Faserbündel sind Räume, die lokal wie ein Produkt aussehen. Über jedem Punkt eines Basisraums B hat man eine (dieselbe) Faser F, die Fasern setzen sich zu einem Totalraum E zusammen, und lokal kann man zu jedem Basispunkt eine Umgebung U finden, deren Urbild in E mit dem Produkt identifiziert werden kann. So ist etwa das…

Ende der 40er und Anfang der 50er Jahre dominierte in der Topologie der algebraische Zugang. Seine reinste, alle Geometrie zurücklassende Form fand er in Serres Berechnungen von Homotopiegruppen von Sphären, die sich als Anwendungen von Spektralsequenzen ergaben. Dabei gab es jedoch auch einen auf Pontrjagin zurückgehenden geometrischen Zugang zur Berechnung von Homotopiegruppen von Sphären. Für…

Seit Gauß weiß man, dass die Gaußsche Krümmung die fundamentale Invariante für die Differentialgeometrie der Flächen im 3-dimensionalen Raum ist. Sie hängt nur von der inneren Geometrie der Fläche ab (Theorema Egregium) und sie bestimmt die innere Geometrie: Flächen mit gleicher Krümmung sind lokal isometrisch. Aus dem 1858 von Riemann für Mannigfaltigkeiten höherer Dimension definierten…

Algebraische Zahlentheorie befaßt sich spätestens seit Hilbert mit Körpererweiterungen von Zahlkörpern. So wie sich das quadratische Reziprozitätsgesetz als Satz über Ideale in quadratischen Erweiterungen von Q interpretieren läßt, so sollen auch alle höheren Reziprozitätsgesetze im Kontext abelscher Erweiterungen von Zahlkörpern erklärt werden. Die Klassifikation abelscher Erweiterungen eines Zahlkörpers benötigt das Studium des sogenannten Klassenkörpers (d.h.…

Claude Shannons 1948 veröffentlichte Arbeit „A mathematical theory of communication“ gilt heute als Beginn der Informationstheorie, unter anderem wegen des dort erstmals definierten Begriffs der Entropie. Am Beginn der Arbeit stand die Definition des Bits als Informationseinheit, und die Definition von Kommunikationssystemen entsprechend dem folgenden Schema: Im Weiteren unterscheidet Shannon diskrete, stetige und gemischte Systeme.…

Die folgenden Folien sind Entwürfe eines Vortrags, den ich im November für Studenten halten will. Hinweise und Kritik gerne in den Kommentaren.

Ich habe einen Würfel geworfen und ihn noch nicht angeschaut. Ist die folgende Antwort wahrscheinlich richtig oder wahrscheinlich falsch? Wenn die geworfene Augenzahl mit 2+2 übereinstimmt, dann ist sie gleich 5. Die Frage stammt von Timothy Gowers, der sie am Sonntag in einem Tweet stellte. Abstimmungsmehrheiten müssen nicht immer recht haben. Auflösung in zwei Tagen.…

Die mathematische Optimierung hat ihren Beginn Ende der 1930er Jahre mit Arbeiten von Leonid Kantorowitsch. Kantorowitsch hatte als 14-jähriger ein Studium in Leningrad aufgenommen, sich dort zunächst mit deskriptiver Mengenlehre und einigen von Lusin gestellten Problemen befasst, war dann zur Funktionalanalysis gewechselt, hatte sich 1935 im Alter von 23 Jahren habilitiert und im Jahr darauf…

Das neue Numberphile-Video, „Colouring Knots“ mit Sylvain Cappell, ist zunächst eine gemächliche Einführung in die Knotentheorie. Zum Schluß wird dann mit Knotenfärbungen gezeigt, dass die Kleeblattschlinge nicht entknotet werden kann.

Norbert Henze vom Karlsruher Institut für Technologie (Autor mehrerer Lehrbücher für Einsteiger) fordert im Interview mit dem SPIEGEL eine solide Statistik-Grundausbildung für alle Lehramtsstudenten. SPIEGEL: Herr Hen­ze, täg­lich wird die Öffent­lich­keit mit neu­en Co­ro­na-Sta­tis­ti­ken bom­bar­diert, nach der Re­pro­duk­ti­ons­zahl R ging es viel um dem Dis­per­si­ons­fak­tor k und um die so­ge­nann­te Per­ko­la­ti­on. Wie­so ha­ben wir nichts…