Wie werden Wahrscheinlichkeiten im Alltag wahrgenommen – und welche Probleme ergeben sich daraus? Und was um alles in der Welt haben flüchtende Taxifahrer mit spanischen Bombenlegern zu tun?

Das Taxi-Problem gehört zu den Themen, die ich in meinen Vorlesungen immer wieder sehr gerne behandle. Noch unterhaltsamer ist eigentlich nur noch das Ziegen-Problem, zu dem ja Jürgen in GeoGraffitico vor einiger Zeit schon mal etwas geschrieben hatte.

Grüne und blaue Taxen…

Die Ausgangssituation des Taxi-Problems sieht wie folgt aus: In einer nicht näher bezeichneten Stadt existieren zwei konkurrierende Taxi-Unternehmen. Die Taxen des ersten Unternehmens, „Green Cab”, sind grün, die Taxen des zweiten Unternehmens, „Blue Cab”, dagegen blau. Der Marktanteil von „Green Cab” liegt bei 85%, womit (da ja kein drittes Unternehmen existiert) 15% Marktanteil für „Blue Cab” verbleiben.

Nun kommt es zu einem Verkehrsunfall mit Fahrerflucht, für den es leider nur einen einzigen Zeugen gibt. Dieser Zeuge gibt an, der Fahrer eines blauen Taxis habe den Unfall verursacht, und sei anschließend mit dem Fahrzeug geflohen. Andere Spuren gibt es nicht, so dass die ermittelnde Behörde sich auf die Aussagen des Zeugen verlassen muss. Der antwortet zwar ehrlich und nach bestem Wissen und Gewissen – aber wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass seine Schilderung des Unfallhergangs trotzdem fehlerhaft ist?

Dass er ein Taxi gesehen hat, steht außer Frage, da sich auf allen Taxen in unserer Stadt die Aufschrift „TAXI” in riesigen Lettern findet. Da der Zeuge sich in diesem Punkt also kaum irren kann und zudem keinen Grund für eine Falschaussage hat, arbeitet der flüchtige Fahrer also mit Sicherheit für eines der beiden Taxi-Unternehmen. Aber was ist mit der Farbe des Wagens? Der Zeuge ist sich zwar sicher, ein blaues Taxi erkannt zu haben, könnte sich aber auch irren, denn immerhin war es schon ziemlich dämmrig…

Die ermittelnde Behörde führt daher einen Test mit dem Zeugen durch, in dessen Rahmen er Farbbeispiele vorgeführt bekommt, an die er sich später erinnern soll. Zur Freude der Ermittler zeigt sich, dass der Zeuge über ein sehr gutes Farbgedächtnis verfügt, denn es gelingt ihm, 80% der Farbbeispiele richtig zuzuordnen. Lässt sich daraus nun der Schluss ziehen, dass auch die Beschreibung des Unfallwagens mit 80%iger Sicherheit korrekt ist?

Warum ist diese Annahme falsch?

Die meisten Menschen würden dieser Aussage wohl auf Anhieb zustimmen – mir ging es jedenfalls so. Und es klingt doch auch logisch: Wenn der Zeuge einen Wagen mit x-beliebiger Farbe sieht, dann liegt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er sich später korrekt an die Farbe erinnern kann, genau bei 80%. Demnach müsste das Unfalltaxi doch ebenfalls mit 80%iger Wahrscheinlichkeit blau gewesen sein?

Tatsächlich ist dem aber nicht so, denn man vernachlässigt bei der Schlussfolgerung die Tatsache, dass in der Stadt sehr viel mehr grüne als blaue Taxen unterwegs sind. Nehmen wir einfach mal an, in der Stadt sind insgesamt nur 100 Taxen unterwegs (es ist eine sehr kleine Stadt). Von diesen 100 Taxen muss eines in den Unfall verwickelt gewesen sein – und aus den jeweiligen Marktanteilen von 85% bzw. 15% ergibt sich, dass 85 grüne und 15 blaue Taxen die Straßen der Stadt „bevölkern”.

