Topologie von Flächen VIII

Euklid, Drogenhandel in Manhattan und das französische Eisenbahnnetz.

Die zweidimensionale Ebene faßt man seit Descartes auf als Menge von Zahlenpaaren (x₁,x₂). Der Abstand zwischen zwei Punkten (x₁,x₂) und (y₁,y₂) läßt sich nach dem Satz des Pythagoras berechnen als Quadratwurzel aus (x₁-y₁)²+(x₂-y₂)².

Dieser Abstand, der sogenannte euklidische Abstand, mißt also die Entfernung per Luftlinie zwischen zwei Punkten in einer flachen Ebene. Wenn man Abstände zwischen zwei Punkten auf der Erde messen will, muß man eigentlich noch die Erdkrümmung berücksichtigen. Allerdings macht dies bei geringen Entfernungen keinen nennenswerten Unterschied.

Wir nehmen also an, wir befinden uns in einer flachen Ebene. Aber auch dann ist die ‘wirkliche Entfernung’ zwischen zwei Punkten manchmal größer als der euklidische Abstand.

Wenn man sich zum Beispiel in einer Stadt von (x₁,x₂) nach (y₁,y₂) bewegen will, kann man nicht die Luftlinie nehmen, sondern muß sich entlang des Straßennetzes bewegen. Wenn zum Beispiel, wie in Manhattan oder Mannheim, die Straßen alle rechtwinklig zueinander sind, erhält man dann als Abstand |x₁-y₁|+|x₂-y₂|, und dies kann manchmal viel größer sein als der euklidische Abstand. Eine sehr skurille (aber völlig ernstgemeinte) Anwendung dieser Frage auf juristische Probleme des Drogenhandels in Manhattan findet man hier.

Ein anderes Beispiel ist die SNCF-Metrik. (SNCF=’Société Nationale de Chemins de Fer’ ist die französische Eisenbahngesellschaft.) Hier wurde der Abstand zwischen zwei Punkten so berechnet, daß man zunächst den Abstand (in Luftlinie) des ersten Punktes nach Paris maß, dann den Abstand von Paris zum zweiten Punkt, und die Summe bildete. (Zum Beispiel mußte man bis 2004(?) für eine TGV-Fahrt Strasbourg-Lyon den Umweg über Paris nehmen.)

Es gibt also verschiedene Möglichkeiten, Abstände zu messen. Alle diese Abstände haben aber mathematisch ähnliche Eigenschaften, weshalb man sie in der Mathematik unter dem Begriff des Metrischen Raumes zusammenfaßt. Dies ist, per Definition, eine Punktmenge, auf der eine Abstandsfunktion definiert ist mit folgenden Eigenschaften:
1. je zwei unterschiedliche Punkte haben positiven Abstand (und der Abstand eines Punktes zu sich selbst ist 0)
2. der Abstand von x nach y ist genau so groß wie der Abstand von y nach x
3. die Dreiecksungleichung gilt (d.h. der Abstand von x nach y ist höchstens so groß, als wenn man erst den Abstand von x zu einem dritten Punkt z, dann den Abstand von z nach y mißt, und die Summe bildet)

Punkt 2. bedeutet natürlich wieder einmal eine Vereinfachung, weil man zum Beispiel Einbahnstraßen nicht in Betracht zieht.

(Es ist eine beliebte Hausaufgabe für Analysis I-Vorlesungen, nachrechnen zu lassen, dass die Manhattan-Metrik und die SNCF-Metrik die 3 Axiome erfüllen. Der einzige schwierige Teil ist dabei das Nachrechnen der Dreiecksungleichung.)

Wenn wir auf einer Menge wissen, wie man Abstände berechnet, dann kann man Konvergenz (und damit auch Stetigkeit) definieren: Eine Folge a_n konvergiert gegen einen Punkt a, wenn die Folge der Abstände gegen 0 konvergiert (im Schul-Sinn der Konvergenz einer Folge reeller Zahlen).

Als den Rand einer Menge bezeichnet man diejenigen Punkte x, für die es sowohl Folgen innerhalb der Menge, als auch Folgen außerhalb der Menge gibt, die gegen x konvergieren. (Die Randpunkte müssen nicht unbedingt selbst zur Menge gehören.)

Beispiel: der Rand der (offenen oder abgeschlossenen) Kreisscheibe vom Radius 1 ist der Kreis vom Radius 1.

Es hat sich in der Topologie als nützlich erwiesen, nicht direkt mit den Abstandsfunktionen, sondern mit offenen und abgeschlossenen Mengen zu arbeiten.
Diese definiert man wie folgt:
1. eine Menge M ist offen, wenn kein Randpunkt von M selbst zu M gehört,
2. eine Menge M ist abgeschlossen, wenn jeder Randpunkt von M selbst zu M gehört.

Statt von metrischen Räumen redet man dann (etwas allgemeiner) von topologischen Räumen, das ist ein Raum mit ‘offenen Mengen’, die drei Axiome erfüllen:
* Die leere Menge und der ganze Raum sind offene Mengen.
* Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist eine offene Menge.
* Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist eine offene Menge.

Es ist häufig einfacher, mit offenen Mengen als mit Abständen zu arbeiten. Zum Beispiel läßt sich die delta-epsilon-Bedingung für Stetigkeit in dieser Sprache wie folgt ‘übersetzen’: eine Abbildung ist stetig, wenn Urbilder offener Mengen wieder offene Mengen sind.

Mehr zu Stetigkeit und ihren Anwendungen nächste Woche.

Referenz: Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7

Das erste Bild ist von https://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/.
Das zweite Bild ist aus der Wikipedia.
Das letzte Bild ist von Roland Lenz und stellt natürlich nicht das französische Eisenbahnnetz dar.