Heute ist Pi-Tag! Einmal im Jahr ignorieren wir die seltsame amerikanische Datumsschreibweise und freuen uns darüber, dass wir den heutigen Tag als 3/14 schreiben können. Denn so beginnt auch die Zahl Pi; das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises. Pi ist eine der wichtigsten Konstanten in der Mathematik und der Naturwissenschaft – es gibt kaum einen Bereich der Wissenschaft in dem diese Zahl keine relevante Rolle spielt. Die Zahl Pi ist so faszinierend, dass sie überall auf der Welt regelrechte Fanclubs hat die den heutigen Tag nutzen, um die Zahl zu feiern und ein wenig Werbung für die Mathematik zu machen.

Ich hoffe, ihr habt euren Pi-Kuchen schon gebacken? (Bild: Public domain)

Ich hoffe, ihr habt euren Pi-Kuchen schon gebacken? (Bild: Public domain)

Ich selbst bin ja Pi-Botschafter des Vereins der “Freunde der Zahl Pi” und habe hier im Blog schon oft über die Zahl Pi geschrieben (hier oder hier oder hier oder hier oder hier oder hier). Und werde auch den heutigen Tag natürlich nicht verstreichen lassen, ohne über Pi zu sprechen!

Die Zahl Pi hat jede Menge faszinierende Eigenschaften. Sie ist irrational, das heißt sie hat unendlich viele Nachkommastellen die keinen System folgen. Sie ist transzendent, das heißt nicht Nullstelle eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten. Ganz besonders interessant finde ich aber die Frage, ob Pi normal ist. Bei dieser Eigenschaft ist die Mathematik mit ihrer Wortwahl allerdings ein wenig zu zurückhaltend. Das, was die Mathematiker “normal” nennen ist definitiv nicht normal!

Ganz simpel ausgedrückt ist eine Zahl genau dann normal, wenn man jede beliebige Kombination aus Ziffern in der Abfolge ihrer Nachkommastellen finden kann. Die Ziffernfolge “28071977” (mein Geburtstag) findet sich zum Beispiel 52.126.615 Stellen weit hinter dem Komma (und hier kann jeder selbst eigene Ziffernfolgen prüfen lassen). Etwas formaler beschrieben sollte man zum Beispiel in einer normalen Zahl eine bestimmte einzelne Ziffer – etwa die “8” – in einem Zehntel aller Fälle finden, wenn man eine beliebige Ziffer aus der Nachkommastellenentwicklung auswählt. Eine Abfolge aus zwei Ziffern – zum Beispiel “28” – sollte man in einem Hundertstel aller Fälle finden; eine Abfolge aus drei Ziffern in einem Tausendstel aller Fälle – und so weiter.

Verkündet Pi!

Verkündet Pi!

So richtig faszinierend wird die Eigenschaft wenn man berücksichtigt, dass Pi eben unendlich viele Nachkommastellen hat. Und “unendlich” viele sind wirklich viele! Das bedeutet nichts anderes, dass man sich eine beliebig lange Zahlenfolge ausdenken kann und sie trotzdem irgendwo in Pi finden wird (unendlich oft sogar!). Ich könnte zum Beispiel den Text meines neuen Buchs über Isaac Newton nehmen, in eine Zahlenfolge kodieren und würde genau diese Zahlenfolge dann irgendwo in den Nachkommastellen von Pi finden können! Man würde ALLE Bücher in Pi finden die jemals geschrieben worden sind; genauso auch alle Bücher die in Zukunft geschrieben werden – und auch alle Bücher, die nie geschrieben worden sind. ALLES wäre irgendwo in Pi auffindbar!

Allerdings nur dann, wenn Pi auch tatsächlich normal ist. Das ist aber mathematisch noch nicht bewiesen. Solange man noch keinen Beweis hat, kann man nur empirische Untersuchungen anstellen. Genau das hat Peter Trueb aus der Schweiz kürzlich getan (“Digit Statistics of the First 22.4 Trillion Decimal Digits of Pi”). Er hat 22,4 Billionen Nachkommastellen der Zahl Pi untersucht und nachgesehen, ob zumindest hier die Normalität gegeben ist. Das Ergebnis: Ja – bis jetzt weißt nichts darauf hin, dass Pi nicht normal ist. Ein Wissenschaftler aus Venezuela hat vor ein paar Monaten das gleiche Ergebnis mit anderen Methoden erhalten (“Fractal analysis of Pi normality”). Er hat dazu die Berechnung der Fraktalen Dimension verwendet. Das ist – in diesem Zusammenhang – ein Maß für die Form einer Kurve (ich habe hier mehr dazu erklärt) und man kann die Nachkommastellen von Pi ja auch in einem Diagramm als Kurve darstellen. Je nachdem ob Pi normal ist oder nicht sollte sich das Aussehen dieser Kurve auf eine bestimmte Art verändern, wenn man Nachkommastellen hinzufügt (das ist in etwa so wie das was ich hier beschrieben habe) – und auch hier zeigt sich: Alles was wir bis jetzt über Pi wissen deutet darauf hin, dass die Zahl normal ist.