Wie wir wissen, ist sich der Zeuge sicher, ein blaues Taxi gesehen zu haben. Dass er mit 80%iger Wahrscheinlichkeit richtig liegt bedeutet natürlich auch, dass er in 20% aller Fälle die Farbe nicht korrekt zuordnen kann. Er würde demnach von den 85 grünen Taxen 68 korrekt als grün erkennen und 17 fälschlicherweise als blau. Umgekehrt würde er von den 15 blauen Taxen 12 korrekt als blau erkennen und 3 fälschlicherweise als grün. Diese Umstände gilt es bei der die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für ein blaues Unfalltaxi zu beachten.

Letztendlich gibt es vier Möglichkeiten, wie die Geschichte ablaufen kann:

  1. Das Unfalltaxi war grün und wird als grün erkannt
  2. Das Unfalltaxi war grün und wird als blau erkannt
  3. Das Unfalltaxi war blau und wird als blau erkannt
  4. Das Unfalltaxi war blau und wird als grün erkannt

Oder (ad hoc und unschön) grafisch dargestellt:

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Da die Zeugenaussage (blaues Taxi) bereits vorliegt, interessieren uns zwei der vier Ereignisketten nicht weiter. Konzentrieren wir uns also auf die beiden anderen:

  1. Das Unfalltaxi war grün und wird als blau erkannt
  2. Das Unfalltaxi war blau und wird als blau erkannt
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Wie man sieht, besteht jede Ereigniskette aus zwei Einzelereignissen, nämlich

  1. Taxi der Farbe xy ist in den Unfall verwickelt und
  2. Farbe xy des Taxis wird richtig / falsch erkannt

Die Wahrscheinlichkeit für das richtige Erkennen der Farbe ist uns aus dem Test bekannt, sie liegt bei 80%. Die Wahrscheinlichkeit des vorausgehenden Ereignisses („Taxi der Farbe xy ist in den Unfall verwickelt”) ergibt sich aus den Marktanteilen der beiden Taxi-Unternehmen. Wenn man nun noch beachtet, dass die Irrtumswahrscheinlichkeit des Zeugen bei 20% liegt (wenn er in 80% aller Fälle die Farbe richtig erkennt), dann kann man den beiden verbleibenden Ereignisketten leicht die Wahrscheinlichkeiten zuordnen:

  1. Das Unfalltaxi war grün (85%) und wird als blau erkannt (20%)
  2. Das Unfalltaxi war blau (15%) und wird als blau erkannt (80%)
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Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Unfalltaxi tatsächlich blau gewesen ist, wie der Zeuge behauptet? In der Statistik verwenden wir für Berechnungen mit so genannten “bedingten Wahrscheinlichkeiten” den Satz von Bayes. Dabei wird die Wahrscheinlichkeit des zu untersuchenden Ereignisses (blaues Taxi wird als blau erkannt) ins Verhältnis zur Summe der bedingten Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisketten gesetzt (blaues Taxi wird als blau erkannt und grünes Taxi wird als blau erkannt):

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Wir landen bei einer Wahrscheinlichkeit von gerade mal 41%! Ein verblüffendes Ergebnis – obwohl der Zeuge eine 80%ige Sicherheit bei der Identifikation von Farben an den Tag legt, liegt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Taxi tatsächlich blau gewesen ist, unterhalb der 50%-Grenze. Was nichts anderes bedeutet, als dass man bessere Chancen hat, die Farbe des Unfalltaxis zu ermitteln, wenn man einfach eine Münze wirft…

Aber ist das Ganze nun eine mathematische Spielerei, oder ein praxisrelevantes Problem?

