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Mathematik oder Abenteuerspielplatz?

Von / 19. Juni 2013 / 24 Kommentare / Seite 2 von 2 / Auf einer Seite lesen
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Pauken ist sicher kein tragfähiges pädagogisches Konzept. Aber ist es nicht zu viel verlangt, wenn Kindern (um mal eine Analgie zu benutzen) lernen sollen, wie man kreativ Musik macht, indem sie sich selbst die Konzepte von Harmonie und Tonalität erarbeiten müssen – und dann auch noch selbst herausfinden müssten, wie man den Geigenbogen hält und Noten liest? Oder besser noch, wie man sich eine Geige baut? Ist es nicht eine unsinnige Zeitverschwendung, sich bewährte musikalische Techniken selbst erarbeiten zu müssen – Zeit, die statt dessen darauf verwendet werden sollte, Musik zu begreifen? Oder, um auf meine Titel-Analogie zurückzukommen: Ist Mathematik lernen ein Abenteuerspielplatz, oder haben Schulpolitiker hier den Spielplatz mit einer Baustelle verwechselt, wo Kindern mehr Zeit damit verbringen müssen, Materialien zu finden und herabzuschleppen, als kreativ zu spielen?

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Kommentare (24)

  1. #1 Orci
    19. Juni 2013

    Ich finde die Analogie zur Musik sehr gelungen. Der Zahlenstrahl, die Mengenlehre, Lösungsmethoden für, auch ganz einfache, Gleichung – das sind für jemanden, der noch nie damit zu tun hatte, erst mal alles hoch abstrakte Konzepte. Schwierig zu verstehen, wenn man nicht mal die Grundlagen beherrscht. Die Idee, Kinder möglichst früh daran zu gewöhnen, selbstständig zu Entdecken, was es zu wissen gibt, ist lobenswert. Wird dieser Gedanke nicht früh genug vermittelt, werden die jungen Erwachsenen im evtl. Studium später Probleme haben. Aber zu früh vermittelt, sorgt er eher für Verwirrung und gefährliches Halbwissen (was fatal ist, wenn noch solches beim Lehrer hinzu kommt). Es gibt ein interessantes, schon etwas älteres Buch mit dem etwas plakativen und gemessen am Inhalt etwas zu polemischen Titel “Why Johnny can’t add”, das genau diese Probleme anspricht – obwohl es gegen eine andere pädagogische Idee aus einer anderen Zeit angeht.

    Aber auf der anderen Seite haben trotz New Math und all den Konzepten, die davor oder danach kamen, die allermeisten Leute Rechnen und zumindest viele auch Mathematik gelernt. Den verlinkten Artikel werde ich trotz dessen mal lesen…

  2. #2 camie
    19. Juni 2013

    Ich denke, es ist wie immer… eine gute Kombination bzw. ein Mittelding wird auf lange Sicht für einen Großteil der Kinder zum Erfolg führen.
    Ein kleines Gegenbeispiel: Ein Neffe von mir – 8. Schuljahr Realschule – war bei einem bestimmten Aufgabentypus schon “weiter” als seine Klassenkameraden, konnte also ohne ein im Unterricht vorgestelltes Hilfsmittel die Aufgabe korrekt lösen. In der Klassenarbeit gab es trotz richtigem Lösungsweg (also nicht einfach nur das Ergebnis plump hingeschrieben, sondern ordentlich hergeleitet – aber eben etwas anders als im Unterricht) einen Punktabzug, weil sein Lösungsweg “falsch” war.
    So als müßte man jedes Mal “3*4 = 4+4+4 = 12” schreiben, und wer “3*4=12” schreibt bekommt nicht die volle Punktzahl.
    Das ist genau so bescheuert wie jedes Kind dazu zu zwingen, sich zig Lösungswege auszudenken, obwohl es schon einen vernünftigen Weg versteht, kennt und richtig anwenden kann.

  3. #3 CM
    19. Juni 2013

    Tja, camie, recht hast Du – nur versuche das mal einem Lehrer beizubiegen. Fehler zugeben ist schwierig – und wenn ein ganzes Kollektiv von Lehrern das tun soll, wird es erst recht schwierig. Und das ist auch der Punkt hinter
    … warum an einem System, dessen Nutzen selbst von Fachleuten bezweifelt und in der Praxis nicht erkennbar ist, so hartnäckig festgehalten wird..
    Und auch die Mit-Ursache dafür, warum Änderungen im Bereich der (Hoch-)Schuldidaktik so schwer einzuführen sind. (Nicht wenige Male sind Widerstände gegen Änderungen natürlich objektiv richtig.)

    Und zum Schluß zu
    Ist es unkreativ, Kindern simple Algoritmen zu vermitteln?
    Ja, schon. Das ist Vokabllernen auch. Kreativ wird es die richtigen Algorithmen / Wörter zu neuen Lösungsstrategien / Texten zusammenzubauen. (OK, die Analogie hinkt … aber das tut die Musikanalogie auch und ist trotzdem richtig (gut).)

  4. #4 Jakob B.
    19. Juni 2013

    Hallo Jürgen,

    danke für den Artikel, Du hast eines meiner liebsten Themen erwischt. Ich bin exakt gegenteiliger Meinung.

    Es wundert mich, dass der “Math War” bisher anscheinend an Dir vorbeiging. Davon hat man ja selbst in Deutschland hin und wieder gelesen. Ich kann natürlich den Unterricht und die spezifischen Schwierigkeiten deines Sohnes nicht beurteilen, jedoch vermute ich dass der progressive Ansatz (den dein Sohn erlebt) grundsätzlich dem Traditionellen Ansatz überlegen ist.

    Ich vermute, wenn Dein Sohn nach dem traditionellen Ansatz unterrichtet werden würde und trotzdem große Schwierigkeiten hätte, würdest Du Dich nicht über den Ansatz beschweren. Dich stört vermutlich, dass er nicht die gleichen Rechenfähigkeiten, in der gleichen Zeit erlernt wie Du in Deiner Schulzeit. Dabei übersiehst Du vielleicht, dass im Gegensatz zu den bloßen Rechenfähigkeiten die mathematischen Fähigkeiten sehr wohl hervorragend geschult werden.

