Die Zahl Φ ist völlig irrational! Damit ist nicht gemeint, dass man mit ihr kein vernünftiges Gespräch führen kann. Eine irrationale Zahl ist eine Zahl, die nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann. Die Zahl 1,5 zum Beispiel kann man als 3/2 schreiben. Die Zahl 4,985 lässt sich als 997/200 ausdrücken und die Zahl 5 als 5/1. Alle Zahlen, die sich auf diese Weise als Bruch schreiben lassen, nennt man rationale Zahlen. Es gibt aber auch welche, bei denen das nicht funktioniert. Die Wurzel aus 2 zum Beispiel. Egal wie sehr man sich anstrengt, man wird keine zwei ganzen Zahlen finden, deren Verhältnis exakt dem Wert der Wurzel aus 2 entspricht. Das sind die irrationalen Zahlen. Und Φ, die Zahl des goldenen Schnitts, ist von allen am irrationalsten!
Manche irrationalen Zahlen lassen sich sehr gut durch rationale Zahlen annähern. Pi zum Beispiel. Die Kreiszahl Pi selbst (3,14159265…) kann nicht durch einen Bruch dargestellt werden. Der Bruch 22/7 ist aber eine ganz gut Näherung (darum feiern die Freunde der Zahl Pi auch jedes Jahr am 22. 7 – also morgen – den “Pi-Approximationstag”). Wie gut eine irrationale Zahl approximierbar ist, erkennt man an ihrer Kettenbruchdarstellung
Ein Kettenbruch sieht so:
Keine Angst, das ist nicht so schlimm, wie es aussieht 😉 Ich erkläre es mal (und wer absolut keine Lust auf Mathe hat, kann gerne auch gleich zum coolen Video am Ende scrollen).
Tun wir mal so, als seien wir Christiaan Huygens, der berühmte Astronom aus dem 17. Jahrhundert. Wir wollen ein Modell des Sonnensystems bauen und friemeln an den verschiedenen Zahnrädern herum. Damit die Planeten sich im Verhältnis alle zueinander richtig bewegen, müssen die Zahnräder die richtige Anzahl an Zähnen haben. Und um die richtige Anzahl an Zähnen zu bestimmen, müssen wir das Verhältnis der Umlaufzeiten der Planeten irgendwie durch eine rationale Zahl approximieren, und zwar möglichst gut. Der Saturn zum Beispiel braucht für einen Umlauf um die Sonne 10759,16925 Tage. Bei der Erde sind es bekanntlich 365,25 Tage. Das Verhältnis beträgt also 29,457 (was nichts anderes bedeutet, als das Saturn 29,457 Jahre für einen Umlauf um die Sonne braucht). Das sind die heute bekannten Werte; damals fand Huygens heraus, dass sich
das Verhältnis der Umlaufzeiten durch den Bruch 77708431/2640858 gut darstellen lässt. Allerdings ist das eine ziemlich unhandliche Zahl und der Bruch lässt sich auch nicht mehr weiter vereinfachen. Aber Huygens war klug und benutzte die Kettenbrüche!
Zuerst rechnen wir den Bruch einfach mal aus. 77708431 dividiert durch 2640858 ergibt 29,425448… (Es ist wirklich eine sehr unangenehme Zahl. Die Nachkommstellen sind zwar periodisch, es ist ja eine rationale Zahl, aber das sieht man erst nach 20006 Stellen). Die erste, noch sehr ungenaue Approximation wäre also 29/1. Wir wollen es aber genauer haben. Der Fehler unserer Annäherung beträgt jetzt 0,425448… Das ist ungefähr 0,5 – also 1/2. Genauer gesagt ist es 1/2,3504609… Damit haben wir nun eine bessere Approximation gefunden: 29 + 1/2. Aber wir machen immer noch einen Fehler. Nun haben wir 2,3504609… durch 2 approximiert. Also widmen wir uns dem Teil, den wir gerade vernachlässigt haben: 0,3504609… können wir auch als 1/2,853385… schreiben. Eine bessere Approximation für 2,3504609… als 2 wäre also die Zahl 2 + 1/2. Bevor jetzt alles unübersichtlich wird, setzen wir mal alles zusammen.
Wir haben bei unserer Approximation 29 angefangen. Das haben wir mit 29+1/2 verbessert. Die 2 unterm Bruchstrich haben wir durch die Zahl 2+1/2 verbessert. Unsere Approximation lautet nun also
Natürlich können wir weitermachen. Wir haben ja immer noch einen Fehler in unserer Approximation. Die letzte 2 im Bruch sollte eigentlich eine 2,853385… sein; wir aber haben die 0,853385… einfach unter den Tisch fallen lassen. 0,853385… ist fast 1. Wir können anstatt der 2 also auch einfach 2+1 schreiben. Unsere Approximation wird dann insgesamt zu:
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