”

  57. #57 MartinB
    7. Juli 2018

    PPS @Niels (Sorry, aber im Kopf rotiert es gerade):
    Was die Geodätengleichung angeht: Ist es nich tmathematisch klarre zus agen, die Geodätengleichung enthält die zweite Ablewitung nach einem affinen Parameter, der die Kurve parametrisiert? In manchen Fällen (zeitartig) ist es möglich, die Zeit als affinen Parameter zu nehmen, und wenn man das tut, dann kann man diese Größe mit der Beschleunigung identifizieren – aber ich kann die Kurve ja auch aders parametrisieren oder ne raumartige Kurve nehmen, und die Geodätengleichung funktioniert trotzdem.

    Und schließlich
    PPPS @Niels und Tox
    Ich wollte nur nochmal sagen, dass ich die Diskussion sehr interessan tfinde. Es geht mir auch nicht darum euch zu zeigen, dass ich “recht” habe (hab ich natürlich ;.) ), sondern ich möchte gern möglichst genau verstehen, wo unsere Intuitionen auseinanderlaufen. Ich finde es immer wieder faszinierend, dass unterschiedliche Personen dieselben physikalischen Gleichungen, Begriffe und Phänomene anscheinend manchmal doch intuitiv etwas anders interpretieren/assoziieren.

  58. #58 erik||e oder wie auch immer . . . ..
    7. Juli 2018

    @MartinB
    „Intuitiv interpretieren/assoziieren . . . ..“ :)
    . . . .. zur Zeit können Sie sich Inspiration bei Politikern wie Seehofer holen. Es scheint, das eine Sachlage interpretiert wird, die Logik in Bezug zur Sachlage fehlt, aber auf emotionaler Ebene (Bezugswechsel – vielleicht in eine Geometrie von emotionaler Wechselwirkung) irgendwelche Deals ausgehandelt werden, welche für die Öffentlichkeit nicht „messbar“/sichtbar werden.
    . . . .. dann heben Sie Bewusstsein nicht in eine physikalische/mathematische Ebene – und somit fehlt die damit verbundene Intuition
    . . . .. Sie suchen nach einem Phänomen, welches Sie mir gelegentlich vorgeworfen haben :)

  59. #59 Niels
    7. Juli 2018

    @MartinB

    Was die Geodätengleichung angeht: Ist es nich tmathematisch klarre zus agen, die Geodätengleichung enthält die zweite Ablewitung nach einem affinen Parameter, der die Kurve parametrisiert? In manchen Fällen (zeitartig) ist es möglich, die Zeit als affinen Parameter zu nehmen, und wenn man das tut, dann kann man diese Größe mit der Beschleunigung identifizieren – aber ich kann die Kurve ja auch aders parametrisieren oder ne raumartige Kurve nehmen, und die Geodätengleichung funktioniert trotzdem

    Doch, natürlich.

    Ich schrieb ja auch:
    Auch raumartige und lichtartige Kurven erfüllen natürlich sowohl 1) als auch 2), wenn sie Geodäten sind. […]
    Der Parameter “Beschleunigung” in 2) hat dann einfach nichts mehr mit dem Bewegungszustands eines Körpers zu tun und sollte anders genannt werden.

    Da sowohl Tox als auch du mehrmals Beschleunigung in Anführungszeichen verwendet habt, bin ich davon ausgegangen, dass ihr euch damit stillschweigend darauf geeinigt habt, die zweite Ableitung dieses affinen Parameter einfach immer “Beschleunigung” zu nennen.

    Wenn das nicht so gemeint war, welche Bedeutung haben dann jeweils die Anführungszeichen um Beschleunigung?

    Für mich ist der Begriff “Beschleunigung” eher ein physikalischer Begriff, kein mathematischer.

    Na ja, mathematisch ist eine Geodäte nach 2) eine Kurve, in der jeder Tangentialvektor zum parallel (entlang der Kurve) verschobenen Tangentialvektor gleich ist.
    Das kann man jetzt noch über die Definition der Parallelverschiebung umformulieren, also mit Hilfe eines affinen Parameter und der kovarianten Ableitung.

    Für zeitartige Kurven übersetzen sich die kovarianten Ableitungen dieses affinen Parameters eben in das Geschwindigkeitsvektorfeld, das für Geodäten längs der Kurve konstant ist und in die Beschleunigung, die Null sein muss.

    Da steckt meiner Meinung nach noch keine Physik drin.

    Klar, man muss voraussetzen, dass unsere pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit eine Zeit-Dimension hat.
    Aber wenn wir das nicht tun, können wir auch nicht zwischen licht-, raum- und zeitartig unterscheiden oder überhaupt sinnvoll über Licht und Bewegung sprechen.

    Niemand würde vermutlich sagen, dass es der Eingriff der Zange war, der dafür sorgt, dass dieser Draht länger ist als AB.

    Na ja, das Beispiel mit der Zange ist aber nur intuitiv, weil es hier keine Zeitdimension gibt.
    Dann gibt es in 2) natürlich auch keine Ableitungen nach einer Zeit und keine Beschleunigung.

    Übersetzt auf die Raumzeit vergleichst du in deinem Beispiel die Länge einer zeitartigen Kurve mit der einer nicht-zeitartigen Kurve.

    Menschen, die die Sprechweise “Die Beschleunigung ist verantwortlich” verwenden, vergleichen aber natürlich immer ausschließlich zeitartige Kurven mit anderen zeitartigen Kurven.