    Der amerikanische Mathematikprofessor Keith Devlin, schrieb vor 3 Jahren einen Artikel, der sich wie eine Replik auf diesen Blogpost liest: https://www.maa.org/devlin/devlin_06_10.html

    Ein paar Ausschnitte aus dem Artikel:
    “Parents whose own math education was more traditional, with the students sitting in rows, in ability-streamed classes, being shown methods by the teacher and then working silently on their own – and that is practically all parents – often find it hard to believe that the Railside approach [Anm: progressiver Ansatz] could work. They believe the loose structure will mean the kids won’t master skills well enough to pass tests, and that the presence of weaker students will drag down the better ones. Often they maintain this belief despite freely admitting that the traditional approach did not work for them, …”

    “When Boaler would visit a class being taught in a Railside-like fashion [Anm: progressiver Ansatz] and ask students what they were working on, they would describe the problem and how they were trying to solve it. When she asked the same questions of students being taught the traditional way, they would generally tell them what page of the book they were on. When she asked them, “But what are you actually doing?” they would answer “Oh, I’m doing number 3.” ”

    Er listet ein paar Zitate von Schülern auf die mir traditionellem Ansatz unterrichtet werden:
    “In Math You Have to Remember, In Other Subjects You Can Think About It”

    “In maths, there’s a certain formula to get to, say from A to B, and there’s no other way to get it. Or maybe there is, but you’ve got to remember the formula, you’ve got to remember it.”

    Und ein paar Zitate von Schülern die nach dem progressiven Ansatz unterrichtet werden:
    “You’re just set the task and then you go about it … you explore the different things, and they help you in doing that … so different skills are sort of tailored to different tasks.”
    “If you find a rule or a method, you try to adapt it to other things.”

    Ich selbst habe ich von Anfang an dem traditionellen Ansatz in der Schule verweigert. So habe ich z.B. nie das Einmaleins auswendig gelernt und auch sonst nie eine Formel. Wenn ich nicht verstanden hatte warum etwas funktioniert, dann hab ich es auch nur höchst wiederwillig angewendet. Die Folge waren zunächst eher mäßige Noten in Mathe. Ab der 8. Klasse ungefähr fing ich dann an meine Klassenkameraden spielen abzuhängen.
    Später habe ich mir große Bereiche der Stochastik nur mit logischen Nachdenken über Würfel- und Kartenspiele ohne jegliche Anleitung oder Lehrbücher selbst erschlossen und habe ein eigenes System entwickelt mit dem ich 3. Wurzeln im Kopf ziemlich genau abschätzen kann. Ich kann kaum eine Formel auswendig sondern leite sie mir spontan aus logischen Überlegungen her. Das ganze führe ich darauf zurück, dass ich mich dem sturen rechnen ohne Verstand immer verweigert habe.

    Ich weiß nicht ob der Ansatz in der Schule Deines Sohnes funktioniert, der traditionelle funktioniert jedoch offensichtlich für die meisten nicht.

  5. #5 Freawaru
    19. Juni 2013

    @Jakob B.

    Für mich klingt es so, als seist Du einer der wenigen in jeder Klasse, bei denen Mathematik “freigeschaltet” ist. Im Gehirn. Das Denken in Formalen Systemen ist etwas, was bei Menschen in unterschiedlichen Altersstufen aktiviert wird – bei einigen sogar erst mit über 20. Erst wenn dies passiert ist, kann man Mathematik so verstehen, wie Du es ab der 8. Klasse verstehst. Und Spaß dran haben.

    Leider trifft dies für den größten Teil der Schüler und Schülerinnen nicht zu. Die werden alle mit dem progressiven Ansatz total überfordert und die Lehrer haben das Problem das sie den Lehrplan nicht schaffen, weil ja jedes Kind das “Rad” selbst erfinden soll.

    Ich habe damals in meiner Schule nie das Einmaleins auswendig gelernt. Mit dem Resultat, dass ich in Kopfrechnen immer schlecht oder langsam war. Kopfrechen ist eine Sache der Erinnerung. Man kann nicht immer 7+8 an den Fingern abzählen, man muss das Ergebniss auswendig kennen. Genau so ist es mit der höheren Mathematik.

    Im Prinzip finde ich den progressiven Ansatz eine Beleidigung an die Mathematiker, die oft in jahrelanger und ausschließlich auf Mathematik konzentrierter Arbeit neue Mathematik entwickelt haben. Und nun sollen Kinder in gerade mal 4 Stunden die Woche in der Lage sein, genau so genial zu sein?

    Ich finde das absurd. Kann garnicht klappen. Tut es auch nicht. Die meisten Schüler und Schülerinnen müssen heutzutage Nachhilfe bekommen, etnweder von den Eltern oder von Fachleuten. Schülerzentriertes Unterrichten ist, meiner Beobachtung nach, nicht auf den Mathematikunterricht anwendbar.

  6. #6 Freawaru
    19. Juni 2013

    @Jürgen Schönstein

    Ich stimme Dir voll und ganz zu.

    Diese pädagogische Mode gibt es übrigens in Deutschland schon eine ganze Weile. Nennt sich “schülerzentriertes Lernen”. Die Idee ist, dass Schüler am besten von anderen Schülern lernen und nicht vom Lehrer. Oder indem sie etwas allein (oder noch besser in einer Gruppe) herausfinden. Das das in Mathematik (oder Physik) nicht klappen kann ist für alle offensichtlich – bis auf für Pädagogen.

    Der verlinkte Artikel war interessant – vielen Dank. Das verrückte ist, dass die Schülerinnen und Schüler ja mit diesem Ansatz selber denken und analysieren lernen sollen, doch wenn man sich ansieht wer das als Erwachsener kann, sind das meistens die Mathematiker und Physiker. Also genau die, die jahrelang nichts anderes “gelernt” haben als Algorythmen und was andere Menschen schon lange vor ihrer Zeit erfunden und erforscht haben.

    Andererseits lernt man im heutigen Deutschunterricht immer noch, das nur die Interpretation eines Textes richtig ist, die der Lehrer glaubt. Ich denke, hier wäre mal ein guter Ansatz um selbstständiges und kritisches Denken zu erlernen. Mathematik leistet das schon in der klassischen Lehrweise. Meine Mathelehrer jedenfalls haben mir volle Punktzahl gegeben, wenn ich das richtige Ergebniss auf einem anderen Weg erreichte, als erwartet.