Auch wenn es auf den ersten Blick wie eine Spielerei erscheint, ist das dargestellte Problem sogar im höchsten Maße praxisrelevant – unter anderem natürlich auch für „echte” Ermittlungen oder Gerichtsverfahren, in denen Zeugenaussagen eine Rolle spielen. Es begegnet uns aber auch anderswo – nämlich überall dort, wo bedingte Wahrscheinlichkeiten nicht richtig wahrgenommen werden. Wie im Falle des Taxi-Problems wird viel zu häufig eine Wahrscheinlichkeit (der Zeuge liegt in 80% aller Fälle richtig) korrekt interpretiert, eine andere (nur 15% aller Taxen sind blau) jedoch einfach „ausgeblendet”.

Wo tritt so etwas noch auf?

Beispielsweise bei flächendeckenden HIV-Tests. Die gibt es nämlich aus gutem Grund nicht. Zwar sind die Tests an sich sehr ergebnissicher (mehr noch als der Zeuge im Taxi-Fall), der Anteil der HIV-Infizierten in der Bevölkerung ist jedoch – dem Himmel sei Dank – äußerst gering (sehr viel geringer als der Anteil der blauen Taxen). Ein flächendeckender Test würde zu einer so großen Menge an Fehldiagnosen führen, dass er einfach keinen Sinn macht – trotz der hohen Güte des eigentlichen Testverfahrens.

Auch in der Terror-Abwehr spielen bedingte Wahrscheinlichkeiten eine große Rolle. Ein Beispiel mit Fehlalarmen in spanischen Hotels habe ich vor Jahren mal mit meinen Studenten berechnet. In diesem Szenario gab es einen Terrorismus-Experten, der sogar mit 95%iger Sicherheit eine echte von einer falschen Bombendrohung unterscheiden konnte – eine wesentlich bessere „Trefferquote” als unser Zeuge im Taxi-Fall. Trotzdem veranlasst dieser Experte eine überflüssige Hotel-Evakuierung nach der anderen.

Warum? Natürlich deshalb, weil in unserem Szenario (wie auch im wahren Leben) auf einen „echten” ETA-Terroristen knapp hundert Idioten kommen, die eine Bombendrohung nur so zum Spaß durchgeben. Echte Drohungen und „Spaßdrohungen” stehen also in einem sehr viel krasseren Mißverhältnis zueinander, als grüne und blaue Taxen – und das führt dann auch bei einer Sicherheit von 95% zu so vielen „false positives”, dass es auf Außenstehende fast wie ein Ratespiel des Experten wirkt.

Nicht richtig wahrgenommene bedingte Wahrscheinlichkeiten finden wir im Alltag sozusagen „an jeder Ecke”. Es gäbe etliche weitere gute Beispiele – da ich den Post aber nicht in extreme Längen ziehen möchte, belasse ich es an dieser Stelle mal bei einigen Nennungen. Wer sich für die Thematik begeistern kann, kann sich ja am Wochenende spaßeshalber mal darüber Gedanken machen, welchen Zusammenhang es zwischen diesen Stichwörtern und dem Problem der falschen Wahrnehmung von bedingten Wahrscheinlichkeiten geben könnte:

  • „Cold Reading”
  • Ausländerkriminalität
  • Horoskop-Vorhersagen
  • DNA-Tests vor Gericht
  • BSE-Massentests bei Kühen
  • Gewalttätige Computerspieler
  • „Homeland Alert Level” in den USA

Jedem, der es versucht, wünsche ich jetzt schon ein vergnügliches Wochenende. Falls daran Interesse bestehen sollte, kann ich das eine oder andere Szenario gerne mal ausführlich und mit Zahlenbeispielen hier im Blog „durchkauen”. Das Kommentarfeld wartet auf Eingaben…


Lesetipp: Mark Daniel Schweizer: Kognitive Täuschungen vor Gericht – eine empirische Studie, Dissertation an der Rechtswissenschaftlichen Fakultät Zürich, 2005

http://www.dissertationen.unizh.ch/2005/schweizer/diss.pdf

Kommentare (22)