    Die Sprechweise “Die Beschleunigung ist verantwortlich” suggeriert aber in meinen Augen genau das in der Raumzeit

    Ich reite hier ja die ganze Zeit auf der Äquivalenz der beiden Aussagen herum.
    Jetzt können wir uns darüber streiten, ob eine Äquivalenz von A und B bedeutet, dass A verantwortlich für B ist.
    Meiner Meinung nach eher nicht, aber “verantwortlich” ist mathematisch auch gar nicht sauber definiert, oder? 😉

    “Ich brauche eine Beschleunigung” sagt, “ich brauche eine Kraft”, und das klingt so, also würde diese Beschleunigung oder Kraft dann irgendwie die Länge der Weltlinie beeinflussen oder verändern.

    Ich würde “Ich brauche eine Beschleunigung” erst einmal so verstehen, dass eine Beschleunigung vorhanden sein muss. (Und sei sie irgendwie in einer Unstetigkeit versteckt.)
    Das ist für zeitartige Kurven ja auch immer so.
    (Für andere Kurven muss eben die zweite Ableitung eines passend gewählten Parameters irgendwo nicht verschwinden.)

    Wenn wir uns zeitartige Kurven und damit Bewegungen von Körpern anschauen:
    Was ist denn die Ursache, dass sich Körper nicht auf Geodäten bewegen, wenn nicht eine Beschleunigung und damit eine Kraft?
    (Für nicht-zeitartige Kurven haben wir dafür einfach nicht das passende intuitiv verständliche Vokabular, weil solche Kurven für unsere Alltagsumgebung eben keinerlei Rolle spielen.)

    Immer dann, wenn eine Kraft bzw. eine Beschleunigung vorliegt, ist eine Weltlinie länger als eine Geodäte zwischen zwei Ereignissen auf der Weltlinie.

    Warum kann man dann nicht sagen,
    diese Beschleunigung oder Kraft würde dann irgendwie die Länge der Weltlinie beeinflussen oder verändern”?
    Was beeinflusst oder verändert die Weltlinie des Körpers denn sonst weg von der geodätischen Linie?

    Auch um die Frage zu beantworten, ob eine Linie eine Geodäte ist, brauche ich keine Kräfte oder Beschleunigungen zu messen (mit nem Beschleunigungssensor oder so), ich kann einfach die Punkte auf der Linie geometrisch auswerten.

    Nein, man muss keine Kräfte oder Beschleunigungen messen. Man kann aber.

    Ich sage ja gerade nicht, dass 2) fundamentaler als 1) wäre.
    Man muss eben auch nicht die Punkte auf der Linie geometrisch auswerten.

    Warum findest du es “physikalischer”, eine Kraft bzw. Beschleunigung zu messen als eine Strecke oder eine Zeit?

    Geht es nur darum, dass man für 2) die Zusatzannahme treffen muss, dass die Ableitung nach der Zeit eine Geschwindigkeit ist und die Ableitung der Geschwindigkeit eine Beschleunigung?

    Okay, diese Zusatzannahme braucht man für 1) nicht, aber das ist schon ein sehr philosophischer Unterschied, oder?
    .

    PS:

    Würdet ihr dann auch sagen: “Dass die Eigenzeit des Lichtsignals[…]

    Ich bin mal Gentleman und ignoriere, dass du eine angebliche Eigenzeit von Licht erwähnt hast. 😉
    .

    PPS:

    ich möchte gern möglichst genau verstehen, wo unsere Intuitionen auseinanderlaufen

    Tun sie aber gar nicht.
    Mit deinem Artikel habe ich überhaupt kein Problem. Ich habe eben nur nicht verstanden, worüber Tox und du euch uneinig wart.

    Ich glaube mittlerweile, Tox findet es einfach nicht hilfreich oder weniger intuitiv, Kurven zu betrachten, die nicht zeitartig sind. Richtig, Tox?
    Da dagegen findest es nicht hilfreich oder weniger intuitiv, überhaupt über Beschleunigung zu sprechen, weil du auch nicht zeitartige Kurven betrachten willst, für die man eben keine physikalisch sinnvolle “Beschleunigung” definieren kann. Richtig?

    Ich vertrete da eher eine dritte Position.
    In der Regel ist es nicht besonders sinnvoll, über nicht zeitartige Kurven zu sprechen. Allerdings sind lichtartige Kurven dann doch manchmal ne schicke Sache. Man läuft nur eben schnell in Gefahr, dass es dann unanschaulich wird, weil wir eben kein Bauchgefühl für solche Kurven haben.

  60. #60 MartinB
    7. Juli 2018

    @Niels
    “Da sowohl Tox als auch du mehrmals “Beschleunigung” in Anführungszeichen verwendet habt, bin ich davon ausgegangen, dass ihr euch damit stillschweigend darauf geeinigt habt, die zweite Ableitung dieses affinen Parameter einfach immer “Beschleunigung” zu nennen.”
    Aha – ich sag#s ja, immer wieder interessant zu sehen,w ie unertschiedliche Leute diesleben Begriffe nutzen. Nein, auf die Idee, die Ableitung nach irgendeinem affinen Parameter “Beschleunigung” zu nennen, würde ich nicht kommen, weil das ja mit der physikalischen Beschleunigung nix zu tun hat.