  7. #7 Jakob B.
    19. Juni 2013

    @Freawu:
    Naja, nach einer gewissen Zeit sollte man schon 7+8 auswendig wissen, aber doch nicht weil man es auswendig gelernt hat, sondern weil man es schon so oft im Kopf gerechnet hat. Ich denke wenn man ab einem gewissen Alter immer noch schlecht im Kopfrechnen ist, dann liegt das daran, dass man im Alltag wenig rechnet. Man rechnet deshalb wenig weil man keinen Zugang zur Mathematik hat, also nicht auf die Idee kommt alltägliche Probleme mathematisch anzugehen. Darum kümmert sich der progressive Ansatz. Die Idee das Einmaleins auswendig zu lernen vermittelt Kindern von vorneherein eine falsche Vorstellung davon was mathematisches Denken ist.
    Auch ist es Wahnsinn zu versuchen beim progressiven Ansatz den gleichen Stoff in der gleichen Zeit zu unterrichten. Man lernt weniger, aber dafür hat man das was man lernt am Ende auch wirklich verstanden und kann es ein Leben lang anwenden. Wenn ich mich in meinem Bekanntenkreis umsehe versagt in dieser Hinsicht der traditionelle Ansatz total. Es fehlt ein Gespür für Prozentrechnung, für Wahrscheinlichkeiten, kaum einer kann erklären was das Wesen einer Integration ist und Beispiele aus dem Alltag nennen. Ich rede hier von Akademikern, teilweise Ingenieuren (diese können zwar oft gut rechnen, haben aber keinen blassen Schimmer was sie da rechnen). Warum wird in der Schule überhaupt Mathematik unterrichtet, wenn alles ab der vierten Klasse nicht verstanden und sofort vergessen wird?

    „Im Prinzip finde ich den progressiven Ansatz eine Beleidigung an die Mathematiker, die oft in jahrelanger und ausschließlich auf Mathematik konzentrierter Arbeit neue Mathematik entwickelt haben.“
    Nein, wir haben einen riesigen Vorteil gegenüber den Mathematikern von damals. Beschäftige Dich mal mit der Geschichte der Stochastik, da wird das recht deutlich. Ein lächerlich einfaches Rätsel (Teilungsproblem) war lange Zeit ungelöst und die Genies Blaise Pascal und Pierre de Fermat konnten es schließlich lösen. Heute kennt jeder Wahrscheinlichkeiten aus dem Alltag, wird ständig damit konfrontiert. Als eine Folge davon bekommen wohl viele Menschen das Rätsel auch ohne Kenntnisse in der Stochastik gelöst. Warum gelang es wohl einem mittelmäßigen Gehirn wie meinem, sich die Stochastik selbst zu erschließen und damit Rechentechniken zu entwickeln, die tausende von Jahren auf die klügsten Köpfe wie Magie gewirkt hätten?
    Gehen wir weiter zurück (z.B. Pythagoras, Grund- und Mittelstufenmathematik ist ja schon im Altertum entwickelt worden), waren nicht mal das arabische Zahlensystem bekannt, geschweige denn irgendein sauberer Formalismus für die Lösung komplexerer Aufgaben. Und Pythagoras hatte auch keinen Lehrer, den er fragen konnte wenn er nicht weiter wusste…

  8. #8 Quacki
    20. Juni 2013

    Kennt ihr schon das hier: A Mathematicians Lament. Der Autor hat eine zeitlang als Mathematiker geforscht, ist dann aber aus Passion als Lehrer an eine Schule gegangen. Er haßt den traditionellen Mathematikunterricht. Für ihn ist Mathematik eine Kunst, die der Erbauung dient, und wird aber in der Schule nur über stumpfes Auswendiglernen vermittelt. Er hat sich im Laufe der Zeit sein eigenes Konzept erarbeitet, und ist damit wohl erfolgreich; seine Schüler sind kreativ beim Finden neuer Lösungen.

    Ich selber bin bei Jakob B. Ich war zwar relativ gut in Mathe in der Schule, weiß aber so gut wie gar nichts mehr davon, weil das für mich immer unzusammenhängender sinnloser Kram war. Leider habe ich in der Zeit auch nicht den Ehrgeiz entwickelt, mal selber mir was beizubringen. Die Folge war, dass ich direkt nach der Schule Mathe als reine Formelhuberei begriffen habe, was mir danach (Physikstudium) ziemliche Probleme bereitet hat.

    Wenn der progressive Ansatz es schafft, ein Verständnis von Mathematik zu vermitteln, im Gegensatz zu reinem geschichts- und zusammenhanglosen Formelwissen, dann halte ich ihn für weit überlegen.

  9. #9 Jürgen Schönstein
    20. Juni 2013

    Das “Verständnis” kommt doch nicht daher, dass man selbst herausfinden muss, wie die Grundrechenarten funktionieren (also wie man multipliziert, oder wie man subtrahiert) – sondern was man mit diesen Algoritmen machen kann. Ich bin ja auch gegen stupides Auswendiglernen – aber wir müssen ja auch nicht das Rad neu erfinden, wenn wir das Radfahren lernen wollen. Alle Wissenschaften – nein, eigentlich alles, was wir tun – hat einen großen Anteil, der als Erfahrung, als Wissensbestand übernommen wird. Die Fähigkeit zum kritischen Denken bedeutet ja nicht, dass man all das nicht übernehmen darf – sie bedeutet, dass man das Werkzeug braucht, um diese Überlieferungen zu hinterfragen. Aber es liegt kein Sinn darin zu hinterfragen, ob zwei mal zwei wirklich vier ist. Und darauf läuft diese Mathematikunterricht in der Praxis hinaus. Um noch einmal die Musik-Analogie zu verwenden: Diese neue Mathematik-Pädagogik ist löblicher Weise angetreten, den Schülerinnen und Schülern nicht immer nur die gleichen alten Musikstücke beizubringen; aber in der Praxis hat sie dabei versäumt, ihnen das Spielen des Instruments beizubringen.

  10. #10 Jakob B.
    20. Juni 2013

    Ja, es kann gut sein, dass der Unterricht in der Klasse deines Sohnes weit übers Ziel hinausschießt. Vor allem wenn die Anforderungen so hoch sind, dass die Schüler dem nicht im Entferntesten gerecht werden können. Ich möchte diesen Unterricht also nicht ohne genaue Kenntnis verteidigen, sondern nur gegen eine Rückkehr zum traditionellen Ansatz argumentieren.
    Was mir extrem schlecht erscheint ist die Anforderung mehrere Wege zur Lösung zu erarbeiten. Das wirkt einfach demotivierend. Da wäre es besser abgeänderte Aufgaben zu stellen, bei denen vorher erarbeitete Wege nicht mehr problemlos funktionieren.