  1. #1 Daniel
    6. Dezember 2008

    Hey,

    eine sehr schöne Erklärung. :-)

    MfG

  2. #2 Jane
    6. Dezember 2008

    Man kann solche Zusammenhänge gar nicht of genug darstellen. Leider ist das Thema “bedingte Wahrscheinlichkeiten” immer noch ein Buch mit sieben Siegeln und das gilt auch für Leute, deren Job es wäre sich damit auszukennen. Stichwort: Wahrscheinlichkeit falsch positiver Tests in der Medizin (Mammographie, Darmkrebs).

    Diese “Taxi-Variante” kannte ich noch gar nicht, finde sie aber besser als alle anderen Erklärungsmodelle die ich bisher kennengelernt habe.

  3. #3 Rincewind
    6. Dezember 2008

    Sehr anschauliches Beispiel! Eine weitere Literaturempfehlung (müsste eigentlich “Zwangslektüre” für alle Mediziner sein) ist “Der Hund, der Eier legt” von Beck-Bornholdt/Dubben.

    Im ersten Kapitel bringen sie ein ähnlich gutes Beispiel bez. Prävalenz:
    – Ein Tourist befürchtet, von einen seltenen Krankheit angesteckt worden zu sein.
    -Der Positivtest ist zu 98% sicher
    – Falsch positiv ist der Test zu 2%
    – Von anderen Touristen, die in dem Land waren, hat sich jeder 1000ste angesteckt.

    Der Tourist hat ein positives Untersuchungsergebnis bekommen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er sich tatsächlich angesteckt hat?

    [ ] 99%
    [ ] 98%
    [ ] etwa 95%
    [ ] etwa 50%
    [ ] etwa 5%
    [ ] 2%
    [ ] 1%

    Richtig erschreckend wird es dann, wenn sie von einer Tagung der Europäischen Gesellschaft für Radioonkologie berichten: Ein Drittel der Teilnehmer wurde dieselbe Frage gestellt, nur einer von 15 lag richtig …

  4. #4 Rincewind
    6. Dezember 2008

    Sorry, Korrektur: Der Positivtest ist zu 99% sicher und nicht zu 98%.

  5. #5 rolak
    16. Juni 2009

    (von hier aufmerksam gemacht)
    Schöner Text, den kann man im Bedarfsfalle auch mal verlinken :)

  6. #6 Stefan W.
    9. Juli 2010

    Ich glaube einen Fehler gefunden zu haben.

    Wenn nichts weiter gesagt wird über die Testfälle, “gelingt ihm, 80% der Farbbeispiele richtig zuzuordnen”, dann könnte das dadurch zustande kommen, dass sich der Proband nur bei blauen Taxen irrt, die er für grün hält, nie jedoch ein grünes für blau. Solange nicht gesagt wird, dass das Ergebnis unabhängig von der beobachteten Farbe ist, ist der Rückschluss verfrüht, bzw. das Testsetting, welches in dem Beispiel ja genau für den Fall konstruiert wird, misslungen.

  7. #7 Engywuck
    15. Juli 2010

    da steckt sogar ein weiterer Fehler drin: es wird weder gesagt, dass der Test nur mit blauen und grünen Farben erfolgte noch dass der Zeuge wenn grün getestet wurde und er danebenlag er immer auf blau erkannte (und umgekehrt)
    Theoretisch könnte er z.B. auch “rot” antworten oder “isabellenfarben” und trotzdem “grün” falsch erkannt haben.

    eine bessere Formulierung wäre also in Richtung “Die ermittelnde Behörde führt daher einen Test mit dem Zeugen durch, in dessen Rahmen Taxen der beiden Unternehmen vorgeführt bekommt, an deren Farbe er sich später erinnern soll. Zur Freude der Ermittler zeigt sich, dass der Zeuge über ein sehr gutes Farbgedächtnis verfügt, denn es gelingt ihm, 80% der grünen wie der blauen Taxen richtig zuzuordnen.”