    “Da steckt meiner Meinung nach noch keine Physik drin. ”
    Naja, von einer Geschwindigkeit würde ich erst reden, wenn es tatsächlich ein objekt gibt, dass sich auf der Weltlinie bewegt.

    “Na ja, das Beispiel mit der Zange ist aber nur intuitiv, weil es hier keine Zeitdimension gibt.
    Dann gibt es in 2) natürlich auch keine Ableitungen nach einer Zeit und keine Beschleunigung.”
    Das verstehe ich jetzt nicht mehr. Zum einen gibt es genauso einen affinen Parameter wie in der Raumzeit, zum anderen brauche ich nur ins Blockuniversumsbild zu gehen, und der Unterschied verschwindet.

    “Was beeinflusst oder verändert die Weltlinie des Körpers denn sonst weg von der geodätischen Linie?”
    Natprlich brauche ich eine echte, physikkalische Beschleunigung, um einen Körper von einer Geodäte zu entfernen, das ist klar. Aber diese Beschleunigung sorgt eben nur dafür, dass die Weltlinie des Körpers nicht mehr eine Geodäte ist, ich würde die nicht verantwortlich für die Zeitdilatation machen. (siehe unten)

    “Warum findest du es “physikalischer”, eine Kraft bzw. Beschleunigung zu messen als eine Strecke oder eine Zeit?”
    In dem Sinne, dass ich eine Kraft auf ein bestimmtes Objekt messen muss – eine Strecke kann ich aus mehreren Streckenstücken zusammensetzen, von denen keine dem Weg eines Objekts entspricht, von denen einige raum- andere zeitartig sind usw.

    “Ich bin mal Gentleman und ignoriere, dass du eine angebliche Eigenzeit von Licht erwähnt hast. ”
    Du hast oben selbst von lichtartigen Linien gesprochen. Nenn’ es nicht “Eigenzeit” sondern einfach “raumzeitliche Länge”, wenn dir das lieber ist.

    “Da dagegen findest es nicht hilfreich oder weniger intuitiv, überhaupt über Beschleunigung zu sprechen, weil du auch nicht zeitartige Kurven betrachten willst, für die man eben keine physikalisch sinnvolle “Beschleunigung” definieren kann. Richtig?”
    Oder weil man auch drei Brüder haben kann, bei denen auch nichts beschleunigt, oder sonstige beliebige Konstruktionen, richtig. Wenn Dinge wie Zeitdilatation eine Eigenschaft der Geometrie der Raumzeit sind, dann sind sie unabhängig davon, ob konkrete physikalische Objekte die jeweiligen Linien abklappern oder nicht, das ist mein punkt.

    “In der Regel ist es nicht besonders sinnvoll, über nicht zeitartige Kurven zu sprechen. ”
    Wirklich nicht? Aber Entfernungen, die man zu einer Zeit misst, sind doch genau das und sind doch ziemlich wichtig, oder nicht? Wen wir uns fragem, wie groß das beobachtbare Universum ist oder so, reden wir doch genau über den raumartigen Abstand von Punkten.

    @Tox und Niels
    Ich mach das noch mal an einem anderen Beispiel fest. Zusätzlich zu Serena nehmen wir noch Uhura hinzu. Die startet ein paar Lichtjahre von der Erd entfernt genau gegenüber von Alpha centauri, fliegt mit konstanter Geschwindigkeit an der Erde vorbei und weiter nach AC, wo sie dann umkehrt. Beim trip Erde-AC-Erde fliegt sie genau parallel zu Serena, auch ihre Beschleunigung bei AC ist exakt dieselbe. Trotzdem hat sie am Ende ne andere /größere) zeitdilatation gegenüber ihrer Zwillingsschwester. Dieselbe Beschleunigung ist also in dieser Sprechweise verantwortlich für zwei ganz unterschiedliche Größen der Zeitdilatation. Das finde ich schon seltsam…

    @Tox
    Hast du Beschleunigung auch wie Niels schlicht als Ableitung nach nem affinen Parameter gemeint?

  61. #61 Niels
    7. Juli 2018

    @MartinB

    Welche Bedeutung hatten denn dann deine Anführungszeichen um Beschleunigung?

    Wirklich nicht? Aber Entfernungen, die man zu einer Zeit misst, sind doch genau das und sind doch ziemlich wichtig, oder nicht?

    Ja, das war totaler Schwachsinn. Offenbar wollte mein Gehirn kurzzeitig nicht mehr verstehen, was eigentlich raumartige Kurven sind. Ist ja auch ziemlich schwer, der Name liefert schließlich überhaupt keinen Hinweis…

    auf die Idee, die Ableitung nach irgendeinem affinen Parameter “Beschleunigung” zu nennen, würde ich nicht kommen

    Ich dagegen bin aus irgendwelchen Gründen nicht darauf gekommen, dass du mit der Eigenzeit des Lichtsignals einfach auf das Linienelement hinaus wolltest und habe deswegen die ganze Argumentation nicht mehr verstanden.
    Da hat mich der (rein formal falsch verwendete) Begriff völlig verwirrt, obwohl es eigentlich hätte klar sein müssen, dass das einfach nur ein bisschen flapsig ausgedrückt war.

    Du hast oben selbst von lichtartigen Linien gesprochen. Nenn’ es nicht “Eigenzeit” sondern einfach “raumzeitliche Länge”, wenn dir das lieber ist.

