Es sei denn natürlich, dass die Raumzeit gekrümmt ist. Den Effekt der Zeitdilatation durch die Höhe seht ihr in diesem Bild:

freiFallCP-GravDil

Auch hier ist auf der x-Achse wieder aufgetragen wann der Ball die ersten 2,5 Meter passiert hat. Wenn es nur diesen Effekt gäbe, dann wäre es für den Ball natürlich am besten, auf dem ersten Stück möglichst langsam unterwegs zu sein, weil er da weiter oben ist, wo die Zeit schneller läuft.

Da es aber beide Effekte gibt, müssen wir die beiden Kurven addieren. Dabei kommt das hier heraus:

freiFallCP-ART

Das Maximum liegt bei 0.686 Sekunden. Der Ball sollte also auf dem ersten Stück etwas langsamer sein, auf dem zweiten etwas schneller, so dass sich ein Kompromiss aus den beiden Effekten ergibt.

Die Weltlinie, die unser Ball beschreibt (in der wir also Höhe gegen Zeit auftragen) sieht dann so aus:

freiFall2patches

Sieht nicht ganz so aus wie die wirkliche Bewegung eines Balles, oder? Der fällt ja nicht mit stückweise konstanter Geschwindigkeit.

Allerdings war unsere Annahme, dass wir zwei Stücke mit konstanter Geschwindigkeit haben, natürlich sehr grob. Vielleicht sollten wir besser drei Stücke mit jeweils konstanter Geschwindigkeit nehmen? Dann kommt das hier dabei heraus:

freiFall3patches

Oder wie wäre es mit 5 Stücken?

freiFall5patches

Und wenn wir gar 25 Stücke nehmen, dann bekommen wir eine Bahn, die der tatsächlichen (ebenfalls eingezeichnet) schon sehr nahe kommt:

freiFall25patches

Es ergibt sich also die parabelförmige Kurve, die ihr vermutlich mal im Physikunterricht kennengelernt habt. Damals hat man euch aber etwas von “Schwerkraft” und “Beschleunigung” erzählt – tatsächlich folgt der Ball aber einfach der Linie mit der maximalen Eigenzeit im Raum, weil das die geradeste Linie ist, die es gibt.

 

PS: Nebenbei zeigt diese Rechnung mal wieder, dass das von vielen so geliebte Gummituchmodell Quatsch ist: Dort ist ja der Raum gekrümmt – aber die Raumkrümmung ist für frei fallende Teilchen im “Schwerefeld” der Erde ziemlich irrelevant, die wird nur relevant, wenn sich Objekte mit nahezu Lichtgeschwindigkeit bewegen oder wenn die Raumkrümmung sehr groß wird, wie z.B. bei schwarzen Löchern.

PPS: Die notwendigen Formeln zum Berechnen der Effekte findet ihr am Ende dieses Artikels; die Optimierung habe ich mit einem kleinen Pythonprogramm (mit einem Nelder-Mead-Simplex-Algorithmus, den hatte ich eh gerade bei der Arbeit gebraucht) gemacht. Falls jemand das (grueselig zusammengehackte) Programm haben will, schickt mir ne mail…

PPPS: Auf Wunsch habe ich das Ganze jetzt bei github hochgeladen:

freeFallGRT.py

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Kommentare (28)

  1. #1 Volker Birk
    https://blog.fdik.org
    13. Januar 2017

    Och, bitte veröffentliche doch das Programm hier 😉

  2. #2 Volker
    14. Januar 2017

    Um Programme zu veröffentlichen, empfehle ich GitHub. Da steigt die Chance, dass dir jemand hilft, aus “zusammengepackt” etwas Ansehnliches wird…

  3. #3 MartinB
    14. Januar 2017

    @volker
    Der code ist wirklich kurz und simpel, da lohnt github nicht.

    Wenn du willst, kann ich ihn dir gern per mail schicken.

  4. #4 Volker Birk
    https://blog.fdik.org
    14. Januar 2017

    @MartinB: der zweite “Volker” Bin nicht ich, sondern ein anderer Volker.

    Aber ich dachte, warum pastest Du das Programm nicht einfach hier als Kommentar?

  5. #5 Volker Birk
    https://blog.fdik.org
    14. Januar 2017

    @MartinB: weil dann kann man Dir dumme Fragen stellen, bis man’s versteht 😉

  6. #6 MartinB
    14. Januar 2017

    @Volker
    Das ist aber verwirrend mit euch Volkers….

    Als Kommentar geht leider nicht, wegen des ganzen html-Krams, jedes Kleiner/Größer-Zeichen im Code führt da zu Ärger. Und bei nem Python-Program machen auch die Einrückungen Ärger, die verschwinden, wenn ich das Ding einfach in den Haupttext kopiere.

  7. #7 Richard
    14. Januar 2017

    Um schnell mal eben irgendwelchen Code-Kleinkram zu pasten ist https://gist.github.com/ eigentlich ganz praktisch.