  8. #8 Sam Vimes
    10. August 2010

    Versuch einer anschaulicheren Erklärung:
    In einer großen Stadt mit dieser Taxiverteilung finden 100 Taxi-Unfälle mit je einem solchem Zeugen statt. 85 von den Taxen sind grün, die anderen 15 blau. Von den 85 grünen T. werden 17 als blau erkannt, von den 15 blauen nur 12. Von den insgesamt 29 als blau erkannten T. sind 59 % grün.

  9. #9 Christian Reinboth
    18. August 2010

    @Stefan W. & Engywuck: Spannende Einwürfe. Dann wollen wir die vermeintlichen Fehler mal diskutieren. Wenn ich das richtig sehe, geht es in beiden Fällen um die Frage, wie der mit dem Zeugen durchgeführte Farbsehtest ausgestaltet ist. Das “Original-Beispiel” ist meines Wissens nach so formuliert, dass die Behörde die Fähigkeit des Zeugen testet, grüne und blaue Taxen unter Nachtsichtbedingungen voneinander unterscheiden zu können – im Prinzip so wie in meinem Post, nur dass ich die konkreten Farben nicht erwähne (wobei es an sich schon Sinn macht, davon auszugehen, dass mit Grün und Blau getestet wird, da dies ja die einzigen “Taxi-Farben” der Stadt sind…). Auch im ursprünglichen Setting wird meines Wissens nach davon ausgegangen, dass ein Text mit den beiden denkbaren Taxi-Farben erfolgt, wobei nicht auf die genaue Fehlerverteilung eingegangen wird. Bezogen auf den vorgebrachten Einwand

    Wenn nichts weiter gesagt wird über die Testfälle, “gelingt ihm, 80% der Farbbeispiele richtig zuzuordnen”, dann könnte das dadurch zustande kommen, dass sich der Proband nur bei blauen Taxen irrt, die er für grün hält, nie jedoch ein grünes für blau.

    würde ich aus dem Bauch heraus erst mal antworten, dass davon auszugehen ist, dass die Zahl der dem Zeugen vorgeführten blauen und grünen Taxen exakt gleich (oder zumindest in etwa gleich) sein dürfte, so dass eine Trefferquote von 80% nicht dadurch zustande kommen kann, dass nur blaue Taxen falsch zugeordnet werden. Den Sehtest so auszurichten, dass sich die 80/20-Verteilung darin niederschlägt, würde meines Erachtens nach keinen Sinn machen, da es ja um die allgemeine Fähigkeit des Zeugen geht, Farben voneinander unterscheiden zu können – und hier ist doch ein Setting mit gleichen Verteilungen viel sinnvoller. Kann man von einem solchen ausgehen – obwohl es natürlich stimmt, dass dies im Beispiel (soweit ich weiß auch im Original) nicht explizit gesagt wird – wäre der Rückschluss doch eigentlich nicht verfrüht…

  10. #10 Stefan W.
    18. August 2010

    Ich finde es sogar naheliegend, daß man mit dem Zeugen an eine beliebige Kreuzung geht, und wartet, wo ja die typische Taxenmischung vorbeikommt. 85:15, btw. – 80% war die Trefferquote.

    Nun zu 80% richtigen Treffern bei einer 50:50 Verteilung. Man zeigt blaue und grüne, je 50 Taxen, und der Proband erkennt 50 grüne als grün, und 30 blaue als blau, und 20 blaue als grün. Macht eine Trefferquote von 80% – oder?

    ---- Beobachtung|
    Taxi | blau | grün| 
    blau |    30 |   20 | 50
    grün |   0    |  50  | 50 
    -----------------------------
    Sum |   30  |  70  | 100
    

    Wie die Grafik zeigt war jedes Taxi, das der Proband als blau erkannte, blau, und jedes grüne wurde als grün erkannt – jedoch gab es blaue, die für grün gehalten wurden.