    Sorry.
    Wie gesagt, ich hab einfach nicht kapiert, was gemeint war.

    Naja, von einer Geschwindigkeit würde ich erst reden, wenn es tatsächlich ein objekt gibt, dass sich auf der Weltlinie bewegt.

    Kann man so vertreten, finde ich auch einleuchtender.
    Ich kann aber auch verstehen, wenn man den Standpunkt vertritt, dass man auch nur dann von Eigenzeit und Zeitdilatation sprechen sollte, wenn es Objekte gibt.

    Wenn Dinge wie Zeitdilatation eine Eigenschaft der Geometrie der Raumzeit sind, dann sind sie unabhängig davon, ob konkrete physikalische Objekte die jeweiligen Linien abklappern oder nicht, das ist mein punkt.

    Sind sie das denn?

    Ganz allgemein kann man die SRT doch auch als “relational theory” (wie heißt das auf Deutsch?) auffassen.
    Dann sind eben nur Objekte und die Abstände, Geschwindigkeiten usw. von Objekten relativ zu anderen Objekten das Fundamentale.
    https://en.wikipedia.org/wiki/Relational_theory

    Erst für die ART bekommt man mit dieser Sichtweise Probleme.

    Die Sichtweise mit Hilfe der Geometrie der Raumzeit ist damit zumindest in der SRT nicht richtiger oder weniger richtig als die Sichtweise über Körper und Beschleunigungen.

    Welche Sichtweise fürs Verständnis brauchbarer ist, ist wieder eine ganz andere Frage.

    Natprlich brauche ich eine echte, physikkalische Beschleunigung, um einen Körper von einer Geodäte zu entfernen, das ist klar. Aber diese Beschleunigung sorgt eben nur dafür, dass die Weltlinie des Körpers nicht mehr eine Geodäte ist, ich würde die nicht verantwortlich für die Zeitdilatation machen

    Mir ist wie schon im letzten Post erwähnt nicht ganz klar, was du eigentlich mit verantwortlich meinst.

    Wenn man den zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit kennt, kann man die Eigenzeit und die Zeitdilatation berechnen.
    Den zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit kann man aber natürlich auch mit Hilfe des zeitlichen Verlaufs der Beschleunigung (plus Randbedingung) ausdrücken.

    Ist die Geschwindigkeit verantwortlich für Eigenzeit und Zeitdilatation?
    Ist die Beschleunigung zusammen mit der Anfangsgeschwindigkeit verantwortlich?
    Wäre für mich eine eher seltsame Aussage.

    Ich kann die Eigenzeit aber auch rein geometrisch mit Hilfe des Linienelements berechnen, dann braucht man weder Geschwindigkeiten noch Beschleunigung.

    Ist das Linienelement und damit die Kurvenlänge verantwortlich für Eigenzeit und Zeitdilatation?
    Wäre für mich eine ebenfalls seltsame Aussage.

    Trotzdem hat sie am Ende ne andere /größere) zeitdilatation gegenüber ihrer Zwillingsschwester. Dieselbe Beschleunigung ist also in dieser Sprechweise verantwortlich für zwei ganz unterschiedliche Größen der Zeitdilatation.

    Was ist denn jetzt deiner Sprechweise nach ganz genau das Verantwortliche für die unterschiedlichen Eigenzeiten?
    (Wenn du allgemein mit “die Geometrie der Raumzeit” antwortest, antworte ich auch allgemein.
    Nicht die Beschleunigung ist verantwortlich, sondern die Form der Relativbewegungen der Zwillingsschwestern zueinander. (Unter Berücksichtigung der Konsequenzen des Prinzips der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit.))
    .

    PS:
    Ich glaube nicht, das wir besonders weit auseinander liegen.
    Vermutlich hakt es nur daran, dass wir uns über die Bedeutung eines bestimmten Begriffes nicht einig sind und es nicht merken.

  62. #62 MartinB
    8. Juli 2018

    @Niels
    Ich habe “Beschleunigung” eigentlich doch nur in Anführungsstriche gesetzt, wenn ich über den Begriff geredet habe – es solte an der Stelle nur verdeutlichen, dass ich die Definition des Begriffs meine.

    Ja, das war totaler Schwachsinn.

    Sowas würde mir natürlich *nie* passieren, absolut *nie* [unschuldig pfeif]

    Ich dagegen bin aus irgendwelchen Gründen nicht darauf gekommen, dass du mit der Eigenzeit des Lichtsignals einfach auf das Linienelement hinaus wolltest und habe deswegen die ganze Argumentation nicht mehr verstanden.

    Mcht ja nix. Würdest du denn nun sagen, dass ein Lichtsignal an einem Spiegel beschleunigt wird?

    Die Sichtweise mit Hilfe der Geometrie der Raumzeit ist damit zumindest in der SRT nicht richtiger oder weniger richtig als die Sichtweise über Körper und Beschleunigungen.

    Stimmt. Aber wie du schon sagst, erstens ist es in der ART wesentlich einfacher, es so zu sehen. Zweitens ist es meiner Ansicht nach auch in der SRT wesentlich einfacher, Die Rrelationen zwischen Ereignissen schlicht als geometrisch aufzufassen, so wie wir es auch im Raum tun. Dann sieht man Dinge wie das zwillingspardoxon sofort (siehe meinen letzten Artikel). Da sind wir uns ja anscheinend einig, wenn ich diesen Satz “Welche Sichtweise fürs Verständnis brauchbarer ist, ist wieder eine ganz andere Frage.” richtig verstehe. Und man sieht eben, dass es nicht der physikalische Prozess der Beschleunigung ist, der für’s Zwillingsparadoxon entscheidend ist (im Sinne von: da müssen Kräfte wirken etc.), sondern nur die Tatsache, dass wir eine Linie betrachten, die aus zwei Stücken zusammengesetzt ist, egal wie.