Natürlich können diese empirischen Analysen immer nur interessante Wegweiser sein aber nichts allgemeingültig aussagen. Egal wie viele Nachkommastellen wir noch berechnen: Es werden nie genug sein. Pi hat unendlich viele Nachkommastellen und Sicherheit über ihre Eigenschaften kann nur ein mathematischer Beweis liefern. Bis jetzt sieht alles so aus, als wäre Pi normal. Und wenn das so ist, dann ist das definitiv nicht normal!

P.S. Wer mich meiner Arbeit als Pi-Botschafter nachgehen sehen möchte, kann das zum Beispiel in der 50. Jubiläumsfolge der Science Busters tun:

P.P.S. Wer Mitglied im Verein der Freund der Zahl Pi werden möchte kann sich gerne an mich wenden. Als Pi-Botschafter kann ich die entsprechende Aufnahmsprüfung (bei der man 100 Nachkommastellen auswendig aufsagen muss) abnehmen.
P.P.P.S. Ja, ich kenne die Sache mit Tau. Und halte sie für Unfug – siehe hier

Kommentare (71)

  1. #1 Samira
    14. März 2017

    1.355.591te Stelle. Ätsch.

  2. #2 Lercherl
    14. März 2017

    Es gibt ein paar so Typen wie den mit τ statt π. Manche halten die Gammafunktion für unnatürlich und wollen lieber Π(z) = Γ(z+1), und wieder andere wollen 1 als Primzahl definieren. Alles nicht falsch, Konventionen und Definitionen sind willkürlich, aber eine weitverbreitete Konvention zu ignorieren, erschwert nur das Verständnis.

  3. #3 Frantischek
    14. März 2017

    1.249.246. Ätschens!!!
    Und die Dame des Hauses 429.068!!!!111!!

  4. #4 alex
    14. März 2017

    Dass eine reelle Zahl normal ist, ist eigentlich schon ziemlich normal. Schließlich sind die nicht-normalen reellen Zahlen eine Lebesgue-Nullmenge.

  5. #5 roel
    *******
    14. März 2017

    @Florian Freistetter http://www.angio.net/pi/bigpi.cgi

    “The string 28071977 occurs at position 52,126,615 counting from the first digit after the decimal point. The 3. is not counted.

    The string and surrounding digits:

    111170716991477620982807197763998220832643658841”

  6. #6 Marius
    14. März 2017

    Ist das oben genannte nicht auch genauso auf die Eulersche Zahl übertragbar bzw. gibt es einen besonderen Grund, wieso Pi so populär ist?

  7. #7 Laie
    14. März 2017

    @Marius
    Pi ist einfach populärer, weil die Zahl jeder kennt. Euler kennen weniger Menschen, dabei wäre e viel schneller auszurechnen.

  8. #8 Florian Freistetter
    14. März 2017

    @Marius: “Ist das oben genannte nicht auch genauso auf die Eulersche Zahl übertragbar bzw. gibt es einen besonderen Grund, wieso Pi so populär ist?”

    Das ganze geht mit jeder irrationalen Zahl; auch zB mit der Wurzel aus 2. Aber ich glaube Pi ist einfach leichter vermittelbarer – besonders im englischsprachigen Raum (wo die Pi-Sache ja herkommt), weil man da schöne Wortspiele mit Pi/Pie machen kann 😉

  9. #9 schlappohr
    14. März 2017

    Wenn PI jede beliebige Zahlenfolge enthält, enthält PI dann auch jede nach n Stellen abbrechende Näherung von sich selbst noch an einer andern Stelle als am Anfang? Kann n dann auch unendlich groß sein? Wenn das der Fall wäre, dann würde PI sich selbst unendlich oft enthalten.

  10. #10 roel
    *******
    14. März 2017

    @Florian Freistetter mit #5 wollte ich dezent daruf hinweisen, dass

    “Die Ziffernfolge “28071977” (mein Geburtstag) findet sich zum Beispiel 3.144.004 Stellen weit hinter dem Komma”

    falsch ist.

    Der Rechner auf mypiday macht aus der 4-stelligen Jahreszahl 1977 eine 2-stellige 77.

  11. #11 Abdul Alhazred
    14. März 2017

    @schlappohr

    In der Formulierung “nach n Stellen” ist n eine natürliche Zahl. “unendlich” ist aber keine natürliche Zahl. Also kann n nicht unendlich sein.

  12. #12 schlappohr
    14. März 2017

    @Abdul Alhazred

    Ok, anders formuliert: Gilt die Aussage auch dann, wenn n über alle Grenzen wächst? Oder noch anders formuliert: beginnt PI an irgend einer Stelle von vorne? Ich vermute, das ist nicht der Fall. Wenn Pi sich ab der (endlichen) Stelle x wiederholen würde, wäre es periodisch und damit rational.

  13. #13 Lercherl
    14. März 2017

    @Schlappohr

    Die ersten n Stellen von π, für beliebig großes n, sind eine Ziffernfolge wie jede andere und finden sich daher unendlich oft in π, vorausgesetzt natürlich, π ist normal. Anders ausgedrückt, es gibt keine Stelle in der Ziffernfolge, wo gilt: ab hier kommen die ersten n Stellen nicht mehr vor.

  14. #14 Florian Freistetter
    14. März 2017

    @roel: Danke – hab ich mal korrigiert!

