Topologie von Flächen LIX

Die Welten des M.C.Escher.

Interessant an der hyperbolischen Geometrie sind vor allem ihre Symmetrien, die wir vor 2 Wochen beschrieben hatten. Veranschaulichen lassen sich die Symmetrien auch durch Pflasterungen, wie man sie z.B. aus den Bildern Eschers kennt.

Symmetrische Pflasterungen der hyperbolischen Ebene haben natürlich immer nur eine Untergruppe der hyperbolischen Ebene als Symmetriegruppe, und auch umgekehrt kann man jede (diskrete) Gruppe von Symmetrien durch eine Pflasterung veranschaulichen.

Statt Symmetriegruppen einfach durch Pflasterungen mit Dreiecken (oder 4-,5-,6-Ecken usw.) zu veranschaulichen, ist es natürlich ästhetisch anspruchsvoller, wie Escher die Symmetrien durch Pflasterungen mit interessanteren Figuren darzustellen.

Exemplarisch diese beiden Bilder von Tripod, die aus mathematischer Sicht dasselbe Muster darstellen. Trotzdem würde man sich Eschers Bild rechts wohl eher ins Büro hängen als Coxeters Zerlegung der hyperbolischen Ebene in Dreiecke.

Dieses Bild ist nicht von Escher, sondern von Silvio Levy (1991): “Escher Fish”

Aus mathematischer Sicht ist es allerdings identisch mit Eschers Bild “Circle Limit III”:

Es gibt zwar ein Urheberrecht für Kunstwerke, aber eben kein Copyright für mathematische Strukturen 🙂

Während es in der euklidischen Ebene nur 17 Typen von Symmetriegruppen gibt (siehe den Beitrag von letzter Woche zu den Pflasterungen in der Alhambra) und auch auf der Sphäre die Möglickeiten überschaubar sind (dazu, passend zu Ostern, nächste Woche), gibt es in der hyperbolischen Ebene viel mehr Möglichkeiten für symmetrische Pflasterungen.

https://images.math.cnrs.fr/IMG/png/Escher030B.png

Die vielleicht einfachste Art von Symmetriegruppen sind Spiegelungsgruppen von Dreiecken. Das heißt, man hat ein Dreieck, nimmt die Spiegelungen an dessen 3 Seiten und schaut sich die Gruppe aller Symmetrien an, die sich durch wiederholte Anwendungen dieser 3 Spiegelungen (in beliebiger Reihenfolge) gewinnen lassen.¹ Die Frage ist dann, wann alle Spiegelbilder des ursprünglichen Dreiecks die Ebene pflastern, ohne sich zu überlappen.²
Wie Coxeter gezeigt hatte, ist die Bedingung dafür gerade, daß die Innenwinkel ganzzahlige Teiler von 180^o sind³, also 90^o, 60^o, 45^o, 36^o, 30^o usw.

In der euklidischen Ebene ist die Innenwinkelsumme eines Dreiecks 180o, und man kann leicht beweisen, daß es nur 3 Möglichkeiten für solche Dreiecke gibt, nämlich (60o, 60o, 60o), (90o,60o,30o), (90o, 45o,45o).

In der hyperbolischen Ebene muß die Innenwinkelsumme des Dreiecks kleiner sein als 180^o und dafür gibt es viel mehr (unendlich viele) Möglichkeiten:

Das einfachste Beispiel ist die (2,3,7)-Dreiecksgruppe, d.h. die Gruppe erzeugt von Spiegelungen an den Seiten eines Dreiecks mit Winkeln 180/2=90^o, 180/3=60^o, 180/7=25,7^o.

Die (2,3,7)-Dreiecksgruppe ist z.B. Symmetriegruppe dieses Musters:

Die (3,4,4)-Dreiecksgruppe ist die Symmetriegruppe von Eschers “Circle Limits IV”:

Wie gesagt, es gibt noch viel, viel mehr Möglichkeiten für Pflasterungen der hyperbolischen Ebene. Ein paar Beispiele von der Webseite von Don Hatch:

¹: D.h. die Gruppe, die von diesen 3 Spiegelungen erzeugt wird.
² Äquivalent: ob die erzeugte Gruppe diskret ist.
³: d.h. 180/n mit einer natürlichen Zahl n

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