    Ist das Linienelement und damit die Kurvenlänge verantwortlich für Eigenzeit und Zeitdilatation?
    Wäre für mich eine ebenfalls seltsame Aussage.

    Würde ich eigentlich schon so sehen.

    Worum es mir eigentlich geht ist, dass die Aussage “das zwillingsparadoxon wird dadurch erklärt, dass Serena beschleunigen muss” suggeriert, dass Beschleunigungen per se den zeitablauf beeinflussen. Dass das nicht funktioniert, habe ich in dem Beispiel mit Uhura am Ende von #60 ja nochmal deutlich zu machen versucht, und das ist ja auch die Idee hinter dem 3-Brüder-Argument.

    Was ist denn jetzt deiner Sprechweise nach ganz genau das Verantwortliche für die unterschiedlichen Eigenzeiten?

    Das gleiche, was dafür verantwortlich ist, dass die beiden Katheten eines Dreiceks zusammen länger sind als die Hypothenuse. Ich würde in der Tat von der Geometrie reden, oder, wenn’s konkreter sein soll, von der Metrik der Raumzeit.

    Nicht die Beschleunigung ist verantwortlich, sondern die Form der Relativbewegungen der Zwillingsschwestern zueinander.

    “Form der Relativbewegung” finde ich etwas unscharf, aber prinzipiell find eich den Satz o.k.

    Vermutlich hakt es nur daran, dass wir uns über die Bedeutung eines bestimmten Begriffes nicht einig sind und es nicht merken.

    Hakt es denn jetzt noch? Ich verstehe dich so, dass du nicht ganz so dogmatisch wie ich die Raumzeit-Geometrie in den Vordergrund stellen würdest, weil man die SRT prinzipiell auch ohne Raumzeit-Geometrie erklären/formulieren kann, soll ein gewisser Herr Einstein ja auch mal so gemacht haben. Kann ich akzeptieren, aber für mich ist die geometrische Sichtweise wesentlich einleuchtender und intuitiver und macht insbesondere aus Dingen wie dem Zwillingsparadoxon kein Geheimnis, die wir im Raum (Dreiecksungleichung) auch selbstverständlich akzeptieren.

  63. #63 erik||e oder wie auch immer . . . ..
    8. Juli 2018

    * „Geometrie der Raumzeit“ [+1] -> [Mathematik]
    * „Nicht die Beschleunigung“ [-1] -> [Physik] „ist verantwortlich, sondern die Form der Relativbewegungen der Zwillingsschwestern zueinander“
    * Exp(i*π) = [-1] und statische Form der Geometrie der Raumzeit [+1] ergeben in ihren Beträgen immer [=0]
    * [=0] ist die Bedingung für c=const . . . .. und dem Energieerhaltungssatz :)

    Interessant ist: Warum hat sich dieses Gleichgewicht gebildet und zu unserem Universum entwickelt?

    PS: Alles in „“Gesetztes sind Zitate aus #62.

  64. #64 Niels
    8. Juli 2018

    @MartinB

    Ich habe “Beschleunigung” eigentlich doch nur in Anführungsstriche gesetzt, wenn ich über den Begriff geredet habe – es solte an der Stelle nur verdeutlichen, dass ich die Definition des Begriffs meine.

    Okay, war mir überhaupt nicht klar.

    Und man sieht eben, dass es nicht der physikalische Prozess der Beschleunigung ist, der für’s Zwillingsparadoxon entscheidend ist (im Sinne von: da müssen Kräfte wirken etc.), sondern nur die Tatsache, dass wir eine Linie betrachten, die aus zwei Stücken zusammengesetzt ist, egal wie.

    Nenn mich verrückt, aber mit “ist entscheidend” habe ich überhaupt keine Probleme.
    Mit “ist verantwortlich”, wie du es sonst formulierst, irgendwie schon.

    Ich komme aber nicht darauf, warum eigentlich?
    (Vielleicht ist es einfach zu heiß. ;-))

    Würdest du denn nun sagen, dass ein Lichtsignal an einem Spiegel beschleunigt wird?

    Wenn du das irgendwo geschrieben hättest, hätte ich kommentiert, dass das Unsinn ist. 😉

    Nee, wir haben ja jetzt herausgearbeitet, dass zumindest bei dir die Verwendung von Beschleunigung eben nicht meint, dass es eine zweite Ableitung ungleich Null gibt, wodurch die Geodätengleichung dann nicht mehr erfüllt wird.

    Jetzt kommt es noch darauf an, wie Tox Beschleunigung versteht.

    Tox schrieb ja:
    für rein zeitartige Kurven ist die Beschleunigung einfach die zweite Ableitung des Ortes nach der Eigenzeit. Das lässt sich leicht auf solche Kurven verallgemeinern, die nirgends lichtartig sind. Und auch im lichtartigen Fall dürfte (wenn ich mich nicht täusche) zumindest die Unterscheidung “Beschleunigung gleich oder ungleich null” wohldefiniert sein.