  15. #15 UMa
    14. März 2017

    @schlappohr: Nein, für die Selbstenthaltung kann n nicht unendlich sein. Sonst wäre Pi ab der Stelle, wo wieder …31415… und so weiter kommt, periodisch und damit rational.

  16. #16 UMa
    14. März 2017

    OK: war zu spät, meine Antwort war auf #9.

    Mal eine andere Frage.
    Ist die Normalität einer Zahl nicht auch von der Basis abhängig? So könnte eine Zahl z.B. zur Basis 10 normal sein zur Basis 7 aber nicht. Wie ist das dann mit Pi? Ist die Normalität von Pi zu anderen Basen als 10 schon untersucht?

  17. #17 Florian Freistetter
    14. März 2017

    @Uma: “Ist die Normalität einer Zahl nicht auch von der Basis abhängig? “

    Ja klar – in der korrekten mathematischen Formulierung wird das auch berücksichtigt. Das was ich beschrieben hab, ist eine Normalität zur Basis 10 – deswegen auch die Zehnerpotenzen bei der Wahrscheinlichkeit (ein Zehntel der Fälle, ein Hunderstel der Fälle, ein Tausendstel der Fälle, etc). Bei einer anderen Basis sind es andere Wahrscheinlichkeiten. In der ersten der verlinkten Arbeit ist die Normalität auch in Bezug aufs Hexadezimalsystem untersucht worden.

  18. #18 Turi
    14. März 2017

    Nun, Pi hat ja beliebige Werte. Wir nutzen nur uns das bekannte 3,14 am meisten.

    Aber Pi kann genauso gut 4 sein (Taxi Metrik) wie Pi 2 sein kann (auf einer Kugeloberfläche).
    Pi kann also sogar eine natürliche Zahl sein, wenn ich nur die Ausgangsbedingungen richtig wähle :)

  19. #19 Christian Berger
    14. März 2017

    Wobei ich ja π für völlig überschätzt halte. Die Zahl ist ja quasi nur ein Faktor, entweder für die Periodizität der trigonometrischen Funktionen, oder für deren Steigung.

    Viel spannender finde ich da e. Denn de(x)/dx=e(x)
    Und e^(i*t*ω) hat immer den Betrag 1, dreht sich aber um den Ursprung mit der Geschwindigkeit ω. Ohne das gäbe es weder Mobiltelefone noch Farbfernsehen.

    Trotzdem denke ich jedoch, dass wir auch an π unsere Freude haben können. Letztendlich geht es ja eigentlich nicht um Zahlen, sondern um die gemeinsame Freude an der Mathematik. Zahlen, so sehr wir sie auch schätzen, sind nur Kondensationskeim für gemeinsame Erlebnisse.

  20. #20 UMa
    14. März 2017

    @Christian Berger: Ja, aber damit e^(i*w) reell wird, muss w ein Vielfaches von Pi sein. Z.B. e^(i*Pi)= -1.

  21. #21 Folke Kelm
    14. März 2017

    #18, Turi
    Das hört man öfter, dass Pi viele unterschiedliche Werte haben kann, dass Additionswerte ja nur eine Übereinkunft seien, wie auch die Ergebnisse der anderen Grundrechenarten, auf die man sich irgendwann einmal zu unbekannter Zeit verständigt hat. Aber Pi ist leider exakt definiert. Florian hat es auch oben in Seinem Artikel geschrieben.
    Pi kann also nur einen einzigen, exakt definierten Wert haben, sei er auch noch so schwer verständlich.
    Viele Leute missverstehen das, genauso wie viele Leute null, aber auch wirklich gar keine Ahnung davon haben, wie Mathematik oder Naturwissenschaft überhaupt funktioniert. Ich finde das tragisch.

  22. #22 W
    14. März 2017

    Search For: 29121978

    Results:
    Sorry, we couldn’t find your string in Pi! But keep searching — Pi contains lots of other interesting strings.

    http://www.angio.net/pi/

    Pi mag mathematisch normal sein – ich bin es definitiv nicht! 😉

  23. #23 Der Fragende
    14. März 2017

    Wenn Pi unendlich ist und ich potenziere es mit Pi, dann erhalte ich eine potenzierte Unendlichkeit?
    Bitte um Klärung

  24. #24 Heljerer
    14. März 2017

    @W
    Geht mir genauso
    Meinem Sohn auch

  25. #25 PDP10
    14. März 2017

    @Der Fragende:

    Wenn Pi unendlich ist und ich potenziere es mit Pi, dann erhalte ich eine potenzierte Unendlichkeit?

    Da wirfst du zwei Sachen durcheinander.
    Pi ist nicht unendlich.

    Die Zahl Pi hat unendlich viele Nachkommastellen.

    Wenn du Pi mit Pi potenzierst, bekommst du eine andere Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen. Sonst nichts.

  26. #26 alex
    14. März 2017

    @Christian Berger:
    Für jedes reelle positive x hat x^(i t ω) für reelle t und ω immer Betrag 1. Und dass sich e^(i t ω) mit Geschwindigkeit ω dreht, folgt dann trivialerweise mittels d e^x/dx = e^x. Es bleibt also nur eine bemerkenswerte Eigenschaft von e übrig.

  27. #27 rolak
    14. März 2017

    mit unendlich vielen Nachkommastellen.