    Vielleicht erkläre ich mal wie ich mir den Unterricht vorstelle, Beispiel: Winkelfunktionen. Zunächst würde ich mit vielen Dreiecken aus Pappe und Lineal arbeiten und versuchen, dass die Schüler sich grundsätzliche Dinge selbst erarbeiten (Bei gleichbleibendem Winkel und doppelter Länge der Ankathete verdoppelt sich auch die Hypotenuse, etc.). Wenn durch diese Arbeiten klar geworden ist, dass man eine Sinus-Tabelle braucht um Winkelfunktionen zu lösen, können sich die Schüler in Gruppenarbeit (durch Zeichnen und ausmessen vieler Dreiecke) eigene Sinus-, Cosinus- und Tangesgrafen erstellen. Eine schöne Aufgabe wäre dann, dass die Schüler (mit Hilfe einiger Hinweise) erklären sollen warum der Sinusgraf genau diese Form hat und damit den Bezug zum Kreis herstellen. In der Folge werden durch Ablesen der passenden Werte aus den Grafen alle Aufgaben gelöst und erst ganz zum Schluss die Sinusfunktion im Taschenrechner eingeführt.
    Natürlich dauert das lange, aber ich glaube es ist viel effektiver als einfach stur eine Aufgabe nach der anderen zu rechnen.

  11. #11 Freawaru
    20. Juni 2013

    @Jakob B

    “Naja, nach einer gewissen Zeit sollte man schon 7+8 auswendig wissen, aber doch nicht weil man es auswendig gelernt hat, sondern weil man es schon so oft im Kopf gerechnet hat. ”

    Hat bei mir aber nicht so geklappt. Genausowenig wie Rechtschreibung lernen, die man ja angeblich durch viel Lesen lernt. Stimmt nicht. Ich hab schon in der dritten Klasse mir zwei mal die Woche aus der Bibliothek Bücher ausgeliehen und verschlungen – meine Rechtschreibung hat
    das nicht verbessert.

    Ich denke, da gibt es einfach viele Hypothesen wie Lernen funktioniert, die aber alle nie überprüft wurden.

    “Ich denke wenn man ab einem gewissen Alter immer noch schlecht im Kopfrechnen ist, dann liegt das daran, dass man im Alltag wenig rechnet. Man rechnet deshalb wenig weil man keinen Zugang zur Mathematik hat, also nicht auf die Idee kommt alltägliche Probleme mathematisch anzugehen.”

    Ne, man rechnet im Alltag wenig, weil das so langweilig ist. Schau, ich kenne Leute, die sich mit Begeisterung Nächte um die Ohren schlagen, weil es sie “ärgert”, dass sie ein bestimmtes Integral nicht lösen können oder ähnliches. Aber das ist die Minderheit. Ich kann doch nicht für höchstens ein oder zwei Kinder pro Klasse Unterricht machen.

    “Die Idee das Einmaleins auswendig zu lernen vermittelt Kindern von vorneherein eine falsche Vorstellung davon was mathematisches Denken ist.”

    Warum klappt es dann so erstaunlich gut?

    “Auch ist es Wahnsinn zu versuchen beim progressiven Ansatz den gleichen Stoff in der gleichen Zeit zu unterrichten. Man lernt weniger, aber dafür hat man das was man lernt am Ende auch wirklich verstanden und kann es ein Leben lang anwenden.”

    Das könnte vielleicht klappen, wenn man pro Schüler einen Lehrer hätte. Tatsache ist jedoch, dass man pro Lehrer etwa 30 Schüler hat, von denen – wenn man Glück hat – ein oder zwei es überhaupt interessiert, ein mathematisches Problem zu lösen. Wenn man dann – wie üblich – die Schüler in Gruppen teilt und sie Lösungswege finden lässt, stellt sich heraus, dass nur die Gruppen mit eben jenen Schülern Fortschritte machen. Die anderen Schüler einer solchen Gruppe schreiben einfach von der oder dem “nerd” ab – selbst herausfinden tun sie auch nichts. Die anderen Gruppen sind total überfordert und verweigern irgendwann das Mitmachen. Fazit: die meisten SuS lernen auf diesem Weg nicht besser, sondern nur langsamer.

    “Wenn ich mich in meinem Bekanntenkreis umsehe versagt in dieser Hinsicht der traditionelle Ansatz total. Es fehlt ein Gespür für Prozentrechnung, für Wahrscheinlichkeiten, kaum einer kann erklären was das Wesen einer Integration ist und Beispiele aus dem Alltag nennen. Ich rede hier von Akademikern, teilweise Ingenieuren (diese können zwar oft gut rechnen, haben aber keinen blassen Schimmer was sie da rechnen). ”

    Das muss aber nicht heißen, dass der neue Ansatz dieses Problem beseitigt. Meiner Beobachtung nach ist ein viel größeres Problem im Matheunterricht, dass die SuS zu früh Textaufgaben machen müssen. Das stellt viele vor große Probleme, weil Textaufgaben nicht reine Mathematik sind, sondern Angewante Mathematik. Das ist eine ander “Schublade” im Kopf. Unter den Lehrern fallen Textaufgaben aber unter “Lesekompetenz” – was nicht stimmen kann, weil dann ja alle SuS, die in anderen Fächern gut in Lesekompetenz wären, auch in Textaufgaben gut wären. Dies trifft nicht zu.
    Ich halte es deshalb für sinnvoller mehr reine Mathematik zu üben, bevor man Angewandte Mathamatik (Textaufgaben) lösen muss. Sowohl der klassische als auch der progressive Matheunterricht machen das aber nicht.

    Nur weil der klassische Unterricht Schwächen hat, heißt das nicht, das der progressive besser it oder eben jene Schwächen aufhebt.

    “Warum wird in der Schule überhaupt Mathematik unterrichtet, wenn alles ab der vierten Klasse nicht verstanden und sofort vergessen wird?”

    Wie alles muss man die Sachen, die man lernt, auch regelmäßig üben und trainieren, sonst verliehrt man sie wieder. Mathe macht da keine Ausnahme.

    “Heute kennt jeder Wahrscheinlichkeiten aus dem Alltag, wird ständig damit konfrontiert. Als eine Folge davon bekommen wohl viele Menschen das Rätsel auch ohne Kenntnisse in der Stochastik gelöst”

    Heutzutage haben die SuS Wahrscheinlichkeitsrechnung in der sechsten Klasse. Die Arbeit hierzu fällt meistens schlechter aus als die zu anderen mathematischen Themen.

