“You are here.”
“You are here” ist ein Projekt zweier Stockholmer Künstler. Sie zeichnen einen Stadtplan Stockholms auf den Fußboden und bringen dann einen roten Punkt “You are here” an derjenigen Stelle an, wo der Standpunkt dem Punkt im Stadtplan entspricht.
Es stellt sich natürlich die Frage, ob es wirklich einen Punkt geben muß, dessen Lage auf dem Stadtplan punktgenau mit seiner Lage in der Wirklichkeit übereinstimmt.
Mathematisch formuliert sich diese Frage so:
– man hat ein Gebiet D (hier die Stadt Stockholm),
– jeder Punkt dieses Gebiets entspricht einem Punkt auf der Karte, und
– jeder Punkt der Karte entspricht wieder einem Punkt im Gebiet D (dadurch daß man die Karte innerhalb der Stadt Stockholm auf den Boden gezeichnet hat).
Für jeden Punkt x im Gebiet D nennen wir f(x) denjenigen Punkt (ebenfalls in D) der das Bild dieses Punktes in der auf den Boden gezeichneten Karte ist.
Man hat also eine Abbildung f:D–>D und sucht einen Punkt x mit f(x)=x.
So etwas nennt man ein Fixpunktproblem.
(Ein Punkt x mit f(x)=x heißt Fixpunkt der Abbildung x.)
Die Lösung zum Problem der Stockholmer Künstler liefert der Brouwer’sche Fixpunktsatz, mit dem wir uns in den nächsten Folgen beschäftigen werden (weil er eine Anwendung der Fundamentalgruppe ist, um die es in den letzten Wochen ging).
Fixpunktsatz (Brouwer): Sei D ein abgeschlossenes, beschränktes, zusammenhängendes 2-dimensionales Gebiet ohne Löcher und f:D–>D eine stetige Funktion. Dann gibt es einen Fixpunkt von f, d.h. einen Punkt x in D mit f(x)=x.
Zu Anwendungen der Fixpunkt-Theorie, etwa auf Differentialgleichungen oder Berechnung von Preisgleichgewichten in den Wirtschaftswissenschaften, werden wir noch kommen. Das heutige Beispiel mit dem Stockholmer Stadtplan (und der Suche nach einem Punkt, dessen Lage in der Wirklichkeit mit der Lage auf der Karte übereinstimmt) ist natürlich eher eine Veranschaulichung als eine Anwendung. (Und Brouwer’s Fixpunktsatz sagt natürlich zunächst nur, daß es einen solchen Punkt gibt, nicht wie man ihn findet. Aber auch dafür gibt es Algorithmen.)
Es gibt verschiedene Beweise des Fixpunktsatzes. Der kürzeste benutzt die Fundamentalgruppe, um die es in den letzten 10 Folgen ging. Dazu nächste Woche..
Alle Bilder sind von Ingrid Falk & Gustavo Aguerre, “You are here“.
Letzte Kommentare