    Nu ja, PDP10, korrekt wäre ja wohl “mit (unendlich vielen)±2 Nachkommastellen.”

  28. #28 Turi
    14. März 2017

    Folke Kelm
    Um nein? Pi ist genau definiert. Als der Bruch des Umfang eines Kreises durch seinen Durchmesser.

    Das Problem dabei ist, dass das, was ein Kreis ist und was ein Durchmesser ist nicht immer dem entspricht was wir kennen.
    In der Nichteuklidischen Geometrie zum Beispiel. Stellen wir uns eine Kugeloberfläche vor (keine Kugel, nur ihre Oberfläche!)
    Dann malen mir wir einen Kreis der genau auf dem Umfang (u) dieser Oberfläche liegt. Wie groß ist der Durchmesser (d) dieses Kreises? Richtig, genau halb so groß wie der Umfang. Pi ist in dem Fall also 2. Je kleiner ich dem Kreis auf der Kugel male desto größer wird Pi. Pi = 3,14… ist der Grenzwert von u/d (d -> 0).

    Ähnlich kann ich Pi manipulieren, in dem ich die Metrik ändere, in der ich arbeite.
    Ganz grob gesagt bestimmt die Metrik, wie ich den Abstand zweier Punkte bestimme.
    Die Grundlage dafür ist:
    |(x1 – x2)| ^ x + |(y1-y2)| ^ x = abstand ^ x

    Für x = 2 ist dies der berühmte Satz des Pythagoras. Den sollten wir alle kennen und stellt die wichtigste Metrik dar, da sich die Natur um uns rum nach dieser Metrik verhält.
    Aber das hält ja die Mathematiker nicht auf. Für x = 1 zum Beispiel erhalte ich die so genannte Taxi Metrik. So genannt, weil sich nach dieser Metrik die Entfernungen berechnen lassen, welche ein Taxifahrer in New York zurück legen muss um an sein Ziel zu kommen. In dieser Metrik ist Pi = 4
    Wird x größer als zwei, nähert sich Pi wieder 4 an.
    Pi = 3,14 … ist ein Minimum bei x = 2.

    Dieses Video von PBS (Öffentlicher RUndfunk aus der USA) ist super gemacht und erklärt das mit dem Metriken noch mal besser als ich.
    https://www.youtube.com/watch?v=ineO1tIyPfM

    Und noch eine persönliche Note: Nur weil du nicht verstehst von was geredet wird ist das noch lange kein Grund ausfällig zu werden. Mathematik ist eben viel schöner und interessanter als Pi = 3,14….

  29. #29 PDP10
    14. März 2017

    @rolak:

    Du weißt schon, dass ∞ + oder – 2 = ∞ ist?

    ;-).

  30. #30 PDP10
    14. März 2017

    Hmmm … das Unendlich-Zeichen sollte irgendwie größer sein …

  31. #31 tomtoo
    14. März 2017

    @W

    Wieso? Du gehörst nur zu den anderen 37%.

  32. #32 Florian Freistetter
    14. März 2017

    @Der Fragende: Pi hoch Pi ist gleich 36,46… halt was zu erwarten ist, wenn du 3,x dreimal mit sich selbst multiplizierst. Ob eine Zahl endlich oder unendlich viele Nachkommastellen hat, spielt keine Rolle beim potenzieren. Unendlich viele Nachkommastellen bedeuten auch nicht das die Zahl unendlich groß ist. Pi ist 3,1415… Pi ist also IMMER ein klein wenig mehr als 3 und IMMER deutlich weniger als 4. Die unendlichen Stellen hinter dem Komma sagen dir halt nur sehr genau, WIE viel mehr als 3 (bzw. weniger als 4) der Wert von 4 ist.

  33. #33 PDP10
    14. März 2017

    @Turi, Folke:

    Mal ganz abgesehen davon, welche putzigen Resultate man bekommt, wenn man bewegte Koordinatensysteme betrachtet.

    Man betrachte zB zwei Zylinder-Koordinatensysteme.
    Sagen wir mal eine Kaffeetasse, die in Ruhe ist und eine, die man darüber hält und rotieren lässt.

    Setzt man sich in die ruhende Kaffeetasse und misst den Radius und den Umfang der rotierenden Kaffeetasse stellt man schnell fest, dass man – spezielle Relativitätstheorie! – aufgrund der Längenkontraktion des Randes der rotierenden Kaffeetasse von der ruhenden aus gesehen einen kleineren Wert von Pi misst.

    Und so kam die Differentialgeometrie in die Relativitätstheorie.

    Also jedenfalls im Landau / Lifschitz Band 2, Teil 2 :-).

  34. #34 Laie
    14. März 2017

    Das kommt davon, wenn man zu langsam ist. Am besten in die rotierende Kaffeetasse setze und nochmals messen, dann stimmt das Ergebnis wieder! :)

  35. #35 Sven Thorsten
    14. März 2017

    Längere Zahlenfolgen zu finden wird aber immer unwahrscheinlicher: http://www.angio.net/pi/whynotpi.html

  36. #36 PDP10
    14. März 2017

    @Laie:

    Am besten in die rotierende Kaffeetasse setze und nochmals messen, dann stimmt das Ergebnis wieder! :)

    Aber nur, solange du nicht versuchst von da aus den Umfang der nicht-rotierenden Tasse zu messen 😉

  37. #37 wereatheist
    14. März 2017

    The string 30091963 occurs at position 9717977. This string occurs 5 times in the first 200M digits of Pi.

