Wieviel Platz braucht man, um eine Nadel zu drehen?

Was ist die minimale Fläche in der Ebene, die man braucht, um eine Nadel der Länge 1 einmal um 360 Grad zu drehen?

Eine offensichtliche Möglichkeit ist ein Kreis von Durchmesser 1, in dem man die Nadel natürlich einmal herumdrehen kann. Die Fläche dieses Kreises ist π/4=0.78..

Eine bessere Möglichkeit ist das unten dargestellte Deltoid. Es hat Fläche π/8=0.39..
und, wie das Applet zeigt, kann man die Nadel einmal ganz herumdrehen.

Um das Problem mathematisch zu formulieren: man sucht nach einer Teilmenge der Ebene, mit möglichst kleinem Flächeninhalt, die in jeder Richtung eine Strecke der Länge 1 enthält. Solche Mengen heißen Kekaya-Mengen. (Kekaya hatte 1917 vermutet, daß das oben abgebildete Deltoid die kleinst-mögliche Fläche ist.)

Besicovitch fand 1928 Kekaya-Mengen mit Flächeninhalt 0 (und widerlegte damit natürlich Kekaya’s Vermutung). Obwohl Kekaya-Mengen Flächeninhalt 0 haben können, wurde aber später bewiesen, daß sie immer 2-dimensional sein müssen.

Die analoge Frage in Dimension 3 (also ob eine Teilmenge des Raumes, die in jeder Richtung eine Strecke der Länge 1 enthält, 3-dimensional sein muß) ist bis heute nicht gelöst. Auch wenn diese Frage zunächst vielleicht wie ein elementar-geometrisches Problem aussieht, steht sie in Verbindung mit zentralen ungelösten Fragen der Fourier-Analysis.

Letzten Montag erschien ein Preprint von Zeev Dvir, in dem zwar nicht das Problem selbst, aber das analoge Problem für Vektorräume über endlichen Körpern gelöst wird. Hier oder hier findet man Darstellungen des recht kurzen Beweises.

Der Beweis benutzt die Kombinatorik der Nullstellen von Polynomen (über endlichen Körpern) und man hofft natürlich, daß er weitere Arbeiten zum eigentlichen Nadel-Problem inspirieren wird.

Nachtrag (12.3.2009): Ellenberg, Oberlin, Tao haben Zvir’s Arbeit inzwischen auf algebraische Varietäten über endlichen Körpern verallgemeinert: Preprint.

Dvir, Z. (2008). On the size of Kakeya sets in finite fields Journal of the American Mathematical Society, 22 (4), 1093-1097 DOI: 10.1090/S0894-0347-08-00607-3