    Aber ansonsten ist das ein schönes Beispiel, welches mich immer wieder den Kopf schütteln läßt – begreifen will ich das nicht: Obwohl die Trefferquote ja nicht schlecht ist, mit 80% (ich bin farbenblind, ich weiß was ich sage!), soll seine Aussage so wertarm sein?

    Aber man täuscht sich auch über die Schwäche der Aussage. Ganz ohne Zeugnis würde man ja denken, das Taxi müsse zu 85%iger Wahrscheinlichkeit grün sein. Jetzt denkt man nur noch mit 59%iger Wahrscheinlichkeit, dass dem so ist. Bzw. aus 15% blau wurde 41% blau.

  11. #11 Rene
    6. August 2011

    Ich glaube nicht, dass das Beispiel mit den Taxis als Demonstration für bedingte Wahrscheinlichkeiten geeignet ist. Es ist nämlich im Voraus nicht bekannt, wie hoch die Wahrscheinlichkeit eines blauen Taxis am Unfallort war. Es könnte sein, dass die blauen Fahrer alle wesentlich aggressiver fahren (zum Beispiel, um ihren Wettbewerbsnachteil auszugleichen). Deswegen gibt der Marktanteil erst mal keine Auskunft über die Wahrscheinlichkeit, an einem Unfall beteiligt zu sein.

    Zweitens könnte es sein, dass ein Unfall mit Fahrerflucht eines Taxifahrers ein sehr seltenes Ereignis in der Stadt ist. Dann bräuchte man schon eine genaue Begründung dafür, warum das zufällig über die Taxifahrer streuen sollte. Es könnt ja sein, dass so etwas nur wirklich kriminell Veranlagte machen, und dass das blaue Unternehmen seine Fahrer besser auswählt.

    Diese nachlässige Art, Wahrscheinlichkeiten einfach aus den Anzahlen zu beziehen, beobachtet man öfter. Beim Beispiel mit der Vorsorgeuntersuchung wird stets die Anzahl der HIV-Positiven in der Bevölkerung einbezogen. Das ist nur bei erzwungenen Massenscreenings korrekt. Bei einem Test, der vom Probanten gewünscht wird, muss man davon ausgehen, dass seine Wahrscheinlichkeit HIV-positiv zu sein, von vorn herein wesentlich höher ist.

  12. #12 Dr. Webbaer
    6. August 2011

    Es spielt neben der bekannten Problematik mit der bedingten Wahrscheinlichkeit i.p. Zeugenaussagen und Vergleichbarem natürlich auch die Grüße der Datenprobe eine Rolle. – Hätten bspw. 100 Zeugen mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% den “Rot-Grün-Test” gemacht, wäre die Aggregation wesentlich zuverlässiger.

    Zynisch formuliert kann man folgern: Bei auch nur etwas vagen Fragestellungen ist die Aussage des Einzelzeugen nichts wert. Es gibt denn auch dementsprechende Untersuchungen zur Zuverlässigkeit von Zeugen vor Gericht, die ungünstig ausgefallen sind.

    Die Stochastik ist sowohl rückblickend als auch prädiktiv mit Vorsicht zu genießen, letztlich überlagern meist politische Sichten das Festzustellende; Richter machen sich ihr Bild bei der “Wahrheitsfindung” (“Auf See und vor Gericht…”) und Vieles ist oder war nicht so, wie festgestellt.

    Was aber wiederum nicht die Schwarmintelligenz in Frage stellen soll, die ist vglw. zuverlässig. :)

    MFG
    Dr. Webbaer

    PS: “Es ist nämlich im Voraus nicht bekannt, wie hoch die Wahrscheinlichkeit eines blauen Taxis am Unfallort war.” – Man geht hier willkürlich von einer Gleichverteilung aus, was soll man sonst machen? “Marktnachteile” prüfen und so ist ja auch nicht ganz ohne.

