Am leichtesten kann man das, was passiert, jetzt doch wieder mit dem einfachen Bild der “Schwerkraft” einsehen, weil es uns vertrauter ist als die Raumzeitkrümmung. Genau im Mittelpunkt der Erde wäre man ja “schwerelos” – jede “Schwerkraft” wirkt nach außen in alle Richtungen gleichmäßig, so dass sich alle Kräfte aufheben. (Wegen der Symmetrie kann eine Geodäte nicht aus der Mitte herausführen, denn alle Richtungen sind gleich.)
Für einen Punkt weiter außen ist immer nur der Anteil der Erdmasse relevant, der innerhalb einer Kugel liegt, die die aktuelle Entfernung vom Erdmittelpunkt als Radius hat, Anteile, die von weiter außen kommen, heben sich auf. (Das zu beweisen ist eine beliebte Aufgabe für Physikstudis im 1. oder 2. Semester, an der kommt niemand vorbei.) Die “Schwerkraft” nimmt also nach innen hin immer weiter ab. Wenn wir wieder das Spiel von eben spielen und drei Teilchen loslassen, dann laufen diese, wenn sie alle denselben Abstand vom Erdmittelpunkt haben, natürlich aufeinander zu. (Ich mache von meinem Recht als Theoretiker Gebrauch, solche Trivialitäten wie die Tatsache, dass Teilchen schlecht störungsfrei durch das Erdinnere fliegen können, zu vernachlässigen.)
Starten wir drei Teilchen mit jeweils unterschiedlichem Abstand vom Erdinnern, so wird das äußerste jetzt stärker beschleunigt als das innerste, weil es ja mehr Masse “sieht”. Entsprechend bekommt es eine höhere Geschwindigkeit, so dass auch hier die Teilchen aufeinander zulaufen. Anders als außerhalb der Erde ist die Raumzeitkümmung hier also positiv, alle Geodäten laufen im Erdinnern aufeinander zu.
Die Metrik im Innern der Erde sieht also anders aus – der “Überschussradius” aus dem zweiten Teil wird im Innern der Erde wieder kleiner, weil immer weniger Masse in den gezeichneten Kreis eingeschlossen wird, die den Raum krümmt. Der “Überschussradius” ist also im Zentrum der Erde Null, nimmt dann stetig zu, bis er an der Erdoberfläche einen Maximalwert erreicht. Gehen wir weiter nach Außen, so nimmt er dann wieder ab. Der Abstand zwischen zwei Koordinatenlinien auf einer Karte (die wir gleich angucken) verhält sich also mit zunehmendem Abstand vom Erdmittelpunkt so:
Das zeichnen wir jetzt in eine Karte ein. Dabei verwenden wir einen zweidimensionaler Schnitt durch die Raumzeit, bei dem die Zeit konstant gehalten wird. Als Variablen nehmen wir einmal den Winkel (das ist einfach) und als radiale Koordinate den Umfang eines Kreises geteilt durch 2π. (Sogenannte Schwarzschild-Koordinaten.) Der Abstand zwischen zwei Koordinatenlinien nimmt dann, wie eben gesehen, im Innern zu, nach außen hin wieder ab.
Das Ergebnis sieht so aus:
Eventuell müsst ihr draufklicken, um die unterschiedliche Größe der roten Linien, die die Strecke nach Außen hin angeben, erkennen zu können. Dass die grünen Linien immer länger werden, hat nichts mit der Raumkrümmung zu tun, sondern liegt daran, dass wir hier Winkelkoordinaten (sogenannte Polarkoordinaten) verwenden – so wie bei einer Schallplatte (falls noch einer weiß, was das ist) der Außenrand eine größere Strecke zurücklegen muss als ein Punkt weiter innen, wenn sich die Platte dreht, so ist es auch bei der Winkelkoordinate.
Die Längenänderung der nach außen zeigenden (radialen) Koordinate hat aber tatsächlich etwas mit der Raumkrümmung zu tun – in der Ebene wäre diese Länge immer gleich. Falls es euch ärgert, dass man die unterschiedlichen Längen im Bild nicht so gut sieht – es liegt daran, dass dies keine schematische Darstellung ist, sondern eine, in der die Längen tatsächlich aus den Formeln der ART berechnet sind. (Allerdings nicht für die Erde, sondern für einen Stern mit extrem hoher Dichte, sonst würde man gar nichts erkennen.)
Um genau zu sein, falls es jemand wissen will: In Einheiten von c=G=1 habe ich einen Radius von 0.1 und eine Masse von 0.02 angesetzt und dann die Gleichung für die Schwarzschildmetrik benutzt (wobei man jeweils die Wurzel aus dem Term für den metrischen Tensor ziehen muss). Die Formeln habe ich in gnuplot eingetippt. (Im Plot des Abstands gegen den Radius habe ich dann den Radius auf 1 umnormiert.)
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