  8. #8 MartinB
    14. Januar 2017

    @Richard
    O.k., danke, ich hab’s mal probiert:
    https://gist.github.com/anonymous/bc26a10834150f91a4a95e309e7ce157
    Aber bitte nicht am Spaghetti-code rummeckern, ich weiß, dass es klüger gewesen wäre, den array in der totaltime-Funktion vorn und hinten mit 0 und 1 zu erweitern, dann hätte ich mir die Fallunterscheidungen sparen können.

  9. #9 Mirko Czentivic
    15. Januar 2017

    Sehr schöner Beitrag. Verständlich, anschaulich und so instruktiv, dass man was mit anfangen kann.
    Vielen Dank

  10. #10 Mirko Czentovic
    15. Januar 2017

    Sehr schöner Beitrag. Verständlich, anschaulich und so instruktiv, dass man was mit anfangen kann.
    Vielen Dank

  11. #11 MartinB
    15. Januar 2017

    @Mirko
    Danke für die Rückmeldung – ich habe mich nämlich ein bisschen gefragt, ob das außer mit noch jemandem irgendwie weiterhilft.

  12. #12 Paul
    15. Januar 2017

    Dumme Frage eines Laien: Warum ist die Kurve in der ersten Abbildung Glockenförmig? Du hattest beschrieben, dass die Zeit für den Ball umso langsamer vergeht, je schneller er sich bewegt. Das impliziert für mich einen linearen Zusammenhang und keine Glocke. Was habe ich da nicht verstanden?
    Danke für den Artikel 🙂

  13. #13 MartinB
    15. Januar 2017

    @Paul
    Die Kurve zeigt, um wie viel die Zei tlangsamer geht, wenn ich die Hälfte der Strecke nach der Zeit erreiche, die auf der x-Achse steht. Wenn ich also die ersten 2,5 Meter in 0.3 Sekunden zurücklege, dann bekomme ich eine Verzögerung von etwa 0,17 fs. Wenn ich die letzten 2,5 Meter in 0,3 Sekunden zurücklege (und damt die ersten in 0.7s), dann bekomme ich denselben Wert – weil ich jedes mal ein Stück schnell und ein Stück langsam zurücklege. Die gringste Dilatation ergibt sich, wenn ich die ganze zeit eine konstante Geschwindigkeit habe, also die beiden Hälften jeweils in derselben zeit zurücklege.

  14. #14 Kilian
    15. Januar 2017

    Ein sehr elegantes Prinzip und eine wunderschöne Erklärung! Das kannte ich so noch nicht, danke dafür!

    Ich habe gerade versucht den Limes für unendlich viele Teilstücke zu berechnen, was ja eine Parabel ergeben sollte. Die Abweichung der Eigenzeit (genau genommen den nicht-relativistischen Grenzfall)
    hat Martin in seinem Python-Script angegeben (Funktion “eta”): g*h/c^2 – deltah^2/(ct)^2. Der zweite Term kommt aus der Entwicklung von 1/gamma-1 ~ -beta^2/2 = -(dh/dt)^2/(2c^2). Nach dem Prinzip der maximalen Eigenzeit muss g*h/c^2 – (dh/dt)^2/(2c^2) maximiert werden. Äquivalent dazu: (dh/dt)^2/(2c^2) – g*h/c^2 muss minimiert werden. Bis auf Faktoren ist das genau die Lagrangefunktion aus der klassischen Mechanik L = T – V; damit ist das bekannte Hamiltonsche Prinzip wiedergewonnen. Toll, ich bin begeistert 🙂

  15. #15 MartinB
    16. Januar 2017

    @Kilian
    Das mit dem Lagrange-Prinzip steht auch im verlinkten Text aus der Raumzeitkrümmungsserie. Und ja, ich finde es auch sehr elegant.

  16. #16 Maxim Jockwer
    Berlin
    16. Januar 2017

    Super nice. Schön geschrieben und tolle Informationen.

  17. #17 Boombox
    19. Januar 2017

    Kann mich Maxim Jockwer nur anschließen. Bloß eine Frage hätte ich. Gibt es auch eine halbwegs verständliche Erklärung, warum die geradeste Verbindung zwischen zwei Raumzeitpunkten die mit der längsten Eigenzeit ist? Das wird ja in obigem Artikel einfach unerklärt vorausgesetzt, wenn ich es richtig sehe.

  18. #18 MartinB
    20. Januar 2017

    @Boombox
    Erkläre ich ein wenig im 4.+ 5. Teil meiner Raumzeitkrümmungsserie (bei den Artikelserien zu finden) und in dem Text hier:
    http://scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2014/09/23/heisse-platten-kuerzeste-wege-und-gebogenes-licht/?all=1
    Letztlich liegt es daran, dass in die Raumzeit der SRT die Zeitkomponente mit dem entgegengesetzten Vorzeichen eingeht wie die Raumkomponente. Deshalb entspricht ein kurzer Weg im Raum einem langen Weg in der Zeit.
    Irgendwann gibt es dazu eine deutlich längere Erklärung…

  19. #19 Boombox
    20. Januar 2017

    Danke, die Artikel werde ich mir dann mal lesen, sobald ich genug Zeit habe.:-)

  20. #20 Uli Schoppe
    19. März 2017

    Wie das funktioniert ist ja gut verständlich, aber warum will der Ball denn zu diesem Punkt in der Raumzeit wenn keine Kraft ihn antreibt? Sind erst mal grundsätzlich alle Körper grundsätzlich im freien Fall und wenn ja warum ?