    “Warum gelang es wohl einem mittelmäßigen Gehirn wie meinem, sich die Stochastik selbst zu erschließen und damit Rechentechniken zu entwickeln, die tausende von Jahren auf die klügsten Köpfe wie Magie gewirkt hätten?”

    Ich würde ein solchen Gehirn nicht mittelmäßig nennen, sondern ein Talent in Mathematik. Trifft auf die wenigsten Menschen zu. Doch wie ich schon sagte, ich kann nicht nur für die wenigen, die das können, Matheunterricht machen.

    “Und Pythagoras hatte auch keinen Lehrer, den er fragen konnte wenn er nicht weiter wusste…”

    Nein, und deshalb kennen wir noch heute seinen Namen. Weil Menschen wie er echt üngewöhnlich und selten sind.

  12. #12 Freawaru
    20. Juni 2013

    @Quacki

    “Wenn der progressive Ansatz es schafft, ein Verständnis von Mathematik zu vermitteln, im Gegensatz zu reinem geschichts- und zusammenhanglosen Formelwissen, dann halte ich ihn für weit überlegen.”

    Wenn das so wäre, würde ich auch dafür sein. Es gibt aber keine Hinweise, dass dem so ist.

    Das Problem ist, dass Mathe ein Formales System ist (siehe z.B. Gödel, Escher, Bach von Hofstater). Das Denken in solchen Systemen ist eine eigene “Schublade” im Gehirn. Das ist wie Laufen lernen. Mann kann das nicht beibringen, im Gehirn muss das “Programm” von allein freigeschaltet werden. Erst dann kann man Mathe wirklich verstehen. Doch auch ohne diese Freischaltung kann man Rechnen und Mathematik benutzen. Nur wirklich verstehen klappt nicht ohne.

  13. #13 Freawaru
    20. Juni 2013

    @Jakob B.

    “Vielleicht erkläre ich mal wie ich mir den Unterricht vorstelle, Beispiel: Winkelfunktionen. Zunächst würde ich mit vielen Dreiecken aus Pappe und Lineal arbeiten und versuchen, dass die Schüler sich grundsätzliche Dinge selbst erarbeiten (Bei gleichbleibendem Winkel und doppelter Länge der Ankathete verdoppelt sich auch die Hypotenuse, etc.). Wenn durch diese Arbeiten klar geworden ist, dass man eine Sinus-Tabelle braucht um Winkelfunktionen zu lösen, können sich die Schüler in Gruppenarbeit (durch Zeichnen und ausmessen vieler Dreiecke) eigene Sinus-, Cosinus- und Tangesgrafen erstellen. Eine schöne Aufgabe wäre dann, dass die Schüler (mit Hilfe einiger Hinweise) erklären sollen warum der Sinusgraf genau diese Form hat und damit den Bezug zum Kreis herstellen. In der Folge werden durch Ablesen der passenden Werte aus den Grafen alle Aufgaben gelöst und erst ganz zum Schluss die Sinusfunktion im Taschenrechner eingeführt.
    Natürlich dauert das lange, aber ich glaube es ist viel effektiver als einfach stur eine Aufgabe nach der anderen zu rechnen.”

    Finde ich prinzipiell einen guten Ansatz für vielleicht die 10 Klasse oder höher (wenn die Hormone sich wieder beruhigt haben). Allerdings braucht man dazu mehr als vier Stunden die Woche, weil die SuS in der nächsten Woche ja schon ihre Gedanken und Versuche und Hypothesen von der vorherigen Stunde wieder vergessen haben. Zwei Wochen Mathe am Stück und dieser Ansatz kann klappen.

  14. #14 Jakob B.
    21. Juni 2013

    @Freawaru:
    Ich schrieb: “Die Idee das Einmaleins auswendig zu lernen vermittelt Kindern von vorneherein eine falsche Vorstellung davon was mathematisches Denken ist.”
    Deine Antwort war: “Warum klappt es dann so erstaunlich gut?”
    Was klappt gut? Ich glaube, genau da liegt der Knackpunkt unserer Meinungsverschiedenheit. Wir haben unterschiedliche Vorstellungen davon was für Fähigkeiten im Mathematikunterricht geschult werden sollten. Wir haben wahrscheinlich sogar unterschiedliche Vorstellungen davon was mathematisches Denken ist.

    Wenn die SuS (ich übernehme die Abkürzung mal) das Einmaleins auswendig gelernt haben können sie entsprechende Aufgaben lösen, ja. Aber was ist damit gewonnen? Auswendig gelernte Werte wiedergeben hat nichts mit Mathematik zu tun. Ich finde auch, dass Rechnen lernen weniger wichtig ist, als das logisch-mathematische Denken zu schulen. Aber selbst wenn es nur ums Rechen geht ist das Ziel doch nicht, dass SuS möglichst früh und reproduzierbar 6×6=36 wiedergeben können, sondern dass sie irgendwann mit 6,5×6,5 genau so wenig Probleme haben wie mit 6×6.

    Bei dem Unterricht den ich erlebt habe, wurde nicht nur das Auswendiglernen des Einmaleins gefordert, sondern auch später sollten die SuS immer Formeln und Verfahren auswendig lernen und reproduzieren können. Das lief recht lange gut, dann kam irgendwann einfache Physik dran. Wenn dort in einer Aufgabe mehrere Massen vorkamen war es ein reines Glücksspiel ob die richtige Masse in die Formel eingesetzt wurde. Aus meiner Sicht ist es aber das allerwichtigste im Mathematikunterricht die Fähigkeit zu erlernen aus Textaufgaben auf eine mathematische Entsprechung zu schließen. Dafür müsste der Großteil des Mathematikunterrichts verwendet werden, denn das ist mathematisches Denken. Wer das nicht kann, der braucht auch nicht rechnen zu können (und wird auch einmal erlernten Rechenfähigkeiten rasch wieder vergessen).

    Ich teile auch Deine Vermutung nicht, dass nur wenige SuS Interesse an Mathematik entwickeln können und in der Lage sind echtes mathematisches Denken zu erlernen. Richtig ist sicherlich, dass dies der Status Quo ist. Es gelang mir aber zumindest bei meinen Nachhilfeschülern, die größtenteils sehr schlecht in Mathe waren, die Grundlagen für dieses Denken zu legen. Ob man dieses Ziel im Schulunterricht mit 30 SuS in einer Klasse erreichen kann, weiß ich aber nicht.