    Deswegen bin ich mir ziemlich sicher, dass Tox Beschleunigung eben mindestens von da an als “Verallgemeinerung” gemeint hat, nämlich als die besagte zweite Ableitung nach dem passenden affinen Parameter.
    Oder kann man dieses Zitat auch anders verstehen?

    Und weil du Tox Definition nie ausdrücklich abgelehnt hast und Beschleunigung verwendet hast, war ich der Meinung, du würdest dich diesem Spachgebrauch anschließen.

    Wodurch deine Bemerkungen dann für mich so klangen, als hättest du die Äquivalenz von 1) und 2) nicht bedacht oder würdest sie nicht anerkennen und hieltest 1) für irgendwie mathematisch bedeutsamer.

    Hakt es denn jetzt noch? Ich verstehe dich so, dass du nicht ganz so dogmatisch wie ich die Raumzeit-Geometrie in den Vordergrund stellen würdest, weil man die SRT prinzipiell auch ohne Raumzeit-Geometrie erklären/formulieren kann.

    So hatte ich es gemeint, ja.

    Hauptsächlich hat es aber nach meinem momentanen Verständnis wie gesagt daran gehakt, dass soweit ich es sehe, du und Tox den Begriff Beschleunigung unterschiedlich verwendet habt und ich das nicht gemerkt habe.
    Dadurch haben du und ich diesen Begriff dann ebenfalls unterschiedlich verwendet und wussten dadurch nicht, was der andere eigentlich meint.

    Kann ich akzeptieren, aber für mich ist die geometrische Sichtweise wesentlich einleuchtender und intuitiver

    Für mich auch.
    Könnte aber nur daran liegen, dass wir beide uns viel mit der ART beschäftigt haben.
    Dort wird einem diese Sichtweise ja eigentlich aufgezwungen. Dadurch wird es dann völlig normal und natürlich, auch die SRT so zu betrachten.

  65. #65 MartinB
    8. Juli 2018

    @Niels
    “du und Tox den Begriff Beschleunigung unterschiedlich verwendet habt und ich das nicht gemerkt habe.”
    Ich glaube, das haben wir alle nicht wirklich gemerkt, aber wie es aussieht, sind wir uns dann ja einig…

    ” Dadurch wird es dann völlig normal und natürlich, auch die SRT so zu betrachten.”
    Hat der olle Weyl aber ja scho 1908 so gesehen in dem berühmten “von Studn an…”-Zitat, da sind wir also in guter Gesellschaft.

  66. #66 Niels
    8. Juli 2018

    @MartinB

    Hat der olle Weyl aber ja scho 1908 so gesehen in dem berühmten “von Studn an…”-Zitat, da sind wir also in guter Gesellschaft.

    Weyl hatte aus unglaublich drauf und ist meiner Meinung nach unverdient ziemlich in Vergessenheit geraten.

    Ich kenne aber nur das Minkowski-Zitat mit “von Stund an”?
    Von Stund an sollen Raum und Zeit für sich völlig zu Schatten herabsinken, und nur noch eine Union der beiden soll Selbständigkeit bewahren.

  67. #67 MartinB
    8. Juli 2018

    Mist, hab ich mal wieder verwechselt, Weyl war der mit dem Nahewirkungsprinzip…
    Hab ich natürlich nur gemacht, damit du nicht der einige bist, der sich hier in den Kommentaren mal vertan hat, reine Nettigkeit von mir ;-))))

    Aber ja, Weyl war voll der Checker, das denke ich auch.

  68. #68 Niels
    8. Juli 2018

    Von Weyl hab ich etwas Ähnliches gefunden, allerdings von 1927 und ziemlich theatralisch:

    Der Schauplatz der Wirklichkeit ist nicht ein stehender dreidimensionaler Raum, in dem die Dinge in zeitlicher Entwicklung begriffen sind, sondern die vierdimensionale Welt, in welcher Raum und Zeit unlöslich miteinander verwachsen sind.
    Diese objektive Welt geschieht nicht, sondern sie ist – schlechthin; ein vierdimensionales Kontinuum, aber weder Raum noch Zeit.
    Nur vor dem Blick des in den Weltlinien der Leiber emporkriechenden Bewußtseins lebt ein Ausschnitt dieser Welt auf und zieht an ihm vorüber als räumliches, in zeitlicher Wandlung begriffenes Bild.

    Wundert mich nicht so wahnsinnig, dass in der Regel stattdessen Minkowski zitiert wird…

  69. #69 MartinB
    8. Juli 2018

    @Niels
    schick, zumal da mal explizit das Blockuniversum erklärt wird. Und “unlöslich miteinander verwachsen” ist etwas schwülstig, aber auch schön.

  70. #70 Niels
    8. Juli 2018

    Ja, die ersten beiden Sätze sind ziemlich klasse.
    Der letzt versaut es dann ein bisschen, ist aber natürlich Geschmacksache.
    War 1927 aber vielleicht völlig normal, sich so auszudrücken und wäre dann nur schlecht gealtert.

    Hab ich natürlich nur gemacht, damit du nicht der einige bist, der sich hier in den Kommentaren mal vertan hat

    Sehr großzügig. 😉

  71. #71 erik||e oder wie auch immer . . . ..
    8. Juli 2018

    . . . .. der dritte/letzte Satz liefert doch das Salz in der Suppe :)
    . . . .. mal konkret betrachtet: Ihre drei Leiber und mein Leib und das in uns emporkriechende Bewusstsein !!! – entlang unserer (!!!) Weltlinien
    . . . .. meine Herren – viel Bewegung in den Kommentaren, um eigenes Denken fit zu machen – und den durch unsere Leiber verlaufenden Weltlinien zu entsprechen (Quelle unseren Willens?)