  21. #21 MartinB
    20. März 2017

    @Uli Schoppe
    Der Ball folgt der geradesten Linie in der Raumzeit. Und die führt nun einmal zur Erde hin, weil die Raumzeit gekrümmt ist.

    Raumpunkte haben ja (letztlich schon in der Newtonsche Physik) keine unabhängige Bedeutung – es ist nicht möglich, zu entscheiden, ob zwei Raumpunkte zu unterschiedlicen zeiten “derselbe” sind. Das gilt auch bei Newton, weil alle gleichförmig bewegten Bezugssysteme gleichberechtigt sind.

    Unsere intuitive Annahme, dass “Verharren am selben Ort” irgendwie der natürlichste Zustand sein müsste, ist letztlich aristotelisch (und durch unsere Alltagserfahrung gut belegt)…

    In der Newtonschen Physik ist gleichförmige Bewegung genausogut wie Ruhe, und in einer gekrümmten Raumzeit ist die gleichförmigste Bewegung möglicherweise die entlang einer Bahn, die eine auf der Erde ruhender Beobachterin als “gekrümmt” ansieht.

    “Sind erst mal grundsätzlich alle Körper grundsätzlich im freien Fall ”
    Solange sie kräftefrei sind (Schwerkraft gilt nicht), ja.

  22. #22 Uli Schoppe
    20. März 2017

    Das ist das aus dem Artikel mit den beiden vertauschten Axiomen bei Newton und Einstein, richtig? Irgendwie werde ich im Hinterkopf die Vorstellung nicht los das irgendwas den Körper auf die Bahn schubsen muss, das ist aber ja falsch da der Apfel ja immer im freien Fall ist sobald der Stengel ihn nicht mehr hält Deshalb muss ihn auch nichts auf seine Bahn schubsen. Danke, ich muss da dann nur eine falsche Vorstellung ausklammern

  23. #23 MartinB
    20. März 2017

    @Uli
    Ja, da habe ich das auch erklärt.
    “ich muss da dann nur eine falsche Vorstellung ausklammern ”
    Das ist in der tat nicht leicht – ich habe auch lange gebraucht, bis ich diese Idee des “Aber was bringt denn den Apfel dazu, mit der Bewegung anzufangen?” so richtig raushatte.

  24. #24 Uli Schoppe
    20. März 2017

    Danke auf jeden Fall 🙂

  25. #25 LUCA
    LA
    10. Dezember 2018

    “Nebenbei zeigt diese Rechnung mal wieder, dass das von vielen so geliebte Gummituchmodell Quatsch ist: Dort ist ja der Raum gekrümmt – aber die Raumkrümmung ist für frei fallende Teilchen im “Schwerefeld” der Erde ziemlich irrelevant, die wird nur relevant, wenn sich Objekte mit nahezu Lichtgeschwindigkeit bewegen oder wenn die Raumkrümmung sehr groß wird, wie z.B. bei schwarzen Löchern.”
    ————————————————————————————————————————
    Verstehe diese Formulierung nicht wirklich. Denn die Raumzeitkrümmung ist immer lokal irrelevant, egal ob die Raumzeitkrümmung stark (schwarzes Loch) oder schwach (Erdgravitationsfeld) ist. Lokal ist die Raumzeit immer flach. Frei fallende Teilchen folgen immer die Raumzeitkrümmung, genauso wie die Erde, die die Raumzeitkrümmung der Sonne folgt. Der Pfad ist eine Geodäte, welche die Lösung der Geodätengleichung ist.

  26. #26 MartinB
    11. Dezember 2018

    @LUCA
    Da steht aber “Raumkrümmung” – und die ist für den freien Fal langsamer Teilchen irrelevant, da ist nur die Zeitdilatation von Bedeutung. Das Gummituchmodell veranschaulicht aber allenfalls einen gekrümmten Raum, nicht den veränderten Zeitablauf.

  27. #27 LUCA
    12. Dezember 2018

    @MartinB: Ok, jetzt verstehe ich, was Sie im Text geschrieben haben.

    Ich habe bei Uli Schoppe gesehen, dass Sie auf seine Frage folgendes geschrieben haben:

    “Sind erst mal grundsätzlich alle Körper grundsätzlich im freien Fall ”
    Solange sie kräftefrei sind (Schwerkraft gilt nicht), ja.”

    Aber kräftefreie Bewegung kann es auch in einem Gravitationsfeld geben, wie der freie Fall der Erde im Schwerfeld der Sonne. Was meinen Sie da mit Schwerkraft gilt nicht?

  28. #28 MartinB
    12. Dezember 2018

    @LUCA
    ich meinte: Schwerkraft gilt nicht als Kraft.