    „Ne, man rechnet im Alltag wenig, weil das so langweilig ist. Schau, ich kenne Leute, die sich mit Begeisterung Nächte um die Ohren schlagen, weil es sie “ärgert”, dass sie ein bestimmtes Integral nicht lösen können oder ähnliches. Aber das ist die Minderheit.“

    Ne, man löst Alltagsprobleme nicht durch Rechnungen, weil man nicht die Fähigkeit hat, diese mathematisch anzugehen. Die Frage ob es langweilig ist stellt sich gar nicht, weil es einfach ein so mächtiges und praktisches Werkzeug ist, dass man es nutzt wenn es einem zur Verfügung steht. Das Lösen eines Integrals ist aber für die meisten kein Alltagsproblem. Dafür können sich tatsächlich nur wenige begeistern. Meist sind das aber genau diejenigen für die Integrale eine Entsprechung in der Realität haben, für die es also keine rein abstrakte Aufgabenstellung ist. Deshalb fordere ich ja einen anderen Unterricht.

  15. #15 Freawaru
    22. Juni 2013

    @Jakob B.

    “Was klappt gut?”

    Did SuS können hinterher gut Kopfrechnen. Was Ziel der Übung ist.

    “Wir haben unterschiedliche Vorstellungen davon was für Fähigkeiten im Mathematikunterricht geschult werden sollten. Wir haben wahrscheinlich sogar unterschiedliche Vorstellungen davon was mathematisches Denken ist.”

    Durchaus möglich. 🙂

    Ich verstehe unter mathematischem Denken das Denken in Formalen Systemen und zwar in mathematischen Systemen.
    https://de.wikipedia.org/wiki/Formales_System

    “Aber selbst wenn es nur ums Rechen geht ist das Ziel doch nicht, dass SuS möglichst früh und reproduzierbar 6×6=36 wiedergeben können, sondern dass sie irgendwann mit 6,5×6,5 genau so wenig Probleme haben wie mit 6×6.”

    Dem stimme ich zu. Aber meiner Erfahrung nach ist es leichter zu lernen wie man 6,5×6,5 rechnet, wenn man schon 6×6 rechnen kann.

    “Wenn dort in einer Aufgabe mehrere Massen vorkamen war es ein reines Glücksspiel ob die richtige Masse in die Formel eingesetzt wurde. Aus meiner Sicht ist es aber das allerwichtigste im Mathematikunterricht die Fähigkeit zu erlernen aus Textaufgaben auf eine mathematische Entsprechung zu schließen.”

    Meiner Meinung nach kann man das nicht wirklich lernen. Ich konnte das schon immer. In der Schule habe ich mich immer gefragt, warum wir Textaufgaben bekamen. Warum nicht gleich rechnen. Textaufgaben waren total langweilig und überflüssig für mich – ich musste ja nur die Werte aus dem Text sammeln. Wozu das Ganze, wenn das eigentliche Problem das Rechnen ist? Bis ich dann merkte, dass viele SuS Schwierigkeiten mit diesen ersten Schritt, nämlich die Werte aus den Texten zu sammeln, haben. Ich habe das nie gelernt, ich konnte das schon immer. Andererseits hat das viele Textaufgaben lösen auch niemandem geholfen, es zu erlernen. Deshalb denke ich, diese Fähigkeit ist wie Laufen – man kann es oder man kann es nicht. Fohlen können eine halbe Stunde nach ihrer Geburt laufen – sie müssen es nicht lernen. Bei menschlichen Kindern dauert es zwischen etwa einem dreiviertel und eineinhalb Jahren. Und niemand kann daran was ändern. Im Gegenteil, Laufübungen, die besorgte Eltern mit ihren Kleinkindern machen, weil das Kind von nebenan schon läuft, können zu Bewegungsproblemen später führen.

    Ich denke, es ist besser das mathematische “Krabbeln” zu üben, bis mathematisches “Laufen” im Gehirn von allen aktiviert wird. Vorher führt es nur dazu, dass die SuS glauben, sie wären zu dumm für Mathe und blockieren sich selber. Das is schließlich DAS Problem für Mathelehrer: wie bekomme ich did SuS dazu es überhaupt wieder zu versuchen. Die meisten geben auf, weil sie überfordert mit dem mathematischen “Laufen” sind.

    “Das lief recht lange gut, dann kam irgendwann einfache Physik dran.”

    Physik enthällt sehr viel angewandte Mathematik. Und noch mehr. Mathematik ist die Sprache der Physik, um sie zu verstehen muss man wissen, wie man physikalische Modelle erstellt. Lern man erst im Physikstudium. Ohne die Fähigkeit des Denkens in Formalen Systemen und des erstellens von physikalischen Modellen kann man eigentlich nur ausprobieren, welche Mathematik zu welcher Physik passt. Man kann nicht selber neue (oder einfach Mathe, die man selber noch nicht kennt) Mathematik entwickeln. Man kann ausmessesn, ob F=m*a ist. Oder man kann die Regeln der Vektorrechnung anwenden und mit Messergebnissen vergleichen, Aber man kann nicht selber Vektorrechnung erfinden. Die muss vorgegeben werden – vom Lehrer.

    “Es gelang mir aber zumindest bei meinen Nachhilfeschülern, die größtenteils sehr schlecht in Mathe waren, die Grundlagen für dieses Denken zu legen. Ob man dieses Ziel im Schulunterricht mit 30 SuS in einer Klasse erreichen kann, weiß ich aber nicht.”

    Es besteht ein sehr großer Unterschied zwischen Klassenunterricht und Einzelunterricht. Im Einzelunterricht kann man einen Schüler langsam durch die problematischen Phasen steuern – bei einer Klasse funktioniert das nicht, da alle mit unterschiedlichen Dingen Probleme haben. Wie gesagt, ich hatte nie Probleme mit Textaufgaben – erst wenn es darum ging die Dinge im Kopf auszurechnen machte ich Fehler. Taschenrechner ist eine brilliante Erfindung. 😉

    “Deshalb fordere ich ja einen anderen Unterricht.”

    Wir stimmen immerhin darin überein. Auch ich denke, etwas muss geändert werden. Nur was tatsächlich geändert werden muss – darin sind wir nicht einer Meinung.