  13. #13 Dr. Webbaer
    6. August 2011

    BTW und nachtragend: Der im Artikel vorgenommene Rückschluss auf größere Umfragen, die dann auch unzuverlässig sein sollen, sofern Dr. W den Artikel richtig verstanden hat, ist oder wäre falsch. – Den beteiligten Untersuchungskräften ist sicherlich die bedingte Wahrscheinlichkeit konzeptionell bekannt und wird dementsprechend eingearbeitet, Relativismus wäre also fehl am Platze. – Richtig natürlich die grundsätzliche Unsicherheit bei der stochastischen Betrachtung, es heißt ja nicht umsonst Ratekunst, aber diese grundsätzliche Unsicherheit schien kein Thema dieses Blogeintrags gewesen zu sein.

  14. #14 Dr. Webbaer
    7. August 2011

    Wir landen bei einer Wahrscheinlichkeit von gerade mal 41%! Ein verblüffendes Ergebnis – obwohl der Zeuge eine 80%ige Sicherheit bei der Identifikation von Farben an den Tag legt, liegt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Taxi tatsächlich blau gewesen ist, unterhalb der 50%-Grenze. Was nichts anderes bedeutet, als dass man bessere Chancen hat, die Farbe des Unfalltaxis zu ermitteln, wenn man einfach eine Münze wirft…

    Der letzte Satz mit dem Münzwurf gefällt “nicht wirklich”, denn der Richter weiß immerhin nun (mit einer Zeugenaussage), dass das Taxi nicht mit einer Wahrscheinlichkeit von 15% blau war, wovon ganz ohne Zeugenaussage auszugehen wäre, sondern mit einer Wahrscheinlichkeit von: 12/29 = 41,38%

    Es ist nur für ihn unmöglich etwas daraus rechtlich abzuleiten, lol, der hier vorgeschlagene Münzwurf “um auf 50%” zu kommen ist aber ein hohler Vergleich.

  15. #15 michael
    7. August 2011

    > … ist aber ein hohler Vergleich.

    Es ist ein Äpfel und Birnen Vergleich, denn die Wahrscheinlichkeit, dass das Taxi blau war , wenn die Münze blau angezeigt hat , ist 0.15. Und die W, dass der Zeuge die Farbe des Taxis richtg erkannt hat, ist 0.8 .

  16. #16 Dr. Webbaer
    7. August 2011

    @michael
    Die Wahrscheinlichkeit, dass der Zeuge in diesem Fall das Taxi richtig erkannt hat, ist 12/29 = 41,38%, die Wahrscheinlichkeit, dass der Zeuge (grundsätzlich) richtig erkennt, ist 80%. – Der Münzwurf hat typischerweise seine 50%, warum der hier als Vergleich herangezogen wird, bleibt unklar. – BTW: kleine Korrektur “für oben”, der Richter hat natürlich ein Indiz. Lägen bspw. 10-100 dieser Indizien vor, so kann er beruhigt verurteilen.

  17. #17 Dr. Webbaer
    7. August 2011

    Witzig auch, dass der Zeuge, hätte er behauptet das Taxi wäre grün gewesen, für den Richter eine Wahrscheinlichkeitsänderung von 80% auf nach Bayes 68/71 = 95,77% bewirkt hätte, dass das Taxi eben grün ist.

  18. #18 Dr. Webbaer
    7. August 2011

    * von 85%

  19. #19 Christian Reinboth
    8. August 2011

    @Rene:

    Es könnte sein, dass die blauen Fahrer alle wesentlich aggressiver fahren (zum Beispiel, um ihren Wettbewerbsnachteil auszugleichen). Deswegen gibt der Marktanteil erst mal keine Auskunft über die Wahrscheinlichkeit, an einem Unfall beteiligt zu sein.

