Ein Kandidat hat die Möglichkeit eine von drei Türen auszuwählen. Hinter einer der Türen befindet sich ein Ferrari. Hinter den anderen beiden Türen befinden sich Nieten (die Ziegen bzw. in der deutschen Variante der Show der “Zonk”). Sobald der Kandidat seine Wahl getroffen hat, öffnet der Showmaster eine der beiden verbleibenden Türen. Er weiß, was sich hinter den Türen befindet und öffnet immer eine Tür, hinter der sich eine Ziege befindet. Es gibt jetzt also nur noch zwei Türen: Eine mit dem Ferrari und die andere mit der Niete. Nun bekommt der Kandidat das Angebot, seine Wahl noch einmal zu verändern. Soll er wechseln oder nicht?
Das ist das Ziegenproblem und Marilyn vos Savants Antwort löste eine Proteststurm aus. Denn sie sagte, dass es für den Kandidaten besser wäre, zu wechseln. Die Zeitschrift bekam tausende erboste Leserbriefe; viele von Wissenschaftler und Mathematikern die sich darüber aufregten, wie sie so eine dumme Antwort geben kann und dass sie damit die Mathematik in der Öffentlicht schlecht dastehen lässt. Und auch heute noch gibt es überall dort, wo dieses Problem auftaucht hitzige Debatten und heftige Streitereien. Denn die richtige Antwort erscheint offensichtlich: Ganz eindeutig ist es doch egal, was man macht. Es gibt zwei Türen; bei einer gewinnt man und bei einer verliert man. Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen beträgt 50 Prozent!
Aber diese simple Sichtweise ist falsch. Denn man vergisst dabei den Moderater, der weiß wo sich der Preis befindet und in das Spiel eingreift. Und das ändert alles. Es ist eigentlich nicht schwer zu erklären, wieso es besser ist zu wechseln. Man muss nur ganz genau nachdenken und darf sich nicht durcheinander bringen lassen.
Eine Herde Ziegen macht sich auf den Weg um Mathematiker zu ärgern (Bild: Public Domain)
Man wählt also eine Tür aus. Im ersten Schritt gibt es drei Möglichkeiten und zwei Nieten. Die Wahrscheinlichkeit, dass man im ersten Schritt richtig geraten und die richtige Tür ausgewählt hat, beträgt also ein Drittel. So weit, so simpel. In diesem Fall sollte man seine Wahl natürlich nicht ändern, denn man hat ja schon richtig gewählt.
Was aber, wenn man im ersten Schritt falsch gewählt hat? Betrachten wir den zweiten Schritt. Hinter der Tür, die wir gewählt haben ist eine Niete. Hinter den zwei anderen Türen sind noch eine Niete und der Ferrari. Nun kommt der Moderator und wählt bewusst die Tür aus, hinter der eine Niete liegt. Es ist nun keiner reiner Zufallsprozess mehr. Durch diesen nicht-zufälligen Eingriff stellt der Moderator sicher, dass man mit absoluter Sicherheit gewinnt, wenn man wechselt. Denn der Ferrari muss sich ja nun hinter der Tür befinden, die der Moderator nicht ausgewählt hat.
Im ersten Szenario gewinnen wir also, wenn wir nicht wechseln. Im zweiten Szenario gewinnen wir, wenn wir wechseln. Die beiden Szenarien sind aber nicht gleich wahrscheinlich. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 landen wir im ersten Szenario und mit 2/3 landen wir im zweiten Szenario. Die Wahrscheinlichkeit, dass wir gewinnen, wenn wir wechseln, liegt also ebenfalls bei 2/3. Deswegen sollte der Kandidat immer wechseln, wenn er seine Chance erhöhen will.
Das Ziegenproblem ist nicht-intuitiv (und sogar ein so großer und genialer Mathematiker wie Paul Erdös ließ sich erst von der korrekten Lösung überzeugen, nachdem er eine Computersimulation gesehen hatte, die dieses Spiel immer wieder durchspielte) und es zeigt wunderbar, wie schwer es uns fällt, die Wahrscheinlichkeiten zu verstehen. Dazu brauchen wir die Mathematik und im nächsten Kapitel des Buch erklärt Mlodninow, wie wir im 17. Jahrhundert endlich die nötigen mathematischen Instrumente dafür gefunden haben.
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