  16. #16 Quacki
    22. Juni 2013

    Ich würde nicht sagen, dass Mathematik nur in formalen System gedacht werden kann. Vielmehr denke ich, dass man kann man (und vor allem in der Schulmathematik) mit den Formeln und Gleichungen eine konkrete Vorstellung verbinden kann.
    Mal ein Beispiel, welches zugegebenermaßen zu hoch für die Schule ist: Die Fourier-Transformation kam mir immer wie Magie vor. Woher weiß das Integral, welche Frequenzanteile im Signal drinstecken?? Ich habs angewendet, aber darüber hinaus konnte ich im Studium nichts damit anfangen. Irgendwann musste ich mal zeitliche Signale bearbeiten, unter anderem mit FTs. Da hats dann Klick gemacht: Mir ist das Bild eingefallen, dass komplexe Zahlen ja sowas sind wie Zeiger an der Uhr: Sie hängen im Ursprung, zeigen auf einen Punkt und sind verschieden lang. Und wenn man exp(iwt) hat, dann ist die Analogie vollständig, weil der Zeiger mit fortlaufender Zeit eben rotiert. Jetzt hat man aber eine Funktion f(t), welche man transformieren möchte. Diese verändert die Länge des Zeigers, während er rotiert. Und wenn man die Zeiger “aufsummiert”, und das w gerade glücklich gewählt ist, dann mittelt sich die Summe nicht überall zu Null, sondern es bleibt in einer Richtung etwas übrig.
    Diese eine, sehr bildliche/anschauliche, Erkenntnis hat mir auf einen Schlag die Möglichkeiten, aber auch die Limitationen der FT verständlich gemacht, und ich konnte dann daraus (ohne formale Beweise oder so) das ableiten, was ich brauchte. Natürlich braucht diese Denke auch wieder Übung, aber ich halte das für leichter als Denken in einem reinen formalen System.

    Ich hab hier von Paul Lockhart (siehe Mathematicians Lament) auch noch das Buch Measurement liegen. Lockhart macht Geometrie, und sein Buch ist ein reines Mathebuch, allerdings fast ohne Formeln. Dafür ist es voll mit Zeichnungen, und mit Aufgaben, welche man fast immer auch nur mit Zeichungen lösen kann. Dem liegt also kein formales System zugrunde, sondern man bewegt sich in einem Raum, der mit fast realen Objekten (Linien, Dreiecke, Pyramiden, Kugeln) gefüllt ist, die man dann im Geiste manipuliert, die fast konkret sind und die man sich gut vorstellen kann. Formalisieren müsste man erst, wenn man die eigenen Gedankengänge aufschreiben müsste um sie anderen eindeutig verstehbar mitzuteilen.

    Mich hat die Diskussion noch auf eine andere Idee gebracht, und zwar dass man in der Schule Mathematik vom Rechnen abkoppelt. Die beiden sind ja nicht gleich. Ich hab von einem Fall gehört (*) (länger her, ich glaube in den 70ern), wo jemand seine Oma eingespannt hatte, um seine Dimplomarbeit in einem technisch-mathematischen Fach zu schreiben. Die Oma konnte wohl herausragend Kopfrechnen, auch längere Multiplikationen. Da hat dieser jemand sich einen Algorithmus ausgedacht, der auf den Rechenfähigkeiten der Oma beruhte, und damit die Ergebnisse erzielt, die er brauchte. Das eine ist Rechnen, das andere ist Mathematik 😀

    (*) Diese Geschichte hat mir mal ein Kollege erzählt. Ich meine, dass das in seiner Verwandschaft gewesen wäre, es klingt aber etwas nach Urban Legend. Ist aber trotzdem hübsch. Ich glaube, ich frage den Kollegen nochmal nach dieser Geschichte.

  17. #17 Sim
    22. Juni 2013

    Eine schöne Diskussion hier. Ich denke ja, dass im progressiven Ansatz viel Potential schlummert, es ist aber wie so oft eine Frage der Balance. Wie viele Werkzeuge gebe ich vor damit der Lernende dann mit diesen Werkzeugen experimentieren kann. Man muss und kann ja sicherlich nicht alles selber neu entdecken, das ist doch ganz klar, aber einige Dinge kann man schon selber rausfinden wenn man nur neugierig genug ist.

    Und darum geht es ja auch. Die Neugier zu wecken für ein so wunderbares Feld wie es die Mathematik bietet. Und schlußendlich zahlt sich diese Neugier dann aus indem man ein so mächtiges Werkzeug wie die Mathematik beherscht und sei es nur eine kleine Facette. In der Anwendung von Mathematik geht es darum Muster zu erkennen und darauf sind wir Menschen ja traditionell sehr erpicht. Denn wer Muster erkennt, der erkennt Regeln und wer Regeln kennt der kann Vorhersagen treffen. Mathematik öffnet uns also ein Fenster in die Zukunft und es gibt kaum eine mächtigere Fähigkeit als in die Zukunft zu schauen.

  18. #18 Jakob B.
    23. Juni 2013

    “Dem stimme ich zu. Aber meiner Erfahrung nach ist es leichter zu lernen wie man 6,5×6,5 rechnet, wenn man schon 6×6 rechnen kann.”
    Ja, genau darum geht s mir. Wer 6×6 auswendig kann rechnet es eben nicht. Wenn ich die deutsche Übesetzung von 100 englischen Texten auswendig gelernt habe hilft mir das kaum wenn mir ein neuer Text präsentiert wird. Wenn ich jedoch die 100 Texte alle selbst übersetzt dann sollte mir auch der 101. nicht allzuviele Schwierigkeiten bereiten.

    “Aber man kann nicht selber Vektorrechnung erfinden”
    Grade die Grundlagen der Vekorrechnung (und mehr braucht man in der Schulphysik nicht) ergeben sich logisch aus einfachster Geometrie. Wer in der 10. Klasse nicht selbst durch logische Überlegungen heraufinden kann wie man aus 2 Vektoren einen resultierenden Vektor errechnet oder was passiert wenn man einen Vektor mit einem Skalar multipliziert, bei dem hat der Mathematikunterricht imo komplett versagt. Genau das sind die Symptome des traditionellen Ansatzes: Rechnen können, aber ohne die Fähigkeit zu mathematischem Denken.

    “Ich verstehe unter mathematischem Denken das Denken in Formalen Systemen und zwar in mathematischen Systemen.”

    Ich denke der wichtigste Teil des mathematischen Denkens ist nicht das Denken innerhalb eines formalen Systems sondern das Übersetzen nicht formalisierter Gegebenheiten in ein formales System.

