Topologie von Flächen IL

Rotationsflächen: Beispiele und Bilder.

Heute nur ein paar Beispiele für Flächen und ihre Krümmung.

Die Formel für Krümmung und auch geometrische Deutungen hatten wir letzte Woche. Als Beispiele hatten wir natürlich schon Ebenen, die in jedem Punkt Krümmung 0 haben, und Sphären vom Radius 1, die in jedem Punkt Krümmung 1 haben.

Viele Beispiele leicht-berechenbarer Flächen erhält man als Rotationsflächen (auf englisch: surfaces of revolution).

Man nimmt eine Kurve in der x-z-Ebene und dreht sie (im 3-dimensionalen Raum) um die z-Achse.

Einfachstes Beispiel: die Kurve z=1 um die z-Achse rotiert gibt einen Kreiszylinder (natürlich nach oben und unten unendlich fortgesetzt):

Die Krümmung ist 0 in jedem Punkt.

Oder aus dem Kreis x²+z²=1 erhält man die Sphäre:

Die Krümmung ist 1 in jedem Punkt.

Oder wenn man eine kompliziertere Kurve wie x=2+cos(z) um die z-Achse rotiert, bekommt man ein solches Gebilde (das man sich natürlich nach oben und unten periodisch fortgesetzt denken muß):

Rotationsflächen und die Berechnung ihrer Krümmung (oder anderer geometrischer Größen) sind eine unerschöpfliche Quelle von Beispielen (bzw. Hausaufgaben) für Differenzialgeometrie.-Vorlesungen 🙂

Für die Parabel z=x² bekommt man nach Rotation um die z-Achse das Rotationsparaboloid:

Dessen Krümmung ist natürlich auch rotationssymmetrisch, hängt also nur vom Abstand r zum Nullpunkt ab. Der genaue Wert der Krümmung ist (1+r²)^-2. Die Krümmung ist hier also immer positiv, sie ist im Nullpunkt am größten und nimmt nach außen hin ab.

Gibt es auch Flächen, die in jedem Punkt negative Krümmung haben, also in jedem Punkt ‘sattelförmig’ sind?

Zunächst (das ist jetzt keine Rotationsfläche) hat man das Hyperbolische Paraboloid z=(x²-y²)/2:

Hier ist die Krümmung immer negativ, und auch hier ist sie im Nullpunkt am negativsten (nämlich -1) und nähert sich mit großem Abstand 0 an.

Nebenbei: Hyperbolische Paraboloide werden übrigens oft für Deckenkonstruktionen verwendet. Darüber hatte ich im Beitrag über die “Sagrada Familia” schon mal geschrieben.

Ein Beispiel einer Rotationsfläche mit überall negativer (aber ebenfalls nicht konstanter, sondern nach außen flacher werdender) Krümmung ist das Rotationshyperboloid, dessen Form oft für Kühltürme verwendet wird.

Das waren jetzt Beispiele von Flächen mit positiver bzw. negativer Krümmung. Allerdings war die Krümmung in beiden Fällen nicht konstant. Gibt es auch Flächen konstanter Krümmung im drei-dimensionalen Raum? Nun, natürlich die runde Sphäre mit Krümmung 1 und die Ebene (oder auch den Kreiszylinder) mit Krümmung 0 (in jedem Punkt).
Hilbert hat bewiesen, daß es (im dreidimensionalen euklidischen Raum) keine vollständige Fläche mit konstanter Krümmung -1 geben kann. Allerdings gibt es eine unvollständige Fläche mit Krümmung -1 in jedem Punkt, die sogenannte Pseudosphäre. Man erhält sie als Rotationsfläche, indem man die Traktrix (Bild links) um die z-Achse rotiert.

…

Wie gesagt, die Pseudosphäre hat Krümmung -1 (außerhalb der Singularität, d.h. der Spitzen im “Äquator”) und ist ‘unvollständig’: es gibt Folgen, die in die ‘fehlenden’ Punkte in den Spitzen konvergieren.
Bei Geometrisierung soll es ja eigentlich darum gehen, Flächen in ‘besonders regelmäßige Form’ (d.h. konstante Krümmung) zu bringen. Das läßt sich aber nicht im dreidimensionalen Raum hinkriegen, sondern man wird die Flächen in höhere Dimensionen einbetten müssen.

Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48