    Also die ersten 5 Ziffern der Position sind ein Palindrom!1!!97!
    Die übrigen deuten auf den ‘Deutschen Herbst’ hin. Das kann kein Zufall sein!!!1!97!!
    Und dann – die Textcodierung:

    o e c c q s z o w o e j t l y s z m o s c h e e

    *versinkt in tiefes Grübeln*

  38. #38 Jolly
    14. März 2017

    @ W

    Tröste Dich: Der 29.02.2017 lässt sich vorne in Pi finden, dafür gibt’s das Datum nicht im Kalender.

    Versuch es doch mal in amerikanischem Datumsformat, du wirst sehen, America first!

    @tomtoo

    “Du gehörst nur zu den anderen 37%”

    Zu den anderen 14%

    “Now that we’re to 200 million, the odds are up to 86%”

  39. #39 Turi
    15. März 2017

    @PDP10 Sieh mal an, so weit hab ich ja noch gar nicht gedacht.
    Das heißt, nicht nur die Mathematik, auch die Physik kennt Situationen, die von Pi = 3,14… abweichen. So cool :)

  40. #40 Christian Berger
    15. März 2017

    Jetzt mal eine Frage… muss man für die Aufnahmeprüfung 100 Stellen von pi aufsagen… oder die ersten 100 Stellen von pi?…

    Weil hier und bei den Science Busters sagst Du immer nur 100 Stellen.

  41. #41 Florian Freistetter
    15. März 2017

    @Christian Berger: “Weil hier und bei den Science Busters sagst Du immer nur 100 Stellen.”

    Du kannst auch die Stellen 200 bis 300 aufsagen. Oder bei Stelle 1000 anfangen. Oder meinetwegen auch jede 2te Stelle und bis 200 gehen 😉 Wichtig ist, dass du dich mit Pi beschäftigst und gleichzeitig durch das rezitieren zeigst, das es dir ernst ist mit der Zahl Pi. Was nicht geht (falls du darauf spekulierst): Einfach irgendwelche 100 Zahlen aufsagen und dann behaupten, dass die ja eh irgendwo in der Reihenfolge in Pi auftauchen 😉

  42. #42 Erik
    15. März 2017

    @Turi:
    Das ist ja ganz nett, aber leider (oder besser: zum Glück) nicht Pi.

  43. #43 georg
    15. März 2017

    @Florian #41
    Irgendwo tauchen ja auch die Zahlen 1, 2, 3, … 100 auf. Die Stelle könnte man heraussuchen und sich merken, und von da an die Zahlen aufsagen. Gilt das auch?

  44. #44 Florian Freistetter
    15. März 2017

    @georg: ” Die Stelle könnte man heraussuchen und sich merken, und von da an die Zahlen aufsagen.”

    Ich glaube, das “heraussuchen” wird da die größere Herausforderung 😉

  45. #45 Smok Danek
    15. März 2017

    Grandios: Meine Handy-Telefonnummer taucht nirgendwo auf. Jedenfalls mit Vorwahl nicht. Ohne Vorwahl plötzlich etwa 200 Mal 😛

  46. #46 Smok Danek
    15. März 2017

    Und mein B-Day gerade mal dreimal drin. 😛 Warum muss ich immer aus der Reihe tanzen…

  47. #47 Laie
    15. März 2017

    @PDP10

    Keine Sorge, ich befestige Messgeräte immer an Gegenständen, die zu messen sind – und ansonsten mach ich gerne die Augen zu! :)

    Wobei – lange vor Lichtgeschwindigkeit – sich die Tasse schon zerbröselt …

  48. #48 Turi
    15. März 2017

    @Erika:
    Haben sie auch Argumente warum das NICHT Pi sein sollte? Behaupten können Sie ja vieles, aber wäre nett wenn Sie mir auch sagen könnten warum sie das glauben. Oder verstehen sie wie Folke einfach nur nicht worum es geht?

  49. #49 Turi
    15. März 2017

    @Erik Sorry, da ist mir ein a zu viel in den Namen gerutscht. Das tut mir leid.

  50. #50 Vortex
    15. März 2017

    @wereatheist / #37: Kleine Anmerkung am Rande!

    Die Konvertierung der Ziffern in Buchstaben ist hier nicht korrekt,
    mit der Ziffer, 0 für A zu beginnen wäre völlig verkehrt!

    So wäre es korrekt

    A = 1
    B = 2
    C = 3
    D = 4
    E = 5
    F = 6
    G = 7
    H = 8
    I = 9
    J = 10
    K = 11
    L = 12
    M = 13
    N = 14
    O = 15
    P = 16
    Q = 17
    R = 18
    S = 19
    T = 20
    U = 21
    V = 22
    W = 23
    X = 24
    Y = 25
    Z = 26

    Ein weiterer Fehler sind die jeweils 3 Additionen von +26 pro Buchstabe, z.B. für den
    Buchstaben A wäre dies 0, 26, 52 und für den
    Buchstaben B wäre dies 1, 27, 53 usw.,… und für

    Buchstaben Z wäre dies 25, 51, (max. nur bis 99 oder V)

    hier sollte man nachbessern, denn die Ergebnisse
    für die Buchstabenkonvertierung sind nicht relevant :).