    Ich will dazu noch mal Keith Devlin zitieren, diesmal seinen Artikel “What is mathematical thinking?” https://devlinsangle.blogspot.de/2012/08/what-is-mathematical-thinking.html:
    “What is mathematical thinking, is it the same as doing mathematics, if it is not, is it important, and if it is different from doing math and important, then why is it important? The answers are, in order, (1) I’ll tell you, (2) no, (3) yes, and (4) I’ll give you an example that concerns the safety of the nation.

    If you had any difficulty following that first paragraph (only two sentences, each of pretty average length), then you are not a good mathematical thinker. If you had absolutely no difficulty understanding the paragraph, then either you are already a good mathematical thinker or you could acquire that ability pretty quickly. (In the former case, you most likely pictured a decision tree in your mind. Doing that kind of thing automatically is part of what it means to be a mathematical thinker.)
    […]
    Mathematical thinking is more than being able to do arithmetic or solve algebra problems. In fact, it is possible to think like a mathematician and do fairly poorly when it comes to balancing your checkbook. Mathematical thinking is a whole way of looking at things, of stripping them down to their numerical, structural, or logical essentials, and of analyzing the underlying patterns.”

  19. #19 Basilius
    Haganai
    25. Juni 2013

    @Jakob B.

    Ich rede hier von Akademikern, teilweise Ingenieuren (diese können zwar oft gut rechnen, haben aber keinen blassen Schimmer was sie da rechnen).

    Das erinnert mich an manche liebe Mitkommentatoren, die zwar gut Buchstaben eintippen können, aber oft gar keinen Blassen davon haben, was sie da eigentlich schreiben.
    -_-

  20. #20 Jakob B.
    26. Juni 2013

    @Basilius: Du irrst, ich kann nur recht dürftig tippen, ansonsten magst Du recht haben. Etwas konkretere Kritik wäre durchaus willkommen.

  21. #21 Freawaru
    26. Juni 2013

    @Quacki

    “Ich würde nicht sagen, dass Mathematik nur in formalen System gedacht werden kann. Vielmehr denke ich, dass man kann man (und vor allem in der Schulmathematik) mit den Formeln und Gleichungen eine konkrete Vorstellung verbinden kann.”

    Dem stimme ich zu. Ich denke jedoch, dass mit dem Denken in Formalen Systemen man einen völlig neuen und leichteren Zugang zur Mathematik bekommt. Und dass es sehr schwer ist ohne ihn Mathematik selber zu entwickeln, wie es ja im “Entdeckenden Lernen” vorgeschrieben ist.

  22. #22 Freawaru
    26. Juni 2013

    @Jakob B

    “Wenn ich jedoch die 100 Texte alle selbst übersetzt dann sollte mir auch der 101. nicht allzuviele Schwierigkeiten bereiten.”

    Sicher. Aber was das “Entdeckende Lernen” propagiert ist, dass sich die Schüler ohne Kenntniss von Vokabeln und Grammatik an die erste Übersetzung machen sollen. Wenn sie sich dann durch dies ersten 100 gekämpft hätten und nach vielen Versagen tatsächlich selber Vokaben und Grammatik konstruiert hätten, wäre die 101 leicht. Ich denke jedoch, dass kann man nicht von normalen SuS erwarten.

    “Grade die Grundlagen der Vekorrechnung (und mehr braucht man in der Schulphysik nicht) ergeben sich logisch aus einfachster Geometrie. Wer in der 10. Klasse nicht selbst durch logische Überlegungen heraufinden kann wie man aus 2 Vektoren einen resultierenden Vektor errechnet oder was passiert wenn man einen Vektor mit einem Skalar multipliziert, bei dem hat der Mathematikunterricht imo komplett versagt.”

    Das denke ich nicht. Ich habe gerade einer siebten Klasse Vektorrechnung (Kräfteparallelogramm) graphisch beigebracht und das war für die meisten schon eine Herausforderung. Ich bezweifle, dass sie bloß drei Jahre später alle in der Lage sein sollen, dieses selber zu entwickeln. Es jedoch vorgemacht zu bekommen und dann zu üben, bis man es kann, ist wesentlich einfacher und führt zu den im Matheunterricht so dringend benötigten Erfolgsergebnissen.

    “Ich denke der wichtigste Teil des mathematischen Denkens ist nicht das Denken innerhalb eines formalen Systems sondern das Übersetzen nicht formalisierter Gegebenheiten in ein formales System.”

    Aber auch das klappt erst, wenn man schon in Formalen Systemen Denken kann.

    “Mathematical thinking is a whole way of looking at things, of stripping them down to their numerical, structural, or logical essentials, and of analyzing the underlying patterns.””

    Genau. Und das fällt vielen sehr schwer.

    Ich stimme Dir zu, dass man es vielleicht auch bis zu einem bestimmmten Grade beibringen könnte, das Problem ist jedoch die Zeit. Die SuS haben ja nicht nur Mathe in der Schule. Und außer in Mathematik und Physik werden diese Fähigkeiten in der Schule nicht trainiert oder auch nur vorgemacht. Also muss man überlegen was wirklich wichtig ist. Ist es wichtig für alle SuS neue Mathematik entwickeln zu können oder ist es wichtig für sie sich Mathematik aus Büchern anzueignen um damit was auch immer sie brauchen anwenden zu können?

  23. #23 Basilius
    Haganai
    27. Juni 2013

    @Jakob B.

    Du irrst, ich kann nur recht dürftig tippen, ansonsten magst Du recht haben.

    Sollte ich mich nur damit geirrt haben, dann nehme ich das gerne zurück. Ansonsten passt ja dann aus meiner Sicht alles.
    ^_^

  24. #24 Quacki
    29. Juni 2013

    Dem stimme ich zu. Ich denke jedoch, dass mit dem Denken in Formalen Systemen man einen völlig neuen und leichteren Zugang zur Mathematik bekommt. Und dass es sehr schwer ist ohne ihn Mathematik selber zu entwickeln, wie es ja im “Entdeckenden Lernen” vorgeschrieben ist.

    Na, ich muss zugeben, dass mir Denken in formalen Systemen (wenn ich das denn richtig verstehe) sehr schwer fällt, obwohl ich (wie oben schon angedeutet) ausgebildeter Physiker bin.
    (Mag sein, dass Physiker dazu auch nicht die richtigen Leute sind 😉 )
    Wenn ich von irgendwas keine Vorstellung hab, dann kann ich mich auf den Kopf stellen, das fällt trotzdem raus. Es kann sehr gut sein, dass ich da von mir auf andere schliesse.