    PS: . . . .. Danke für die Inspiration

  72. […] Beispiel aus verschiedenen Perspektiven setzen würde. Nachdem Martin mit seinem Artikel The Good, the Bad, and the Ugly – die Erklärung(en) des Zwillingsparadoxons einen faktischen Undercut vorgelegt hat, in dem insbesondere das Rechnen eines Beispiels sehr […]

  73. #73 Christopher
    10. Juli 2018

    Toller Beitrag!
    Da es bisher noch niemand gepostet hat, hier der Link zu einer ebenfalls guten Erklärung des Zwillingsparadoxons mittels Raumzeitdiagrammen von Josef M. Gaßner auf YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=wvvngeHEq2M&t=18m37s

  74. […] Grund ist nicht etwa, wie schon bei Martin erklärt, ein Effekt der allgemeinen Relativitätstheorie, wie man gelegentlich hört, der gemäß die Zeit […]

  75. #75 Tox
    12. Juli 2018

    @MartinB, Niels

    Ich hatte die letzten paar Tage leider keine Zeit mich dieser Diskussion zu widmen, und inzwischen ist mir auch das Interesse vergangen. Wenn es uns in knapp 50 Kommentaren jeweils nicht gelungen ist die Sichtweise des Gegenüber zu verstehen, dann werden weitere 50 Kommentare daran auch nichts mehr ändern.

    Sollte es dennoch für irgendjemanden von Interesse sein, hier eine Kurzfassung meiner Position: Unter dem Zwillingsparadoxon verstehe ich den Effekt, dass für zwei Beobachter, die sich in zwei unterschiedlichen Punkten der Raumzeit treffen, zwischen diesen Punkten unterschiedliche Eigenzeiten vergehen können. Im Beispiel altert Serena weniger als Teresa. Und dies obwohl nach einem naiven Verständnis des Relativitätsprinzips die beiden Beobachter äquivalent sein sollten. Dieser Effekt tritt in der SRT nur auf, wenn mindestens einer der beiden Beobachter unterwegs beschleunigt wird (und sei es in einem Delta-Peak). Daher halte ich es für falsch zu sagen dass Beschleunigungen für das Zwillingsparadoxon irrelevant sind.

    Dass MartinB das anders sieht, kann ich mir nur so erklären, dass er entweder etwas anderes unter dem Zwillingsparadoxon versteht, oder dass Relevanz für ihn etwas anderes bedeutet.

    Alles andere waren meines Erachtens nach weniger wichtige Nebenschauplätze.

    Und ich halte die Frage danach, was denn nun für den Effekt verantwortlich ist, für nicht sinnvoll. Jedenfalls solange “Verantwortlichkeit” nicht klar definiert ist.

  76. #76 MartinB
    12. Juli 2018

    @Tox
    Wie oben gesagt, der Knackpunkt liegt unserer Ansicht nach in der genauen Definition von “Beschleunigung”.

  77. #77 Tox
    12. Juli 2018

    @MartinB
    Mit ist keine sinnvolle Definition von “Beschleunigung” bekannt für die meine Aussage aus Kommentar #75 falsch ist.

  78. #78 MartinB
    12. Juli 2018

    @Tox
    Siehe die Diskussion oben zu affinen Parametern etc..
    Für deine Einschränkung (betrachte nur 2 Beobachter, schließe also explizit Szenarien wie das 3-Brüder-Paradoxon aus), ist deine #75 korrekt, in meinen Augen aber irreführend, wie oben erläutert.

  79. #79 Tox
    12. Juli 2018

    @MartinB
    Das ist was ich damit meinte, dass du etwas anderes unter dem “Zwillingsparadoxon” verstehst. Wie ich bereits mehrfach schrieb, sehe ich im Fall der drei Brüder kein (scheinbares) Paradoxon.

  80. #80 MartinB
    12. Juli 2018

    @Tox
    Ja, dann hat es vielleicht keinen Sinn, weiterzudiskutieren, weil du irgendwas anders siehst als ich (und ich nicht wirklich verstehe, was das ist).

  81. #81 Tox
    12. Juli 2018

    @MartinB
    Ich sehe exakt das was ich in Kommentar #75 (und weiteren Kommentaren weiter oben, beginnend mit #5) beschrieben habe. Wenn ich mich richtig erinnere, hast du leider bisher noch nicht erklärt, was genau du unter dem “Zwillingsparadoxon” verstehst und was genau in der Situation mit den drei Brüdern das scheinbare Paradoxon sein soll (siehe dazu auch die Diskussion zwischen H.H.Voynich und mir).

  82. #82 MartinB
    12. Juli 2018

    @Tox
    “was genau du unter dem “Zwillingsparadoxon” verstehst”
    Das Paradoxon ist zunächst mal das, was du auch darunter verstehst. Vergleicht man die Situation aber mit den 3 Brüdern, sieht man, dass beide Fälle letztlich dieselben sind – es wird jeweils die Summe zweier Strecken mit einer dritten verglichen, die Zahlen sind jeweils identisch. Sobald die drei Strecken ein Dreieck bilden, kommt dabei was anderes raus, genau wie bei der Dreiecksungleichung in der Ebene. Das nicht auf die Geometrie sondern auf die physikalische Beschleunigung (also das Wirken von Kräften etc.) zurückzuführen, halte ich wie erklärt für irreführend. (Siehe auch das Beispiel mit der Zange.)