  51. #51 JoJo
    15. März 2017

    @Florian Freistetter

    Konzentriert man sich bei Normalität von π nur auf diejenige zur Basis 10? Hat Basis 10 hier besondere Vorteile oder Bedeutung?

  52. #52 Florian Freistetter
    15. März 2017

    @Jojo: Nein, die Normalität wurde auch schon in anderen Basen untersucht. Die Indizien sehen überall gleich aus.

  53. #53 Alderamin
    15. März 2017

    @Turi

    Haben sie auch Argumente warum das NICHT Pi sein sollte?

    Die englische Wikipedia ist da ziemlich eindeutig:

    This definition of π implicitly makes use of flat (Euclidean) geometry; although the notion of a circle can be extended to any curved (non-Euclidean) geometry, these new circles will no longer satisfy the formula π = C/d.

    und

    Because its definition relates to the circle, π is found in many formulae in trigonometry and geometry, especially those concerning circles, ellipses, and spheres. Because of its special role as an eigenvalue, π appears in areas of mathematics and the sciences having little to do with the geometry of circles, such as number theory and statistics.

    Es würde auch wenig Sinn machen, allerhand Kettenbrüche und Reihenentwicklungen für den einen Wert der Kreiszahl aufzuzählen, wenn π variabel wäre und von der Geometrie abhängen würde. π taucht ja auch als Nullstelle der Sinus- und Cosinus-Funktionen und in der komplexen Exponentialfunktion, die mit Kreisen nur indirekt zu tun haben (siehe auch die Beispiele im Wikipedia-Artikel, z.B. für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei zufällig ausgewählte Zahlen gemeinsame Primteiler haben, Basel-Problem).

  54. #54 Erik
    15. März 2017

    @Turi:
    Pi ist nicht einfach definiert als Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser irgend eines Objektes das man gerade als Kreis bezeichnen will.

    Pi ist das Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser eines Kreises bei Verwendung der kanonischen euklidischen Metrik. Oder alternativ der Flächeninhalt des Einheiskreises bei Verwendung der euklidischen Metrik und des (mit dieser Metrik kompatiblen) Lebesgue-Maßes. Oder (da Längen und Flächeninhalte nichtgeradliniger Objekte mathematisch nicht ganz trivial sind) das doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus (den man z.B. über seine Taylorreihe definieren kann). Oder man kann Pi auch direkt über den Grenzwert einer Reihe wie der Leibniz-Reihe definieren.

    Alle diese möglichen Definitionen sind äquivalent dahingehend, dass sie dieselbe reelle Zahl als Pi definieren. Und dies ist eben eine eindeutig bestimmte Zahl, deren Dezimaldarstellung mit 3,141 anfängt.

    Wenn Sie Ihre eigene Privatnotation verwenden möchten, in der das Symbol π für etwas anderes steht, dann können Sie das selbstverständlich tun. In einer Diskussion in der ganz offensichtlich implizit die Standardnotation (in der π = 3,141… gilt) verwendet wird, ist dies allerdings nicht sinnvoll.

  55. #55 Laie
    15. März 2017

    Die Darstellung von Turi ist nicht falsch, es hängt von der Metrik ab, bzw. von der Oberfläche auf der der Kreis nun liegt. Auf der Kugeloberfläche ist tatsächlich in der Höhe des Äquators von einem der Pole aus gesehen das Verhältnis vom Umfang zu Radius 4, ein zugegeben witziger Fall.

    Es sind halt mathematische Betrachtungen, die für Menschen, die sich nur mit dem euklidischen Raum beschäftigen als nicht relevant erscheinen.

    Weiss man eigentlich, ob unser Raum wirklich ungekrümmt ist, oder ganz leicht? Falls ja, dann wäre ab irgendeiner Stelle das mathematische PI für den euklidischen Raum nicht geleich dem PI unserer Welt.

  56. #56 Erik
    16. März 2017

    @Laie:
    Doch, die Darstellung von Turi ist insofern falsch, als dass das Verhältnis von Umfang zu Radius eines Kreises bei Verwendung anderer Metriken im Allgemeinen eben nicht Pi ist.

    Es geht hier auch nicht darum, wem was relevant erscheint. Sondern schlicht und ergreifend darum, korrekte Definitionen zu verwenden (“korrekt” im Sinne von wohldefiniert und den allgemeinen Konventionen entsprechend; Turis Pi ist keines von beiden).

    Selbstverständlich ist unser Raum gekrümmt; das ist ja eine der Kernaussagen der allgemeinen Relativitätstheorie. Mit Pi hat das allerdings wieder herzlich wenig zu tun.

  57. #57 Laie
    16. März 2017

    @Erik
    Wenn man nun einen Zeitpunkt nach dem Urknall betrachtet, an dem der gesamte Raum die Größe eines Tennisballes hatte und dort einen Kreis auf eine Fläche mit der größtmöglichen Ausdehnung von einem Rand zum nächsten zeichnen wollte, der denselben Durchmesser wie die gesamte Ausdehnung hätte, da gäbe das einen sehr lustigen Effekt.