    Wenn keine weiteren Informationen vorliegen, ist sinnigerweise erst mal von einer Gleichverteilung auszugehen. Es könnte ja auch sein, dass sich der Unfall in einem Stadtviertel erreicht hat, in dem primär blaue Taxen verkehren, weil das “blaue Unternehmen” dort am massivsten wirbt. Möglich wäre immer vieles, das Beispiel dient ja aber auch nicht dazu, einen realen Prozess möglichst gut abzubilden, sondern zu demonstrieren, dass wir im “Alltagsdenken” bedingte Wahrscheinlichkeiten gerne ausblenden – und dafür eignet sich das Beispiel wiederum hervorragend…

    Beim Beispiel mit der Vorsorgeuntersuchung wird stets die Anzahl der HIV-Positiven in der Bevölkerung einbezogen. Das ist nur bei erzwungenen Massenscreenings korrekt. Bei einem Test, der vom Probanten gewünscht wird, muss man davon ausgehen, dass seine Wahrscheinlichkeit HIV-positiv zu sein, von vorn herein wesentlich höher ist.

    Das ist natürlich richtig – deshalb greife ich im Posting ja auch auf das Beispiel “flächendeckender Massentest” zurück – und hier ist die Anzahl der HIV-Positiven in der Bevölkerung im Gegensatz zur am persönlichen Risiko orientierten Individualentscheidung auf einen Einzeltest wiederum von großer Bedeutung, will man den (voraussichtlichen) Erfolg der Maßnahme evaluieren…

  20. #20 Rene
    29. August 2011

    Wir müssen als Mathematiker immer vorsichtig prüfen, ob unsere Mathematik auch wirklich praktisch relevant ist. Ich stelle mir einen Anwalt vor, der die soeben vom mathematischen Sachverständigen vorgetragenen Theoreme in der Luft zerpflückt, einfach weil die Hypothesen nicht erfüllt sind. Da das dauernd passiert (von der mathematischen Behandlung von Anlagerisiken, bis zur Einschätzung von Systemsicherheiten) bin ich da etwas sensibel geworden. Daher meine obigen Einwände.

  21. #21 Dr. Webbaer
    29. August 2011

    @Rene
    Onkel Webbaer hat in Erinnerung, dass die bedingten Wahrscheinlichkeiten (als “erweiterte Fallunterscheidung” oft überraschend relevant) regelmäßig in Gerichtsprozessen eine Rolle spielen.
    Die Weichheit der Hypothesen, also die Erkenntnistheorie bzw. Statistik oder Stochastik sind auch relevant. :)
    Isch aber immer gut solche Problemlagen öffentlich vorzustellen…

    MFG
    Dr. Webbaer

  22. #22 Max
    21. Februar 2017

    @Zur Freude der Ermittler zeigt sich, daß der Zeuge über ein sehr gutes Farbgedächtnis verfügt, denn es gelingt ihm, 80% der Farbbeispiele richtig zuzuordnen

    also 1von 5 falsch? oder 20 Fehler von 100Test?, ein gesundes Verhältnis zu den Taxen, bei erstellen der Bedienungen ist wichtiger!!! was sagt es über den Zeugen , kommt er zu 41% rasiert und hat 63, 5 % seiner Garderobe vergessen??? Duschwasser läuft noch mit 15 %

    Jede Mensch kann es ,er denkt ununterbrochen mit Wahrscheinlichkeiten und der Abwägung Pro und Contra, auch intuitiv. Dabei ist sein Gehirn, bereits auf das Aufstellen der Rahmenbedienungen, Berechnungsgrundlage (in der Regel;)) geübt,
    und weiß was plausibel ist!
    “Glaube keiner Statistik die du nicht selbst gefälscht hast”.
    Das ist richtig!
    Tricks gelingen wenn man die Bedienungen manipuliert.
    und sry^^ , bin aber nur zufällig hier, die Mathe Ecke Fasziniert mich nicht :)