  83. #83 Tox
    12. Juli 2018

    @MartinB
    Ein allerletzter Versuch:

    Du erklärst meiner Meinung nach überhaupt nicht, was an der Situation mit den drei Brüdern “paradox” sein soll. Seit Kommentar #5 warte ich darauf, dass mir das jemand erklärt. Aber wenn ich nichts übersehen habe, sind die einzigen Antworten darauf bisher, dass die Situation im wesentlichen die selbe wie bei den zwei Schwestern sei. Aber wie man zu dieser Überzeugung gelangt wurde bisher nicht erklärt.

    Oder ausführlicher: Warum ist es sinnvoll, die beiden Eigenzeiten zu addieren? Warum ist es sinnvoll, diese Summe mit der Eigenzeit des anderen Bruders zu vergleichen? Und am wichtigsten: Warum ist das Resultat dieses Vergleichs “paradox”? Bei der Standardsituation mit den zwei Schwestern sind die Antworten auf (die Äquivalente) all dieser Fragen offensichtlich. Bei den drei Brüdern ist das meiner Meinung nach überhaupt nicht der Fall.

    Aus diesen Gründen sind die beiden Situationen meiner Meinung nach nicht “letztlich dieselben”. Was sich auch darin äußert, dass man sonst ja die drei-Brüder-Situation nicht hätte erfinden müssen.

    … zurückzuführen …

    Das ist wieder so ein schwammiges Wort, das ich (wenn ich mich richtig erinnere) in dieser Diskussion selbst nie verwendet habe. Ein letztes Mal: Meiner Ansicht nach tritt das Zwillingsparadoxon ohne Beschleunigungen nicht auf, daher können Beschleunigungen für das Zwillingsparadoxon nicht irrelevant sein.

  84. #84 MartinB
    12. Juli 2018

    @Tox
    “Du erklärst meiner Meinung nach überhaupt nicht, was an der Situation mit den drei Brüdern “paradox” sein soll. ”
    Daran ist ja auch nichts paradox. Und da die Situation des echten Zwillingsparadoxons identisch ist (es werden exakt dieselben Entfernungen in der Raumzeit und dieselben punktre betrachtet) ist auch daran nichts paradox.

    “Oder ausführlicher: Warum ist es sinnvoll, die beiden Eigenzeiten zu addieren? ”
    Weil das dieselben zeiten sind, die auch Serena misst wenn sie erst neben dem einen und dann neben dem anderen Bruder herfliegt. Wenn also das dreiBrüder-Szenario nicht paradox ist, und die beiden Zeiten, die wir da addieren, jeweils identisch zu den zeiten von Serena sind, dann ist auch an Serenas Situation nichts paradox oder irgendwie seltsam.
    Oder anders gesagt: Wenn uns klar ist, dass die Summe der beiden Brüderzeiten natürlich nicht gleich der Zeit von teresa ist, dann muss dasselbe auch für Serena gelten, weil wir genau dieselben zeiten addieren – wenn Serena bei Alpha Centauri ihre Geschewindigkeit instantan umkehrt, dann ist ihre Zeit immer synchron zur Zeit des einen bzw. anderen Bruders.
    Natürlich muss Serena ihre Geschwindigkeit dazu umkehren, wenn wir darauf bestehen, dass die Summe der Zeiten gleich der Eigenzeit einer Beobachterin ist – aber das Szenario zeigt eben, dass diese Forderung eigentlich nur obendraufgepackt ist, die hat mit den verstrichenen Zeiten nichts zu tun.

  85. #85 Matthias U
    Nürnberg
    15. Juli 2018

    “Wenn ich einen Kilometer nach Norden gehe, dann einen nach Osten, dann habe ich zwei Kilometer zurückgelegt, aber die Entfernung zwischen Start- und Zielpunkt beträgt eben nicht zwei Kilometer.”

    Auf einer 2km großen Kugel schon. :-)

  86. #86 Matthias U
    15. Juli 2018

    Ein weiterer Grund, warum Beschleunigungen irrelevant sind: ich muss sie nicht mal bemerken. Wenn ein vorbeirasendes schwarzes Loch mich in Richtung Alpha Centauri katapultiert, und mich ein zufällig dort herumliegender und von mir knapp verfehlter Neutronenstern umkehren lässt, dann bin ich bei meiner Rückkunft trotzdem jünger als mein Zwillingsbruder – obwohl ich von irgendeinem Wechsel der Bezugssysteme, egal ob verursacht durch Beschleunigung oder sonstwas, nicht das Geringste gespürt habe.

  87. #87 MartinB
    15. Juli 2018

    @Matthias U
    1. Wow. Das gibt die goldene Rasierklinge am Zopf für die Haarspaltung der Woche.
    2. Schon – aber da würde dann die Beschleunigungsfraktion sicher argumentieren, dass da dann ja Effekte der ART ins Spiel kommen (was in dem fall ja auch rchtig wäre, wenn du hinreichend dicht am Neutronenstern vorbeisaust, kommt ja die Zeitdilatation der ART hinzu.)