    Noch besser wird es zu versuchen, einen Kreis zu zeichnen, der genau den halben Durchmesser hätte und dann das Verhältnis zwischen Kreis und Durchmesser zu betrachten – welcher Wert käme dort raus?

  58. #58 Erik
    16. März 2017

    @Laie:
    Das hängt davon ab, welche Mannigfaltigkeit und welche Metrik darauf man wählt. Auf einem flachen Torus bekommt man z.B. dieselben Resultate wie im gewöhnlichen euklidischen Raum (abgesehen von der Komplikation, ob und wenn ja wie man Kreise mit Durchmesser größer als der kleinste Durchmesser des Torus definiert).

    Für andere Modelle, etwa einen homogenen sphärischen Raum, bekommt man andere Resultate. Da ich nicht genau verstehe welche Situationen Sie sich vorstellen, kann ich Ihnen leider nicht bei der Berechnung helfen.

    Aber, falls das noch nicht klar sein sollte: So interessant das alles sein mag, mit Pi hat es nichts zu tun.

  59. #59 Laie
    16. März 2017

    @Erik
    Ja, deswegen sind diese Fälle auch interessant, wo aufgrund von Abweichungen vom unseren gewohnten Raum für das Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser ein anderer Wert rauskommt. Mir soll es recht sein, wenn bei all diesen Fällen das Verhältnis nicht PI genannt wird.

    Bei meinen Beiträgen hab ich auch nicht darauf bestanden, den abweichend erhaltenen Werte auch PI zu nennen, obwohl der letzte Satz von meinem Beitrag #55 – wenn man will – missverstanden werden könnte.

    Welchen Wert erhalten Sie für das Verhältnis, einer Gedachten Ebene – die durch einen stark gekrümten Raum geht – wie bei einem Tennisball und Sie einen Kreis mit dem halben Radius der maximalen Ausdehnung, in diese Ebene zeichnen wollten.

    Hinweis: Wenn Sie in einer Richtung dort (als Ameise) gehen würden, kämen Sie immer zu ihrem Ursprungsort zurück – obwohl Sie wirklich ganz gerade gehen. Das ist also nicht eine verbogene Ebene, wie auf einer Kugel.

    Vor allem die Frage, wie sähe der Kreis denn aus?

  60. #60 Laie
    16. März 2017

    (Eigentlich ist die Aufgabe ganz leicht zu lösen)

  61. #61 Laie
    16. März 2017

    Gemeint ist bei “Tennisball”, natürlich das Universium in der Ausdehnung dieser Größe von ca 10 cm, durch das eine Ebene gelegt wird und ebenfalls stark gekrümmt ist. Der Mittelpunkt in dieser Ebene darf natürlich frei gewählt werden, der Radius beträgt 5cm, die Hälfte davon.

    1. Wie groß ist dieses Kreises?
    2. Welcher Wert erhält man für das Verhältnis von Umfang zu Radius?

  62. #62 Erik
    16. März 2017

    @Laie:
    Wenn es so leicht ist, dann können Sie es sicher alleine lösen. Dann muss ich mich schon nicht bemühen Ihre Ausführungen verstehen zu müssen. (Der dritte Absatz von Kommentar #59 ist schon grammatikalisch sehr gewöhnungsbedürftig.) Und danke für den Versuch, mir hier Differentialgeometrie erklären zu wollen. Bitte haben Sie Verständnis, dass ich lieber bei meinen alten Vorlesungsmitschrieben und Lehrbüchern bleibe.

    Wie genau definieren Sie “Ebene”? Alle Punkte, die von einem fest gewählten Startpunkt aus durch eine Geodäte erreichbar sind, wobei der Tangentialvektor im Startpunkt in einem gegebenen 2d-Unterraum des Tangentialraums liegt?

    Wie kommen Sie auf die Idee, man käme immer zum Ursprungsort zurück? Es gibt sehr wohl stark gekrümmte Räume in denen das nicht der Fall ist (Standardbeispiel wäre der hyperbolische Raum).

  63. #63 rolak
    16. März 2017

    grammatikalisch sehr gewöhnungsbedürftig

    ^^Kein Wunder, daß es nirgends mehr Kreide gibt – Erik ist schuld…
    btw: Warum liegen da Krümel im Raum?

    52.126.615

    Bin rund 2e7 Stellen älter, Florian ;‑)

  64. #64 Laie
    16. März 2017

    @Erik
    Naja, so schwer ist der Satz auch nicht zu verstehen. Vielleicht hilft das mit ein paar Ergänzungen:

    Bei meinen Beiträgen hab ich auch nicht darauf bestanden, den abweichend erhaltenen Wert bei anderen Metriken auch PI zu nennen , wie es bei einem andern User der Fall ist, obwohl der letzte Satz von meinem Beitrag #55 – wenn man will – missverstanden werden könnte.

    Die Ebene darf durch einen beliebigen Punkt gewählt werden, da das Ergebnis ja dasselbe ist.

    Ebene ist das, was man mit 2 Vektoren aufspanne kann.
    Stellen Sie sich einfach ein Blatt Papier vor, das nun eine Ebene repräsentieren soll. Nun stellen Sie sich vor, dieses Blatt Papier ist unendlich dünn, also eine Ebene und recht eben, also ohne Runzeln usw. Diese Ebene schieben sie in da jungfäuliche 10 cm Universium, rein gedanklich natürlich – real wird das kaum gehen. Dort soll dann der Kreis drauf.

