Über die Poincare-Vermutung (eines der 7 mathematischen “Jahrhundertprobleme”, auf die 1 Million $ ausgetzt ist), hat es ja in den letzten Jahren Berichte bis in die Tagespresse gegeben, besonders um das Drumherum: ob Perelman sie nun wirklich bewiesen hat und ob er das Preisgeld annehmen wird.
Nicht immer wurde aus den Berichten auch klar, was die Vermutung eigentlich aussagt. Eines der positiven Beispiele ist hier sicher der Artikel von Christoph Drösser in der ZEIT, aus dem auch die in diesem Beitrag verwendeten Bilder stammen.
Die Poincare-Vermutung besagt, daß jede kompakte, einfach zusammenhängende, 3-dimensionale Mannigfaltigkeit die Form einer 3-dimensionalen Sphäre hat.
Was soll das?
Kehren wir zurück zu Teil 3: Wir leben als dreidimensionale Wesen auf einer Fläche und können ‘von außen’ auf die Erdoberfläche schauen. Aber was wir sehen, ist nur ein kleiner Ausschnitt (sozusagen eine Karte unserer Umgebung) und, wenn man nicht gerade von einem Raumschiff auf die Erde schaut, wird man nicht erkennen können, welche Form die Erde hat, ob sie also eine Sphäre ist oder etwa die Form einer Brezel hat. (Weil das jetzt schon eine Weile zurückliegt, verlinke ich auch noch mal auf Teil 6 für einige Beispiele von Flächen.)
Natürlich weiß man heute, daß die Erde eine 2-dimensionale Sphäre ist. Wenn man aber die Frage nach der (übrigens auch nach der Lösung der Poincare-Vermutung ungeklärten) topologischen Gestalt des 3-dimensionalen Universums beantworten will, auf daß wir ja nicht von außen blicken können, dann macht es schon Sinn sich zunächst zu fragen, wie man eigentlich das analoge 2-dimensionale Problem nachprüft, nämlich daß die Erde eine Sphäre und keine Brezel ist.
In Teil 3-6 hatten wir gezeigt, daß man bei einer Fläche durch Nachprüfen der Eulerschen Polyederformel verifizieren kann, ob die Fläche eine Sphäre ist oder nicht. Diese Methode funktioniert im 3-dimensionalen nicht. Man braucht deshalb andere Methoden, um die 3-dimensionale Sphäre von anderen 3-dimensionalen Räumen zu unterscheiden. Und darum geht es bei der Poincare-Vermutung (die übrigens nicht nur im 3-dimensionalen, sondern auch in allen anderen Dimensionen richtig ist).
In späteren Teilen dieser Serie will ich versuchen, zumindest die Aussage (nicht den Beweis) dieser Vermutung zu erklären, allerdings nicht für 3-dimensionale Mannigfaltigkeiten, sondern (als Analogie) für den einfacheren Fall von Flächen. Zunächst wird es in den nächsten Folgen um den Begriff “einfach zusammenhängend” gehen.
Anschaulich soll “einfach zusamenhängend” bedeuten, daß sich jede geschlossene Kurve stetig zu einem Punkt zusammenziehen läßt. Die Kurve im folgenden Bild etwa ist auf offensichtliche Weise innerhalb der Sphäre zusammenzudrücken.
© DIE ZEIT, 24.08.2006 Nr. 35
Dagegen wird man die beiden weißen Kurven in den folgenden Bildern nicht (innerhalb der Fläche) zusammendrücken können. Man kann sozusagen die Kurven nicht durch die Löcher der Fläche hindurchdrücken. Deshalb sind diese beiden Flächen nicht einfach zusammenhängend.
© DIE ZEIT, 24.08.2006 Nr. 35
Soweit zur anschaulichen Erklärung von “einfach zusammenhängend”. Genaueres nächste Woche.
Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20
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