Symplektische Geometrie ist die geometrische Interpretation der klassischen Mechanik. Man kann sie auf beliebigen symplektischen Mannigfaltigkeiten betreiben, was zur symplektischen Topologie führt. Diese bekam ihre wichtigsten Impulse durch die Arbeit an der 1974 in ihrer Allgemeinheit formulierten Arnold-Vermutung: ein Symplektomorphismus, der die Zeit-1-Abbildung eines Hamiltonschen Flusses ist, soll mindestens soviele Fixpunkte haben, wie die Summe…

Die Topologie von Flächen und 3-dimensionalen Mannigfaltigkeiten kann man durch die Geometrie besonders regelmäßiger Metriken auf ihnen verstehen. Für Flächen mit mindestens zwei Henkeln und auch für hinreichend komplizierte 3-Mannigfaltigkeiten sind das hyperbolische Metriken, die also Krümmung konstant -1 haben und deren universelle Überlagerung die hyperbolische Ebene bzw. der hyperbolische Raum ist. In der 3-dimensionalen…

Ein 1837 von Dirichlet bewiesener Satz besagt, dass die arithmetische Folge unendlich viele Primzahlen enthält, wenn a und m teilerfremd sind. Zum Beispiel gibt es unendlich viele Primzahlen, die bei Division durch 35 den Rest 6 lassen. Andererseits ist nach dem 1896 von Hadamard und de La Vallée Poussin bewiesenen Primzahlsatz die Dichte der Primzahlen…

Ende des 19. Jahrhunderts etablierte Poincaré die Topologie als „Methode, die uns die qualitativen Beziehungen in einem Raum zu erkennen erlaubt“. Er argumentierte, sie „könnte auf gewisse Weise Dienste leisten, die jenen der Zahlen analog wären“. Als topologische Invarianten definierte er die Fundamentalgruppe und die Zusammenhangszahlen und Torsionskoeffizienten (in heutigen Begriffen den Rang und die…

Quantenkohomologie wurde ursprünglich von den Physikern Vafa und Witten vorgeschlagen als Konzept, mit dessen Hilfe wollte man das von Physikern beobachtete Phänomen der Mirrorsymmetrie von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten angehen wollte: man wollte verstehen, wie sich die Korrelationsfunktionen einer topologischen Feldtheorie verhalten, wenn man Riemannsche Flächen zusammenklebt. Quantenkohomologie ist eine formale Deformation des Kohomologierings (also des Cupprodukts auf…

In Bayern ist man zur Präsenzlehre zurückgekehrt unter 3G-Regeln, die natürlich vor jeder Veranstaltung überprüft werden müssen. Die meisten Studenten sind geimpft oder genesen, so dass es eigentlich genügt hätte, sich zu Beginn des Semesters das Impfzertifikat zeigen zu lassen und dann vor jeder Lehrveranstaltung nur noch die tagesaktuellen Tests der Ungeimpften zu kontrollieren. Als…

In der Zahlentheorie interessiert man sich für Zahlkörper, endliche Erweiterungen des Körpers der rationalen Zahlen. André Weil hatte beobachtet, dass Zahlkörper viele Eigenschaften mit Funktionenkörpern einer algebraischen Kurve über einem endlichen Körper wie Fp(t) gemeinsam haben. Diese sind einer geometrischen Behandlung zugänglich und deshalb einfacher zu verstehen. Man faßt Zahlkörper und Funktionenkörper unter der Bezeichnung…

Die Zeitschrift American Mathematical Monthly stellte 1894 die Aufgabe Ein konkreter Fall legte folgende Frage nahe: Eine gleiche Anzahl von weißen und schwarzen Kugeln gleicher Größe werden in eine rechteckige Schachtel geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einer zusammenhängenden Kette sich berührender weiße Kugeln von einem Ende der Schachtel bis zum gegenüberliegenden Ende? In mathematischer…

Für die Nullstellen von Polynomen gibt es keine geschlossene Formel, außer bis Grad 4. Man berechnet sie deshalb mit dem Newton-Verfahren. Dafür muß man mit einem Startwert beginnen und das Newton-Verfahren konvergiert dann gegen eine Nullstelle des Polynoms. Auch wenn das Polynom mehrere Nullstellen hat, konvergiert das Newton-Verfahren natürlich nur gegen eine davon. Je nachdem,…

Im neuen SPIEGEL ist auf Seite 106-108 ein Artikel „In Beethovens Hirn“ über Künstliche Intelligenz. Es geht um eine KI, die Beethovens unvollendete 10. Sinfonie zu Ende komponiert hat (und um die Kritik an diesem Projekt und dem Resultat) und daneben auch um neuronale Netze, die Bilder zeichnen. Das „Portrait of Edmond de Belamy“ hat…