    Kreis ist das, das von einem beliebigen aber fixen Punkt denselben Abstand von 5 cm hat. Die Kreisgleichung lautet r² =x² + y².

    Die spannende Frage ist nun, einen Kreis in einen derart stark gerkümmten Raum in die beschriebene Ebene zu zeichen. Sie können gerne ihre Schulbüher oder ihre Mitschriften dazu heranziehen, da will ich sie nicht überzeugen. Nur was bei Ihnen da rauskommt wäre interessant.

  65. #65 Laie
    16. März 2017

    @Erik
    Naja, so schwer ist der Satz auch nicht zu verstehen. Vielleicht hilft das mit ein paar Ergänzungen:

    Bei meinen Beiträgen hab ich auch nicht darauf bestanden, den abweichend erhaltenen Wert bei anderen Metriken auch PI zu nennen , wie es bei einem andern User der Fall ist, obwohl der letzte Satz von meinem Beitrag #55 – wenn man will – missverstanden werden könnte.

    Die Ebene darf durch einen beliebigen Punkt gewählt werden, da das Ergebnis ja dasselbe ist.

    Ebene ist das, was man mit 2 Vektoren aufspanne kann.
    Stellen Sie sich einfach ein Blatt Papier vor, das nun eine Ebene repräsentieren soll. Nun stellen Sie sich vor, dieses Blatt Papier ist unendlich dünn, also eine Ebene und recht eben, also ohne Runzeln usw. Diese Ebene schieben sie in da jungfäuliche 10 cm Universium, rein gedanklich natürlich – real wird das kaum gehen. Dort soll dann der Kreis drauf.

    Kreis ist das, das von einem beliebigen aber fixen Punkt denselben Abstand von 5 cm hat. Die Kreisgleichung lautet r² =x² + y².

    Die spannende Frage ist nun, einen Kreis in einen derart stark gekrümmten Raum in die beschriebene Ebene zu zeichnen. Sie können gerne ihre Schulbücher oder ihre Mitschriften dazu heranziehen, da will ich sie nicht überzeugen. Nur was bei Ihnen da rauskommt wäre interessant.

  66. #66 Erik
    16. März 2017

    @Laie:

    Die Ebene darf durch einen beliebigen Punkt gewählt werden, da das Ergebnis ja dasselbe ist.

    Nur wenn der Raum homogen ist, was Sie — wenn ich mich recht erinnere — nicht explizit gefordert haben.

    Ebene ist das, was man mit 2 Vektoren aufspanne kann.

    In einem gekrümmten Raum können Sie mit Vektoren nichts aufspannen, denn ein solcher Raum ist ja gerade kein Vektorraum.

    Kreis ist das, das von einem beliebigen aber fixen Punkt denselben Abstand von 5 cm hat. Die Kreisgleichung lautet r² =x² + y².

    In einem gekrümmten Raum widerspricht das erste dem zweiten.

    …Schulbücher…

    Sie hatten Differentialgeometrie in der Schule?

  67. #67 Laie
    16. März 2017

    Ich bin ja nur ein Laie, daher meine Frage an den Experten :)

    Raum, der in sich gekrümmt ist, sodass beim Geradeausgehen man immer zu denselben Punkt angelangt, obwohl man gerade aus ging, nach genau 10cm. Die Krümmung ist in allen Punkten gleich stark.
    Eine Ameise auf dieser würde sich immer von hinten sehen. Also keine hyperbolische Krümmung.

    Der Raum ist leer, schön homogen. Keine Hindernisse, und dort eine Ebene, die dann interessante Eigenschaften aufzuweisen hat. In diesem gekrümmten Raum soll auf einer Ebene von einem beliebig gewählten Punkt weitere Punkte gezeichnet werden, die von diesem gewählten Punkt einen fixen Abstand haben. Dieser Abstand beträgt 5 cm.

    Gemeint waren ihre Lehrbücher, die ich als Schulbücher verwechselt bezeichnete.

  68. […] Es mag nicht wundern, dass was für Mathematiker normal ist, sich unserem Verständnis von normal durchaus entziehen kann. Pi ist ohnehin schon eine komplizierte Angelegenheit und dass Mathematiker sie jetzt erneut als normal beschreiben konnten, mag den Normalmenschen überfordern. Florian versucht, es verständlich zu machen. […]

  69. #69 Erik
    17. März 2017

    @Laie:
    So langsam kommen wir der Lösung näher. Wenn Sie jetzt noch den Begriff “Ebene” sinnvoll definieren…

    Aber wie Sie schon in Kommentar #60 schrieben, ist das alles ganz leicht.

  70. #70 michi
    18. März 2017

    Deine Erklärung von normalen Zahlen ist nicht vollständig! Damit eine Zahl normal ist, muss nicht nur jeder Ziffernfolge der beliebigen Länge k vorkommen, alle Ziffernfolgen der Länge k müssen gleich-häufig sein!

  71. […] Astrodicticum Simplex (scienceblogs.de): Die Zahl Pi könnte normal sein und das ist definitiv nicht normal! […]