Topologie von Flächen LXXI

All the way with Gauß-Bonnet!

Für jede dieser Sphären (es handelt sich um verschiedene Asteroiden)
ist die ‘Gesamtkrümmung’ gleich 4π.

Der Satz von Gauß-Bonnet sagt:

Dabei ist M eine Fläche (ohne Rand), K die Krümmung, auf der linken Seite steht also das Integral der Krümmung (sozusagen die Summe über alle Krümmungen in den einzelnen Punkten)
und χ(M) ist die Euler-Charakteristik 2-2g (TvF 6), auf der rechten Seite steht also 4π für die Sphäre, 0 für den Torus, -4π für die Brezel, allgemein 2π(2-2g) für die Fläche mit g Henkeln.

Wenn man die Fläche biegt und verformt, ändert sich die Euler-Charakteristik nicht, während sich die Krümmung natürlich ändert. (Die Euler-Charakteristik ist eine topologische Invariante, während die Krümmung von der Geometrie abhängt.)
Das Theorem sagt dann, etwas überraschend, daß das Integral der Krümmung (die “Gesamtkrümmung”, sozusagen die ‘Summe’ der Krümmungen in allen Punkten) dieselbe bleiben wird, egal wie man die Fläche verbiegt.
Zum Beispiel wenn man eine “ausgebeulte” Sphäre hat, dann ist die “Gesamtkrümmung” 4π (die Euler-Characteristik der Sphäre ist ja 2), egal wie groß oder tief die Ausbeulung ist.

Der (schwierigere) geometrische Teil des Satzes geht auf Gauß zurück: Gauß hatte bewiesen, daß für Dreiecke (deren Kanten Geodäten sind) das Integral der Krümmung gerade α+β+γ-π ist. (α,β,γ sind die Innenwinkel, gemessen in Radiant.)

Bonnet leitete daraus dann 1848 die allgemeine topologische Formel für Flächen her, wie sie oben steht. Für die Sphäre hatte ich das mal in TvF 4 vorgerechnet, der allgemeine Beweis geht fast genau so:

Die Fläche sei in (geodätische) Dreiecke D₁,D₂,D₃,… zerlegt, &alpha₁,&beta₁,&gamma₁ seien die Innenwinkel von D₁, &alpha₂,&beta₂,&gamma₂ die Innenwinkel von D₂, usw.
Nach Gauß weiß man, daß das Integral von K über ein Dreieck jeweils die Innenwinkelsumme minus &Pi, ist.
Dann ergibt sich das Integral von K über die Fläche als Summe der Integrale von K über die einzelnen Dreiecke D₁,D₂,D₃,… und diese ist nach Gauß’ Formel für Dreiecke
=α₁+β₁+γ₁-Π+α₂+β₂+γ₂-Π+α₃+β₃+γ₃-Π+…
=Summe aller Innenwinkel – Anzahl der Dreiecke x Π
=Summe aller Innenwinkel – FΠ
An jeder Ecke addieren sich die Innenwinkel zu einem vollen Winkel, also zu 2π. Damit erhalten wir
Summe aller Innenwinkel – FΠ=E2Π-FΠ.
Andererseits gehört jede Kante zu 2 Dreiecken und jedes Dreieck hat 3 Kanten, woraus 3F=2K folgt. Damit erhalten wir 2E-2K+2F=2E-3F+2F=2E-F, also 2Pi;χ(M)=E2Π-FΠ, womit das Gauß-Bonnet-Theorem bewiesen ist.

Nächste Woche noch zu ‘Anwendungen’ des Gauß-Bonnet-Theorems im Zusammenhang mit Geometrisierung von Flächen.

Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70